貴州省黔東南州2021-2022學年高一下學期數學期中考試試卷（含答案）

貴州省黔東南州2021-2022學年高一下學期數學期中考試試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．sin75°=A．6?24 B．3+242．已知復數z=3+i1?iA．2 B．2 C．1 D．13．已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示．若網格紙上小正方形的邊長為1，則(2aA．?2 B．1 C．2 D．4．已知復數z=iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在△ABC中，A=π4，AB=2，AC=4A．5 B．22 C．3 D．6．已知向量a，b，且|a|=1，|bA．1 B．3 C．7 D．57．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c=3，2C=A+B，sinB=2A．332 B．32 C．38．設a=2sin42°cos42°，A．c<b<a B．c<a<b C．a<c<b D．a<b<c二、多選題9．已知復數z=3+4i，則下列說法正確的有（）A．復數z的實部為3 B．復數z的共軛復數為3?4iC．復數z的虛部為4i D．復數z的模為510．下列化簡正確的是（）A．siB．tanC．sinD．211．已知向量a=A．a與b能作為一組基底B．與a+bC．a與b的夾角的正弦值為2D．若c=(x，12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若A>B，則sinB．若acosA=bcosC．若△ABC為銳角三角形，則sinD．若cos2A+三、填空題13．已知復數a?2ii=b+3i，其中a，b∈R，i是虛數單位，則ab=14．設向量e1，e2是平面內的一組基底，若向量a=?3e1?15．已知2cosα?cosβ=3216．已知正方形ABCD的邊長為2，點M滿足AM=12(AB+AD)，則|四、解答題17．已知向量a=(2，?1)（1）求|2a（2）求向量a+2b與18．已知a=(?1，3)，b=(2，?4)，m=（1）m（2）m19．已知π<α<3π2，cosα=?（1）求sin(α+（2）求tan(2α?β)20．（1）已知α，β都是銳角，cosα=35，sin(α?β)=（2）已知θ為銳角，φ為鈍角，tanθ=12，tanφ=?321．如圖，某運動員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時15km的速度向東進行長跑訓練，長跑開始時，在A市南偏東方向距A市75km，且與海岸距離為45km的海上B處有一艘小艇與運動員同時出發(fā)，要追上這位運動員.（1）小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？（2）求小艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB的夾角.22．在面積為S的△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2S(sin（1）求C的值；（2）若ABC為銳角三角形，記m=S

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：sin==故答案為：C

【分析】利用兩角和的正弦公式計算即可.2．【答案】A【解析】【解答】方法一：z=3|z|=(方法二：|z|=|3故答案為：A﹒

【分析】根據復數的除法運算和模的概念，計算即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：以a，b交點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示：則a=(2，1)，b=(2，?1)，故答案為：B.

【分析】以a，b交點為坐標原點，建立平面直角坐標系，根據向量數量積的坐標表示即可求解.4．【答案】A【解析】【解答】由題，z=i故答案為：A

【分析】根據復數的除法計算z=1+5．【答案】A【解析】【解答】根據題意得：cosA=AC2+AB2故答案為：A.

【分析】利用余弦定理求出BC=106．【答案】D【解析】【解答】設向量a，b的夾角為θ，則|a當且僅當cosθ=?1時即a，b共線反向時等號成立，∴|故答案為：D.

【分析】利用數量積及余弦函數的性質可求模的最大值.7．【答案】A【解析】【解答】因為2C=A+B，則A+B+C=π，所以3C=π得：C=π又sinB=2sinA由正弦定理可得：ba=sin有余弦定理可得：c2即9=a2+4a2則△ABC的面積為S=1故答案為：A.

【分析】由2C=A+B結合三角形的內角和得C=π3，由正弦定理可得b=2a，再由余弦定理可得a=38．【答案】B【解析】【解答】根據正余弦和正切的二倍角公式有，a=2sin42°cos42°=sin84°，b=2tan32°1?故答案為：B

【分析】根據二倍角公式化簡a=sin84°，b=tan9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：復數z=3+4i的實部為3，虛部為4，A項正確，C項錯誤；復數z=3+4i的共軛復數為3?4i，B項正確；復數z=3+4i的模為32故答案為：ABD.

