2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（切線+單調(diào)性+構(gòu)造函數(shù)比大?。?類題型全歸納）（解析版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(切線+單調(diào)性+構(gòu)造函數(shù)比大小)

o------------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01“在”型切線問題........................................................................1

題型02“過”型切線...........................................................................3

題型03求曲線上點(diǎn)到直線距離最小值............................................................5

題型04公切線問題.............................................................................9

題型05求切線條數(shù)求參數(shù)......................................................................12

題型06已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)..................................................................16

題型07已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間.........................................................18

題型08已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)................................................................21

題型09構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)........................................................................23

題型10構(gòu)造可商函數(shù)..........................................................................27

?>-----------題型探析?明規(guī)律------------o

題型01“在”型切線問題

【解題規(guī)律?提分快招】

己加函薪白編標(biāo)五菽函戴73號x=/iS(x0,7(x0jj處而訪裝方程.

步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)/(X。)(方法：把X=X。代入原函數(shù)/(X)中)，切點(diǎn)(4,/(%)).

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'(x).

第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)(4,/(4)),切線斜率左=/'(4)。

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：J-/(x0)=/'(x0)(x-x0).

y

【典例1-1](24-25高三上?北京房山?階段練習(xí))曲線y=7「在點(diǎn)(U)處的切線方程為()

2x-l

A.x-y-2=0B.x+y-2-0C.x+4y-5=0D.x->-5=0

【答案】B

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、導(dǎo)數(shù)的乘除法

【分析】求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的意義求切線的斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；

2x-l-2x-1

【詳解】求導(dǎo)可得了'=

(21)2(2尤-1)21

所以切線的斜率為左=-1,

所以切線方程為＞T=-（xT），即x+y-2=0,

故選：B.

【典例1-2］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃力=￡產(chǎn)上，則曲線＞=〃x）在（0,1）處的切線與

兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.

【答案】|

O

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、直線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積問題、導(dǎo)數(shù)的乘除法

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)（0,1）處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求

得所求面積.

【詳解】因?yàn)?（》）=士孚

所以/'（無）=

+X

(e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)x0

則/'(0)==3,

所以該切線方程為y-l=3x,即歹=3x+l,

令x=0,貝!jy=l,令歹=0,則％=

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=；xlx￡

6

故答案為：—.

6

【變式1-1］（23-24高二下?北京?期中）曲線〃x）=e、（無2-x-l）在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程是.

【答案】y=-2x-l

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由斜截式求出切線方程.

r2

【詳解】因?yàn)椤?於12-x-1）,所以〃0）=-1,f'（x）=e（x+x-2）,

則八0）=-2,即切點(diǎn)為（0,-1）,切線的斜率為，'⑼=-2,

所以切線方程為N=-2x7.

故答案為：y=-2x-l

【變式1-2](23-24高三上?北京?階段練習(xí))曲線y=J=在點(diǎn)處的切線方程是.

【答案】4x+4y-5=0

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】y=y=,

所以曲線＞=G在點(diǎn)處的切線的斜率為一H

所以方程為＞-；=-1x-|J=4x+4y-5=0,

故答案為：4x+4y-5=0

題型02“過”型切線

【解題規(guī)律?提分快招】

已知：函數(shù)/(x)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)片(西,見)(無論該點(diǎn)是否在y=/(x)上)的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)4(%,%)

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'(/)；計(jì)算切線斜率左=上二物；

苞—與

第三步：令：左=/'(%)=旦/，解出/,代入左=/'(%)求斜率

x\~xo

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：V-%=/(％)(X-%).

一【羹祠11172024一嗇三公百再施云歹)一區(qū)面裝了二一最而二家而藐面(6萬丁而血而茯裒康加1由加

的三角形面積為()

2

eeee2

A。2(l+e)B-*2(e2+l)D-7T1

【答案】C

【知識點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，求得直線在乂y軸上的截距，即可得三角形的面積.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為伍,%)/'=1+',

則切線方程為了一%-lnx0=1l+￡,x-Xo）.

,切線過點(diǎn)=-%-1,

.,.皿=2,%=e2,二.切線方程為k（1+jjx+l,

z

故可得切線在乂y軸上的截距為-Je,1，

e~+1

e2

所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為力7元.

