中考數(shù)學-圓的基本性質(含4種解題技巧)(含答案)

Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第六章圓第27講圓的基本性質（思維導圖+2考點+1命題點20種題型（含4種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一圓的相關概念考點二圓的基本性質04題型精研·考向洞悉命題點圓的基本性質?題型01圓的周長與面積問題?題型02圓中的角度、線段長度的計算?題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解?題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標?題型05垂徑定理在格點中的應用?題型06垂徑定理的實際應用?題型07利用垂徑定理求取值范圍?題型08利用弧，弦，圓心角的關系求解?題型09利用弧，弦，圓心角的關系比較大小?題型10利用弧，弦，圓心角的關系求最值?題型11利用弧，弦，圓心角的關系證明?題型12利用圓周角定理求解?題型13利用圓內接四邊形性質求角度?題型14利用圓的有關性質解決多結論問題?題型15利用圓的有關性質解決翻折問題?題型16與圓有關的新定義問題?題型17利用圓的有關性質解決最值問題?題型18圓的基本性質與函數(shù)綜合?題型19與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距?題型20與圓有關的常見輔助線-遇到直徑時，常添加直徑所對的圓周角Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求垂徑定理★★探索圓周角與圓心角及其所對孤的關系；知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等;了解并證明圓周角定理及其推論;探索并證明垂徑定理.圓周角定理★★★圓內接四邊形的性質★★【考情分析】本專題的內容有理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，探索圓周角與圓心角的關系等，試題形式多樣，難度不等，理解運用圓周角定理、垂徑定理，掌握圓內接四邊形的性質等相關內容，是解決有關圓的問題的基礎.【命題預測】在中考數(shù)學中，圓的基本性質在小題中通?？疾靾A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內接四邊形等基礎考點，難度一般在中檔及以下，而在簡答題中，圓的基本性質還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結合出題，難度中等或偏上.在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在3-13分左右，屬于中考中的中檔考題.所以，考生在復習這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質的各個概念、性質以及推論，才能在后續(xù)的結合問題中更好的舉一反三.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一圓的相關概念1.圓的定義圓的定義[動態(tài)]:如圖，在一個平面內線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓，其中，點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.圓的定義[靜態(tài)]:圓是到定點的距離等于定長的點的集合，其中，定點叫做圓心，定長叫做半徑.圓的表示方法：以點O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”.確定圓的兩個條件：①圓心（確定圓的位置）；②半徑（確定圓的大?。?，兩者缺一不可.2.弦與直徑弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.

直徑：經過圓心的弦叫做直徑.3.弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號“”表示，以A、B為端點的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個字母表示，如右圖中的劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，如右圖中的.等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.4.同圓、等圓、同心圓同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓5.圓心角與圓周角圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.6.弓形和扇形弓形:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形，如圖，弦AB和組成兩個不同的弓形.扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖所示，和半徑OA，OB組成的圖形是一個扇形，讀作“扇形AOB”.1．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線2．（2023·甘肅蘭州·中考真題）我國古代天文學確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點O，過點O作直線與a平行．（1）以O為圓心，單位長為半徑作圓，交直線a于點M，N；（2）分別在MO的延長線及ON上取點A，B，使OA=OB；（3）連接AB，取其中點C，過O，C兩點確定直線b，則直線a∥b．按以上作圖順序，若∠MNO=35°，則∠AOC=（

A．35° B．30° C．25° D．20°3．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形4．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，A22,0，AB=32，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點A．32,0 B．2,0 C．?5．（2022·甘肅武威·中考真題）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學教科書用器畫》由國人自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：原文釋義甲乙丙為定直角．以乙為圓心，以任何半徑作丁戊?。灰远閳A心，以乙丁為半徑畫弧得交點己；再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點庚；乙與己及庚相連作線．如圖2，∠ABC為直角．以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線BA，BC分別于點D，E；以點D為圓心，以BD長為半徑畫弧與DE交于點F；再以點E為圓心，仍以BD長為半徑畫弧與DE交于點G；作射線BF，BG．

