2025屆廣東省高三畢業(yè)班調(diào)研考試（一）數(shù)學(xué)模擬試卷（含解析）

2025屆廣東省高三畢業(yè)班調(diào)研考試（一）數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合2=｛》62]》2-8》+1540｝,8=｛劉》＜5｝,則（）

A.{3}B.{3,4}C.{4,5}D.{3,4,5)

z,

2.已知Z],Z2是兩個(gè)虛數(shù)，則"Z],Z2均為純虛數(shù)”是“‘為實(shí)數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知方和行的夾角為150%且忖=2，W=6,貝加3+2到石=（）

A.-9B.-3C.3D.9

iC.2ecos^2cr+=()

4.已知sina+--sincr=-,則

I3j3

5115

A.----B.----C.—D.一

9999

5.已知等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，4=一.記HE分別為數(shù)列｛4｝,｛"｝的前〃項(xiàng)和,

an

若a2-axa3,S3+T3=12,則Sn=（）

B.#—)

A.4"T-1

C—(4"-1)D.4"-2

,12V)

6.已知體積為兀的球。與正四棱錐的底面和4個(gè)側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長

為473.則該正四棱錐體積值是（)

C96eD.8哈

A.B.436

3

7.斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定

義：設(shè)｛%｝為斐波那契數(shù)列，%=1,%=1，。”其通項(xiàng)公式為

1小+石丫fi-^Y

，設(shè)〃是log2[(1+石)[<x+4的正整數(shù)解,

則〃的最大值為()

A.5B.6C.7D.8

8,函數(shù)/(x)=lnx與函數(shù)g(x)=/ra?+萬有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則加的取值范圍是()

A[TB.[一/[c/0,j]D.1J

二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.現(xiàn)有十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(再,0),(%,0)「一,(再0,0),它們分別與

(乂』0),(取/0)「一,(凹010)關(guān)于點(diǎn)(3,5)對稱.已知藥，々，…，%的平均數(shù)為。，中位數(shù)為

b,方差為c,極差為d,則%…,必。這組數(shù)滿足()

A.平均數(shù)為6-aB.中位數(shù)為6-b

C.方差為cD,極差為d

10.設(shè)馬/2/3是非零復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是()

2—2

A.Z]=Z]

B.k+Z21Tzl|+團(tuán)

C.若匕―2—2i|=2,則歸+l—6i|的最小值為3

D.若22+i|+匕2-i|=4，則匕21的最小值為

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象連續(xù)不間斷，當(dāng)x?0,/(e+x)-e/'(e-x)=0,且

當(dāng)％>0時(shí)，/'(e+x)+/'(e—x)>0,則下列說法正確的是。

A./(e)=0

B./(工)在(73)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

C.若再<々，/(再)>/(x2)>則X]+%<2e

D.若西,》2是g(x)=/(x)+(x—e)2—2在(o,2e)內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，S.xx<x2,則

三、填空題：本題共3題，每小題5分，共15分.

12.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為=2,公差[=3,求第10項(xiàng)內(nèi)。的值為

/\5c43?6Z5++6Z,

13.若（x+2）=a5x+aAx+a3x+a2x+a{x+aQ,貝?。?---------

^^4II

14.如圖，在矩形48CD中,[48|=8,忸。=6,瓦/6〃,分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，點(diǎn)0

在直線77F上，點(diǎn)N在直線8c上，OQ=kOH,CN=kCF,k&R，直線與直線GN相

交于點(diǎn)尺，則點(diǎn)五的軌跡方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在△ABC中，角4AC的對邊分別為a,6,c,已知

cos2S-cos2/=2sin2C-2sinSsinC

(1)求A;

(2)若6=2,c=3,P,。分別為邊a,6上的中點(diǎn)，G為V48c的重心，求ZPGQ

的余弦值.

16.設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為卜當(dāng),0),(也,0).直線Z/f,AFf相交于點(diǎn)〃，且它們的斜

率之積是-設(shè)點(diǎn)〃的軌跡方程為C.

3

(1)求C;

(2)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與曲線C相交于￡、廠兩點(diǎn)，且直線/￡與直線/尸的斜率之積是

求證：直線/恒過定點(diǎn).

3

17.如圖所示，四邊形4BCQ是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，ZC是圓柱的底面直徑，尸。是圓

柱的母線，￡是2。與8。的交點(diǎn)，AB=AD,NBAD=60°,AC=8.