21e+1）

故選：C.

【典例1-2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)（0,-2）作曲線〃x）=lnx-2的切線，則切線方程為.

【答案】y=-x-2

e

【知識點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程、導(dǎo)數(shù)的加減法

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點(diǎn)代入切線求得參數(shù)，即可求解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為伉,1叫-2）,由〃x）=lnx-2得r（x）=1,

則切點(diǎn)處的切線，:丁一。11^-2）=一（工一%）,

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（0,-2）,所以1叫=1,解得x0=e,

所以切線方程為^_（_1）=：口_6）即y=：x_2.

故答案為：y=-x-2

e

【變式1-1］（2024高二?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)（3,0）作曲線/（x）=xex的兩條切線，切點(diǎn)分別為（再J（xJ）,

（X2,/（X2））,則尤］+無2=（）

A.-3B.-V3C.V3D.3

【答案】D

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、求過一點(diǎn)的切線方程、導(dǎo)數(shù)的乘除法

【分析】利用切線方程過定點(diǎn)來求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解.

【詳解】因?yàn)椤▁）=xe",所以/'（x）=（x+l）e，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為住6戶。），

所以/'（%）=50+1）物，所以切線方程為y-Xoe^=（毛+1）寸（%-/0）,

由切線方程過點(diǎn)（3,0）,則一楙*。=（/+：1）/。（3-工。），即（一只+3x0+3）e'。=0,

依題意得：關(guān)于毛的方程（-尤；+3%+3k'。=0有兩個不同的解孫X〉

即關(guān)于尤0的一元二次方程-焉+3/+3=0有兩個不同的解孫X],

所以西+x2=3.

故選：D.

【變式1-2](23-24高二下?江蘇淮安?期末)已知〃x)=x?+l,過點(diǎn)(2,〃?)作〃x)的切線，若切線斜率

為1,貝!1加=.

【答案】3

【知識點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程、己知切線(斜率)求參數(shù)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用

導(dǎo)數(shù)研究方程的根

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得(x0+l)e』=l,x0>-l,構(gòu)建g(x)=r(x),x>-l,結(jié)合單調(diào)

性可得無。=0,進(jìn)而可求切線方程，即可得〃?的值.

【詳解】因?yàn)?(x)=x?+l,M/,(x)=ex+xex=(x+l)e\

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x。,/-e'"+1),切線斜率后=+l)e*。,

由題意可知+=1,

顯然當(dāng)時，貝1]/+1406>0,

可得(無o+l)e%V0,不合題意，可知%>-1,

令g(x)=/<x),x>-l,則g〈x)=(x+2)e*>0,

可知g(x)在(T+8)內(nèi)單調(diào)遞增，Mg(0)=1,

所以關(guān)于％的方程(x°+l)e%=1的根為％=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),切線斜率左=1,則切線方程為V=x+1,

所以機(jī)=2+1=3.

故答案為：3.

題型03求曲線上點(diǎn)到直線距離最小值

【解題規(guī)律?提分快招】

莉用導(dǎo)教的冗柯熹義萊聶面荷頻丁莉再數(shù)舷磊俅麻樵方法解汰「面再方法福切繚法]

i

【典例1-1](2024高三?全國?專題練習(xí))已知直線，：y=2x+2與函數(shù)〃x)=ln(x+l),若直線〃“=-三+6

與直線/、曲線y=f(久)分別交于點(diǎn)4臺，則當(dāng)|/同取最小值時，b=.

【答案…2-:

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、已知切線（斜率）求參數(shù)

【分析】注意到直線/：y=2x+2與直線=+6相互垂直；把直線/平行移動到與曲線y=f（x）相切,

憾川最小，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解斜率得x°=-g,代入直線心即可求解.

