2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：正弦定理、余弦定理 專項訓(xùn)練【含答案】

微專題17正弦定理、余弦定理

［考情分析］解三角形是高考考查的熱點，三角恒等變換單獨考查的題目較少，多以解三角

形為背景，在用正弦定理、余弦定理的同時，經(jīng)常應(yīng)用三角恒等變換進行化簡，綜合性較強,

難度中等.

■思維導(dǎo)圖

同角三角函數(shù)關(guān)系式1

誘導(dǎo)公式一

-利用正余弦定理進行邊角計算

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一必備

一常見

正—利用正余弦定理解決與多邊形有關(guān)的三角形問題

二倍角公式一知識題型

弦一解三角形在實際生活中的應(yīng)用

正弦定理與余弦定理一定

三角形面積公式一理

、

余

弦

邊角相互轉(zhuǎn)化「定

L忽略邊角互化時如何選擇正弦定理、余弦定理

理

幾何法—必備常見

一一忽略處理計算中增解問題

斜三角形數(shù)學(xué)模型一解法誤區(qū)

一忽略角的范圍限制

方程組法一

典型例題

考點一利用正余弦定理進行邊角計算

N—I—「2—

【典例1】（2023?全國甲卷）記△NBC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,。，已知、十。61

cosA

2.

⑴求be；

⑵若沁匕9—^=1,求△NBC面積.

6zcosB+bcosAc

解（1）由余弦定理知a*2=b2+c2—2/JCCOSA,

所以6―26ccos/

=2bc=2,

cosAcosA

解得bc=l.

qcosB—bcos/b

（2）由正弦定理可得

QCOS5+6COS/c

_sin4cos5-sin5cos4sin5

sinAcos5+sinBcosAsinC

_sin(/-5)sin5

sin(4+B)sin(4+5)

_sin(Z-5)—sin5_1

sin(4+5)'

變形可得sin(Z—B)—sin(Z+5)=sin3,

即—2cos4sin5=sinB,

而0<sin5Wl,

所以cos4=-1,

2

又O<A<719

所以sin^=—,

2

故△45。的面積為S&ABc=lbcsinTX黃=黃.

2224

跟蹤訓(xùn)練1(2023?安慶模擬)在△45。中，角力,B,。所對的邊分別為a,b,c,且2asin/

=b(2sin5+3sinO+c(2sinC+加sinB).

⑴求角4；

(2)若b=2出,c=2,點。為邊5C上一點，且N4DC=g,求△45。的面積.

解(1)由正弦定理可得〃2=b2+c2+d5bc,

根據(jù)余弦定理的推論得cos/=if=f^=—蟲

2bc2bc2

又Z￡(0,兀)，所以/=二.

6

(2)因為6=2A/5,C=2,

又a2=b2c2-\~\l3bc,解得a=2由,

a2~\-c2—b228+4-12=53

由余弦定理的推論得cosB=

2ac2X2X2由14

于是sinB=yjl—cos1B=

因為

=

所以sinZBAD=sinU-^cos5+-sinB=^^9sin/ADB=遂,

22142

在△45。中，由正弦定理得燉=BD,

sinZADBsinZBAD

2X3擊

所以助=加工四。=二^=也，

sinZADB\J3_7

2

羊日G1JDon-D1yc76由3也

于是S^ABD=~ABBD-sin5=-X2XX-,

227147

所以△48。的面積為SB.

7

考點二與多邊形有關(guān)的解三角形問題

【典例2】(2023?聊城模擬)在四邊形48CD中，AB//CD.

⑴證明：sinZBAD=BC-sinZBCD；

(2)若4D=1,48=3,BC=0ZBAD=2ZBCD,求△BCD外接圓的面積.

(1)證明因為

所以NABD=NBDC,

在△48D中，

由正弦定理可知

AD_BD

sinZABDsinZBAD'

在△BCD中，由正弦定理可知

BCBD

sinZBDCsmZBCD

所以/Z>sin/BAD=BZ>sinNAaD,

BCsinZBCD=BDsmZBDC,

故有ADsmZBAD=BCsmZBCD.

(2)解由(1)可知,

ADsmZBAD=BCsmZBCD,

設(shè)ZBAD=2ZBCD=2a,

又因為40=1,BC—yf3,可得sin2a=3sina,

即2sinacosa=3sina,

解得cosa="^,所以a=匹，

在ZxABD中，由余弦定理得B￡>222AB-AD-cosZBAD=7,

=AB+AD2—

則BD=S,

設(shè)△BCD外接圓的半徑為R,

在△BCD中，由正弦定理可知

27?=sm^=T=2^'

2

所以R=也

所以△BCD外接圓的面積S=兀叱=7兀

跟蹤訓(xùn)練2(2023?濰坊模擬)在四邊形/BCD中，/BAD=]ZACD=^,AD=^3,S為

△/8C的面積，且2s=—也由I?反?.

