2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析：計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷九-計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

一、選擇題

1.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名

組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）

2.將甲、乙等5名同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就

讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有（）

A.120種B.150種C.180種D.240種

3.在上x的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中好的系數(shù)

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記A=｛兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)｝,3=｛兩次的點(diǎn)數(shù)之

和為8｝,則尸（川A）=（）

122

A.—B.-C.—D.一

12933

5.已知服從正態(tài)分布N（〃,cr2）的隨機(jī)變量在區(qū)間〃+cr],（〃一2cr,〃+2cr]

和（〃-3cr,〃+3cr]內(nèi)取值的概率分別為68.26%,95.44%和99.74%.若某校高二年級(jí)

1000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N（90,15?）,則此次考試成績?cè)趨^(qū)間

（105,120]內(nèi)的學(xué)生大約有（）

A.477人B.136人C.341人D.131人

6.某工廠為了對(duì)研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試

銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)X

99.29.49.69.810

（元）

銷量"

1009493908578

（件）

預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從這種線性相關(guān)關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是5

元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為（）

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（九（x2,y2）,???,（光“,為），其回歸直線y=+a的

'/一時(shí)

斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為g=號(hào)---------，a^y-bx.參考數(shù)據(jù):

%2-nx—2

EZ=1

66

E^=5116,/=o.7.

i=\z=l

A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元

7.某高中為了積極響應(yīng)國家“陽光體育運(yùn)動(dòng)”的號(hào)召，調(diào)查該校3000名學(xué)生每周平均

體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的情況，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)學(xué)生中按照4:3:3的比例進(jìn)行分層

隨機(jī)抽樣,收集了300名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位:小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理后得到如

圖所示的頻率分布直方圖.下列說法不正確的是（）

A頻率

組距

0.150

0.125

0.100

0.075

0.025

O

運(yùn)動(dòng)時(shí)長（小時(shí)）

A.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長為5.8小時(shí)

B.估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不足4小時(shí)的人數(shù)為300

C.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的百分比為10%

D.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的人數(shù)為600

8.甲、乙、丙三人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽，若甲、乙、丙三人能榮獲

一等獎(jiǎng)的概率分別為上，--且三人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這三人中至少

234

有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為（）

7JI17

A.14B.—C.—D.—

242424

二、多項(xiàng)選擇題

9.我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推動(dòng)復(fù)工復(fù)產(chǎn),下面是某地連續(xù)11天

的復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖.

.%

%

%

%

%

%

%

%

根據(jù)該折線圖，（）

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.在這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3天至第11天，復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過80%

D.第9天至第11天，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

/jY

10.已知x-----7=（”eN*）的展開式中共有7項(xiàng)，則該二項(xiàng)展開式中（）

、2ylx）

A所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)D,有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

11.紅、黃、藍(lán)被稱為三原色，選取任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色,已知同

一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色，等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫

色，等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色,現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)顏料各2瓶，甲同學(xué)從6瓶中任取

2瓶顏料，乙同學(xué)再從余下的4瓶中任取2瓶顏料，兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配，力表示事

件''甲同學(xué)調(diào)配出紅色”，6表示事件“甲同學(xué)調(diào)配出綠色”，。表示事件“乙同學(xué)調(diào)配

出紫色”，則下列說法正確的是()

A.P(A)=B.P(C|A)=|

4__

C.P(BC)=—D.事件6與事件。相互獨(dú)立

45

三、填空題

12.一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)

字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”(如213,134等)字a,仇ce{l,2,3,4},且

a,b,c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是.

13.已知隨機(jī)變量X有三個(gè)不同的取值，分別是0,1,X,其中xe(O,l),又

P(X=O)=-,P(X=1)=~,則隨機(jī)變量X方差的最小值為________.

