2024學(xué)年無(wú)錫市江陰某中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月檢測(cè)試卷（附答案解析）

2024學(xué)年無(wú)錫市江陰二中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月檢測(cè)試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線瓜+3、-2=0的傾斜角是（）

7T712兀5兀

A.一B.一C.—D.

6336

2

在復(fù)平面內(nèi)，若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z與「關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，則z=

1-1

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

3.如圖，在平行六面體-44GA中，E為8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC^ICE，則厚可以表示

為（）

—?1―?—?

A.~AB+—~AD+~AA\B.AB+-AD-AA,

2

C.AB+—AD+4AlD.A8+|2D-Z^

4.已知4:尤+（加+1）了_2=0/：mx+2y+4=0,貝!]"〃？=]''是"〃〃2”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要條件D.既不充分也不必要

5.《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到：冬至、小寒、大寒、立春、南

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.

若冬至、大寒、雨水的日影子長(zhǎng)的和是40.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則立春的日影子長(zhǎng)

為（）

A.10.5尺B.11.5尺C.12.5尺D.13.5尺

6.已知拋物線f=4了的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓（x-ir+（y-4）2=1上動(dòng)點(diǎn),

則|尸0|+|尸用的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

22

7.已知雙曲線C:「-右=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，

ab

PFJPF2,尸片與y軸交于點(diǎn)M.若|￡O|=3|（W|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為

)

1

A.y=+xB.y=+>j6xC.y=±y[3xD.y=±3x

8.2020年7月23日，“天問(wèn)一號(hào)”在中國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)發(fā)射升空，經(jīng)過(guò)多次變軌后于2021

年5月15日頭現(xiàn)軟著陸火星表面.如圖，在同一平面內(nèi)，火星輪廓近似看成以。為圓心、A為

半徑的圓，軌道I是以M為圓心、&為半徑的圓，著陸器從軌道I的A點(diǎn)變軌，進(jìn)入橢圓形軌

道n后在。點(diǎn)著陸.已知直線/C經(jīng)過(guò)O,M,與圓。交于另一點(diǎn)5,與圓/交于另一點(diǎn)。，若

。恰為橢圓形軌道H的上焦點(diǎn)，且十=￡，AB=3CD,則橢圓形軌道II的離心率為（）

二、多選題（本大題共3小題）

22

9.已知方程二+二^=1（m為實(shí)數(shù)）表示的曲線C,則（）

m2m+5

A.曲線C不可能表示一個(gè)圓B.曲線C可以表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓

C.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

10.已知空間三點(diǎn)40,x,0）,5（2,2,0）,C（-l,3,l）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.存在唯一的實(shí)數(shù)x使

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,4SC三點(diǎn)都不共線

C.當(dāng)x=l時(shí)，方與前夾角的余弦值是叵

11

D.當(dāng)x=l時(shí)，￡=（1,-2,5）是平面/3。的一個(gè)法向量

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4（2,1）在拋物線C:x2=2處（p>0）上，拋物線的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)3（0,-1）

的直線/交拋物線C于P,0兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)瓦。的之間），則（）

A.直線N2與拋物線C相切B.OPOQ=6

C.若尸是線段3。的中點(diǎn)，則2|%|=|QP|D.存在直線/，使得|PF|+|。用=2|5用

三、填空題（本大題共3小題）

2

12.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的圓的方程：.

①與圓/+/=1相切，②與X軸相切.

13.已知正四面體/BCD的每條棱長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F分別是3C,4D的中點(diǎn)，則近.而的值

為.

14.設(shè)歹是雙曲線C:，-《=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)歹作C的一條漸近線的垂

線，垂足為Af,若的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)N,且2赤=3而，則C的離心率為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（0,3）,8（2,5）,且圓心C在直線x-y+l=O上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求過(guò)點(diǎn)尸（4,6）與圓C相切的直線方程.

16.已知數(shù)列也｝和也｝都是等差數(shù)列，公差分別為4，4，數(shù)列｛%｝滿足c“=a”+26”.

⑴數(shù)列｛c.｝是不是等差數(shù)列？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵若｛%｝的公差為-2,也“｝的公差為-3,%=5,4=8,求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式.