【詳解】易知直線加與直線/垂直，

所以當(dāng)與直線/平行的直線y=2x+a與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)8時，|/卻取最小值，

由/（尤）=ln（x+l）,得/，（》）=士，

設(shè)3（%,%）,則/■'（%）=￡7=2,解得,

玉）+12

則為=0=?；+1]=-1112,所以-ln2）,

又切點(diǎn)B在直線機(jī)上，所以Tn2=[_；]x[_；]+6,貝IJ6=Tn2—

【典例1-2]（24-25高三上?湖北黃岡?階段練習(xí)）已知B,A分別為直線y=3x-3和曲線＞=2e、+x上的點(diǎn),

則必目的最小值為

【答案】叵

2

【知識點(diǎn)】已知切線（斜率）求參數(shù)、求點(diǎn)到直線的距離、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想可知直線N=3X+”與曲線y=2e，+x相切的切點(diǎn)到直線＞=3x-3的距離是最小

值，從而利用導(dǎo)數(shù)來求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)到直線的距離公式求出最小值即可.

【詳解】直線V=3x+m與曲線y=2e'+x相切于點(diǎn)/,

由題意M卻的最小值為切點(diǎn)/到直線V=3x-3的距離，如圖所示,

對y=2e*+x求導(dǎo)有y'—2e'+1,由；/=2ex+1=3可得x=0,即/（0,2）,

|3x0-2-3|710

故|/目的最小值為小心㈠）「丁.

故答案為：叵.

2

【變式1-1］（2022?山東聊城二模）實(shí)數(shù)占,工2,必，%滿足：q-比石-乃=0,x2-y2-4=0f則

（再一工2丁+（必一％丫的最小值為（）

A.0B.2-72C.4-72D.8

【答案】D

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、求點(diǎn)到直線的距離、導(dǎo)數(shù)的加減法

【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)表示距離公式可知（網(wǎng)-々y+（%的最小值轉(zhuǎn)化為>=公-1口必、〉0）上的點(diǎn)與

X-〉-4=0上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解.

【詳解】由4一111再一必=0,得必=工；一111再，又%-4=0,

22

:.（xl-x2）+（j^-y2）的最小值轉(zhuǎn)化為

y='2—inx（x〉0）上的點(diǎn)與％-歹-4=。上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，

由y=/一1口x,得；/=2x-L

x

與x-y-4=0平行的直線的斜率為1,

??-2x--=l,解得x=l或（舍），可得切點(diǎn)為（U）,

切點(diǎn)到直線X-V-4=0的距離的平方，即為（巧_工2）2+（%-%）2的最小值，

二.（X1-工2）2+（M一%）2的最小值為=8.

故選：D

【變式1-2］（24-25高二上?全國,課后作業(yè)）已知點(diǎn)P（x/）是曲線了=/上的一動點(diǎn)，則點(diǎn)P（xj）到直線

-4=0的距離的最小值為（）

V5R275r3#）n3

5555

【答案】C

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、求點(diǎn)到直線的距離

【分析】當(dāng)曲線在點(diǎn)P處的切線與已知直線平行時點(diǎn)P到該直線的距離最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)到直

線的距離公式計(jì)算即可求解.

（y=x2

【詳解】聯(lián)立；，c得-2x+4=0,則A=4-4X1X4=-12<0,

［2x-y-4=0

所以直線-4=0與曲線y=f不相交，

因此當(dāng)曲線在點(diǎn)P處的切線與直線2x-y-4=0平行時，點(diǎn)P到該直線的距離最小.

因?yàn)閂=2x,直線2x—>—4=0的斜率左=2,所以2x=2,解得x=l,則?（覃），

所以P（u）到直線2X-4=0的距離最小，最小值為d=J；2+（_I；2=于?

故選：C

【變式1-3］（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）已知43分別是曲線>和直線昨2x上的點(diǎn)，則|/卻

的最小值為.

【答案】

55

【知識點(diǎn)】已知切線（斜率）求參數(shù)、求點(diǎn)到直線的距離、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

【分析】平移直線>=2x與曲線y=lnx-L相切，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即得.