(1)記圓柱的體積為匕，四棱錐尸-4BCD的體積為匕，求首；

(2)設(shè)點(diǎn)廠在線段N尸上，且存在一個(gè)正整數(shù)左，使得P4=kPE,PC=kCE,若已知平

面/C￡)與平面尸CD的夾角的正弦值為史，求左的值.

13

18已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx,

(1)已知函數(shù)/(x)=(x—l)lnx的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線％=—1對稱，試求

g(x)；

(2)證明/(x)20；

(3)設(shè)為是/(x)=x+l的根，則證明：曲線y=lnx在點(diǎn)/(%0，1叫))處的切線也是曲線

y=9的切線.

19.如果函數(shù)/(久)的導(dǎo)數(shù)為嚴(yán)(x)=/(x),可記為I/(x)改=廠(力，若f(x)>Q,貝ij

b

，(x)dx=E0)—尸(a)表示曲線y=/Q),直線x=a,x=6以及x軸圍成的“曲邊梯形”

a

2

的面積.如：i2xdx=x2+C，其中C為常數(shù)；J2xdx=(22+C)—(0+。)=4,則表

0

x=0,x=2,y=2x及x軸圍成圖形面積為4.

(1)若/(x)=f(ex+l)dx,"0)=2,求/(x)的表達(dá)式；

(2)求曲線與直線y=—x+6所圍成圖形的面積；

(3)若/(x)=e'-l-2mx,xe[0,+oo),其中meR,對Va,be[0,+oo),若a>b,

ab

都滿足J7(x)dx>J/(x)dx,求加的取值范圍.

00

2025屆廣東省高三畢業(yè)班調(diào)研考試（一）數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

[已知集合幺=“€2|》2-8》+1540},8={刈》<5},則（）

A.{3}B.{3,4}C.{4,5}D.{3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】先解不等式求得集合A,進(jìn)而求得4c8.

【詳解】集合4={xeZ|x2-8x+i5W0}={xeZ|（x—3Xx—5）W0}={3,4,5}.

而3={x|x<5},故NcB={3,4}.

故選：B

2.已知z「Z2是兩個(gè)虛數(shù)，則“Z-Z2均為純虛數(shù)”是"3"為實(shí)數(shù)”的（）

Z2

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

z,z,1+iI

【分析】設(shè)Z]=歷/2=ci（b,ceR且"c/0）,可得」eR,如一=可得結(jié)論.

z2z22+212

【詳解】若馬/2均為純虛數(shù)，設(shè)為=歷0=ci（6,c￡R且仇。。0）,

z.b\bz.

則」=—=—eR，所以“4,Z2均為純虛數(shù)”是，是實(shí)數(shù)的充分條件，

z2ClCI"z2

Z[1+i1

當(dāng)4=1+1,z0=2+21,——=------二—,

12

z22+2i2

所以“4,z2均為純虛數(shù)”是—是實(shí)數(shù)的不必要條件，

綜上所述：“Z],z2均為純虛數(shù)”是—是實(shí)數(shù)的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知]和B的夾角為150且同=2，W=6貝地+2孫3=()

A.-9B.—3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】(5+23)4=萬石+2w2

=|a|-|S|-cosl500+2|^|

=2-V3-^-^+2-(V3)2=3

故選：C

【答案】B

【解析】

【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡求值可得答案.

【詳解】由題干得—=sinfcr+—1-sina=—sin6f+cosa-sin6z

=——cosa——sma=cos

所以cos=2cos—l=2x—1=一

故選：B.

5.已知等比數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，〃=一.記S“￡分別為數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項(xiàng)和，若

。2=。&4+4=12,則S"=()

A.L—1B.)

C.—D.4"-2

12v7

【答案】C

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解q的值，再由數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)一步判斷即可.

14

［詳解］a2=a1a3=>axq=1=>q=—，53+7^=12=>2^+3H—=12,

qq

則2q2_9g+4=(2g-l)(q_4)=0=>q］=g,%=4.

由于｛4｝為遞增數(shù)列，則q=4,%

所以｛斯｝的通項(xiàng)公式為4=4-2

-(1-4n

所以1

c=41__4n-ir

"1-412

故選：C.