44

14.將8張連號(hào)的門票分給5個(gè)家庭，甲家庭需要3張連號(hào)的門票，乙家庭需要2張

連號(hào)的門票，剩余的3張門票隨機(jī)分給其余的3個(gè)家庭，并且甲、乙兩個(gè)家庭不能連

排在一起(甲、乙兩個(gè)家庭內(nèi)部成員的順序不予考慮)，則這8張門票不同的分配方法

有種.

四、解答題

15.為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班40名學(xué)

生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.

根據(jù)直方圖所提供的信息:

⑴用分層抽樣的方法在［20,25）和［25,30］中共抽取6人成立學(xué)習(xí)小組,再從該小組派3

人接受檢測，求檢測的3人來自同一區(qū)間的概率;

⑵估計(jì)這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的25%分位數(shù)?

16.2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公

布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動(dòng)開通珠峰峰頂5G,有助于測量信號(hào)的實(shí)時(shí)開

通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號(hào)覆蓋的可能性，在

持續(xù)高風(fēng)速下5G信號(hào)的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡易設(shè)備傳輸視頻信號(hào)的可能

性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價(jià)值體系的理想是為人類服務(wù)有人曾

問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告訴全世

界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆

性的變革，某k公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公

司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所

示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.

收入y/百萬元

為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)

于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出，關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司7月

份的5G經(jīng)濟(jì)收入.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）

（3）從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過20百萬元的個(gè)數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：

之6(%-無A66

￡(%一元)(%一歷^(x,.-%)(?,.-E2.66

XyuDe"?C

z-1i=l21

3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30

其中，設(shè)M=lny,uj(Z=1,2,3,4,5,6).

參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（%,匕）（2=1,2,3,,n），其回歸直線

v=px+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為2=i=l

?(陽-元)

Z=1

a=v-jBx

17.衛(wèi)生紙主要供人們生活日常衛(wèi)生之用，是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一.某

品牌衛(wèi)生紙生產(chǎn)廠家為保證產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)

抽取500件進(jìn)行品質(zhì)鑒定，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：

合格品優(yōu)等品

甲生產(chǎn)線250250

乙生產(chǎn)線300200

（1）判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)；

（2）用頻率近似為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件進(jìn)行詳細(xì)

檢測，記抽取的產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：K2=-_〃叫*__其中ua+Hc+d

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

0.100.050.0250.0100.001

k。2.7069.8415.0246.63510,828

18.毒品是人類的公敵，禁毒是社會(huì)的責(zé)任，當(dāng)前寧德市正在創(chuàng)建全國禁毒示范

城市，我市組織學(xué)生參加禁毒知識(shí)競賽,為了解學(xué)生對(duì)禁毒有關(guān)知識(shí)的掌握情況,

采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了500名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，成績?nèi)糠植荚?5?145分之

間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求頻率分布直方圖中。的值;

（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為這次全市學(xué)生的競賽成績X近似服從正態(tài)分布

N（〃Q2）,其中〃為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表

）,。=13.現(xiàn)從全市所有參賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成

績超過135.2分的人數(shù)為匕求隨機(jī)變量7的期望.（結(jié)果精確到0.01）；

（3）全市組織各校知識(shí)競賽成績優(yōu)秀的同學(xué)參加總決賽，總決賽采用闖關(guān)的形

式進(jìn)行，共有20個(gè)關(guān)卡，每個(gè)關(guān)卡的難度由計(jì)算機(jī)根據(jù)選手上一關(guān)卡的完成情

況進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整，第二關(guān)開始，若前一關(guān)未通過，則其通過本關(guān)的概率為工；若

2

前一關(guān)通過，則本關(guān)通過的概率為工，已知甲同學(xué)第一關(guān)通過的概率為工，記甲

33

同學(xué)通過第〃關(guān)的概率為《，請(qǐng)寫出￡的表達(dá)式，并求出匕的最大值.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),則P(〃一cr<XW〃+cr)k0.6827,

P[jU-2a<X<//+2cr)?0.9545,P(〃-3cr<X<//+3cr)?0.9973.