X

【詳解】平移直線y=2x與曲線y=相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（Qn/-1）,

由y=lnx-L,求導(dǎo)得j/=J_+4.,依題意1+3_=2,即2?-/-1=0,

XXXtt

而f>0,解得f=l,因此切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,

|2xl-(-l)|375

所以|/目的最小值為

#+(-1)2-5

故答案為：*

題型04公切線問題

【解題規(guī)律?提分快招】

公切線問題主要有以下3類題型

(1)求2個函數(shù)的公切線

解題方法：設(shè)2個切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線斜率相同得到3個相等的式子，聯(lián)立求解

(2)2個函數(shù)存在公切線，求參數(shù)范圍

解題方法：設(shè)2個切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題

(3)已知兩個函數(shù)之間公切線條數(shù)，求參數(shù)范圍

解題方法：設(shè)2個切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題

【典例1-11(2024高三?全國?專題練習(xí))已知曲線＞=lnx與曲線＞有唯一交點(diǎn)，且在交點(diǎn)處有

相同的切線，則。=()

3

A.2B.-C.1D.

22

【答案】D

【知識點(diǎn)】兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)、導(dǎo)數(shù)的

乘除法

【分析】根據(jù)兩曲線交點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可構(gòu)造方程求得。的值.

【詳解】當(dāng)。=0時，曲線k-1=0與曲線昨Inx有唯一交點(diǎn)(1,0),

當(dāng)awO時，因?yàn)椤?龍和y=-工在(0,+8)上單調(diào)遞增,

X

故函數(shù)y=。1-m=0在(0,+8)上單調(diào)，

因?yàn)榍€＞=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，且兩曲線有相同切線,

所以函數(shù)y=a。在(0,+8)上單調(diào)遞增，故。＞0,

???(Inxy=L.?.y=lnx在(1,0)處的切線斜率左=1,

X

2

所以/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減，故0有唯一解,

即曲線V=lnx與曲線y=a有唯一交點(diǎn),滿足題意.

故選：D.

【典例1-2]（24-25高三上?遼寧?期中）已知直線"=X+。是曲線＞=ln（x-l）和y=ax2_3x的公切線,

則的值為.

【答案】0

【知識點(diǎn)】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】令〃x）=ln（xT）,則/'（x）=工,

X-1

因?yàn)橹本€，=X+/是曲線＞=ln（x-l）的切線，

所以由解得尤=2,止匕時〃2）=lnl=0

所以/（X）在（2,0）處的切線為＞=工-2,所以2,

又y=x-2是廣"2_3x的切線，

fy=x-2

聯(lián)立\2O得Q%2-4%+2=0,

[y=ax-3x

令A(yù)=16-8〃=0解得a=2,

所以〃+%=0,

故答案為：0

【變式1-1]（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知直線歹=去+6是曲線y=e”的切線，也是曲線》=-《一、的切線,

貝IJ左+6=（）

1

A.-B.1C.eD.1+e

e

【答案】C

【知識點(diǎn)】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【分析】設(shè)直線）=依+6與曲線N=e，的切點(diǎn)為（再,e'。，與曲線y=-e-x的切點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)求

出曲線y=e，在x=再處的切線方程，以及曲線7=在x=X2處的切線方程，根據(jù)兩切線重合可得出關(guān)于

占、%的方程組，解出這兩個量的值，可得出左、b的值，即可得解.

【詳解】設(shè)直線）=依+6與曲線V=e，的切點(diǎn)為（玉,9），與曲線＞=-e-工的切點(diǎn)為（％，-e』），

對函數(shù)y=e，求導(dǎo)得y=（e，）'=e"，對函數(shù)V=-e-"求導(dǎo)得/=（一尸丫=尸，

則曲線y=e"在x=w處的切線方程為了-e*1=e*（x-xj,即了=/5+爐-西爐，

曲線在工=工2處的切線方程為y+e-=e』（》一遍），

-X2X2X1

即)=ex-x2e~-e~,

ef二e-X]—1

所以(1-xJe』=(T-xJef'解得

x2=-1

故左=e"i=e,b=（l-l）e=O,所以左+6=e.

故選：C.

【變式1-2]（2024高三?全國?專題練習(xí)）曲線弘=x?-1與%=。1-￡|-2向（0＞0）在交點(diǎn)處存在公切線,

則a=.