(1)根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小關系．考點二圓的基本性質1.圓的對稱性內容圓的軸對稱性經過圓心任意畫一條直線，并沿此直線將圓對折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸.圓的中心對稱性將圓繞圓心旋轉180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.將圓繞圓心旋轉任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉不變性.2.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.3.圓心角、弧、弦之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.4.圓周角定理及圓周角定理的推論圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.5.圓內接四邊形及其性質定理圓內接四邊形：如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形.這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內接四邊形的性質：1）圓內接四邊形對角互補.如圖，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角.如圖，∠1=∠21．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點E，∠BOC=42°，則∠OED的度數(shù)是（）A．61° B．63° C．65° D．67°2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（

）A．順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形B．平分弦的直徑垂直于弦C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等3．（2023·山東東營·中考真題）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB=1寸，CD=10寸，則直徑AB長為寸．4．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為．

5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，AB是⊙O的內接正n邊形的一邊，點C在⊙O上，∠ACB=18°，則n=．

04題型精研·考向洞悉命題點一圓的基本性質?題型01圓的周長與面積問題1．（2023·湖南·中考真題）毛主席在《七律二首?送瘟神》中寫道“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”，我們把地球赤道看成一個圓，這個圓的周長大約為“八萬里”．對宇宙千百年來的探索與追問，是中華民族矢志不渝的航天夢想．從古代詩人屈原發(fā)出的《天問》，到如今我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”，太空探索無上境，偉大夢想不止步．2021年5月15日，我國成功實現(xiàn)火星著陸．科學家已經探明火星的半徑大約是地球半徑的12，若把經過火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長大約為2．（2022·山東濰坊·中考真題）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'3．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍QUOTEQUOTEQUOTE?題型02圓中的角度、線段長度的計算1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離OE=4，則⊙O的半徑長為（

）A．4 B．42 C．5 D．2．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°3．（2024·云南·中考真題）如圖，CD是⊙O的直徑，點A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36°，則A．9° B．18° C．36°4．（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為⊙O的直徑，點B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長為（

）A．2 B．22 C．23?題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點C與點D在AB的兩側，E是OB上一點（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥2．（2024·重慶·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點D、E均在⊙O上，DE與AB交于點F，連接CE，與⊙O交于點G，連接DG．若AB=10,DE=8，則AF=?_．DG=3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CFQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標1．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以M2，3為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點，則點B的坐標是2．（2024·山東·模擬預測）在平面直角坐標系中，圓心在坐標原點、半徑為4的圓被直線y?x=?2所截得的弦長為（

）A．14 B．23 C．214 3．（2023·安徽淮北·三模）如圖，在平面直角坐標系中，A6，0、B0，8，點C在y軸正半軸上，點D在x軸正半軸上，且CD=6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段A．3.6 B．4.8 C．32 D．QUOTE?題型05垂徑定理在格點中的應用1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網格，每個小正方形的邊長均為1，半圓ACB上的點A，(1)在圖中作出弧BC的中點D．(2)連結AC，作出∠BAC的角平分線．(3)在AB上作出點P，使得AP=AC．2．（2024·湖北·模擬預測）如圖是由小正方形組成的8×8網格，每個小正方形的頂點叫做格點．⊙O經過格點A，B，點C為⊙O與格線的交點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)畫出該圓的圓心O，并畫弦AD，使AD平分∠BAC；(2)先將弦AC繞點A順時針旋轉90°得到線段AF，再在圓上畫點E，使AC=BE．3．（2024·山東濰坊·模擬預測）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點BM=4，BN=2．若點P是這個網格圖形中的格點，連結PM，PN，則所有滿足QUOTE?題型06垂徑定理的實際應用1．（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A,B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交AB于點C，測出AB=40?cm,CD=10?cmA．50?cm B．35?cm C．25?cm2．（2023·湖南·中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米．當t=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM=30°，經過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離．（結果精確到0.1米）3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm，高為42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及AC、BD組成的軸對稱圖形，直線l為對稱軸，點M、N分別是AC、BD的中點，如圖2，他又畫出了AC所在的扇形并度量出扇形的圓心角∠AEC=66°，發(fā)現(xiàn)并證明了點E在MN上．請你繼續(xù)完成參考數(shù)據(jù)：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈?題型07利用垂徑定理求取值范圍1．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在半徑為5的⊙О中，弦AB、AC在圓心О的同側，AB=8，AC=6，則關于tan∠BAC的取值所在范圍正確的是（