6.已知體積為4JJ兀的球0與正四棱錐的底面和4個(gè)側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為4JL則

該正四棱錐體積值是（）

128G8073

B.43百C.9673

33

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)正四棱錐尸-48CZ）的內(nèi)切球的半徑為R,〃為底面中心，取CD的中點(diǎn)尸，設(shè)。點(diǎn)在側(cè)面

尸上的投影為。點(diǎn)，則0點(diǎn)在尸尸上，利用/OQS/EH求出球心到四棱錐頂點(diǎn)的距離力，再由棱

錐的體積公式計(jì)算可得答案.

【詳解】設(shè)正四棱錐尸-48CD的內(nèi)切球的半徑為7?,〃為底面中心，

由體積為4j§7T=§成3得R=6,

連接PH，9,平面48CZ）,球心。在陽■上，OH=R,

取CD的中點(diǎn)廠，連接HF,PF,設(shè)。點(diǎn)在側(cè)面PCD上的投影為。點(diǎn)，

則。點(diǎn)在P/上，且。0，尸在OQsjFH,

球心到四棱錐頂點(diǎn)的距離為力,

所以黑=黑,耳1上出.解得〃=拽

OQFH732V33

fir-,>|rr1?rr1.n：.rr8A/3128A/3

所以-=]S4BC°尸"=§X4J3X4J3x^—=---

故選：A.

P

7.斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)｛%｝

為斐波那契數(shù)列，4=1,電=1,%=a“T+%-2（〃?3.eN*）,其通項(xiàng)公式為

,設(shè)〃是logzRl+J^）”—（1—6）［＜x+4的正整數(shù)解，則〃的最大

值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

17

【分析】利用給定條件結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造%,（正X2:兩側(cè)同時(shí)平方求最值即可.

xx

【詳解】由題知”是log2[(1+V5)-(1-V5)]<x+4的正整數(shù)解,

故蚓(1+⑹"-(1-回[<〃+4,

即％<x24,

根據(jù)｛%｝是遞增數(shù)列可以得到｛噌｝也是遞增數(shù)列,

于是原不等式轉(zhuǎn)化為^<|X28<52.

而%=5,%=8可以得到滿足要求的”的最大值為5,故A正確.

故選：A

8.函數(shù)/(x)=lnx與函數(shù)=+,有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則小的取值范圍是()

2

A,K]B.[f壺[C./￡)

【答案】D

【解析】

,1

【分析】利用參變分離將函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為>=加和=2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),由

X2

導(dǎo)數(shù)求得以久)的單調(diào)性并求得最大值即可得出結(jié)論.

111,1

【詳解】由機(jī)/+—=〉得lwc~2^則問題轉(zhuǎn)化為加和

11n(xo)y=i(2的圖象有兩個(gè)交

2'7m-丁三、

x2

點(diǎn)，

而〃，(小士三).4，

1)(X2)/

令解得0Vx<e,令"(%)v0,解得x>e,

故h(x)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+力)單調(diào)遞減，則力(x)max=/z(e)=\

7

以%)大致圖象如下所示：

Mi

1________

2e?<:>

0丁ex

結(jié)合圖象可知，加的取值范圍是(0,」]

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.現(xiàn)有十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(無1，0),(“2個(gè))，…,(須。,0,它們分別與(必,10),(%,10),…,50,10)關(guān)于點(diǎn)

(3,5)對稱.已知西,馬,…,占0的平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,方差為c,極差為d,貝I必,必,…,必()這組數(shù)

滿足()

A,平均數(shù)為6-aB,中位數(shù)為6-b

C.方差為cD.極差為d

【答案】ABCD

【解析】

【分析】根據(jù)對稱知識可得％=6-Xj(ieZ,l〈iW10),結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的性質(zhì)，即可

判斷出答案.

【詳解】由于(xpO),(x2,O),---,(xlo,O),它們分別與(必,10),(%,10),…,(卅,10)關(guān)于點(diǎn)(3,5)對稱,

則有為+y.=6(zeZ,1<i<10),即有=6-xt(zeZ,1<z<10).

則由平均數(shù)的性質(zhì)可得外,%o這組數(shù)的平均數(shù)為6-a,

結(jié)合中位數(shù)性質(zhì)可知中位數(shù)為6-b,結(jié)合方差性質(zhì)可得方差為c,極差非負(fù)，所以極差為d.

