2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：切線放縮 專項訓(xùn)練【含答案】

微專題11切線放縮

［考情分析］切線放縮思想一直是導(dǎo)數(shù)中重要的思想之一，某些求函數(shù)的最小值或證明不等

式的問題，巧用切線放縮，會有意想不到的效果.一般試題難度較大.

-思維導(dǎo)圖

過函數(shù)圖象上一點的切線方程「

必備利用切線放縮求最值

函數(shù)的單調(diào)性一常見

知識一題型利用切線放縮證明不等式

函數(shù)的最值一切

線

放

縮

e*>x+l-一

一放縮時選擇不等式不恰當

InxWx-1—必備常見

-運用切線不等式時等號取舍錯誤

e*Nex—解法誤區(qū)

—求最值時忽略驗證等號能否取到

Inx一

e

典型例題

考點一利用切線放縮求最值

【典例1】已知函數(shù)兀r)=lnx—

(1)若八工)在［1,+8)上單調(diào)遞減，求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)若。=1,求小)的最大值.

解(1)由題意，/'(%)='—(x+l)ex+aWO在［1,+8)上恒成立,

從而——,

x

設(shè)g(x)=(x+l)d—4x21),

X

則g'(X)=(X+2)H+4>0,

所以g(x)在［1，+8)上單調(diào)遞增，故g(x)min=g(l)=2e—1,

因為aWg(x)恒成立，所以tz<2e—1,

故實數(shù)a的取值范圍為(-8,2e-l］.

(2)方法一設(shè)9(x)=e%—%—1,則“(x)=ex—1,

令”(x)>0,則％>0,令“(x)<0,則％<0,

所以夕(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故9(x)min=9(0)=0,所以9(x)20,

故廿三1+1.

當a=l時，

?r)=ln%—痣+1=111%—e^^-e^+x

=lnx-e^+inx+xWlnx—(x+lnx+l)+x=-1,

當且僅當x+lnx=O時等號成立，

設(shè)〃(x)=x+lnx(x>0),則I(x)=l+->0,故v(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

x

結(jié)合〃口=1—1<0,〃(1)=1>0知”(X)在(0,+8)上有零點，

e

即方程X+111X=O有實根，所以/(X)max=-L

1

方法二當a=1時，fix)=Inx—%廿+W%〉。)，f'(x)=--(x+1)^+1=(x+l)lRx-eJl,

x

設(shè)力(x)=l—e^x〉。)，貝I〃(x)=一~^<0,

xx2

所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又〃0=2—4>0,/z(l)=l—e<0,

所以〃(x)在(0,+8)上有唯一的零點xo,

當x￡(0,xo)時，/z(x)>0,所以，(x)>0,

故人x)在(0,X0)上單調(diào)遞增，

當x￡(xo,+8)時，〃⑴<0,所以，(x)vo,

故啟)在(X0,+8)上單調(diào)遞減，

從而7(x)max=/(%0)—InXo—玉)e0+%0,

又/z(xo)=——e"°=0,

Xo

所以e"=L,兩邊取對數(shù)得lnxo=一配，

xo

故/(xo)=lnxo-xe^°+xo=_xo—xo-+xo=-1,

oxo

即火X)的最大值為一1.

跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)外)=〃x+lnx+l,若對任意的x>0,Xx)^xe2x恒成立，求實數(shù)Q的

取值范圍.

解方法一(切線放縮，利用e^Nx+l)

對任意的x>0,/(x)Wxe1V恒成立，

等價于這二也立1)在(0,+8)上恒成立.

X

因為xe2^—(lnx+l)=e2x+lnx—(lnx+l)^(2x+lnx+1)—(lnx+l)=2x,

所以xe冬一(lnx+l)》@=2.

XX

當且僅當2x+lnx=0時等號成立（方程顯然有解）,

卜?2%—（inx+i,

即IXJmin=2,

所以QW2.