19.籃球運(yùn)動(dòng)是在1891年由美國馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會(huì)訓(xùn)練學(xué)校體育

教師詹姆士?奈史密斯博士，借鑒其他球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)發(fā)明的.起初，他將兩只桃籃釘

在健身房內(nèi)看臺(tái)的欄桿上，桃籃上沿離地面約3.05米，用足球作為比賽工具，任何一

方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少?zèng)Q定

比賽勝負(fù).在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球比賽，后來籃球界就將此日

定為國際籃球日.甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一

方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進(jìn)球

的概率分別是L和"，且每人、每次進(jìn)球與否都互不影響.

2

(1)若p=求在進(jìn)行一輪比賽后甲比乙多投進(jìn)2球的概率；

3

(2)若且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少

2—3

要超甲2個(gè)球，求：

①設(shè)事件C表示乙每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，求P(C)；(結(jié)果用含。的式子表示)

②從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽?

參考答案與詳細(xì)解析

一、選擇題

1.答案：D

解析：依題意，用A，4表示高一的2名學(xué)生，耳，當(dāng)表示高二的2名學(xué)生，則從

4名學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生的選法有（4,4），（4，4），（4,4）,（4，4），

（4,4）,（4心），共6種，其中2名學(xué)生來自不同年級(jí)的選法有（本4），

49

（《耳），（A,男），（4，后），共4種，所以所求概率尸,故選D.

63

2.答案：B

解析：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析:

①先將甲、乙等5名同學(xué)分成3組:

dC2c2

若分成1,2,2的3組，則有=15（種）方法;

A；

de4C3

若分成1,1,3的3組，則有上止白=10（種）方法,

8

故將5人分成3組，每組至少有1人，有15+10=25（種）分組方法.

②將分好的3組對(duì)應(yīng)三所大學(xué)，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有

25A；=150（種）.

3.答案：C

解析：依題意知第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以一共是9項(xiàng)，所以〃=8,二項(xiàng)式展開

項(xiàng)的通項(xiàng)公式為4+1=q]—x丐，令4+1=6,得廠=4,所

以/的系數(shù)為cj-=?.故選C.

4.答案：B

解析：易知P(MA)=趙也，其中表示“兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，且兩次的點(diǎn)數(shù)之

,(A)

和為8”，共有兩種情況，即(3,5),(5,3),故“(43)=2.而〃(人)=€：；?(4=9,所以

「出用=*/故選B

5.答案：B

解析：根據(jù)題意,

尸(60<X<120)—尸(75<X<105)_0.9544-0.6826

P(105<X<120)=————U.13DV

則1000x0.1359=135.9?136,

故此次考試成績?cè)趨^(qū)間(105,120]內(nèi)的學(xué)生大約有136人.

故選：B.

6.答案：B

解析：由題意，得元=,義(9+9.2+9.4+9.6+9.8+10)=9.5,

y=-x(100+94+93+90+85+78)=90,

6

孫5116—6x9.5x90_

U-7———20,

24一20.7

〉3-6x

；=i

a=90+9.5x20=280,貝U，=-20x+280.

設(shè)工廠獲得利潤/元，則L=(x—5)(—20x+280)=—20(x—9.5y+405,

當(dāng)x=9.5時(shí)，/取得最大值.

所以當(dāng)單價(jià)定為9.5元時(shí)，工廠獲得最大利潤，故選B.

7.答案：C

解析：對(duì)于A估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長為

1x0.05+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15+11x0.05=5.8(小時(shí))，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,該校高一年級(jí)的總?cè)藬?shù)為3000x—--=1200,由題中頻率分布直方圖可知，

4+3+3

該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不足4小時(shí)的頻率為(0.025+0.1)x2=0.25，

所以估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不足4小時(shí)的人數(shù)為

1200x0.25=300，

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的百分比為

(0.075+0.025)義2*100%=20%,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長不少于8小時(shí)的人數(shù)為3000x20%=600,

故選項(xiàng)D正確.

故選：C.