故選：ABCD

10.設(shè)Z]/2，Z3是非零復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是()

A2—2

A.馬=%

B.[Z]+Z2|=|Z]|+"|

C.若|z「2_2i|=2,則k+1-6i|的最小值為3

D,若匕2+i|+匕2-i|=4，則匕21的最小值為

【答案】CD

【解析】

【分析】利用共輾復(fù)數(shù)的概念和加減運(yùn)算性質(zhì)判斷A,舉反例判斷B,利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)得到軌跡方程，結(jié)

合圓的性質(zhì)判斷C,利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)得到軌跡方程，結(jié)合橢圓的性質(zhì)判斷D即可.

【詳解】對于A.,設(shè)4=a+bi,則馬=a-Z?i,

所以z；=(a+bi)2=a2-b2+2abi,

=(a-bi)2=a1-b2-2abi,

----7

當(dāng)有1個(gè)為0或全為。時(shí)，z：=Z]，

當(dāng)a,6均不為0時(shí)，z；,芽無法比較大小，故A錯(cuò)誤，

對于B,當(dāng)z=i,z?=—i時(shí)，Z]+Z2=0,

此時(shí)|Z]+Z2|=O,團(tuán)+團(tuán)=2,

故卜+22|=團(tuán)+22|不成立,故B錯(cuò)誤,

對于C,設(shè)ZI=a+bi,因?yàn)樨?-2-2i|=2,所以|a+bi-2-2i|=2,

故有|a—2+(6—2)i|=2,可得(a-2)2+(6-2)2=4,

所以馬的軌跡是以(2,2)為圓心，2為半徑的圓，

而[z]+l_6i|=k+bi+l_6i|=|a+l+S_6)i|=J(a+l)2+S_6)2,

故忖+l—6i|表示點(diǎn)(a,b)到定點(diǎn)(-1,6)的距離，

由圓的性質(zhì)可知，匕1+1—6i|m,n=*J2)2+(6-2)2—2=3，故C正確，

對于D,設(shè)Z2=a+bi,所以"+i|=|a+bi+i|=|a+(6+l)i|=J/+3+1)2,

22

|z2-i|=|a+M-i|=|a+(6-l)i|=7?+(^-l)-

而匕2+4+同一i|=4,故Ja，+(6+1)?++(Z>—I)2=4>

所以得到點(diǎn)(a,?到兩定點(diǎn)(0,-1),(0,1)的距離之和為4,

故Z2的軌跡是以(0,-1),(0,1)為焦點(diǎn)的橢圓，

22

故軌跡方程為g-+1-=l,而匕2I表示(a,3到原點(diǎn)的距離，

由橢圓的幾何性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)B在橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，

㈤取得最小值，此時(shí)㈤=百,故匕zL=百，則D正確.

故選：CD.

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象連續(xù)不間斷，當(dāng)x",/(e+x)—9r(e—x)=0,且當(dāng)％>0時(shí),

/,(e+x)+/,(e-x)>0,則下列說法正確的是()

A./(e)=0

B./(x)在(-*e)上單調(diào)遞增，在(e,+co)上單調(diào)遞減

C,若再<9,/(芭)〉/(z)，則石+工2<26

</(%)

D.若西/2是g(x)=/(尤)+(x-e)2-2在(o,2e)內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn),且項(xiàng)</，則1

小)

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，令％=0,可求/(e)；B選項(xiàng)，對/(e+x)-^f(e-x)=0兩邊求導(dǎo)，結(jié)合

/'(e+x)+/'(e—x)>0得/'(e—x)<0,7,(e+x)>0,可判斷/(x)單調(diào)性；C選項(xiàng),為馬相的大

小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性，證明不等式；D選項(xiàng)，證明x1+x2<2e,利用函數(shù)單調(diào)性，證明

/(西)</(》2)且/(%)<^(巧)，可得結(jié)論.

【詳解】A選項(xiàng)，令％=0,則有/(e)—歹(e)=(l-e)/(e)=O,所以/'(e)=0,故A正確.

B選項(xiàng),對/(e+x)—y(e—x)=0兩邊求導(dǎo)，/,(e+x)+e/，,(e-x)=O,

所以/,(e+x)=-ef,(e-x),代入/,(e+x)+/,(e-x)>0,

得當(dāng)%>0時(shí),(l-e)/,(e-x)>0,所以/<e-x)<0.

又因?yàn)?'(e+x)+/'(e—x)>0,所以，/,(e+x)>0.

因此，當(dāng)x<e時(shí)，/,(x)<0,/(x)在(—*e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)工>e時(shí)，/'(x)>0,/(x)在(e,+8)上單調(diào)遞增.