A．0.225≤tan∠BAC<0.25 C．0.275≤tan∠BAC<0.30 2．（2023·廣東佛山·二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，則OP的長度范圍是（A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤53．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標系xOy中，對于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．如圖，點M的坐標為?1,0，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數(shù)范圍內變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值為22，則b的值為?題型08利用弧，弦，圓心角的關系求解遇到與圓周角，圓心角有關角度計算時，通過輔助線1）作同弧所對的兩個圓周角；2）作同弧所對的一個圓心角，一個圓周角；3）連接多個半徑，構造等腰三角形.?題型09利用弧，弦，圓心角的關系比較大小1．（2024·廣東揭陽·三模）如圖，在⊙O中，AB=2CD，那么（

）A．AB>2CD C．AB=2CD D．AB與2．（2023·河北·中考真題）如圖，點P1~P8是⊙O的八等分點．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小無法比較3．（2024·湖北襄陽·一模）在⊙O中，弦AD=BC．(1)如圖1，比較AB與CD的長度，并證明你的結論．(2)如圖2，DB為⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線與DB的延長線交于點E，若CE∥AB，CD=6，求陰影部分的面積．4．（2022·河北秦皇島·一模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是AB上兩點，過點D作DE∥OC交OB于E點，在OD上取點F，使OF=DE，連接CF并延長交OB于(1)求證：△OCF≌△DOE；(2)若C、D是AB的三等分點，OA=23①求∠OGC；②請比較GE和BE的大?。?題型10利用弧，弦，圓心角的關系求最值1．（2024·吉林·二模）如圖，在扇形OAB中，OC平分∠AOB交AB于點C，點D為半徑OA上一動點，連接BD，CD．若∠AOB=40°,OB=9，則陰影部分圖形周長的最小值為（結果保留π）．2．（2022·浙江湖州·中考真題）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點，BM＝4，BN＝2．若點P是這個網格圖形中的格點，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（

）A．42 B．6 C．210 3．（2023·云南大理·一模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=8cm，C、D為弧AB的三等分點，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是cm

4．（2024·河南駐馬店·三模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，BO=2，C為BO的中點，D為AB上一點，且2BD=AD，連接AC，DC，在OC繞點O旋轉的過程中，當CD5．（2023·山西陽泉·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝12，點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中點，連接MN，P是直徑AB上的動點，若弦MN=2，則△PMN周長的最小值為．

QUOTE?題型11利用弧，弦，圓心角的關系證明1．（2024·內蒙古通遼·中考真題）【實際情境】手工課堂上，老師給每個制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學們認真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．AM=AN，DM=DN．求證：∠AMD=∠AND．【模型應用】（2）如圖2，△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點D．請你從以下兩個條件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中選擇一個作為已知條件，另一個作為結論，并寫出結論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，AC為⊙O的直徑，AB=BC，∠BAC的平分線AD交BC于點E，交⊙O于點D，連接CD．求證：2．（2024·浙江·模擬預測）如圖，AB是半徑為5的⊙O的直徑，C是ABD的中點，連接CD交AB于點E，連接AC，(1)求證：OC⊥AD．(2)若BE=1，求AD的長．(3)如圖2，作CF⊥AB于點H，交AD于點F，射線CB交AD的延長線于點G，若OH=1，求AG的長．3．（2024·廣東·模擬預測）綜合運用如圖所示，圓內接四邊形ABCD中，點B平分CAD，CA平分∠BCD．(1)求證：∠CDE=2∠ECD．(2)若cos∠CBA=12(3)求證：BC?題型12利用圓周角定理求解1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，半徑OA=3，AB=CD，∠DBC=25°A．54π B．58π C．2．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，△ABC內接于⊙O，AD是直徑，若∠B=25°，則∠CAD°．3．（2024·湖北·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓O上一點，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA于點M，交BC于點N，分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內部相交于點D，畫射線BD，連接AC．若∠CAB=50°，則∠CBD的度數(shù)是（