8.答案：D

173

解析：設(shè)甲、乙、丙獲得一等獎(jiǎng)的概率分別是P網(wǎng)=3，P（B）=j,P（C）=j,

則不獲一等獎(jiǎng)的概率分別是P（A）=1-1=1,P（B）=l-|=j,

1）44

則這三人中恰有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為：

P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=P（A）P（JB）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（JB）P（C）

12311312111

二——X—X——I——X—X——I——X—x——二——,

23423423424

173

這三人都獲得一等獎(jiǎng)的概率為P（ABC）=P（A）P（3）尸（乃二萬乂丁,二

4

所以這三人中至少有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率「=口+’=?.

24424

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.答案：CD

解析：由題圖可知第8,9天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均減小，故A錯(cuò)誤；第1天時(shí)復(fù)工指

數(shù)小于復(fù)產(chǎn)指數(shù)，第11天時(shí)兩指數(shù)相等，故復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故

B錯(cuò)誤；由題圖可知第3天至第11天，復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過80%,故C正確；第9

天至第11天，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確.

10.答案:ACD

解析：由題意知〃=6,則X+的展開式的通項(xiàng)為

6

3c產(chǎn)=G產(chǎn)--2（r=0,l,2,-,6）.

對(duì)于A,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2$=64,故A正確;

對(duì)于B,令x=l,得+，因此所有項(xiàng)的系數(shù)和為［g］，不為1，故B錯(cuò)

誤；

(1y

對(duì)于C,由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可知％+—廠的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最

大，為C：=20,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)6-即/'=0,2,4,6時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，共有4項(xiàng)，故D正確.

2

故選ACD.

11.答案：AC

解析：從6瓶中任取2瓶顏料的方法數(shù)為或.

對(duì)于A,4表示事件“甲同學(xué)調(diào)配出紅色”，若調(diào)出紅色，需要2瓶顏料均為紅色，有

C；種方法，貝UP(A)=C1=L,故A正確；

C：15

對(duì)于B,事件/發(fā)生需要2瓶顏料均為紅色，事件。發(fā)生需要1瓶紅色顏料和1瓶藍(lán)

色顏料，

在事件/發(fā)生的條件下，事件。不可能發(fā)生，所以P(C|A)=0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若事件6發(fā)生，則甲同學(xué)取出1瓶黃色顏料和1瓶藍(lán)色顏料，則

1

玫8)=上c'c牛=上4，此時(shí)還剩1瓶黃色顏料和1瓶藍(lán)色顏料，2瓶紅色顏料，則

或15

C11414

P(CB)=W=L^P(BC)=P(B)XP(C|B)=—x-=—,故c正確；

C^4315345

對(duì)于D,若事件C發(fā)生，則乙取了1瓶紅色顏料和1瓶藍(lán)色顏料，甲同學(xué)取了至少1

瓶黃色顏料或甲同學(xué)取了一瓶紅色顏料和一瓶藍(lán)色顏料，則

P(C)=BGc；+c；c；c；+c；c；=百=Ax±P(jBC)=±事件

CG15151545

6與事件。不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選AC.

三、填空題

12.答案：-

2

解析：由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321,共6個(gè)；

同理，由1,2,4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，由1,3,4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，

由2,3,4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，共有24個(gè)三位自然數(shù).由1,2,3或1,3,4

組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個(gè),所以這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率

242

13.答案：工

8

解析：由P(X=O)j…得P(X=x)j所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期

2x+1

望石(X)=V-,則方差

1(2%-3?1(2x-l?11

D(X)=X—+-----------X—+----------X—=——X.當(dāng)x=

4(4j4(4j2162

時(shí)，D(X)取到最小值：，故答案為:

OO

14.答案：72

解析：設(shè)8張門票的編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8.

若甲選123,則乙可以是56,67,78共3種，此時(shí)共有3A：=18種;

若甲選234,則乙可以是67,78共2種，此時(shí)共有2A；=12種；

若甲選345,則乙可以是78共1種，此時(shí)共有A；=6種；

若甲選456,則乙可以是12共1種，此時(shí)共有A；=6種;

若甲選567,則乙可以是12,23共2種，此時(shí)共有2A；=12種；

若甲選678,則乙可以是12,23,34共3種，此時(shí)共有3A；=18種.