【答案】2

【知識點(diǎn)】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來判定單調(diào)性和求最值，計(jì)算即可，

【詳解】設(shè)兩曲線的公切點(diǎn)為（后,%）,因?yàn)閬V=2x,%+

依題意得焉一1=〃J/----21nx0,2x0=6Z1+—I-----,

IxoJI/

由2xo=a1+二]一二，解得/=￡,將代入x；-l=a（xo-^---21nx0,

xnxn22

2

整理得?_21n]_l=0,令t*n〉Q,則戶一21nt_l=0,令/?）=?_21n/-1（，＞0）,

則廣⑺=2-7,令_r?）=o,解得（舍負(fù)），

當(dāng)te（o,i）時，r（o＜o(jì)；當(dāng)fe（i,+“）時，r（/）＞o,

所以/⑺有最小值f（l）=o,所以方程〃一21皿-1=0有唯一解t=l,此時■!=：!,解得。=2.

故答案為：2.

【變式1-3]（24-25高三上?山西長治?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx,g{x）=ax2,存在直線過點(diǎn)，-g

與曲線了=/（x）和＞=g（x）都相切，則a=.

【答案】J

2e

【知識點(diǎn)】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題、導(dǎo)數(shù)的乘除法

【分析】設(shè)直線與曲線y=〃x）相切于點(diǎn)尸（為,必），與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)。（七,％）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意

義表示出切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)求出多，即可求出切線方程，再得到方程組，即可求出0.

【詳解】設(shè)直線與曲線N=〃x）相切于點(diǎn)人再,弘），與曲線〉=8口）相切于點(diǎn)。（乙,%）,

由/（x）=lnx,則/（x）=L則/（再）」,則切線為y-ln西='（xf）,

X』

又切線過點(diǎn)￡|,所以—Tn匹=：（O-xJ,即ln±=；,所以玉=1，

所以切線方程為丁=\x-；,由g（x）=ax:則g'（x）=2ax,

2、41

則:「解得a=j.

2112e

ax?-—-?=X2—

「Je2

故答案為：—

題型05求切線條數(shù)求參數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

--------------------------------------------------------------------------------------------------!

設(shè)切點(diǎn)為P（x。，%）,則斜率左=/'（%）,過切點(diǎn)的切線方程為：y-y0^f\x0\x-x0）,；

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)/（a,6）,所以b-%=/'（x0）（a-X。）然后解出X。的值，有多少個解對應(yīng)有多少條切線.1

I1

【典例1-11（2024高二.?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=妥r.若過點(diǎn)存在3條直線與曲線了=/（x）

相切，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍是（）

【答案】C

【知識點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、已知切線（斜率）求參數(shù)、用導(dǎo)數(shù)

判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（后,中］,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，轉(zhuǎn)化為“=色上［有三個不等實(shí)根,

x

IeJPo

利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性最值，畫出圖象求參數(shù)的取值范圍即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為

人行上，口,e"一(x+l)e-x

由題思得f(x)=---------

所以函數(shù)〃X)的圖像在點(diǎn)工,誓3處的切線的斜率為/(%)=二善,

\e0/e0

所以切線方程為日3=言(無-無。),

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)尸(-1,加)，所以加-玉)+1

則拉=5+1)],由題意可知，這個方程有三個不等實(shí)根.

ex"

X?，貝UgG)=

設(shè)g(x)=

eex

由g<%)>0得一1vxvl,由g'(x)<0得％<-1或x>l.

所以函數(shù)g(x)在(-”,T)和(1,+。)上單調(diào)遞減,

在(-1,1)上單調(diào)遞增，又當(dāng)X趨近于正無窮時，g(x)趨近于0；

4

當(dāng)X趨近于負(fù)無窮，g(x)趨近于正無窮，且g(_l)=0,g⑴=)

所以g(x)的大致圖象如圖,

所以要使直線y=m與函數(shù)g(x)的圖象有三個交點(diǎn),

4

則0<"2<一.

e

故選：C

【典例1-2](24-25高三上?四川自貢?期中)若過點(diǎn)(2,6)作曲線歹=爐的切線有且僅有兩條，則6的取值范

圍是?

