山東省臨沂市蒙陰第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案）

蒙陰一中2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題2025.03一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.4.已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.5 B.6 C.7 D.85.已知向量滿足與垂直，則的最小值為（）A. B. C.1 D.36.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線，其中的一種如圖所示．用過(guò)M點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線PB的中點(diǎn)，平面與底面的交線，則雙曲線的兩條漸近線所成角的余弦值為（）．A. B. C. D.7.已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若，則的最大值為（）A. B. C.e D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求、全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知、是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（）A.最大值為 B.的最小值為C.最小值為 D.最小值為10.設(shè)是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（）A. B.相互獨(dú)立C. D.11.數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，曲線上的點(diǎn)滿足到和直線的距離之和為定值4，已知兩條曲線具有公共的上下頂點(diǎn)，過(guò)作斜率小于0的直線與兩曲線從左到右依次交于且，則（）A.曲線由兩條拋物線的一部分組成B.線段的長(zhǎng)度與點(diǎn)到直線的距離相等C.若線段的長(zhǎng)度為，則直線的斜率為D.若，則直線的斜率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.市環(huán)保局開(kāi)展了環(huán)境治理專項(xiàng)活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后對(duì)志愿者做了一次隨機(jī)抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)整理了部分志愿者的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)志愿者服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的第90百分位數(shù)為_(kāi)_____．13.已知圓，直線與圓交于兩點(diǎn)．若為直角三角形，則______．14.已知函數(shù)的圖象平分系列圓的周長(zhǎng)與面積，記圓在軸右側(cè)的圓心的橫、縱坐標(biāo)分別組成數(shù)列，則的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.某工廠在改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)后，針對(duì)新舊兩種技術(shù)所生產(chǎn)的電子元件實(shí)施質(zhì)量檢測(cè)，現(xiàn)從每種技術(shù)生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取容量為40的樣本進(jìn)行電壓測(cè)試.已知標(biāo)準(zhǔn)電壓為3.7V，誤差絕對(duì)值不超過(guò)0.1V的電子元件為優(yōu)品，超過(guò)0.1V的電子元件為良品.（1）已知舊技術(shù)生產(chǎn)的40個(gè)樣本電子元件的電壓測(cè)量值近似服從正態(tài)分布的近似值為樣本均值3.7，的近似值為樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.09.假設(shè)該工廠前期運(yùn)用舊技術(shù)已生產(chǎn)電子元件40000個(gè)，試估算舊技術(shù)生產(chǎn)的電子元件電壓測(cè)量值高于3.88V的有多少個(gè)？（2）從新技術(shù)生產(chǎn)的40個(gè)樣本電子元件中隨機(jī)選取一個(gè)是優(yōu)品的概率為.請(qǐng)補(bǔ)全以下列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為電子元件的優(yōu)良情況與新舊技術(shù)有關(guān)？?jī)?yōu)品良品合計(jì)舊技術(shù)新技術(shù)合計(jì)16附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，..0.1000.0500.0250.00527063.8415.0247.87916.在銳角△ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且.（1）求證：；（2）已知是的平分線，若，求線段長(zhǎng)度的取值范圍.17.已知雙曲線離心率為，點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)的左焦點(diǎn)的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，且分別交的兩條漸近線于兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，，求面積．18.如圖，四面體中，△ABC為等邊三角形，且，為等腰直角三角形，且．（1）當(dāng)時(shí)，（?。┣蠖娼堑恼抑担唬áⅲ┊?dāng)線段中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角正弦值；（2）當(dāng)時(shí)，若，且平面為垂足，中點(diǎn)為中點(diǎn)為；直線與平面的交點(diǎn)為，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求的值．19.已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若恒成立，求a的取值范圍；（3）設(shè)集合，對(duì)于正整數(shù)m，集合，記中元素的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.蒙陰一中2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題答案1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.B7.【詳解】在正方體中，平面平面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，則平面與平面的交線過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為，如圖所示，又因?yàn)槠矫?，平面，即分別為，與平面所成的角，因?yàn)?