A．30° B．25° C．20° D．15°4．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．點P是BC邊上一動點，點M為線段AP上一動點．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（A．2 B．810521 C．2.4 ?題型13利用圓內接四邊形性質求角度圓內接四邊形的性質定理為證明兩角相等或互補提供了依據(jù).在求角的度數(shù)時往往綜合運用圓內接四邊形的性質、圓周角定理及其推論等知識建立所求角與已知條件的聯(lián)系.1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，分別延長圓內接四邊形ABCD的兩組對邊，延長線相交于點E，F(xiàn)．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，則A．42° B．41°20' C．41° 2．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，∠AOC=128°，則∠CDE等于（

）A．64° B．60° C．54° D．52°3．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延長AD至點E，使AE=AC，延長BA至點F，連結EF，使(1)若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù)．(2)求證：①EF∥BC；②?題型14利用圓的有關性質解決多結論問題1．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，DB交AC于點G，連結AD．給出下面四個結論：①∠ABD=∠DAC；②AF=FG；③當DG=2，GB=3時，F(xiàn)G=142；④當BD=2AD，AB=6時，△DFG的面積是2．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，點P是⊙O上一點，AB是一條弦，點C是APB上一點，與點D關于AB對稱，AD交⊙O于點E，CE與AB交于點F，且BD∥CE．給出下面四個結論：①CD平分∠BCE；

②BE=BD；

③AE2=AF×AB；

④BD為⊙O3．（2021·湖南岳陽·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，BE=8，⊙O為△BCE的外接圓，過點E作⊙O的切線EF交AB于點F，則下列結論正確的是．（寫出所有正確結論的序號）①AE=BC；②∠AED=∠CBD；③若∠DBE=40°，則DE的長為8π9；④DFEF=EFBF4．（2024·江西·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2，點C在線段AB上運動，過點C的弦DE⊥AB，將DBE沿DE翻折交直線AB于點F，當DE的長為正整數(shù)時，線段FB的長為．?題型15利用圓的有關性質解決翻折問題1．（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，在⊙O中，將AB沿弦AB翻折，使AB恰好經過圓心O，C是劣弧AB上一點．已知AE=2，tan∠CBA=36，則A．23 B．6 C．39 D．2．（2023·浙江金華·三模）在綜合實踐課上，小慧將圖①中圓形紙片沿直徑AB向上對折得到圖②，再沿弦BC向下翻折得到圖③，最后沿弦BD向上翻折得到圖④．（1）若點E是弧BD的中點，則∠ABC=（2）若CE:EB＝1:n，則sin∠ABC=．（用關于n3．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在⊙O中，點C為AB的中點，將弦AB下方的部分沿弦AB翻折，使點C與圓心O重合．點D為優(yōu)弧AB上一點連接BD、CD、BC．若∠BCD=45°，AB=23，則CD=（

A．6+2 B．23 C．1+2?題型16與圓有關的新定義問題1．（2020·山東臨沂·中考真題）我們知道，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離；同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，最短線段的長度，叫做點到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標系中，點A(2,1)到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為．2．（2022·上海·中考真題）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為．3．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點C，給出如下定義：若點C關于直線AB的對稱點C'在⊙O上或其內部，且∠ACB=α，則稱點C是弦AB的“α(1)如圖，點A0,1，B①在點C12,0，C21,2，C312,0中，點___________是弦②若點D是弦AB的“90°可及點”，則點D的橫坐標的最大值為__________；(2)已知P是直線y=3x?3上一點，且存在⊙O的弦MN，使得點P是弦MN的“60°可及點”．記點P的橫坐標為t?題型17利用圓的有關性質解決最值問題1．（2021·四川達州·中考真題）如圖，在邊長為6的等邊ΔABC中，點E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動點，且AE=CF，連接BE，AF交于點P，連接CP，則CP的最小值為．2．（2020·河南·中考真題）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點若OB=2，則陰影部分周長的最小值為．3．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，線段CD繞點C在平面內旋轉，過點B作AD的垂線，交射線AD于點E．若CD=1，則AE的最大值為，最小值為4．（2024·山東濟南·中考真題）某校數(shù)學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足為D．（1）興趣小組的同學得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A請完成填空：①______；②______；（2）如圖2，F(xiàn)為線段CD上一點，連接AF并延長至點E，連接CE，當∠ACE=∠AFC時，請判斷△AEB的形狀，并說明理由．（二）學以致用（3）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面內一點D，滿足AD=AC，連接CD并延長至點E，且∠CEB=∠CBD，當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE?題型18圓的基本性質與函數(shù)綜合1．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=?x?2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C、D是半徑為1的⊙O上兩動點，且CD=2，P為弦CD的中點．當C、D兩點在圓上運動時，△PAB面積的最大值是（