故B錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，對再,々，e的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論：

①當(dāng)再<工246時(shí)，/(同在(-00,6)上單調(diào)遞減，所以/(七)〉/(%2)，顯然有玉+工2<26；

②當(dāng)6《再</時(shí)，/(x)在(e,+co)上單調(diào)遞增，不符合題意；

③當(dāng)國<6<》2時(shí)，當(dāng)x?0時(shí)，/(e+x)=ef(e-x).

令l=e+xe(e,+e),f(t)=ef(2e-t),/(xj>/(x2)=ef(2e-x2),

又因?yàn)?(x)2/(e)=0,所以/(Ze—/)〉。，

因此/(石)>/(%)=^(26—》2)>/(26—%)?

因?yàn)槭?lt;e,2e—X2<e,由/(x)的單調(diào)性得，x1+x2<2e.

故C正確.

D選項(xiàng)，因?yàn)間(0)=/(0)+e2—2>0,g(2e)=/(2e)+e2-2>0,g(e)=/(e)-2=-2<0,

所以0<石<e<x2<2e.

先證Xi+%2<2e,即證2。一再〉％2，即g(2e—xJ>0,

只需證f(2e—再)+(2e—xi—e)2—2>0,即證cf(玉)+(e—xj?—2>0.

22

事實(shí)上，ef(x1)+(e-x1)-2>/(x1)+(e-x1)-2=g(x1)=0,因此再+/<2e得證.

此時(shí)有

0<%<e<x2<2Q-XX<2e.

</(9)

因?yàn)?（再）=一（苞-6）2+2=-（26-演一6）2+2<-（%2—6尸+2=/（/），又/（%）#°，所以1

/(再)'

x)

因?yàn)?(%)</(2e—西)=^(須)，又/(xJwO,所以冗j<e.

y（x2）

綜上，1<\<e,故D正確

/（xj

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?/p>

題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）

值問題處理.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問

題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

三、填空題：本題共3題，每小題5分，共15分.

12.已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=2,公差d=3,求第10項(xiàng)可。的值為—

【答案】29

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】依題意%（）=%+9d=2+27=29.

故答案為：29

/\55439^^5+^^3+

13.若（X+2）=。5%+&%+〃3%+。2%+。11+〃0，貝U--------

^^4I2I

【答案唱

【解析】

【分析】利用賦值法令x=l,x=-1,聯(lián)立方程組求解即可.

【詳解】令X=l,得（1+2）-=243=%+。4+。3+。2+%+，

令x=—],得（―1+2）~=1=_。5+%_。3+%_"1+。0，

則丸竽3

2

（%+4+%+口。+%+旬）+（一a、+%一生+。2—%+%）243+1

且%+。2+a0122,

22

牝+%+/_121

故

氏+2+為122,

121

故答案為：——-

122

14.如圖，在矩形48。中，|48|=8,忸q=6,￡,E,G,%分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在直線印7上,

點(diǎn)N在直線8c上，0Q=kOH,CN=kCF,keR-直線￡0與直線GN相交于點(diǎn)R,則點(diǎn)穴的軌跡方

【解析】

【分析】以成所在直線為X軸，GE所在直線為N軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線￡0的方程與直線

GN的方程，聯(lián)立求解即可.

以4/所在直線為X軸，GE所在直線為N軸建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閨4同=8,忸C|=6,所以0（0,0）,/f（-4,0）,F（4,0）,￡（0,-3）,G（0,3）,C（4,3）,

所以麗=(—4,0)赤=(0,—3),玩=(4,3),又因?yàn)镺Q=kOH,CN=kCF,

所以麗=（-4左,0）,西=（0,-3左）,所以。（一優(yōu)0）,N（4,3-3人）.

3

因?yàn)椤辏?,—3）,0（—4左,0）,所以直線￡0的方程為j=--7x—3①,

4k

27

因?yàn)镚（0,3）,N（4,3—3左），所以直線GN的方程為y=-丁%+3②.

73x22

由①可得人一砧物xwO),代入②化簡可得——=1,(%^0),

916v7

結(jié)合圖象易知點(diǎn)R可到達(dá)G（0,3）,但不可到達(dá)￡（0,-3）,

22

所以點(diǎn)7?的軌跡方程為匕-土

916

故答案為：———=1,（y—3）

916八"'

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在△48C中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos28-cos2/=2sin2c-2sin8sinC

（1）求A;

（2）若6=2,c=3,P,。分別為邊a,b上的中點(diǎn)，G為△/5C的重心，求NPG。的余弦值.