【答案】(0霜2)

【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于瓦X。的關(guān)系式，從而將問題轉(zhuǎn)化為＞=6與函數(shù)了=/(3-》)的圖象的

交點(diǎn)個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex（3-x）,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)切點(diǎn)為（％,”），因?yàn)閥=e）所以了=/,

則切線方程為y-eM=eM（x-x。），

將（2向代入得6-/。=6"2-苫0）,即6=e%（3-與）,

因?yàn)檫^點(diǎn)（2,6）作曲線>=e*的切線有且僅有兩條，

則關(guān)于%的方程6=e'。（3-%）有兩解，

可轉(zhuǎn)化為直線V=b與函數(shù).y=e'（3-x）的圖象有兩個交點(diǎn)，

令g（x）=e*（3-x）,貝ijg'（x）=（2-x）e工，

當(dāng)x<2時，g'（x）>0,g（x）在（-8,2）上單調(diào)遞增;

當(dāng)x>2時，g'（x）<0,g（x）在（2,+“）上單調(diào)遞減；

貝（］8（尤）厘=8（2）=02,又當(dāng)x<3時，g（x）=e、（3-x）>0恒成立，g（3）=0,

故答案為：（。32）.

【變式1-1］（22-23高三上?遼寧,階段練習(xí)）已知過點(diǎn)（。,占）可以作函數(shù)〃尤）=/-尤的三條切線，如果

〃〉0,則。和b應(yīng)該滿足的關(guān)系是（）

2y

A.（）</）</B.-----5--</?</—dC.—a<6<a，D.—a<6<,—。

9

【答案】D

【知識點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍、求已知函數(shù)的極值

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點(diǎn)S，6）的切線方程，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)有3個零點(diǎn)的條

件即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)億戶一/）,由/（x）=x3-x,求導(dǎo)得八x）=3--1,

則切線方程為y-（t3-t）=（3/-1）（X-）,由切線過點(diǎn)（。,6）,

得6-（戶-f）=（3產(chǎn)-l）（a-f）,整理得b=-2—+3at'-a,

令函數(shù)g(，)=-2尸+3a/2-a,求導(dǎo)得g，(f)=-6產(chǎn)+,而。>0,

當(dāng)f<0或時，g")<0,當(dāng)0</<a時，g'(t)>0,

因此函數(shù)g?)在(-8,0),3,+s)上單調(diào)遞減，在(0,。)上單調(diào)遞增，

函數(shù)g?)在t=0處取得極小值g(0)=-。，在，=。處取得極大值g(a)="-a,

由過點(diǎn)(。，b)可以作函數(shù)=x3-x的三條切線，得6=-2t3+3/_.有3個不等實(shí)根，

即函數(shù)g?)有3個零點(diǎn)，所以

故選：D.

3

【變式1-2](2024?陜西榆林?模擬預(yù)測)已知過點(diǎn)(0,。)可作三條直線與曲線=]-Y+1相切，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

【答案】[1,。)

【知識點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、求已知函數(shù)的極值

【分析】根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的切線方程，由切線過點(diǎn)(0,“)可得“=-§x：+x；+l.構(gòu)造新函數(shù)

2

g(x)=--?+x2+l,結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得極值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由題意/'3=/-2》，設(shè)點(diǎn)(巧/(比J)為曲線y=/(x)的切點(diǎn)，

5

則切線方程為尸/(再)=1；-2xJ(x-尤J,整理得y=(x；-2x1)x-1xj+x；+1,

2

將點(diǎn)(0,。)代入可得。=+x；+1.

2

令g(x)=-§.x3+x?+1,貝!]g<x)=-2x?+2x=2x(l-x),

.,.當(dāng)x<0時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<x<l時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

44

又g(0)=l，g(l)=§，，當(dāng)1<。<§時，方程g(x)=a有3個不同的實(shí)數(shù)根，

4?

即當(dāng)時，有3個不同的為滿足方程。=-

即過點(diǎn)(0,〃)可作三條直線與曲線/⑶=、--+1相切.

故答案為：

題型06已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)

【解題規(guī)律?提分快招】

⑦已知/(X，在區(qū)間。上單調(diào)遞增=VxeD,/'(xj20恒成立.

②已知/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減=VxeD,/'(x)40恒成立.

注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號.