A．8 B．6 C．4 D．3

2．（2024·海南·中考真題）如圖1，拋物線y=?x2+bx+4經過點A?4,0、B1,0，交y(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當點P的坐標為?2,6時，求四邊形AOCP的面積；(3)當∠PBA=45°時，求點P的坐標；(4)過點A、O、C的圓交拋物線于點E、F，如圖2．連接AE、AF、EF，判斷△AEF的形狀，并說明理由．3．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐如圖，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連接CD，以CD為直角邊在CD的右側構造Rt△CDE，∠DCE=90°，連接BE，特例感知（1）如圖1，當m=1時，BE與AD之間的位置關系是______，數(shù)量關系是______；類比遷移（2）如圖2，當m≠1時，猜想BE與AD之間的位置關系和數(shù)量關系，并證明猜想．拓展應用（3）在（1）的條件下，點F與點C關于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC=6，設AD=x，四邊形CDFE的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；②當BF=2時，請直接寫出AD的長度．4．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l:y=12x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，點P（1）求A、B兩點的坐標；（2）設△PAO的面積為S，求S關于x的函數(shù)解析式：并寫出x的取值范圍；（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點Q，當△POQ的面積最小時，求⊙C的半徑．?題型19與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距有弦無垂徑時，可過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長度；【補充】在構造Rt△ODE中，半徑OD，弦心距OE,弦長CD，拱高BE四個量知二推二.1．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

2．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，小區(qū)內有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，則這個花壇的面積為．（結果保留π）3．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm，C為⊙O上一點，∠ACB=60°，則AB的長為cm．?題型20與圓有關的常見輔助線-遇到直徑時，常添加直徑所對的圓周角1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC=2CD，則∠BAD的度數(shù)是°．2．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠BAC=50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為

3．（2023·重慶·中考真題）如圖，⊙O是矩形ABCD的外接圓，若AB=4,AD=3，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）

4．（2021·山東泰安·中考真題）若△ABC為直角三角形，AC=BC=4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為．第六章圓第27講圓的基本性質（思維導圖+2考點+1命題點20種題型（含4種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一圓的相關概念考點二圓的基本性質04題型精研·考向洞悉命題點圓的基本性質?題型01圓的周長與面積問題?題型02圓中的角度、線段長度的計算?題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解?題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標?題型05垂徑定理在格點中的應用?題型06垂徑定理的實際應用?題型07利用垂徑定理求取值范圍?題型08利用弧，弦，圓心角的關系求解?題型09利用弧，弦，圓心角的關系比較大小?題型10利用弧，弦，圓心角的關系求最值?題型11利用弧，弦，圓心角的關系證明?題型12利用圓周角定理求解?題型13利用圓內接四邊形性質求角度?題型14利用圓的有關性質解決多結論問題?題型15利用圓的有關性質解決翻折問題?題型16與圓有關的新定義問題?題型17利用圓的有關性質解決最值問題?題型18圓的基本性質與函數(shù)綜合?題型19與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距?題型20與圓有關的常見輔助線-遇到直徑時，常添加直徑所對的圓周角