綜上所述，不同的分配方法有18+12+6+6+12+18=72種.

四、解答題

15.答案：（1）1;

5

（2）8.75小時(shí).

解析：⑴由圖可知,40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在［20,25）的人數(shù)為003x5x40=6人

周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在［25,30］的人數(shù)為0.015x5x40=3人，

從中用分層抽樣抽取6人則周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在［20,25）的有4人，記為ABCR

周末的學(xué)習(xí)時(shí)間在［25,30］的有2人記為ah

則再從中選派3人接受檢測的基本事件有ABC,ABDABa，ABb<AC。，ACa，ACb，

ADa?ADb.Aab，BCD,BCa，BCb，BDa，BDb，BabCDa，CDbCab-Dab共有2°

個(gè)，

其中檢測的3人來自同一區(qū)間的基本事件有ABC，ABD，AC。，BCD共有4個(gè)，

所以檢測的3人來自同一區(qū)間的概率尸=&=」；

205

（2）學(xué)習(xí)時(shí)間在5小時(shí)以下的頻率為0.02x5=0.1<0.25，

學(xué)習(xí)時(shí)間在10小時(shí)以下的頻率為Q1+0.04X5=0.3>0.25，

所以25%分位數(shù)在區(qū)間［5,10）內(nèi),

則5+5、篙小75,

所以這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的25%分位數(shù)為8.75小時(shí).

16.答案：（1）丁二八/工更適宜

（2）夕=產(chǎn)2+。38，，65.35百萬元

（3）分布列見解析，1

解析：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=ce也更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入"關(guān)于月份x的回歸方

程類型；

（2）因?yàn)?gt;=ce&，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lny=lnc+dx，設(shè)M=lny,所以

6

三）（4一口

u=\nc+dx>因?yàn)樵?3.50，w=2.85-所以d=-----------------=7v^“0.380,

Z（x,.-x）217.70

Z=1

所以Inc=萬一右"2.85—0.380x3.50=L52-

所以6=1.52+0.38*即Ing=1.52+0.38龍，所以$=

令X=7，得9=/52+°38、7=eL52xeZ66土4.57x14.30a65.35,

故預(yù)測該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入大約為65.35百萬元.

（3）前6個(gè)月的收入中，收入超過20百萬元的有3個(gè)，所以X的取值為0,1,2,

C21CD3C21

P(X=°)=e=5,依X=D=-^=丁P(X=2)=#=5,

~6^6

所以X的分布列為:

X012

17.答案：（1）沒有;

Q

（2）分布列見解析，-

5

解析：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下:

合格品優(yōu)等品總計(jì)

甲生產(chǎn)

250250500

線

乙生產(chǎn)

300200500

線

總計(jì)5504501000

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

犬2_1000x(250x200-250x300)2

?10.101<10.828

'—550x450x500x500

所以沒有99.9%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān).

（2）由題意，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取優(yōu)等品的頻率為變

5002

乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取優(yōu)等品的頻率為迎=2,

5005

所以估計(jì)從甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取優(yōu)等品的概率分別為工，工

25

由題意隨機(jī)變量X的所有可能取值是0,1,2,3,4,

233

P(X=1)=C；x—x—=一

5510

32

p(X=2)=xC；X—x—+

現(xiàn)1評(píng)上55SHIM

P（X=3）心電令二

P（X=4）=[jx（|[=:，

故X的分布列為:

X01234

9337j_1

p

Too10Too525

—+lx—+2x—+3x-+4x—=-

'7100101003255

18.答案：(1)0.012；

(2)0.23；

=+

（3）pnf,A的最大值為：?

解析：（1）由頻率分布直方圖，得10義（0.005+。+0.019+0.03+0.02+。+0.002）=1,