【典例1-1](24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)〃%)=咚?-血在[L+⑹上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍為()

A.(-*1)B.(-co,2]C.(-?,2)D.

【答案】B

【知識點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為/'(x)=My-1W0(xNl)恒成立，參變分離，結(jié)合基本不等式求最值即

可.

【詳解】因?yàn)?(X)在[1,+8)上單調(diào)遞減,

所以/'(X)=2：!40(x21)恒成立,

即2°《^^=》+工+2(尤2。恒成立，

XX

而y=X+L+224(當(dāng)且僅當(dāng)X=1時，等號成立)，

所以只需2a44,解得aV2.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)。=2時，僅有x=1使/'(無)=0,符合題意.

故選：B.

【典例1?2】(2024?廣東肇慶?一模)已知函數(shù)/(x)=(x+b-l)e"+g辦2+abx-l(6>0)在R上單調(diào)遞增,

則好的最大值為.

a

【答案】

【知識點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

【分析】r(x)20在R上恒成立，時，不合要求，。<0時，r(x)=0,解得X|=ln(-a),x2=-b,分

In(—a)<—b,一6<In(—a)和—6=In(—a)三種情況，得至Ij—6=ln(—a),化簡可得a=—e",=—e*,由

a

br

基本不等式求出火的最大值為-e，

【詳解】由題意，得/'(%)=e*+(x+6—l)e"+辦+。6=e"(X+6)+QX+Q，=(e*+Q)(X+6),

因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，所以/'(x"0在R上恒成立.

當(dāng)〃20時,e"+a〉O,在(-8,一6)上,/r(x)<0,不符合題意；

當(dāng)avO時，令/'(x)=0,解得玉=1口(一〃)，x2=-b.

當(dāng)ln(—q)<—6時，在(ln(—a),—b)上，e”+a>0,x+6<0,/'(x)<0,不符合題意；

x

當(dāng)—b<ln(—a)時，在(一“l(fā)n(—a))上，Q+a<0,x+b>0,/'(x)<0,不符合題意；

當(dāng)一b=In(-口)時，在(一8,-“上，e”+Q<0,x+b<0,/<(x)>0；

在(-仇+oo),e”+a>0,x+b>0,/'(%)>0；所以/'(x)20.

]_

因此，有-6=ln(-“)，化簡可得"=_e-J故如=巨=_52丑2

—b

當(dāng)且僅當(dāng)。=%,即6=1時，等式成立.

D

故如的最大值為Y。.

a

故答案為：-e?

【變式1-1]（23-24高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中）若對任意的正實(shí)數(shù)為，x2e（/n,+oo）,當(dāng)再<%時，

xjn4/的西〉？恒成立,則冽的取值范圍（）

xx-x2

A.[e:+co）B.[e?,+8）C.[e,+<?）D.[e,e?]

【答案】A

【知識點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

X.Inx,-x,InxInx,-2Inx.-2,Inx-2

【分析】由」~~L>2一可得一2—<—5—,令/（幻、=上一，則/,（X、）在,（私+。、）上為減函數(shù),

X]X[X[X]JC

即/'（X）40在（加,+8）上恒成立，求解即可.

,x.In-x.Inx,,

【詳解】----二------>2,又網(wǎng)<々，所以再111工2-2玉<乙1!1再一2工2,

王一x2

In-2Inx-2

所以---<—!—,

x2%

/、Inx9—2Inx.-2

由已知對任意的X],X2e{m,+oo),且網(wǎng)</時，---<---,

設(shè)〃x）=*2,則〃x）在（加,+功上為減函數(shù),

因?yàn)椋ǎ╔）=1叱+2士坐，所以主誓《0在（辦+8）上恒成立,

XX

所以lnx23在（加,+s）上恒成立，所以xZe3,所以加的取值范圍為卜3,+。）.

故選：A.

【變式1-2]（2024?湖北?一模）已知函數(shù)/（耳=辦2-1nx+2x是減函數(shù)，則。的取值范圍為（）

A.（-<?,0]B.（-co,-l]C.（-oo,l]D.1叫一（

【答案】D

【知識點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

1171?

【分析】求導(dǎo)得/'（x）=2辦-―+2,根據(jù)題意可得對xe（0,+8）恒成立，求得-—-的最小值即

XXXXX

可.