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求垂徑定理★★探索圓周角與圓心角及其所對孤的關系；知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等;了解并證明圓周角定理及其推論;探索并證明垂徑定理.圓周角定理★★★圓內接四邊形的性質★★【考情分析】本熱點的內容有理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，探索圓周角與圓心角的關系等，試題形式多樣，難度不等，理解運用圓周角定理、垂徑定理，掌握圓內接四邊形的性質等相關內容，是解決有關圓的問題的基礎.【命題預測】在中考數(shù)學中，圓的基本性質在小題中通?？疾靾A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內接四邊形等基礎考點，難度一般在中檔及以下，而在簡答題中，圓的基本性質還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結合出題，難度中等或偏上.在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在3-13分左右，屬于中考中的中檔考題.所以，考生在復習這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質的各個概念、性質以及推論，才能在后續(xù)的結合問題中更好的舉一反三.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一圓的相關概念1.圓的定義圓的定義[動態(tài)]:如圖，在一個平面內線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓，其中，點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.圓的定義[靜態(tài)]:圓是到定點的距離等于定長的點的集合，其中，定點叫做圓心，定長叫做半徑.圓的表示方法：以點O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”.確定圓的兩個條件：①圓心（確定圓的位置）；②半徑（確定圓的大?。?，兩者缺一不可.2.弦與直徑弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.

直徑：經過圓心的弦叫做直徑.3.弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號“”表示，以A、B為端點的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個字母表示，如右圖中的劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，如右圖中的.等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.4.同圓、等圓、同心圓同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓5.圓心角與圓周角圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.6.弓形和扇形弓形:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形，如圖，弦AB和組成兩個不同的弓形.扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖所示，和半徑OA，OB組成的圖形是一個扇形，讀作“扇形AOB”.1．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線【答案】C【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧．【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以O為圓心，OA為半徑的一段圓弧，故選：C．2．（2023·甘肅蘭州·中考真題）我國古代天文學確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點O，過點O作直線與a平行．（1）以O為圓心，單位長為半徑作圓，交直線a于點M，N；（2）分別在MO的延長線及ON上取點A，B，使OA=OB；（3）連接AB，取其中點C，過O，C兩點確定直線b，則直線a∥b．按以上作圖順序，若∠MNO=35°，則∠AOC=（

A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】A【分析】證明∠NMO=∠MNO=35°，可得∠AOB=2×35°=70°，結合OA=OB，C為AB的中點，可得∠AOC=∠BOC=35°．【詳解】解：∵∠MNO=35°，MO=NO，∴∠NMO=∠MNO=35°，∴∠AOB=2×35°=70°，∵OA=OB，C為AB的中點，∴∠AOC=∠BOC=35°，故選A．【點睛】本題考查的是圓的基本性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，三角形的外角的性質，熟記等腰三角形的性質是解本題的關鍵．3．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形【答案】B【分析】根據(jù)扇形的定義，即可求解．扇形，是圓的一部分，由兩個半徑和和一段弧圍成．【詳解】解：甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，只有乙是扇形，故選：B．【點睛】本題考查了扇形的定義，熟練掌握扇形的定義是解題的關鍵．4．（2022·青海·中考真題）如圖所示，A22,0，AB=32，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點A．32,0 B．2,0 C．?【答案】C【分析】先求得OA的長，從而求出OC的長即可．【詳解】解：∵A2∴OA=22∵AB=32，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C∴AC=AB=32∴OC=AC?OA=32∵點C為x軸負半軸上的點，∴C?2故選：C．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質，勾股定理等知識，明確AB=AC是解題的關鍵．5．（2022·甘肅武威·中考真題）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學教科書用器畫》由國人自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：原文釋義甲乙丙為定直角．以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧；以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交點己；再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點庚；乙與己及庚相連作線．如圖2，∠ABC為直角．以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線BA，BC分別于點D，E；以點D為圓心，以BD長為半徑畫弧與DE交于點F；再以點E為圓心，仍以BD長為半徑畫弧與DE交于點G；作射線BF，BG．

(1)根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小關系．【答案】(1)見解析(2)∠DBG=∠GBF=∠FBE【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）連接DF，EG，可得△BDF和△BEG均為等邊三角形，∠DBF=∠EBG=60°，進而可得∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°．【詳解】（1）解：（1）如圖：