方法二（隱零點）

1n1—1~1

因為/（x）=qx+lnx+l,所以對任意的x>0,/（XlWxe"恒成立，等價于qWe2^--------在（0,

+8)上恒成立.

令m(x)=e2x—\x>0),

x

則只需aWm(x)min即可,

,.//、2x2e2x+lnx

貝n冽'(x)=----------,

X2

再令g(x)=Z/e級+Inx(x>0),

則gf(x)=4(x2+x)e2x+->0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

x

因為[)=金一21n2<0,g(l)=2e2>0,

8

所以g(x)有唯一的零點Xo,且1<xo〈l，

4

所以當0vx〈xo時，m'(x)<0,當x>xo時，m'(x)>0,

所以冽(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，在(xo,+8)上單調(diào)遞增，

因為21版2瓶+lnxo=o,

所以In2+21nxo+2xo=ln(—Inxo),

即ln(2xo)+2xo=ln(—ln%o)+(—Inxo),

設(shè)s(x)=lnx+x(x>0),則/(x)=1+l>0,所以函數(shù)s(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

x

因為s(2xo)=s(—Inxo),所以2xo=-Inxo>

即e2x0=J_,2=_lnxo>

xoxo

2xlnxo+11

所以加(x)三加(Xo)=e°-=l_g^o_l=2)則有a&2,

xoXoxoxo

所以實數(shù)。的取值范圍為(一8,2].

考點二利用切線放縮證明不等式

【典例2)已知函數(shù)兀0=

(1)設(shè)x=0是/)的極值點，求〃?的值，并討論大x)的單調(diào)性;

(2)當mW2時，證明：?>0.

(1)解由題意，/'(x)=e，一一—,

x+m

因為x=0是於)的極值點，

所以/(0)=1——=o,解得機=1,

m

拓〃/、厘1(x+l)ex—1

故/(工)=^----=----------,x>—1,

x+1x~\-1

令u(x)=(x+1)6^—1(x>—1),

則u'(x)=(x+2)ex>0,

所以〃(X)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,所以當一14<0時，w(x)<0,故，(x)<0；

當x>0時，〃(x)>0,故，(x)>0,

從而火x)在(一1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明方法一當冽W2時，ln(x+加)2e%—ln(x+2),下面先證e^Nx+l,

令%—1(%￡R)，貝Ig'(x)=ex—1,

所以/(x)<OOx<0,gr(x)>00x>0,

從而g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故g(X)min=g(0)=0,

所以g(x)三0,從而e^Nx+1,當且僅當x=0時等號成立，

再證ln(x+2)Wx+1,令h(x)=ln(x+2)—%—l(x>—2),

1x+1

貝(x)=---1=--,

x+2x+2

所以〃(x)>0O-2<x<-l,h'(x)<OOx>-l,

從而〃(x)在(一2,—1)上單調(diào)遞增，在(一1,+8)上單調(diào)遞減，

故〃(x)max=〃(-1)=0,所以〃(X)WO,

故ln(x+2)WX+1,當且僅當％=—1時等號成立，

綜上所述，有l(wèi)n(x+2)Wx+lWe"且兩個等號不能同時成立，

所以ln(x+2)<ex,

故ln(x+2)>0,

xx

因為當加W2時，f<x)=G—\n(x-\-m)^e—\n(x-\-2)9所以於)>0.

方法二當加W2時，於)=6^—ln(x+加)ln(x+2),

令8(%)=^一111(%+2),x>—2,

周//、x1a+2)e“一1

則g。)=曠-----=----三一，

%十2x十2

令A(yù)(x)=(x+2)e^-l(x>-2),

則/a)=a+3)e〉o,

所以〃(x)在(一2,+8)上單調(diào)遞增，

結(jié)合〃(-1)=1—1<0,/z(0)=l>0,知存在唯一的xo使7z(xo)—0且xo￡(—1,0),

e

當—2<x<xo時,h(x)<0,所以g'(x)〈0,

當x>xo時，/z(x)>0,所以g'(x)>0,

從而g(x)在(一2,xo)上單調(diào)遞減，在(xo,+8)上單調(diào)遞增，

X

故g(X)min=g(X0)=e°—ln(X0+2),①

因為/z(xo)=(xo+2)ex°—1=0,

所以e%=^,

xo+2

兩邊取對數(shù)得xo=—ln(xo+2),

代入①得g(xo)=-----(_xo)=(x0+D>0,

xo+2xo+2

所以g(x)>0，即e^—ln(x+2)>0,

因為當mW2時，fix)e^—ln(x+2),所以/(x)>0.