C

B

-----、D

(1)求角5的值；

(2)若cosZ)=l,求四邊形45c。的周長.

2

解(1)由2S=~yj3BABC9

得2X-ABBC'sinB=一^ABBCcosB,

2

即sin5=—A/5COS8,可得tan5=-3,

因為B￡(0,7i),所以5=￡.

(2)由cosZ)=；?！?0,7i),得。=：,

又NACD=Z

3

所以△4CZ)為等邊三角形,

AC=AD='\l3,NCAD=匹,

3

所以NA4C=匹，ZACB=-9

66

AB

由正弦定理知

sinBsinZACB9

ACsinZACB

得4B1=BC,

sinB

2

故四邊形/BCD的周長為2+23.

考點三解三角形在實際生活中的應(yīng)用

【典例3】(1)(2021?全國甲卷)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程

為8848.86(單位：m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的

一個示意圖，現(xiàn)有/,B,C三點，且/,B,。在同一水平面上的投影H,夕，C'滿足

NHCB'=45°,/⑷B'C=60。.由C點測得8點的仰角為15。，BB'與CC'的差

為100,由8點測得/點的仰角為45。，則N,C兩點到水平面/'B'C的高度差44,一

CC約為(3-1732)()

A.346B.373C.446D.473

答案B

解析如圖所示，根據(jù)題意過C作C力〃C'B',交BB'于E,

過2作3?！?'B',交44'于。,

則5￡,=100,

CB'=CE=-10°

tan15°

在△/'B'C中，ZCA'B'=75°,

則B'sn45。

sin75°

又在2點處測得/點的仰角為45。,

所以4D=BD=C§/sin45。

sin75°

所以高度差44'-CC=AD+BE

心夕地?zé)?ioo

sin75°

100?A”

---------sin45°

tan15°+10Q

sin75°

項晅空+loo

sin15°

也

lOOX"

2

=iH+10°

2

=100(3+1)+100心373.

（2）（2023?南京模擬）一貨輪航行到加處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15。方向，與燈塔S相距

a海里，隨后貨輪按北偏西30。的方向，以每小時20（加一/）海里的速度航行30分鐘后到達

N處，又測得燈塔S在貨輪的東北方向，則。等于（）

A.20B.40

C.40-20A/3D.40+20^3

答案A

解析由題可知，ACV=20(^-^2)X0.5=10(A/6-^2),/5村=45。+60。=105。，ZMSN=

180°-105o-(30o+15o)=30°,

由兩角和的正弦公式得，

sin105°=sin(45°+60°)

=sin45°cos600+cos45°sin60°

加+仍

4

在△MVS中，由正弦定理得，

MN_SM

sinZMSNsinNSTW'

即log-也)=a

sin30°sin1050'

解得q=20.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023?雙鴨山模擬)如圖，某公園內(nèi)有一個半圓形湖面，。為圓心，半徑為1

千米，現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊上取點C,D,E,滿足N49D=NQOE=2N4OC,在扇形40。

和四邊形8防區(qū)域內(nèi)種植荷花，在扇形C。。區(qū)域內(nèi)修建水上項目，并在湖面上修建棧道

DE,防作為觀光路線，則當(dāng)QE+班取最大值時，sinZAOC=.

E

宏案-

4

解析設(shè)//。。=仇0<0<-,

4

則ZEOB^n-40,

在△。?！曛校捎嘞叶ɡ淼?/p>

DE=yJOD2+OE2-2ODOEcos23

=72（1—cos29）=2sin0,

在中，由余弦定理得

BEOB?+OE2—2OB?OE?COS（TI—49）

=A/2（1+COS40=2cos20,

所以DE+￡3=2sin。+2cos20=2sin0+2（1-2sin20=76"一12+：,

又0<0<三，所以當(dāng)sin6=1時，DE+ES有最大值.