（2）∠DBG=∠GBF=∠FBE．理由：連接DF，EG如圖所示

則BD=BF=DF，BE=BG=EG即△BDF和△BEG均為等邊三角形∴∠DBF=∠EBG=60°∵∠ABC=90°∴∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關鍵．考點二圓的基本性質1.圓的對稱性內容圓的軸對稱性經過圓心任意畫一條直線，并沿此直線將圓對折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸.圓的中心對稱性將圓繞圓心旋轉180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.將圓繞圓心旋轉任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉不變性.2.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.3.圓心角、弧、弦之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.4.圓周角定理及圓周角定理的推論圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.5.圓內接四邊形及其性質定理圓內接四邊形：如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形.這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內接四邊形的性質：1）圓內接四邊形對角互補.如圖，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角.如圖，∠1=∠21．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點E，∠BOC=42°，則∠OED的度數(shù)是（）A．61° B．63° C．65° D．67°【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質．先根據(jù)垂徑定理，求得∠AOC=∠BOC=42°，利用圓周角定理求得∠D=1【詳解】解：∵半徑OC⊥AB，∴AC=∴∠AOC=∠BOC=42°，∠AOB=84°，∵AC=∴∠D=1∴∠OED=∠AOB?∠D=63°，故選：B．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（

）A．順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形B．平分弦的直徑垂直于弦C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等【答案】C【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關系，根據(jù)相關定理逐項分析判斷，即可求解．【詳解】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項正確，符合題意；D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．3．（2023·山東東營·中考真題）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶⑸钜淮?，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB=1寸，CD=10寸，則直徑AB長為寸．【答案】26【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，設OC=OB=r寸，則OE=r?1寸，由垂徑定理得到EC=ED=5寸，再由勾股定理可得方程r【詳解】解：設OC=OB=r寸，則OE=r?1∵AB⊥CD，AB是直徑，∴EC=ED=5寸，在Rt△OCE中，由勾股定理得O∴r∴r=13，∴AB=2×13=26寸，故答案為：26．4．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為．

【答案】52.5°【分析】方法一∶如圖：連接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由題意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°?25°=25°，然后再根據(jù)等腰三角形的性質求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根據(jù)角的和差即可解答．方法二∶連接OB,OD，由題意可得：∠BAD=105°，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】方法一∶解：如圖：連接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由題意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°?25°=25°，∠AOD=155°?25°=130°，∴∠OAB=12180°?∠AOB∴∠BAD=∠OAB?∠OAD=52.5°．故答案為52.5°．

方法二∶解∶連接OB,OD，由題意可得：∠BAD=155°?50°=105°，根據(jù)圓周角定理，知∠BAD=1故答案為52.5°．

【點睛】本題主要考查了角的度量、圓周角定理等知識點，掌握圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半是解答本題的關鍵．5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，AB是⊙O的內接正n邊形的一邊，點C在⊙O上，∠ACB=18°，則n=．

【答案】10【分析】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識，求出中心角的度數(shù)是解題的關鍵．由圓周角定理得∠AOB=36°，再根據(jù)正n邊形的邊數(shù)n=360°÷中心角，即可得出結論．【詳解】解：∵∠ACB=18°，∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，∴n=360°÷36°=10，故答案為：10．04題型精研·考向洞悉命題點一圓的基本性質?題型01圓的周長與面積問題1．（2023·湖南·中考真題）毛主席在《七律二首?送瘟神》中寫道“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”，我們把地球赤道看成一個圓，這個圓的周長大約為“八萬里”．對宇宙千百年來的探索與追問，是中華民族矢志不渝的航天夢想．從古代詩人屈原發(fā)出的《天問》，到如今我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”，太空探索無上境，偉大夢想不止步．2021年5月15日，我國成功實現(xiàn)火星著陸．科學家已經探明火星的半徑大約是地球半徑的12，若把經過火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長大約為【答案】4【分析】先求出地球的半徑，再根據(jù)火星的半徑大約是地球半徑的12【詳解】解：設地球的半徑為r萬里，則2π解得r=4∴火星的半徑為2π∴經過火星球心的截面的圓的周長大約為2π×2π=4(故答案為：4．【點睛】本題考查了圓的周長，熟練掌握圓的周長公式是關鍵．2．（2022·山東濰坊·中考真題）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'【答案】4【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積為4，求出AB=2，根據(jù)位似比求出A'B'=4，周長即可得出；【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為4，∴AB=2，∵A'B':AB=2:1，∴A'B'=4，∴A'C'=4所求周長=42故答案為：42【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解題關鍵求出正方形ABCD的邊長．3．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【答案】B【分析】設OB=x，則OA=3x，BC=2x，根據(jù)圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進而即可求解．【詳解】解：由圓和正方形的對稱性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，∴設OB=x，則OA=3x，BC=2x，∴圓的面積=π(3x)2=9πx2，正方形的面積=122x2=2∴9πx2÷2x2=92故選B．【點睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對稱性，根據(jù)題意畫出圖形，用未知數(shù)表示各個圖形的面積，是解題的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02圓中的角度、線段長度的計算1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離OE=4，則⊙O的半徑長為（

