2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二上學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二上學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．向量，，若，則（

）A．， B．，C．， D．2．直線和直線，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若點(diǎn)在圓：外，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知，C是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，，點(diǎn)C到x軸的距離為d，則的最小值為（

）A．10 B． C．11 D．5．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．6．已知拋物線C：和圓，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，圓上的兩點(diǎn)滿(mǎn)足，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則到直線的最大距離為（

）A． B． C． D．7．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記，，…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，則（

）A． B．1 C．10 D．1008．如圖，三棱柱滿(mǎn)足棱長(zhǎng)都相等且平面，D是棱的中點(diǎn)，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（

）A．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，過(guò)點(diǎn)向圓引斜率為的切線，切點(diǎn)為，記的軌跡為曲線，則（

）A．的漸近線為B．點(diǎn)在上C．在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為D．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，10．已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A．圓臺(tái)的體積為B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)母線與底面所成角為D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為411．已知直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓的左、右頂點(diǎn)，在橢圓上與關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，則（

）A．若，則橢圓的離心率為B．若，則橢圓的離心率為C．D．若直線平行于x軸，則三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交雙曲線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)，則的值為.13．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且首項(xiàng)為1，，則．14．已知正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．16．在等腰梯形ABCD中，，，，，M為AB中點(diǎn)，將，沿MD，MC翻折，使A，B重合于點(diǎn)E，得到三棱錐．

(1)求ME與平面CDE所成角的大??；(2)求二面角的余弦值．17．已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，，滿(mǎn)足直線與的斜率之積為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)；(1)求曲線的軌跡方程；(2)若直線和的斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；(3)若直線與直線分別交于，求證.18．已知橢圓的離心率為的上頂點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且滿(mǎn)足的最大值為4.(1)求橢圓的方程；(2)已知.過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在且不為1）與橢圓交于兩點(diǎn).證明：平分.19．意大利人斐波那契在1202年寫(xiě)的《算盤(pán)書(shū)（LiberAbaci）》中提出一個(gè)兔子繁殖問(wèn)題：假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，此后每個(gè)月生一對(duì)小兔，這種成長(zhǎng)與繁殖過(guò)程會(huì)一直持續(xù)下去.設(shè)第個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)為，則，觀察數(shù)列的規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)，，我們稱(chēng)該數(shù)列為斐波那契數(shù)列.(1)若數(shù)列是斐波那契數(shù)列，求出和的值，并證明.(2)若數(shù)列是斐波那契數(shù)列，且，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)若數(shù)列是斐波那契數(shù)列，在（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

答案1．【正確答案】B【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，故.故選B.2．【正確答案】B【分析】由題意先求出的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題設(shè)，解得或，故，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選B.3．【正確答案】B【分析】結(jié)合點(diǎn)在圓外的代數(shù)關(guān)系式與圓的一般方程的定義即可.【詳解】由于點(diǎn)在圓：外，有，解得，即的取值范圍是.故選B.4．【正確答案】B【分析】由焦半徑公式得到，從而得到，數(shù)形結(jié)合得到最小值.【詳解】因?yàn)镸的準(zhǔn)線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當(dāng)且僅當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且C在線段DF上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故選B.5．【正確答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，即，則記，則，兩式相加得，所以，即.故選B.6．【正確答案】A【分析】由條件化簡(jiǎn)可知點(diǎn)在圓N:上，所以是圓與圓的公共弦，再求出的方程，數(shù)形結(jié)合可求到直線的最大距離.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，圓，其圓心，半徑．設(shè)點(diǎn)是滿(mǎn)足的任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，所以是圓與圓的公共弦，將圓與圓的方程相減得，直線的方程為，取線段的中點(diǎn)，連接，則，則.故選A．7．【正確答案】C【分析】首先由題意得到遞推關(guān)系式，再求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】，即,因?yàn)?，，…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，則，則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)，所以，即，所以.故選C.8．【正確答案】D【分析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2，則，通過(guò)空間向量來(lái)求二面角的，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.即可得出結(jié)果.【詳解】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2，則，,，，設(shè)平面BDE法向量,則，令有，故.又平面ABC的法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值，又，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.故選D.【思路導(dǎo)引】本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問(wèn)題能力和計(jì)算能力.9．【正確答案】ACD【分析】先由相切性質(zhì)得點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系式，與已知圓聯(lián)立消參得軌跡方程，A項(xiàng)由方程形式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性作出大致圖形即可得漸近線；B項(xiàng)坐標(biāo)代入可知；C項(xiàng)由形可得；D項(xiàng)由不等式性質(zhì)與放縮法可得.【詳解】圓，圓心，半徑，且，且.，則點(diǎn)在圓外.

