2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：綜合探究題之非動態(tài)探究題（專項訓(xùn)練）（學(xué)生版）

類型一非動態(tài)探究題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E,歹分別是邊AD,AB1.

⑴若正方形ABCD的邊長為2,E是AO的中點.

①如圖1,當(dāng)/萬EC=90。時，求證：AAEFs^DCE；

2

②如圖2,當(dāng)tanZFC￡=§時，求AF的長；

（2）如圖3,延長CP,D4交于點G,當(dāng)6￡=?！?411//^￡=；時，求證：AE=AF.

2.（2021?四川省達(dá)州市）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線

段做了如下探究：

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點E,F分別是AB,AD上的兩點，連接DE,CF,DE1CF,則

器的值為_______;

CF

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,點E是AD上的一點，連接CE,BD,且CE1BD,

則黑的值為______;

HU

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，NA=NB=90。，點E為AB上一點，連接DE,過點C作DE的垂

線交ED的延長線于點G,交AD的延長線于點F,求證：DE-AB=CF-AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

-1

(4)如圖4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tanzADB=將△ABD沿BD翻折，點A落

在點C處得ACBD,點E,F分別在邊AB,AD上，連接DE,CF,DE1CF.

①求言的值；

Lr

②連接BF,若AE=1,直接寫出BF的長度.

3.(2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題)【模型建立】

(1)如圖1,AABC和ABDE都是等邊三角形，點C關(guān)于AO的對稱點/在8。邊上.

①求證：AE=CD-,

②用等式寫出線段AD,BD,DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

（2）如圖2,AABC是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足為。，點C關(guān)于AD的對稱

點尸在8。邊上.用等式寫出線段AD,BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

（3）在（2）的條件下，若AO=40，BD=3CD,求cos/AE?的值.

4.（2021?湖北中考真題）問題提出如圖（1）,在AABC和△DEC中，

ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,點石在△ABC內(nèi)部，直線AZ）與BE交

于點P，線段AR,BF,Cb之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當(dāng)點。，斤重合時，直接寫出一個等式，表

示AR,BF,CV之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,當(dāng)點。，尸不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展如圖（3）,在AA5c和△DEC中，ZACB^ZDCE=90°,BC=kAC,

EC=kDC（左是常數(shù)），點石在5c內(nèi)部，直線A。與3E交于點直接寫出一個

等式，表示線段AR,BF,C尸之間的數(shù)量關(guān)系.

5.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1）,E是菱形A3C。邊上一點，△AEF

是等腰三角形，AE=EF,/4￡77=/43。=?（4290。）,4b交。。于點6,探究/3中與&

的數(shù)量關(guān)系.

問題探究:

(1)先將問題特殊化,如圖(2),當(dāng)夕=90。時，直接寫出/GCB的大小;

(2)再探究一般情形,如圖(1),求/GCR與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展:

-DG1qBE3生

(3)將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)&=120。時,若==彳，求"的值.

CG2

6.(2021?浙江中考真題)(證明體驗)

(1)如圖1,為AABC的角平分線，NA￡)C=60°,點E在A5上,AE=AC.求

證：DE平分NADB.

（思考探究）

（2）如圖2,在（1）的條件下,F為A5上一點，連結(jié)尸C交AD于點G.若EB=FC,OG=2,

CD=3,求3。的長.

（拓展延伸）

（3）如圖3,在四邊形ABC。中，對角線AC平分NBAD,N5C4=2NOC4,點E在AC

上，NEDC=ZABC.若BC=5,CD=2底AD=2AE，求AC的長.

7.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1,在矩形ABCD中，點E,尸分別在邊。C,BC

上，AE±DF,垂足為點G.求證：AADE^ADCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點E,尸分別在邊DC,3c上，AE=DF,延長BC到

點、H,使CH=DE,連接￡>".求證：ZADF=ZH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，點E,尸分別在邊DC,8C上，AE=DF=11,DE=8,

ZAED=60°,求CF的長.

8.(2021?安徽中考真題)如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC=ZBCD,點E在邊BC上,

且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交線段AE于點F,連接BF.