17.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD-44GA中，E為線段的中點(diǎn)，歹為線段3片的中點(diǎn).

⑴求直線FC1倒直線/E的距離;

⑵求直線廠G到平面/耳￡的距離.

18.如圖，己知四棱錐尸-N8CD的底面N8C。是平行四邊形，BC=4,ZABC=60°,JAB是邊

長(zhǎng)為2的等邊三角形，PB工4C,E是線段尸。的中點(diǎn).

3

⑴求證：平面平面4BCD；

⑵若所=彳定(0<%<1),是否存在;I,使得平面BE尸和平面PAD夾角的余弦值為m?若存在，

求出幾的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖，已知橢圓C:]+/=l(a>6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為母，過(guò)點(diǎn)尸(-4,0)作直線

/交橢圓于x軸上方兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)仞在點(diǎn)N左側(cè)，直線/N和交于點(diǎn)G.

(1)求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；

s

⑵若A/GM和△BGN的面積分別記為岳和$2，求￡的取值范圍.

參考答案

1.【答案】D

【詳解】由6x+3y-2=0得：y=_^lx+l,

所以直線的斜率為左=-g,6e[0,無(wú)],

5兀

，直線的傾斜角為9.

0

故選：D

2.【答案】C

【詳解】二-=式孚=1+L

1-i1-i2

2

復(fù)數(shù)z與三關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，故z=-l+i.

1-1

故選：c

3.【答案】B

—■3—?

【詳解】因?yàn)樵?2赤，所以BE=：BC,

所以跳=次_苑=萬(wàn)+屜一(而+麴)

____O_________________,_________________________________________1________

=AB+-BC-{1D+AA1^=AB+-AD-(1D+AA^=AB+-AD-AA1.

故選；B.

4.【答案】C

4

【分析】根據(jù)兩直線平行，得到關(guān)于加的方程，求出機(jī)的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定

義判斷可得；

【詳解】解：因?yàn)?：x+("7+l)y—2=0，：〃a+2>+4=0,若〃4，貝1]'=四力二，解得機(jī)=一2或

m24

1m+1-21m+1—2

m=l,當(dāng)加=-2時(shí)上=直線4與直線/,重合，所以"7=1,若機(jī)=1時(shí)上=

m24m24

所以""=1"是""的充要條件;

故選：C

5.【答案】C

【詳解】因?yàn)閺亩林掌?，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小

滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，

故可設(shè)該等差數(shù)列為{%},冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、

小滿、芒種的日影子長(zhǎng)分別計(jì)為4，%,%，L,al2,公差為"，由題可得:

+%+牝=40.53ai+6d=40.5a=15.5

即解之得:x

=4.54+lld=4.5d——1

所以立春的日影子長(zhǎng)為：%=%+3d=15.5+3x(—1)=12.5(尺)

故選：c

6.【答案】B

【詳解】

設(shè)圓(XT)。+(y-4)2=1的圓心為C(l,4),半徑為廠=1,

過(guò)點(diǎn)尸作尸M垂直拋物線的準(zhǔn)線于

由拋物線的定義知，I尸尸

所以|尸0|+|尸尸]=|尸目+|尸間可兒@=|。團(tuán)-.，當(dāng)且僅當(dāng)C,0,尸,M四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立,

而|W=4+]=4+|=5,

所以|尸°住|尸尸閆CM卜廣=5—1=4,即以。|+|尸尸I的最小值為4.

故選：B

5

7.【答案】A

因?yàn)橛?。|=3|。叫，所以tan/尸耳工=；,

\PFI1

又PFJPF”所以扁="且|尸耳|-|尸閶=2%所以歸胤=3%\PF^=a.

又附;『+|巡「三國(guó)"「09a2+a2=4c2=>5a2=2c2-

22

所以4h=Jc_l=3j.

aa2

所以雙曲線的漸近線方程為：y=+-x=+^x.

a2

故選：A

8.【答案】A

【分析】不妨設(shè)居=3,凡=5,結(jié)合橢圓的定義與圓的性質(zhì)綜合計(jì)算即可得。、c,即可得離心

率.