如圖，連接，由題意知，設(shè)，則①，又點(diǎn)在圓上，則②，①②得，，解得③，由且，解得，或.將③代入②消得，，即為曲線的方程.A項(xiàng)，設(shè)，，則，令解得，或，或（舍）.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.且，當(dāng)時(shí)，.且當(dāng)時(shí)，函數(shù)與單調(diào)性相同；且，當(dāng)時(shí)，.故的大致圖象如下圖，

又由方程，故的漸近線為，A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，令曲線方程中，得，，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由形可知，曲線在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，即在的極值點(diǎn)，故C正確；D項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則由，或.得，又，，則，所以成立，故D正確.故選ACD.【方法總結(jié)】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常見(jiàn)方法有：（1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡(jiǎn)即可；（2）代入法：所求點(diǎn)與某已知曲線上一點(diǎn)存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程；（3）定義法：從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過(guò)的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過(guò)確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程.（4）參數(shù)法：從條件中無(wú)法直接找到的聯(lián)系，但可通過(guò)一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程.（5）交軌法：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程，將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程。10．【正確答案】AC【分析】求出圓臺(tái)的高，根據(jù)圓臺(tái)體積公式可判斷A；根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式可判斷B；作出圓臺(tái)母線與底面所成角，解直角三角形可判斷C；將圓臺(tái)展開(kāi)，將圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑轉(zhuǎn)化為展開(kāi)圖中的線段長(zhǎng)，可判斷D.【詳解】對(duì)于A：圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，故A正確；對(duì)于B：根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式，可得側(cè)面積為．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：過(guò)A作交底面于F，而底面，故底面，所以即為母線與底面所成角．

在等腰梯形中，，所以，因?yàn)闉殇J角，所以．故C正確；對(duì)于D：設(shè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖上底面圓周對(duì)應(yīng)的扇形半徑為，下底面圓周對(duì)應(yīng)的扇形半徑為，設(shè)扇形圓心角為，則，則，由于，則，即圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，如圖示，在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE，

由題意可得：．由為中點(diǎn)，所以，所以．故D錯(cuò)誤．故選AC.11．【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A，則，故，則利用與離心率公式即可得解；對(duì)于B，設(shè)，，接著利用和結(jié)合離心率公式直接計(jì)算即可求解；對(duì)于C，根據(jù)三角形中位線即可得解；對(duì)于D，設(shè)，則，根據(jù)已知條件求出和中點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的理論列式求出即可得解.【詳解】如圖，直線l與交于G，對(duì)于A，若，則，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，且即，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知是中位線，故，故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，則直線，因?yàn)橹本€平行于x軸，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以由點(diǎn)G在直線l上且得，解得，即，因此，故D正確.故選ACD．【方法總結(jié)】點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的計(jì)算求解步驟：（1）設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)，（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)坐標(biāo)，（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上和兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直則斜率乘積為這兩個(gè)條件建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，利用該方程組即可求解.（4）遇特殊直線如或一般直接得解.12．【正確答案】【分析】由條件先求的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列方程求即可.【詳解】由已知直線的解析式為，因?yàn)?，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)都在雙曲線上，所以，，所以，，所以，，故答案為.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件求出的解析式為，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用相似三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，最后代入雙曲線方程即可計(jì)算出的值.13．【正確答案】210【分析】對(duì)原方程化簡(jiǎn)得，然后利用累乘法求解即可.【詳解】由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴.故210.14．【正確答案】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算得到軌跡，再把目標(biāo)式表示為函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性求解即可.【詳解】

設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，所以，即點(diǎn)在以為球心，以為半徑的球面上.因?yàn)椋?因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，所以，在三角形中，，，取的中點(diǎn)為，，所以在上的投影向量的模為，所以.設(shè)，夾角為，所以.因?yàn)?，所以，即的最大值?故答案為.15．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量，列方程，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，裂項(xiàng)相消法求和，即可證明不等式.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∴，∴，，．由已知得，解得或（舍），∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，∴，∴．16．【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)作輔助線，分析可證平面CDE，可知即為所求線面角，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；(2)建系標(biāo)點(diǎn)，求平面MEQ，平面CDE的法向量，利用空間向量求二面角.【詳解】(1)在三棱錐中，取CD中點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)M作直線EQ的垂線交直線EQ于點(diǎn)H，