44

（2）（2023?杭州模擬）雷峰塔初名黃妃塔，又名西關(guān)磚塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，地處西湖

風(fēng)景區(qū)南岸夕照山（海拔46米）之上，是吳越國王錢俶為供奉佛螺髻發(fā)舍利、祈求國泰民安而

建.始建于北宋太平興國二年（977年），歷代屢加重修.現(xiàn)存建筑以原雷峰塔為原型設(shè)計，重

建于2002年，是“西湖十景”之一'中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔.李華同

學(xué)為測量塔高，在西湖邊相距400米的4,C兩處（海拔均約16米）各放置一架垂直于地面高

為1.5米的測角儀48,Q）（如圖所示）.在測角儀3處測得兩個數(shù)據(jù)：塔頂州的仰角

=30。及塔頂〃■與觀測儀。點的視角ZMBD=16.3°,在測角儀D處測得塔頂M與觀測儀B

點的視角李華根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計雷峰塔VN的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)：sin15.1°七0.2605,sin31.4°七0.5210）

M

A.70.5米B.71米C.71.5米D.72米

答案C

解析在中，30=400,

NMBD=16.3°,

所以/2〃0=180°—16.3°—15.1°

=180°-31.4°,

BDBM

由正弦定理得

sinZBMDsinZ.MDB

BD-sinNMDB400X0.2605

所以BM=?-----------------=200,

sinZBMD0.5210

在RtAMBP中，

MP=BMsinZMBP^200sm30°=100,

延長R4至0,設(shè)0處海拔為0,延長〃尸至。，。處海拔為0,連接。。,

M

Q0

由題意知MP=100,OP=Q4+48=16+1.5=17.5,0N=46,

MN=MP—NP=MP—(ON-OP)=\QQ-(46—175)=715.

［總結(jié)提升］

1.正、余弦定理的適用條件

(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理.

(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理.

2.解三角形實際問題的步驟

|分析卜延薜題意，分析已知與未知，畫出示意圖)

根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量

隹區(qū)卜盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角

、形的模型__________________________________

I求:解H利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解)

r-L,檢驗上述所求出的解是否具有實際意義，從而

y得出實際問題的解

熱點突破

1.△/BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin/—bsin2=4csinC,cos/=一

L貝心等于()

4c

A.6B.5C.4D.3

答案A

解析Vtzsin^—Z?sin5=4csinC,

???由正弦定理得〃2—"=牝2,

即a*2=4c2+b2.

由余弦定理得

(4c2+62)

COS71

2bc2bc

__3c2__1

2bc4,

2.(2023?天津模擬)已知△45。中，角4,B,。所對的邊分別是a,b,c,若(a+b—c)(b+c

+。）=3。6,且sinC=2sin5cos4,那么△45。是（）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.等邊三角形

D.等腰直角三角形

答案C

解析由（a+b—C）（6+C+Q）=3Q6,

得（q+b）2—c2=3ab,

整理得a2+b2—c2=ab,

萬2

n?Q2+/J2—cab_1

貝1]cosC=--------------

lab2ab2’

因為C￡（0,7i）,所以。=；,

又由sinC=2sinBcosA及正弦定理得,

c=2b?-化簡得〃=b,

2bc

所以△A8C為等邊三角形.

3.（2023-長沙模擬）逢山開路，遇水架橋，我國摘取了一系列高速公路“世界之最”，鍛造出

中國路、中國橋等一張張閃亮的“中國名片”.如圖，一輛汽車在一條水平的高速公路上直

線行駛，在N,B,C三處測得道路一側(cè)山頂尸的仰角依次為30。，45°,60°,其中

BC=b（0<a〈3b）,則此山的高度為（）

A112ab(a+b)

'2V3b-a

1l5ab(a-\-b)6ab(a-\-b)

'2\l3b—aD.

3b—a

答案D

解析如圖，設(shè)點尸在地面上的正投影為點。，則

ZJR4O=30°,N尸50=45。，ZPCO=60°,

設(shè)山高PO=〃，則40=3〃，BO=h,CO=Z

3

由題意知，cosAABO=—cosZCBO,

即次十〃2—3后「尻+序—；

2ah2bh

整理得h2=3ab(a+b),

2(3—a)

所以〃=

4.(2023?蘭州模擬)在△/8C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知°=3，c—1,(b

—2c)cosA=acos(A+C),則角。等于()

A.-B-C.-D—

43612

答案C

解析因為(b—2c)cosA=acos(A+Q,

所以由正弦定理得(sinB—2sinQcosA=sinAcos(A+C),

因為cos(4+C)=-cos'

所以(sin2sinQcos4=一sin/cosB,

即sinAcos5+sinBcos24=2sinCeosA,

所以sin(/+5)=sinC=2sinCeosAf

又C￡(0,兀)，所以sinOO,

所以cos4=1,

2

又/e（o,兀），所以/=；,

又a=Mc=l,

由正弦定理得q=。，

sinAsinC

所以sinC='sin/=4義追=1,

aW22

所以C=f或干，

66

由c<a得C</,所以C=2

6

5.（多選X2023?永州模擬）在△A3C中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為,b,c,下列說法中正