【詳解】法1：不妨設(shè)屬=3,此=5,CD=m,

貝lj4_B=3加,MB=R2~AB=5—3m,OM=R1—MB=3m—2,

所以MD=R2=OM+OC+CD=3m-2+R1+m=4m+1=5=加=1,

所以a-c=0C=舄=3①，

2a=AC=MA+OM+OC=R2+3m-2.+R}=9@,

QQ1

聯(lián)立①②解得a=gc=4，所以橢圓離心率e=￡r=：；

22a3

法2：&=3,4=5,設(shè)軌道n的長(zhǎng)軸和焦距分別為2a和2c,

AM=DM=R2=5,OB=OC=3,

則AB=AM-MB=AM-(OB-OM)=2+(W,

CD=MD-MC=MD-[OC+OA4)=2-OM,

6

AB=3CD,得：OM=1,

貝UCM=0M+4W=6=a+c,OC=3=a-c,

a+c=2（cf-c）,得：a=3c,故0=?

故選：A.

9.【答案】ACD

【詳解】A：若加=2加+5＞0,無(wú)解，故曲線C不能表示一個(gè)圓，對(duì)；

B：若加＞2根+5＞0,無(wú)解，故曲線C不能表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，錯(cuò)；

C：若2機(jī)+5＞%＞0,可得機(jī)＞0,滿足曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，對(duì)；

D：若2%+5＞0＞加，可得-g（加＜0,滿足曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，對(duì).

故選：ACD

10.【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,A8=（2,2-x,0）,^C=（-l,3-x,l）,

若方,就，則-2+（2-力（3-尤）=0,解得x=4或1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,設(shè)4叢C三點(diǎn)共線，則存=丸前,即（2,2-X,0）=4（T3—K1）,

2=-A

即＜2-x=4（3-x）,無(wú)解，故對(duì)任意實(shí)數(shù)x,4民。三點(diǎn)都不共線，故B正確；

0=4

對(duì)于C,當(dāng)X=1時(shí)，ZB=(2,i,0),sc=(-3,1,1),

ABBC|-6+1+0|yfs5

所以cosAB,BC==意旨=亓'故'正確A;

對(duì)于D,當(dāng)x=l時(shí)，48=(2,l,0),/C=(-l,2,l),

若加=（1,-2,5）是平面的一個(gè)法向量,

m?AB=0玩-48=2—2+0=0

則—即一

m-AC=0m-AC=-l-4+5=0

所以當(dāng)x=l時(shí)，益=（1,-2,5）是平面48。的一個(gè)法向量，故D正確；

故選：BCD.

II.【答案】AC

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)/（2,1）在拋物線C：f=2加腦＞0）上，所以4=2人解得°=2,

7

即拋物線方程為V=4y,焦點(diǎn)尸（0,1）.

對(duì)于A：直線的方程為四=2二2即y=x-l,

1+12-0

ry—%]r%——2

因?yàn)镴）：-,解得1，所以直線N8與拋物線。相切點(diǎn)/（2,1）,故A正確；

對(duì)于B：設(shè)過(guò)點(diǎn)2的直線為/,若直線/與〉軸重合，則直線/與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不

合題意；

所以直線/的斜率存在，設(shè)其方程為〉=依-1,P&,必）,0優(yōu),％）,

\y=kx-l

由<2,，得--4h+4=0,則A=1616>0,即左<-1或左>1,

[x=4y

于是％]+x2=4左，再々=4,

22

又乂刈=；無(wú)]；君=^（X[X2）=^x4=1,

所以。尸大4+%%=5,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由焦半徑公式可得電量+片乂+1,|。尸=%嚀=%+1,

因?yàn)槭蔷€段8。的中點(diǎn)，

所以乂=合，整理得2（乂+1）=%+1，即2|尸尸|=|?？桑蔆正確；

對(duì)于D：若|尸尸|+|。尸|=2|36|,則（乂+1）+（為+1）=2|1-（一1）|=4,得乂+%=2

所以2=%+藝=左（占+》2）—2=左,4左一2=4左~—2,即4后2=4,解得左=±1,

此時(shí)A=16F_16=O,則直線/與拋物線相切，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.【答案】口-3）2+（>-4）2=16（答案不唯一）

【詳解】設(shè)圓的方程為卜-。丫+（尸6『=凡

8

由題意可得/+〃=(1+H)2-整理可得/=2同+1,

可令6=4,a=3,即(x-3)~+(y-4)2=16,

故答案為：（尤-3『+（y-4『=16（答案不唯一）.