因?yàn)锳BCD為等腰梯形，且M為AB中點(diǎn)，則，，可知，，且EQ，平面MEQ，，則平面MEQ，且平面MEQ，可得，可知，，，CD，平面CDE，則平面CDE，可知即為所求線面角，在等腰梯形ABCD中，已知，，，可求出，，，可得，且，則，所以直線ME與平面CDE所成角為.(2)以H為原點(diǎn)，，，為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，可得，，設(shè)平面MEQ的法向量為，則，取，則，可得，且平面CDE的法向量為，可得，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．17．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)，由題有，化簡(jiǎn)得到，所以曲線的軌跡方程為.（2）因?yàn)橹本€和的斜率之積為，所以直線的斜率存在，設(shè)，，，由，消得到，則，，，化簡(jiǎn)整理得到，得到或，當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與重合，不合題意，當(dāng)，，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn).（3）由（2）知，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又易知直線直線是雙曲線的漸近線，設(shè)，由，消得到，所以，，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，設(shè)中點(diǎn)為，則，從而有.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】（1）設(shè)，根據(jù)條件建立等式，化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，消得到，由韋達(dá)定理得，利用條件，即可得到或，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)條件得出和的中點(diǎn)重合，即可證明結(jié)果.18．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)條件得，再根據(jù)條件得，再結(jié)合條件，即可求出，即可求解；（2）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，利用直線的傾斜角為，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求證，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可求解.【詳解】（1）由題知，又，得到，解得，設(shè)，則，又因?yàn)椋?，又，?duì)稱(chēng)軸為，又，所以，又，所以，整理得到，解得，所以橢圓方程為.（2）設(shè)直線，，聯(lián)立和，消得到，由韋達(dá)定理得到，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，又因?yàn)?，所以直線的傾斜角為，則有，，得到，所以要證平分，即證，也即證明，即證，又，將代入得，所以平分.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵在于第二問(wèn)，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，利用直線的傾斜角為，得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求證，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，即可求解.19．【正確答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）直接按照斐波那契數(shù)列的定義來(lái)求解即可；（2）結(jié)合斐波那契數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義直接證明即可；（3）首先得出，思路一：直接由等比數(shù)列求和公式即可求解；思路二：由累加法求和即可得解；思路三：由裂項(xiàng)求和法即可得解.【詳解】（1）.；（2）因?yàn)?，所?，即，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（3）由（2）得.即，令，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)?，所以，即是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，即；法一：；法二：由得，，，，，累加得，，即，所以，.法三：利用..【關(guān)鍵點(diǎn)撥】第三問(wèn)的關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二上學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．一元二次不等式的解集是（

）A． B．C． D．3．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（

）A． B．1 C． D．4．若，則（

）A． B． C． D．5．在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．36．如圖，平行六面體各棱長(zhǎng)為1，且，動(dòng)點(diǎn)P在該幾何體內(nèi)部，且滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，記，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．8．輔助角公式是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李普蘭發(fā)現(xiàn)的用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)的一個(gè)公式，其內(nèi)容為．已知函數(shù)（其中，，）．若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．在上單調(diào)遞增D．過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象一定有公共點(diǎn)二、多選題（本大題共3小題）9．已知集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．10．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．點(diǎn)G到平面的距離是點(diǎn)C到平面的距離的2倍C．平面D．異面直線與所成角的余弦值為11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是周期函數(shù)B．若，則C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．某班男女生的比例為3:2，全班的平均身高為，若女生的平均身高為，則男生的平均身高為.13．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14．2023年10月26日神舟十七號(hào)載人飛船在長(zhǎng)征二號(hào)F遙十七運(yùn)載火箭的托舉下點(diǎn)火升空，成功進(jìn)入預(yù)定軌道.我國(guó)在航天領(lǐng)域取得的巨大成就，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù).根據(jù)火箭理想速度公式，可以計(jì)算理想狀態(tài)下火箭的最大速度，其中是噴流相對(duì)速度，是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱(chēng)為總質(zhì)比.已知甲型火箭噴流相對(duì)速度為.（?。┊?dāng)總質(zhì)比為9時(shí)，甲型火箭的最大速度為；（ⅱ）若經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的噴流相對(duì)速度提高到原來(lái)的倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的.若要使火箭的最大速度至少增加，則在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為.（所有結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．16．對(duì)800名參加競(jìng)賽選拔學(xué)生的成績(jī)作統(tǒng)計(jì)（），將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為50,60，60,70，，80,90，90,100，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這800名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人.若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為78分和，第三組的學(xué)生實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為72分和1，求第四組80,90的學(xué)生實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)與方差.17．在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手（1到5號(hào)）登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中選3名歌手．（1）求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；（2）X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X?2”的事件概率．18．如圖所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.E、F分別在線段BC和AD上，AB//EF，將矩形ABEF沿EF折起.記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求證：NC//平面MFD；(2)若EC=3，求證：ND⊥FC；(3)求四面體NFEC體積的最大值19．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C；(2)若，求的面積S的取值范圍.

