一輪復(fù)習(xí)配套講義：第3篇-第2講-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式[最新考綱]1．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.知識(shí)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限3.特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度數(shù)0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πsinα0eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)1eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)0cosα1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－1tanα0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)0辨析感悟1．對(duì)三角函數(shù)關(guān)系式的理解(1)若α，β為銳角，sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．(×)(3)(教材練習(xí)改編)已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則cosα＝eq\f(3,5).(×)2．對(duì)誘導(dǎo)公式的認(rèn)識(shí)(4)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角． (√)(5)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化． (√)(6)角π＋α和α終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．(×)3．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用(7)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosθ＝eq\f(1,3). (×)(8)(2013·廣東卷改編)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，則cosα＝－eq\f(1,5).(×)[感悟·提升]1．一點(diǎn)提醒平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系式中的角都是同一個(gè)角，且商數(shù)關(guān)系式中α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．2．兩個(gè)防范一是利用平方關(guān)系式解決問(wèn)題時(shí)，要注意開方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，需要根據(jù)角α的范圍確定，如(3)；二是利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳，特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定．考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例1】(1)已知tanα＝2，則eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝___________，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.(2)(2014·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知sinθ·cosθ＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)，則cosθ－sinθ的值為________．解析(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×2－3,4×2－9)＝－1，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.(2)當(dāng)eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)時(shí)，sinθ＞cosθ，∴cosθ－sinθ＜0，又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，∴cosθ－sinθ＝－eq\f(\r(3),2).答案(1)－11(2)－eq\f(\r(3),2)學(xué)生用書第52頁(yè)規(guī)律方法(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用，對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)關(guān)于sinα，cosα的齊次式，往往化為關(guān)于tanα的式子．【訓(xùn)練1】(1)已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，0＜α＜π，則tanα＝______.(2)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα＝________.解析(1)法一聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.又0＜α＜π，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).法二∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).∵sinαcosα＝－eq\f(12,25)＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).(2)∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝eq\f(3,8)，即cosα＝±eq\f(\r(6),4).答案(1)－eq\f(4,3)(2)±eq\f(\r(6),4)考點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式【例2】(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________.(2)設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.解析(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.(2)∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).答案(1)1(2)eq\r(3)規(guī)律方法(1)誘導(dǎo)公式應(yīng)用的原則：負(fù)化正、大化小，化到銳角為終了．(2)誘導(dǎo)公式應(yīng)用的步驟：任意負(fù)角的三角函數(shù)→任意正角的三角函數(shù)→0～2π的角的三角函數(shù)→銳角三角函數(shù)注意：誘導(dǎo)公式應(yīng)用時(shí)不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號(hào)．【訓(xùn)練2】(1)sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1089°)tan(－540°)＝________.(2)化簡(jiǎn)：eq\f(tanπ＋αcos2π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))),cos－α－3πsin－3π－α)＝________.解析(1)原式＝(－sin1071°)·sin99°＋sin171°·sin261°＋tan1089°·tan540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＋tan9°·tan180°＝0＋0＝0.(2)原式＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))),cos3π＋α[－sin3π＋α])＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),－cosαsinα)＝eq\f(tanαcosαcosα,－cosαsinα)＝－eq\f(tanαcosα,sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.答案(1)0(2)－1考點(diǎn)三利用誘導(dǎo)公式求值【例3】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝______；(2)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝________.解析(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝π，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝－taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案(1)eq\f(1,2)(2)－eq\f(\r(3),3)規(guī)律方法巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程．常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．【訓(xùn)練3】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)＋α))＝eq\f(2,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11π,12)))＝________；(2)若tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，則tan(3π－α)＝________.解析(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))，而sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))＝eq\f(2,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11π,12)))＝－eq\f(2,3).(2)因?yàn)閠an(π＋α)＝tanα＝－eq\f(1,2)，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝eq\f(1,2).答案(1)－eq\f(2,3)(2)eq\f(1,2)1．同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號(hào)后，正確取舍．