13.【答案】一；/一0.5

【詳解】由題設(shè)，四面體各側(cè)面均是等邊三角形，且邊長(zhǎng)都為1,

AE=^（AB+AC）,CF=AF-AC=^AD-AC,

所以而礪=；（15+太）石一就）=；x（；相力+g次.萬(wàn)一福就一就?）

1111,1

=—x（Z—+---------1）=——.

24422

故答案為：-萬(wàn)

【分析】結(jié)合題意，首先求出由2而=3兩，通過(guò)運(yùn)算得到*=c+5a,再利用a,6,c,e

之間的關(guān)系得到關(guān)于離心率的方程，解出即可.

【詳解】

結(jié)合題意：雙曲線的漸近線方程為/=±2-即法土即=0,

a

所以尸（。,0）到漸近線的距離為L(zhǎng)W=J［；）=6

所以|OAf|=7c2-b2=a,

a+b-c

則叢FOM的內(nèi)切圓的半徑為r=

2

9

設(shè)的內(nèi)切圓與FN切于點(diǎn)P,

a+c

由2赤=3而，|FP|=|NF\=^c,\FP\+\MP|=lc+^~=|MF\=b^

即5b=c+5a,25b2=c2+10ac+25a2,

貝!125c2-25a2=c2+10ac+25a,24c2—1Oac—50/=o,

由e，,得12/—5e-25=0,

a

即(3e—5)(4e+5)=0,

由于e>l,解得e=g.

故答案為：

15.【答案】⑴(x-2)2+(y-3)2=4

(2)x=4和5x-12y+52=0

【詳解】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A〃)2+3-4=1廠〉0),

a2+(3-6)2=r2|Q=2

由題意得<(2-ay+(5-6)2=/n人=3,

J/=4

a—b+1=0

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+（y-3）2=4；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，x=4符合題意，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)該斜率為左，此時(shí)直線方程為＞-6=后（》-4）,

即區(qū)-夕-4左+6=0,圓心（2,3）到該直線的距離為廠，

\2k-3-4k+6\L

即d=^——7-----=2解得

\Jl+k

此時(shí)直線方程為5x-12y+52=0,

故所求直線方程為x=4和5x72y+52=0.

16.【答案】（1）數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，理由見(jiàn)解析

（2）c?=29-8〃

【詳解】（1）數(shù)列上”｝是等差數(shù)列，理由如下：

因?yàn)閿?shù)列｛4｝,也“｝都是等差數(shù)列，公差分別為4，d2,

10

所以4=。用一?！╡N*，

因?yàn)閏,=?！?,

所以c?+1-c?=a?+I+2b,l+1-(an+2bn)

=(。”+1-?！?+2(^?+i-bn)

=4+2d2為常數(shù),

所以數(shù)列匕｝是以4+2出為公差的等差數(shù)列；

(2)因?yàn)?=5,4=8,

所以G=%+24=5+2x8=21,

由(1)可知數(shù)列｛c,｝是等差數(shù)列，且公差為4+2%,

因?yàn)椋麨椋墓顬?2,也｝的公差為-3,

所以數(shù)列｛%｝的公差d=-2+2x(-3)=-8,

所以數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式為c“=G+(〃-1)4=21-8("-1)=29-8”.