【詳解】由/（司="2Tllx+2x,可得/<%）=2"一,+2,

因?yàn)楹瘮?shù)/（力="2—hu+2x是減函數(shù)，所以廣（“40對X￡（0,+8）恒成立，

112

即2"一一+2工0對工￡（0,+8）恒成立，所以———對XE（0,+8）恒成立，

XXX

所以,又]-2=卜-「一i"i’當(dāng)且僅當(dāng)x=i時等號成立,

UX人ni/X（X）

所以2°4-1,所以a4-g,所以。的取值范圍為卜8,-g.

故選：D.

題型07已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間

【解題規(guī)律?提分快招】

?已知/（x）在區(qū)間。上存在單調(diào)增區(qū)間=令/'（x）〉0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間/,則/口。

②己知/（x）在區(qū)間。上存在單調(diào)減區(qū)間o令/'（x）<0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間則河口。

【典例1-1]（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/@）=（2苫2+辦+1）11（。>0）在-1,-1上存在單調(diào)

遞減區(qū)間，則。的取值范圍為（）

A.（0,l）u（4,+co）B.（1,4）

【答案】A

【知識點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單

調(diào)性

【分析】根據(jù)題意，只需存在區(qū)間小,心=-H，使得當(dāng)x?c5］時，r(x)<0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)大小

分。=2,。〉2和0<。<2討論求角軍.

【詳解】由題意得/''(》)=(4工+4N小+(2/+辦+1)役<"=(2工+0)(辦+2》"7,

要使/(x)在W上存在單調(diào)遞減區(qū)間，只需存在區(qū)間［c/仁-1,-1,使得當(dāng)xe［c,4］時，

r(x)<o,

當(dāng)“=2時，r(x)=4(x+l)2e2-1>0,顯然不存在滿足條件的區(qū)間仁引；

當(dāng)。>2時，/'(x)wo的解集為一萬，一,，因?yàn)?■|^<-1<一5，

「11171

所以要使“X)在-不-：上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則-*>-：，解得。>4；

24Ja2

當(dāng)0<"2時，/'(x)wo的解集為42,-父，因?yàn)槎?lt;一1〈二，

_a2Ja2

所以要使〃龍)在-上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則號>-；，解得0<4<1.

綜上，q的取值范圍為(0,1)34,+8).

故選：A.

【典例1-2］(24-25高三上?北京順義?階段練習(xí))已知函數(shù)-2/+1在區(qū)間(0,1)上存在增區(qū)間，

則。的取值范圍是.

【答案】［,+［

【知識點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】由條件可得((久)>0在(0,1)上有解，分aV0,a>0討論，列出滿足要求的不等式，由此可求〃的范

圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)=ad-2d+1在區(qū)間(0,1)上存在增區(qū)間，

所以「(嗎>0在(0,1)上有解，

即不等式3a--4%>0在(0,1)上有解，

當(dāng)時，由0<%<1可得3ax2_4工<0,不滿足要求，

a>0

4

所以4,解得。>7，

—<13

、3。

所以。的取值范圍是

故答案為：

【變式1-1](24-25高二上?全國?課后作業(yè))若函數(shù)/(x)=lnx+a/_2在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A?卜"JB.昌,

C.DD.1*]

【答案】C

【知識點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

【詳解】函數(shù)/(x)=欣+ax--2的定義域是(0,+8),

所以f(x\=—+2ax=^aX.

XX

當(dāng)aNO時，r(x)>0,則在(0,+s)上單調(diào)遞增，符合題意.

當(dāng)avO時，由2辦2+1=0,得x=J一--(負(fù)根舍去)，

V2a

所以當(dāng)xe0,時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)-時-，單調(diào)遞減.

依題意，函數(shù)/(x)=欣+江-2在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

所以1<、F，解得一：<〃<().

V2a2

綜上，a>一彳.

2

故選：C.

【變式1-2](23-24高二下?山西?期中)已知函數(shù)〃x)=(x2_2^+l)e\若函數(shù)/(x)在(-1,0)存在單調(diào)增

區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的范圍為.