答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A2．【正確答案】B【分析】把不等式化為，求出解集即可．【詳解】解：不等式可化為，解得，不等式的解集為．故選：．本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．3．【正確答案】C【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故選：C.4．【正確答案】C【分析】先由條件得到，化弦為切，代入求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C5．【正確答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.利用余弦定理及其推論解三角形的類(lèi)型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．6．【正確答案】B【分析】由平面向量共面定理可知：點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值即為點(diǎn)到平面的距離，求出三棱錐為正四面體，過(guò)點(diǎn)作平面，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，則，即，由平面向量共面定理可知：點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值即為點(diǎn)到平面的距離，連接因?yàn)槠叫辛骟w各棱長(zhǎng)為1，且，所以，所以三棱錐為正四面體，過(guò)點(diǎn)作平面，因?yàn)槠矫?，所以，如圖，所以，所以，所以的最小值為.故選：B.7．【正確答案】C【分析】由函數(shù)為的偶函數(shù)，得出該函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合性質(zhì)得出，，，比較的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系．【詳解】由函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，且有，則，，，因?yàn)?，，，即，由于函?shù)在上為減函數(shù)，所以，可得.故選C．8．【正確答案】D【分析】由可得，，計(jì)算出、可判斷A；由三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可判斷B；整體代換法和值可判斷C；由可判斷D.【詳解】因?yàn)椋ㄆ渲?，），因?yàn)?，，所以，解得，不妨取，所以，即，解得，所以，則，，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋躁P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槭牵业闹芷诤瘮?shù)，又，故過(guò)點(diǎn)即過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象一定有公共點(diǎn)，故D正確.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是對(duì)輔助角公式的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的最值得到.9．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，可得，，且，?duì)于A中，由，，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得，所以C正確；對(duì)于D中，由，，所以，所以D正確.故選：ACD.10．【正確答案】BC【分析】對(duì)于選項(xiàng)：由以及與不垂直，可知錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：利用等體積法，可求得結(jié)果，進(jìn)而判斷選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：取的中點(diǎn)，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得出平面，可知選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義可知錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以不是等腰三角形，所以與不垂直，因?yàn)椋耘c不垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離分別為，則，，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，因?yàn)?，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，在中，由余弦定理可得：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選.11．【正確答案】ABD【分析】借助三角函數(shù)性質(zhì)及三角恒等變換可得，再借助周期函數(shù)定義判斷A；借助余弦函數(shù)的性質(zhì)得，判斷B；特殊值法判斷C、D.【詳解】由題意，函數(shù)，對(duì)A：，得是周期為的函數(shù)，故A正確；對(duì)B：因?yàn)椋?，此時(shí)，，得，故B正確；對(duì)C：由，結(jié)合解析式易知在一定不是單調(diào)函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D：由解析式有，可得和是函數(shù)的零點(diǎn)，所以D正確，故選：ABD．12．【正確答案】【分析】設(shè)出男生的平均身高，然后根據(jù)條件列方程求解即可.【詳解】設(shè)男生的平均身高為，則根據(jù)題目條件知，即，所以.故答案為.13．【正確答案】.【分析】本題先判斷原函數(shù)的奇偶性，然后對(duì)抽象不等式按照奇偶性進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，解出不等式即可.【詳解】因?yàn)椋椎脼榕己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，則，所以對(duì)任意恒成立，①對(duì)任意恒成立，得，②對(duì)任意恒成立，得，①②同時(shí)成立，則有綜上得.故答案為.14．【正確答案】【分析】（ⅰ）根據(jù)給定公式求甲型火箭的最大速度即可；（ⅱ）由題設(shè)有原甲型火箭的最大速度為，材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的最大速度為，解不等式即可求最值.【詳解】（?。┯深}設(shè)，甲型火箭的最大速度為；（ⅱ）由題意，，原甲型火箭的最大速度為，材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的最大速度為，所以，即，可得.故，15．【正確答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用配湊法，將看成一個(gè)整體求解即可；（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1），所以.（2），所以的圖象是對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上的拋物線，且的解集為，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．16．【正確答案】(1)眾數(shù)為；平均數(shù)為(2)平均數(shù)為；方差為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)和平均數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生為10人，分別為，得到，設(shè)第三組分別為，得到，設(shè)第四組分別為，其平均數(shù)和方差為，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)的定義，可得這800名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為，這800名學(xué)生成績(jī)的的平均數(shù)為：（分）.（2）解：根據(jù)題意，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，各段抽取的人生分別為：12人，16人，6人，4人和2人，其中分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生為10人，分別為，其中