(1)求證：AABF咨AEAD；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的長;

BF

（3）如圖3,若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M,求——的值.

EC

圖1

9.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖①，AABC和VADE是等邊三角形,連接OC,點E

G,H分別是OE,OC和BC的中點，連接.易證：FH=&FG.

若AASC和VADE都是等腰直角三角形，且N54C="A￡=90。，如圖②:若“1BC和VADE

都是等腰三角形，且NBAC=NZME=120。，如圖③：其他條件不變，判斷切和FG之間

的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明.

10.（2021?湖南中考真題）如圖，在△A》。中，A5=AC,N是5C邊上的一點，D為AN

的中點，過點A作的平行線交CD的延長線于T,且AT=BN,連接3T.

（1）求證：BN=CN；

（2）在如圖中AN上取一點0,使AO=OC,作N關(guān)于邊AC的對稱點M,連接〃T、MO、

OC、OT、CM得如圖.

①求證：△TQWs44oc；

②設(shè)7M與AC相交于點P，求證：PD//CM,PD=-CM.

2

H.（2023?廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形A3CD中，E為AD邊上一點，連接

BE,

①若BE=BC,過C作CF_L3E交跖于點尸，求證：4ABE必FCB；

②若黑寵ABS=20時，則BECF=.

（2）如圖，在菱形"CD中，cosA=；,過C作CE1AB交AB的延長線于點E,過E作

EFJ.AD交AD于點、F,若S菱形加⑺=24時，求族.8C的值.

（3）如圖，在平行四邊形ABCD中，ZA=60°,AB=6,AD=5,點E在C。上，且CE=2,

點/為BC上一點，連接跖，過E作EG_LEF交平行四邊形ABCD的邊于點G,若

EF-EG=76時,請直接寫出AG的長.

備用圖

12.（2020?山西）綜合與實踐

問題情境：

如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，NAEB=90°,將RtZkABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°,得到△CBE，（點A的對應(yīng)點為點C）.延長AE交CE，于點F,連接DE.

猜想證明：

(1)試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；

(2)如圖②，若DA=DE,請猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

解決問題：

(3)如圖①，若AB=15,CF=3,請直接寫出DE的長.

13.(2020?湘西州)問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中,ZBAD=90°,ZBCD=90°,

BA=BC,ZABC=120°，/MBN=60°,/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.探

究圖中線段AE,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.

小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G,使CG=AE,連接BG,先證明△BCGgABAE,

再證明△BFG0ZXBFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形ABCD中，/BAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,ZABC=2

ZMBN,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交AD、DC于E、F,上述結(jié)論是否仍然成立？請直

接寫出結(jié)論(直接寫出“成立”或者“不成立”)，不要說明理由；

探究延伸2：如圖3,在四邊形ABCD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,ZABC=2ZMBN,

NMBN繞B點旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；

實際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(0處)北偏西30°的A處.艦

艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，

艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海

里/小時的速度前進(jìn)，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處.且指揮

中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°.試求此時兩艦艇之間的距離.

14.(2020?揚州)如圖1,已知點0在四邊形ABCD的邊AB上,M0A=0B=0C=0D=2,0C

平分/BOD,與BD交于點G,AC分別與BD、0D交于點E、F.

(1)求證：OC〃AD；

(2)如圖2,若DE=DF,求。的值;

AF

(3)當(dāng)四邊形ABCD的周長取最大值時，求當(dāng)?shù)闹?

DD

圖2

15.(2020?南京)如圖①，要在一條筆直的路邊1上建一個燃?xì)庹荆?同側(cè)的A、B兩個

城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短.

(1)如圖②，作出點A關(guān)于1的對稱點A',線段A'B與直線1的交點C的位置即為所求,

即在點C處建燃?xì)庹荆寐肪€ACB是最短的.

為了證明點C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點C',連接AC'、BC',證明AC+CB

〈AC+C'B.請完成這個證明.

(2)如果在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域.請分別給

出下列兩種情形的鋪設(shè)管