7T

【答案】（1）-

3

“、17V133

266

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式將已知條件變形轉(zhuǎn)化，再根據(jù)正弦定理邊角互化，帶入到余弦定理即可求得;

（2）根據(jù)已知設(shè)AB=cJC=b'表達(dá)出為巨的，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

因?yàn)閏os28-cos2N=2sin2c-2sin8sinC，

所以(1_2sin25)-(l-2sin2^)=2sin2c-2sioSsinC,

即sin2A=sin25+sin2c-sinSsinC

由正弦定理得a-=c2+b2-bc,

1yr

由余弦定理得cos/=―,因?yàn)镹e(0,7t),N=—

2V'3

【小問2詳解】

設(shè)AB=c,AC=b-=忖?同cosN=2x3xg=3

依題意可得衣=g(B+U)，元=B—3麗=—U

所以融」VP+2^-c+c2=-V22+2x3+32=巫

1222

1p-6-c+c2；x4—3+9=g

AP.BQL(b^c^b-c

=^-b2--b-c--4_3_917

4424-4-2T

/”c~^BQ17V133

所以"。=^1=-

16.設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為卜百,0）,（百,0）.直線8H相交于點(diǎn)〃，且它們的斜率之積是

設(shè)點(diǎn)〃的軌跡方程為C.

（1）求C;

（2）不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與曲線C相交于￡、廠兩點(diǎn)，且直線4E與直線NF的斜率之積是-求證：

3

直線/恒過定點(diǎn).

2

【答案】（1）9+/=l（xW土百）

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（X/）,然后表示出直線/”,8〃的斜率，再由它們的斜率之積是-；，列

方程化簡可得點(diǎn)H的軌跡方程;

(2)設(shè)￡(X1J1),E(X2,%)，當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，求得直線/為x=0,當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線

2

1kx}x,+kb(x]+1

l:y=kx+b,由勺i般.=——得一?一廠J—」——二一二，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根

心“3再'2+13(玉+%2)+33

與系數(shù)的關(guān)系，代入上式化簡可得b2.-6kb=0,從而可求得直線恒過的定點(diǎn).

【小問1詳解】

設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(xj),因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是卜6刀)，

所以直線的斜率xw-,

x+V3'

同理，直線8〃r的斜率旗

x-y/3

,yy1/￡士百)，

由已知，有一'—r=，=—

X+A/3x—733

丫2

化簡，得點(diǎn)〃的軌跡方程為二+J/二=l(xw+V3j,

3

即點(diǎn)a的軌跡是除去(-Ao),(A0)兩點(diǎn)的橢圓.

【小問2詳解】

證明：設(shè)￡(再JJ,E(X2/2)

①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，可知Xj=x2,y2=-A

J-

且有3_

kAE-kAF=—左5--/=--

再+*\/33

解得西=0,必=±1,此時(shí)直線/為x=o,

②當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線l:y=kx+b,則此時(shí)有：

..V,V,(kx,+b](kx,+6)k2x,x.+kb(x,+x.}+b21

IJE'?AF~r-'r~~廠/、—\x+V3(%1+x)+33

X1+J3x2+V3陽X2+,3(項(xiàng)+%2)+3A22

y=kx+b

聯(lián)立直線方程與橢圓方程L2,,

—+V=1

13?

消去N可得：（3左一+1）x-+6祝＞x+3b-―3=0,

、-6kb3b2-3

x+x=

根據(jù)韋達(dá)定理可得：\2771—7，xxx2=

JK+13F+1

,23Z）—3.,—6kb.2

k————+kb——；——+b-

3k2+13左2+1

所以

3b2-3rr-6kb3

—7——+V3————+3

3左2+13儲5+1

左2（3〃一3）—6/〃+〃0公+i）1

所以

3/—3—66kb+3（3左2+1）3

尸_3左2

所以=-1

b2-2y5kb+3k2

所以的=0,則6=0或6=G左，

當(dāng)b=G左時(shí)，則直線/：了=左k+石）恒過A點(diǎn)與題意不符，舍去,

故6=0,直線/恒過原點(diǎn)（0,0）,

結(jié)合①，②可知，直線/恒過原點(diǎn)（0,0）,原命題得證.