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)/(x)=lnx一層/+辦.

⑴試討論於)的單調(diào)性；

⑵若a=1,求證：當x>0時，/(X)<e2x—^2-2.

(1)解危)的定義域為(0,+°°),當。=0時，/(x)=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當心0時，/(x)=l—2凰+『—2-+ax+l=—3—1)(2公+1),

XXX

當0<x<l時，f(x)>0,當x>l時，f(x)<0,

aa

所以火X)在』上單調(diào)遞增，在I，上單調(diào)遞減；

當?<0時，/(x)=("T)(2ax+l),

當0<x<--L時，f(x)>o,當x>--L時，/(x)<o,

2a2a

所以兀0在上單調(diào)遞增，在［—2?+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明當a=l時，?r)=lnx—N+x,要證當x>0時，/(X)<e2x—^2-只需證Inive?%—%

令g(x)=e2x—2x—1,則g'(x)=2e2v—2=2(e2v—1),

當x>0時，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(o)=o,

所以當x>0時，e2x>2x+1,所以e2^—x—2>x—1.

令/z(x)=x—1—Inx,x>0,則(x)=l-當0<x<l時，h'(x)<0,當x>l時，h'(x)>0,

x

所以/z(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃0)?加=〃(1)=0,

所以當x>0時，”(x)2%(1)=0,即當x>0時，x-l^lnx,

所以當x>0時，e”—x—2>x—12lnx,即Inxve^—x—2,

所以當x>0時，/(X)<e2x—x2—2.

［總結(jié)提升］

當要證明的不等式中既含有又含有Inx時，一般我們形象地稱之為指對共生式，這類問

題直接構(gòu)造差函數(shù)進行研究可能會較為困難，突破這一困難一般采用指對放縮、分離雙函數(shù)、

同構(gòu)等技巧.常用的切線放縮有：

1X

(1)廿2%+1;(2戶2V;(3)1—WlnxW%—1;(4)lnxW—.

xe

在證明不等式的過程中，可通過上述常見的切線放縮，將曠或Inx放縮掉，再來證明不等式,

這是指對共生式一種可以考慮的方向.

注意：解題中若要用不等式e"2x+l,e"2ex,l-IwinxWx—1等進行放縮，需要先給出證明.

X

熱點突破

1.(2023?武漢模擬)已知函數(shù)外)=—「a(x+l)(x2l),g(x)=(x—l)lnx,其中e為自然對數(shù)

的底數(shù).

(1)若4)巳0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若Q取(1)中的最大值，證明：/(x)Nga).

(1)解方法一由題意，/(x)20<4exi—Q(X+1)三OOQW9一,

x+1

設(shè)h(x)=——(x^l),

x+l

則，,(尸鼠＞。,

所以〃(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增,

從而〃(X)min=%(l)=；,

因為恒成立，所以QW；

故實數(shù)q的取值范圍是I

e1一］

方法二由題意，/(x)200cx1—Q(x+l)20OaW---,

x+1

易證F2x+1,所以曠一12元當且僅當x=l時取等號,

pX~l

從而----2=1I-

x+1x+lx+lx+l1+12

pX-l1pX_l1

又當x=l時，J=L所以J的最小值為

x+l2x+12

尸11

因為“wJ恒成立，所以

x+12

故實數(shù)q的取值范圍是I

1y-1—1

(2)證明由題意知，°=>Hx)=e^i—x于

所以以啟g(x)——〒丸L，nx,

易證InxWx—l,所以當時，(%—l)lnx^(x—I)2,

y—I—10丫2—Qv—I—32丫2—3x~I-3

下面證明e，r—1)2,只需證幺一掃工，即證式一三立＜1,

222-1

2丫2-31-I-3

設(shè)9(x)=〃2；i('ND,

則,(x)=—(.二3)(x二2)