【分析】根據復數的定義及性質可判斷A、C項，根據共軛復數的定義可判斷B項，根據復數模的計算公式可判斷D項.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A：sin對于B：tan45°=對于C：sin15°對于D：tanπ4=故答案為：BCD

【分析】利用二倍角公式公式及和差角公式計算可得.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】對于A，因為a=(?2，1所以a與b能作為一組基底，A符合題意；對于B，因為a=所以a+所以與a+b同向的單位向量的坐標為對于C，因為cos?所以a與b的夾角的正弦值為22對于D，因為c=所以(?2+x)2故答案為：ACD．

【分析】對于A兩個不共線的向量可以作為平面的一組基底；對于Ba+b=(?312．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A：在△ABC中，若A>B，則a>b，則2RsinA>2Rsin對于B：∵acosA=bcos∴sin2A=sin2B，∴A=B，或∴△ABC為等腰或直角三角形，故不正確．對于C：當△ABC為銳角三角形時，A+B>π2，∴sinA>sin(對于D：若cos2A+即sin2C>sin2B+即C為鈍角，故△ABC是鈍角三角形，D符合題意；故答案為：ACD.

【分析】A：由大角對大邊，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判斷B；根據正弦函數的性質及誘導公式判斷C；根據余弦定理判斷D.13．【答案】6【解析】【解答】由題意得a?2ii所以?2=b?a=3，即b=?2所以ab=6.故答案為：6

【分析】根據復數的乘除法運算法則a?2ii=?2?ai，結合復數相等的概念得?2=b?a=314．【答案】?【解析】【解答】解：因為a=?3e1所以存在實數t，使得b=ta，即e1因為向量e1，e2是平面內的一組基底，所以?3t=1?t=?λ故答案為：?

【分析】依題意可得存在實數t，使得b=ta，即15．【答案】?【解析】【解答】由(2cos(2sin兩式相加有5?4(cos可得cos(α?β)=?故答案為：?5

【分析】將兩式同時平方，然后相加，利用兩角和差的余弦公式進行求解即可．16．【答案】2；2【解析】【解答】因為AM=12(AB+AD以A為坐標原點，AB，AD所在直線為x，設E(x，y)，則0≤x≤2，0≤y≤2，又D(0，2)，所以AM=(1，1)所以DE·故答案為：2；2.

【分析】（1）先判斷出M為AC，所以|MB|=2；

（2）以A為坐標原點，AB17．【答案】（1）解：∵a=(2，?1)∴2a2a∴|2a（2）解：設a+2b與a?b的夾角為a+2b=(4a?b=(1∴cosθ=∴向量a+2b與a?【解析】【分析】（1）根據平面向量的坐標運算求模長即可；

（2）根據平面向量的坐標運算求夾角的余弦值．18．【答案】（1）解：因為a=(?1，3)，b=(2，?4)，m=所以m=n=因為m//n，所以整理為k2解得k=?1或2；（2）解：因為m⊥所以(?2k?1整理為7k解得：k=?9±3【解析】【分析】（1）由題意得m→=(?2k?1，4k+3)19．【答案】（1）解：∵π<α<3π2，∴α為第三象限角，故∵cosα=?45，∴sin(α+（2）解：由（1）得cosα=?45，sinα=?3又角β的終邊過點P(7，3)，故β為第一象限角，∴tan(2α?β)=【解析】【分析】（1）根據已知可判斷α為第三象限角可求得sinα=?35，利用兩角和的正弦公式求解即可；

（2）由（1）可得tanα=34，利用二倍角的正切公式得20．【答案】（1）解：因為α，β都是銳角，即0<α<π2∴?∴又sin(α?β)=∴∴（2）解：由tanθ=12，tan∵θ為銳角，φ為鈍角即0<θ<π2∴∴θ+φ=【解析】【分析】（1）由0<α<π2，0<β<π2，得?π2<α?β<π2，由同角三角函數的基本關系推出sin21．【答案】（1）解：如圖，設小艇以每小時vkm的速度從B處出發(fā)，沿BD方向行駛，t小時后與運動員在D處相遇，在△ABD中，AB=75，AD=15t，BC=45，故sin∠BAD=由余弦定理求得BD則v2整理得：v2當1t=425時，即t=25即小艇至少以每小時9km的速度從B處出發(fā)才能追上運動員.（2）解：當小艇以每小時9km的速度從B處出發(fā)，經過時間t=25故BD=9×254=56又sin∠BAD=35，由正弦定理得BD故∠ABD=90°.即小艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB的夾角為90°.【解析】【分析】（1）設小艇以每小時vkm的速度從B處出發(fā)，沿BD方向行駛，t小時