7A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中直線過定點(diǎn)問

題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件求解，考查計(jì)算能

力，屬于較難題.

17.如圖所示，四邊形4SCZ）是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，NC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，E

是NC與BD的交點(diǎn)，AB=AD,/BAD=60°,AC=8.

(1)記圓柱的體積為匕，四棱錐尸-48。的體積為匕，求，；

(2)設(shè)點(diǎn)廠在線段4P上，且存在一個(gè)正整數(shù)左，使得P4=kPF,PC=kCE,若已知平面尸CO與平

面尸CD的夾角的正弦值為史，求上的值.

13

【答案】(1)6K

(2)k=4

【解析】

【分析】(1)利用圓柱以及棱錐的體積公式，即可求得答案.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間角的向量求法，結(jié)合平面廠與平面尸⑺的夾角

的正弦值，即可求得答案.

【小問1詳解】

在底面N8CZ)中，因?yàn)镹C是底面直徑，所以NABC=NADC=90,

又AB=AD,故△NC5g4CD,

所以N5ZC=NDAC=-ZBAD=30°,BC=CD=4,AB=AD=443.

2

因?yàn)镻C是圓柱的母線，所以尸C,面4SCQ,所以匕=7i(gzC)20C=16兀xPC,

K=1X2X-X^-5C-PC=-X2X-X4V3X4XPC=^^PC,

232323

因此g=S'兀；

【小問2詳解】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以而為x,z軸正方向，在底面4SCD內(nèi)過點(diǎn)C作平面P/C的垂直線為y軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

z、

因?yàn)锳B=AD,所以AABE咨AADE,

故/AEB=/AED=90°,

所以=AE=6,CE=AC—AE=2,PC=kCE=2k,

2

因此C（0,0,0）,^（8,0,0）,D（2,2A0）,P（0,0,2^）,CZ5=（2,2V3,0）,C?=（0,0,2^）,

PA=（8,0,-2k）,

因?yàn)镻A=kPF,所以=|,0,-2I

k\kJ

貝！]尸0,2左一2）,而=[,0,2左一2）

設(shè)平面FCD和平面PCD的法向量分別為H=(x1,j1,z1),m=(x2,j2,z2),

__kQ

n-CF=-x+（2k-2）z=0m-CP=2kz?=0

則有：《k1l

m-CD=2X2+2y/3y2=0

nCD=2x1+2y/3yl=0

取拓=|w（"~（^2—左1],應(yīng)=3,V3,oj,

設(shè)平面廠CO與平面PCD的夾角為，，則5由。=姮

13

|-左之+用

cos8=|cos玩詞=

所以有J(左2一左丫+12

整理得上2一左—12=0，左2—左+12=0(無解，舍),

由于左為正整數(shù)，解得左=4.

18.已知函數(shù)/(力=(》-1)欣，

(1)已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線％=—1對稱，試求g(x)；

(2)證明/(x)“；

⑶設(shè)為是/(x)=x+l的根，則證明：曲線>=hu在點(diǎn)2(%,欣0)處的切線也是曲線>=-的切線.

【答案】(1)g(x)=(-3-x)ln(-2-%),(%<-2).

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】⑴由/(T-x)=g(T+xJ,<g(-l+x)=(-2-x)ln(-l-x),再利用換元法求g(x)；

(2)分區(qū)間討論各因式的符號或利用導(dǎo)數(shù)證明；

(3)取曲線>=-上的一點(diǎn)8(x，e』)，設(shè)g(x)=hu在A處的切線即是力⑴=e"在8處的切線，證明

直線48的斜率等于g(x)=也在A處的切線斜率和力⑺=在8處的切線斜率即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x=—1對稱，所以/(-l-x)=g(-l+x).

又因?yàn)?(-1-x)=[(-1-X)-1-x)=(-2-1-x),

所以g(_l+x)=(_2-x)ln(_l_x),

令，=-1+x,貝Ix=/+l,

所以g(f)=[-2-(f+l)]ln[-1一(f+1)]=(-3-才)如(一2-/),

因此8(%)=(-3-》)111(-2-》),(》<-2).

【小問2詳解】

證明：

解法1：當(dāng)時(shí)，x-lzo且lnx>0,此時(shí)/(x)=(x-l)lnx>0；

當(dāng)0<x<l時(shí)，x—l<0且lnx<0,止匕時(shí)/(x)=(x—