2尸1

aa

所以，(x)>00><2,<p'(x)<001Wx<1^,x>2,

從而9(x)在上孑上單調(diào)遞減，在卜之)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

又夕(1)=1,研2)=2

2e

o丫2—3y—I—3

所以9(x)Wl,即當、三1時，^1,

2cx1

丫+

所以F一1一十1三(X—1>,

因為(x—l)2^(x—l)lnx,

4-1

所以1---r--—^(x—l)lnx,

故/(?Ng。:)成立.

2.已知函數(shù)次工)=廿+2］2—3%.

⑴求函數(shù)，(x)在區(qū)間［0,1］上的零點個數(shù)；(其中，(x)為小)的導(dǎo)數(shù))

(2)若關(guān)于x的不等式")》|<：2+(a—3"+1在口，+8)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解(1)函數(shù)｛x)=F+2x2—3x的導(dǎo)數(shù)，(x)=eA'+4x-3,

則/(x)=e"+4x—3在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，

又/(0)=1-3=-2<0,f(l)=e+4-3=e+l>0,

則函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上只有一個零點.

⑵若關(guān)于“的不等式小后￥+(L3)X+1在［1‘+8)上恒成立，

整理得aW《一工一1,

x2x

即求函數(shù)g(x)=可一工一1在口，+8)上的最小值，

x2x

由得g，所以不一:十?至二產(chǎn)T

x2x力21xz2

由得y/=ex—1,

可得當x>0時，y'>0,

函數(shù)〉=e"一x—1單調(diào)遞增，當x<0時，函數(shù)y=e“一x—1單調(diào)遞減，

則e^—x—lNO,即0%三%+1,

當x三1時,——1)1!1］)(“1—1=1>0,

x22X222

則g(X)=N—1―1在［1,+8)上單調(diào)遞增，

x2x

aa

可得g(x)min=g(l)=e—5,貝?。輆We—g.

3.設(shè)函數(shù)八工)=。^—xlnx,其中Q￡R.

⑴若加)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

7

(2)若。證明：4)>0.

e2

(1)解方法一由題意知，f(x)=tzex—Inx—1(x>0),且，(%)三0恒成立,

匕匕2、lnx+l

所以心------,

人/、lnx+l八、

令g(x)=-「(zx>0)，

--1—Inx

貝Igr(^)=-________，

當0<x<l時，1一1>0,lnx<0,所以g'(x)>0,

X

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當x>l時，--1<0,Inx>0,所以g'(x)<0,

x

故g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

從而g(x)max=g(l)=-,

e

因為q》g(x)恒成立，所以

e

+

故實數(shù)°的取值范圍是°°1

方法二由題意，，(%)=4^一111'一1(工>0),且，(x)與0恒成立，

所以。2蟲In上y—1I—,1

易證InxWx—l,e^Nex,

所以1112c±lw(x—1)+1=工(工=1,當x=i時，皿土1=1,

exee

因為恒成立，所以

e

+

故實數(shù)。的取值范圍是:，°°1

22

(2)證明方法一當時，f(x)=aox—x\nx^—^—xinx=2ox^2—x\nLJ,

e2e2

Cxlnx\

2

下面證明e"l-2j>o,

只需證2—嗎>0,

尸2

當0〈xWl時，顯然對了WO,

尸2

所以不等式2—嗎>0成立，

下面證明當X>1時該不等式也成立，

人7/、xlnx,1、

令h(x)—2gX:2

向7//、xlnx—Inx—I

則h'(x)=-----------,

gXz

令r(x)=xlnx—Inx—l(x>l),

貝U/(x)==lnx+l-

x

令n(x)=lnx+l-

則