確的是（）

A.若△/2C為銳角三角形且/>3,則sin/>cos3

B.若sin2/=sin23,則△/8C為等腰三角形

C.若/>8,貝！Jsin/>sin8

D.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的△NBC有兩個

答案AC

解析若△4BC為銳角三角形，則/e（°'J,Bet0,J,

2

即A￡—B,

2

???MdI3

2

僅-3〕

貝!Jsin4>sin（2J=cos5,A正確；

sin2Z=sin2B,貝I2A=2B或2/+25=冗，

即A=B或4+5="，

2

為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；

■:A>B6a>b,

根據(jù)正弦定理Q=2RsinZ,b=2RsinB,

A>B^a>b^2RsinA>2RsinBBsinZ>sinB,C正確；

b2=a2+c2-26zccosB,

即Z>2=82+102-2X8X10X-=84,

2

即6=2亞，

符合條件的△48C只有一個，D錯誤.

6.（多選）在△ZBC中，。在線段43上，且/。=5,BD=3,若CB=2CD,cos/CDB=-1,

則（）

3

A.sin/CAD=』

10

B.△/BC的面積為8

C.△/BC的周長為8+4布

D.△NBC為鈍角三角形

答案BCD

卡

解析因為cos/CDB=------,

5

所以sinZCDB=1~cos2ZCDB=

CBCD

又由正弦定理得一

sinZCDBsinZCBD9

所以sin/C8O=：,故A錯誤;

設(shè)CD=a,則3c=2a,在△BCD中，由余弦定理，得BC=CD2+BD2-2BDCDCOS/CDB,

即4a』°2+9—2X3XaX15J,

解得a=^5,

所以SADBC=-BD-CDsinZCDB=-X3X\[5X^=3,

225

所以S/^ABC=-----S^DBC=8,故B正確；

3

因為NADC=n—NCDB,

所以cosZADC=COS(71-ZCDB)

卡

=-cos/CDB=-^,

2

在△4DC中，由余弦定理得4c=4C>2+CD2—24C).QC.COSN4DC,

即NC2=25+(七>一2*5*君義：，

解得

所以&4BC的周長為AB+AC+BC

=3+5+245+2示=8+4{5,故C正確；

因為48=8為最大邊，

BC^+AC^-AB2

所以cosAACB—<0,

2BC-AC5

BPZACB為鈍角,

所以△A8C為鈍角三角形，故D正確.

7.（2023?全國甲卷）在△NBC中，ZBAC=60°,AB=2,BC=a,/A4c的角平分線交8c

于。，則/￡>=.

答案2

解析如圖所示，記/B=c=2,AC=b,BC=a=y[6.

方法一在△NBC中，由余弦定理可得,

a2=b2-\~c2—2bccosXBAC,

即6=抉+22—2XbX2Xcos60°,

解得6=1+3(負值舍去)，

由S"5C=Sa"￡>+S44C￡)可得，

^X2X(1+3)Xsin60°=：X2XADXsin30°+：><(1+3)XADXsin30°,

解得/。=2.

方法二在△48C中，由余弦定理可得，°2=62+C2—26CCOS/A4C,

即6=〃+22—2X6X2Xcos60°,

解得6=1+3(負值舍去)，

由正弦定理可得」^=生8="一,

sin60°sinBsinC

的用.?+也.「A/2

斛付sinB=-------,sinC=一,

42

因為1+3>弋6>2,

所以C=45°,5=180o-60O-45o=75°,

又乙B4D=30。，

所以/NO8=75。，即/。=/8=2.

8.如圖，在三棱錐尸一/8C的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=^3>,AB±AC,ABLAD,

ZCA￡=30°,則cosZFCB=.

答案一]

4

解析在中，

"：ABLAD,AB=AD=\[3,

：.BD=y{6,：.FB=BD=\l6.

在中，?；4E=4D=@,AC=1,

ZCAE=30°,

.?.^C=^(A/3)2+12-2XAJ3X1XCOS30°=1,

：.CF=CE=1.

又：BC=yjAC^+AB2=J12+(A/3)2=2,

???在△尸C5中，由余弦定理的推論得

=CF+BO—FB2

cos/FCB

2CFBC

_F+22—(加)2__]

2X1X24

9.(2023?武漢模擬)在△45。中，。為邊5C上一點，/BAD=90。,/B=/DAC,12BD=

7AC.

(1)求tan25；

(2)若45=7,求△45。內(nèi)切圓的半徑.

解(1)設(shè)N5=NZUC=%

AZADC=90°+afZC=90°-2a,

在△4DC中，由正弦定理可得

4D=4c

sin(90°-2cc)$皿90。+。)’

17

在△45。中，AD=BDsina又AC=&BD,

f7

..BDsina=；BD

cos

2acosa

.\sinc(cosa=—cos2。,

7

112

.'.-sin2a=——cos2a,

27