2．三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….方法優(yōu)化2——靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值【典例】(2013·浙江卷)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，則tan2α＝ ()．A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)[一般解法]由sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，得sinα＝eq\f(\r(10),2)－2cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3\r(10),10)，,cosα＝\f(\r(10),10)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(\r(10),10)，,cosα＝\f(3\r(10),10).))所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝3或－eq\f(1,3).當(dāng)tanα＝3時(shí)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×3,1－32)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)tanα＝－eq\f(1,3)時(shí)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(3,4).綜上，tan2α＝－eq\f(3,4).故選C.[優(yōu)美解法]法一(直接法)兩邊平方，再同時(shí)除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3)，代入tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，得到tan2α＝－eq\f(3,4).法二(猜想法)，由給出的數(shù)據(jù)及選項(xiàng)的唯一性，記sinα＝eq\f(3,\r(10))，cosα＝eq\f(1,\r(10))，這時(shí)sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)符合要求，此時(shí)tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.[答案]C[反思感悟](1)熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，特別是要注意公式中的符號(hào)問(wèn)題；(2)注意公式的變形應(yīng)用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)化解題過(guò)程的關(guān)鍵所在．【自主體驗(yàn)】(2013·東北三校模擬)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為()．A.eq\f(\r(2),3)B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)解析法一∵0＜θ＜eq\f(π,4)，∴cosθ＞sinθ，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，∴2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－eq\f(7,9)＝eq\f(2,9)，∴sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).法二∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).∴θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(2\r(2),3)，又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2)＝eq\f(1,3)，∴sinθ－cosθ＝－(cosθ－sinθ)＝－eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),3).答案B基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且β＝－eq\f(π,3)，則sinα等于()．A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)解析因?yàn)棣梁挺碌慕K邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，即得sinα＝eq\f(1,2).答案D2．(2014·臨川一中一調(diào))sineq\f(29π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(29π,3)))－taneq\f(25π,4)＝()．A．0B.eq\f(1,2)C．1D．－eq\f(1,2)解析原式＝sin(4π＋eq\f(5π,6))＋cos(－10π＋eq\f(π,3))－tan(6π＋eq\f(π,4))＝sineq\f(5π,6)＋coseq\f(π,3)－taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－1＝0.答案A3．(2014·鄭州模擬)eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝()．A．sin2－cos2B．sin2＋cos2C．±(sin2－cos2)D．cos2－sin2解析eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝eq\r(sin2－cos22)＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.答案A4．(2014·石家莊模擬)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則sin2α－sinαcosα的值是()．A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．－2D．2解析由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5即tanα＝2，所以sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,5).答案A5．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝()．A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)解析由5x2－7x－6＝0，得x＝－eq\f(3,5)或2.∴sinα＝－eq\f(3,5).∴原式＝eq\f(cosα－cosα·tan2α,sinα·－sinα·－sinα)＝eq\f(1,－sinα)＝eq\f(5,3).答案B二、填空題6．(2014·杭州模擬)如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))的值是________．解析∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))的值為________．解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－eq\f(1,3).答案－eq\f(1,3)8．(2013·江南十校第一次考試)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝eq\f(1,3)，且－π＜α＜－eq\f(π,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝________.解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝eq\f(1,3)，又－π＜α＜－eq\f(π,2)，∴eq\f(7π,12)＜eq\f(π,12)－α＜eq\f(13π,12)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α)))＝－eq\f(2\r(2),3).答案－eq\f(2\r(2),3)三、解答題9．化簡(jiǎn)：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)(k∈Z)．解當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，原式＝eq\f(sin2nπ－αcos[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α)＝eq\f(sin－α·cos－π－α,sinπ＋α·cosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα·cosα)＝－1；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，原式＝eq\f(sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－α·cosα,sinα·cosπ＋α)＝eq\f(sinα·cosα,sinα－cosα)＝－1.綜上，原式＝－1.10．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinAcosA的值；(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求tanA的值．解(1)∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，①∴兩邊平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，∴sinAcosA＝－eq\f(12,25)，(2)由sinAcosA＝－eq\f(12,25)＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，∴A為鈍角，∴△ABC是鈍角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝eq\f(7,5)，②∴由①，②可得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq\f(4,3).能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．(2012·遼寧卷)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則tanα＝()．A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D．1解析法一因?yàn)閟inα－cosα＝eq\r(2)，所以eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\