，則，且有，當(dāng)與重合時(shí)，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時(shí)，即為棱中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，逐漸減小，點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)方向移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，又點(diǎn)與不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．因此．當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段（除點(diǎn)外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.8.A【詳解】，因?yàn)?，且函?shù)和都是增函數(shù)，故若恒成立，則函數(shù)和的零點(diǎn)相同，即.故，設(shè)則故在，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減.故故最大值為.9.ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故最大值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即最小值為，D對(duì).10.AB【詳解】對(duì)于A，由于與是互斥事件，則，故A正確；對(duì)于B，已知，可得設(shè)，則，.由A項(xiàng)可知，即.解得，由，可得相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)德摩根定律，再由對(duì)立事件概率公式，由B項(xiàng)可知，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)，，，則；又，，，則.則，故D錯(cuò)誤.11.ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，由定義可知，滿足，移項(xiàng)，平方可得：，即，為兩條拋物線，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，和直線分別為拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，由拋物線定義可知，故B正確對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)與軸夾角為同時(shí)為拋物線和橢圓的焦點(diǎn)，，，解得，則，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，易知為拋物線和的焦點(diǎn)，前者，后者分別為兩個(gè)拋物線的較短的焦半徑，因此，由于，則，因此，所以，故D正確，12.13.014..【解析】令，，則，對(duì)于，令，得，所以的對(duì)稱中心為，即，又，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以的對(duì)稱中心為，因?yàn)榈膱D象平分系列圓的周長(zhǎng)與面積，所以圓的圓心為的對(duì)稱中心，即，由于記圓在軸右側(cè)的圓心的橫、縱坐標(biāo)分別組成數(shù)列，所以，所以，記的前項(xiàng)和為，則，故，兩式相減，得，所以.15.【小問(wèn)1詳解】由題意，舊技術(shù)生產(chǎn)的電子元件的電壓測(cè)量值，所以.所以舊技術(shù)生產(chǎn)的40000個(gè)電子元件中電壓測(cè)量值高于3.88V的估計(jì)有：個(gè).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樾录夹g(shù)生產(chǎn)電子元件優(yōu)品的概率為，則新技術(shù)生產(chǎn)的40個(gè)樣本元件中優(yōu)品數(shù)為：，良品數(shù)為：；則舊技術(shù)生產(chǎn)的元件良品數(shù)為：，優(yōu)品數(shù)為：，完成列聯(lián)表如下：優(yōu)品良品合計(jì)舊技術(shù)281240新技術(shù)36440合計(jì)641680所以，因?yàn)?，所以依?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為電子元件的優(yōu)良情況與新舊技術(shù)有關(guān).16.【小問(wèn)1詳解】由題意得，由正弦定理得，因?yàn)?，則，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，所以，即.【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長(zhǎng)度的取值范圍.17.【小問(wèn)1詳解】由雙曲線的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1）可知雙曲線C的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，所以可設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，易知，不合題意，故．由，得，其中，所以，，解得（舍去）或，所以，故．18.【小問(wèn)1詳解】（?。┤〉闹悬c(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且．所以，則，所以，又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)椋詾槎娼堑钠矫娼?，，所?.，所以二面角的正弦值為．（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作軸垂直平面，又因?yàn)?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，設(shè)直線與平面所成角為，所以，直線與平面所成角正弦值為．【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且．所以，則，所以，又因?yàn)?，所以，則，又，則，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)閮蓛上嗷ゴ怪保⑷鐖D所示的空間直角坐系，所以，設(shè)，因?yàn)椋杂煽傻茫?，所以，，由?）知，平面，又平面，所以，在上，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以，所以，三棱錐體積為：，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，三棱錐體積最大為，此時(shí)分別為的中點(diǎn)，所以，，方法一：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離相等，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，到平面的距離是到平面的距離的一半．同理，到平面的距離是到平面的距離的一半．所以，到平面的距離相等．因?yàn)橹本€與平面的交點(diǎn)為，所以是線段的中點(diǎn)，則．方法二：設(shè)，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谄矫嫔?，所以設(shè)，，，，所以．解得，所以，即是線段的中點(diǎn)，則．19.【小問(wèn)1詳解】令，若，則，又因?yàn)?，．設(shè)，，則，可知在上單調(diào)遞增，可得，即，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由?）可知：，，原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，