17.【答案】(1)叵(2)：

53

【詳解】(1)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4(1,1,1),《0,0、［，尸(1,1$),A(1,0,0),G(0,1,1),

因?yàn)槲?1l,0，!|,通=［一1,0,口，所以於〃后，即NE//FG，

所以點(diǎn)尸到直線/￡的距離即為直線尸￡到直線/￡的距離,

回

所以直線尸。到直線/￡的距離為

~T~

(2)因?yàn)镹E//FG，尸G<z平面/耳E,/EU平面/呂￡,所以尸G〃平面4臺(tái)也，

所以直線尸G到平面N8也的距離等于G到平面/4E的距離,

QB；=(1,o,o),=(o,1,1),ZE=C1,o,|,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

11

AE-H=0-x-\——z=0/一/、

則—.，即2，取z=2,可得"=d,-2,2）,

?網(wǎng)元=。[y+z=Q

，.國(guó)1

所以。到平面的距離為^^=不

H3

所以直線尸q到平面/耳￡的距離為;.

18.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）存在，A=1.

【分析】（1）先在V/3C中，利用余弦定理求得/C,再由勾股定理可證NC_L/3,然后結(jié)合

PBLAC,利用線面垂直、面面垂直的判定定理，即可得證；

（2）以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面的夾角的方法列出關(guān)于參

數(shù)的方程，即可得解.

【詳解】（1）證明：在V4BC中，由余弦定理知，

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=4+16-2x?.x4x-=l2,

2

所以/CZ+ZluRy,即/C_L48,

因?yàn)楸豞L/C,且/3口心=3,48、尸8u平面尸48,

所以/C_L平面PAB,

又4Cu平面N8CD,所以平面平面N5CD;

（2）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,ZC所在直線分別為x,V軸，作Nz,平面4BCD,建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則/（O,0,0）,BQ,0,0）,C（0,25°），D（-2,26，。），尸。，。，百），玖-；，百,

12

所以AP—(1,0?百)，AD=(-2,2A/3，。)，BE=(—―)行,

BP=(-1,0,下>),PC=(-1,2技-V3),

所以而=而+而=即+；1定=(一1,0,>/3)+2(-1,2百，-6)=(7-/I,20,V3-V32),

拓?BE=0,

設(shè)平面2跖的法向量為元=(x,九z),則1'

n-BF=0,

(-1-2)x+2?v+(百-6儲(chǔ)z=0,

取z=4；l-l,則x=VJ(2X-l),y=34-2,所以力=(若(22—1),32-2,4A-1),

m-AP=0,a+也c=0,

設(shè)平面尸40的法向量為應(yīng)=S,b,。)，則〈—,即《廣

m-AD-0,[-2a+2J3b=0,

取。=1,貝！J〃=-G，b=-l,所以玩=-1,1),

3

因?yàn)槠矫?所和平面尸4。夾角的余弦值為父

整理得，8(26A2-1U-1)=O,即8(24-1)(134+1)=0,

角牟得力=!或九=一1，

213

因?yàn)?<4<1,所以%=—,

2

31

故存在2,使得平面跳N和平面P4D夾角的余弦值為『此時(shí)2=萬(wàn).

【方法總結(jié)】向量法求兩個(gè)平面的夾角：

\m-n\

首先求出兩個(gè)平面的法向量m,n,再代入公式cosa=±與居(其中m,"分別是兩個(gè)平面的法向量,

a是兩個(gè)平面的夾角)求解.

19.【答案】⑴-1；⑵

22/T

【詳解】(1)因?yàn)闄E圓。奈+%=1(〃>6>0)的長(zhǎng)軸45長(zhǎng)為4,離心率為冷,

所以Q=2,e=±=S~,所以°=百，故Z?2=Q2_C2=4_3=1,

a2

13

所以橢圓的方程為二+/=1.

4

由題可設(shè)Mg,必）,"（乙,%）,（2＞工2＞再＞-2,y2＞%＞0）,直線/的方程為x=叼一4（切＞0）,

x=my-4

2

由.,x得（加之+4）/_8g,+12=0,

——+y2=117

14/

所以A=64m2-4xl2（m2+4）=16（m2-12）>0,即冽2,口，%%=&加方,=醛

所以石+工2=加（必+%A8=28=~T，

12v1274+m24+m2

222

/八/八2Ai\ir12m32m1r64-4m

玉馬=（叼L4）（四2-4）=成必%-4〃（%+刃+16下版不版+16=77^，

直線NN的方程為：丫=器（久+2）,

%2+Z