）A．4 B．42 C．5 D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到AE，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離OE=4，∴OE⊥AB，AE=1在Rt△AOE中，OA=故選：B．2．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質．連接OB，OC，證明△AOB和△BOC都是等邊三角形，求得∠BPC=30°，利用三角形內角和定理求得∠PBC=20°，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接OB，OC，∵AD是半圓O的直徑，AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∴△AOB和△BOC都是等邊三角形，∴∠OBC=∠OBA=60°，∵BC=∴∠BPC=1∵∠PCB=130°，∴∠PBC=180°?130°?30°=20°，∴∠PBO=60°?20°=40°，∴∠PBA=40°+60°=100°，故選：B．3．（2024·云南·中考真題）如圖，CD是⊙O的直徑，點A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36°，則A．9° B．18° C．36°【答案】B【分析】本題考查了弧弦圓心角的關系，圓周角定理，連接OB，由AC=BC可得【詳解】解：連接OB，∵AC=∴∠BOC=∠AOC=36°，∴∠D=1故選：B．4．（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為⊙O的直徑，點B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長為（

）A．2 B．22 C．23【答案】C【分析】本題考查圓周角定理及勾股定理，根據(jù)同弧所對圓周角相等及直徑所對圓周角是直角得到∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=90°，根據(jù)CD=2得到AC=2CD=4，最后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案【詳解】解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵AD=AD，∴∠ACD=∠ABD=60°，∴∠DAC=90°?60°=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=4故選：C．?題型03利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點C與點D在AB的兩側，E是OB上一點（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥【答案】(1)3(2)見解析【分析】（1）利用等邊對等角、三角形內角和定理求出∠OBC=∠OCB=12180°?∠BOC，結合∠BOC=2∠BCE，可得出∠OBC+∠BCE=90°（2）法一：過O作OF⊥BD于F，利用垂徑定理等可得出BF=12BD=OE，然后利用HL定理證明Rt法二：連接AD，證明△CEO∽△ADB，得出∠COE=∠ABD，然后利用平行線的判定即可得證【詳解】（1）解∶∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=1∵∠BOC=2∠BCE，∴∠OBC=12180°?2∠BCE∴∠OEC=90°，∴OC∴OC解得OC=3，即⊙O的半徑為3；（2）證明：法一：過O作OF⊥BD于F，∴BF=1∵BD=2OE∴OE=BF，又OC=OB，∠OEC=∠BFO=90°，∴Rt△CEO≌∴∠COE=∠OBF，∴BD∥法二：連接AD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD=A∴OCAB∴△CEO∽△ADB，∴∠COE=∠ABD，∴BD∥【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全等三角形的判定與性質等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關鍵．2．（2024·重慶·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點D、E均在⊙O上，DE與AB交于點F，連接CE，與⊙O交于點G，連接DG．若AB=10,DE=8，則AF=?_．DG=【答案】8201313【分析】連接DO并延長，交⊙O于點H，連接GH，設CE、AB交于點M，根據(jù)四邊形ACDE為平行四邊形，得出DE∥AC，AC=DE=8，證明AB⊥DE，根據(jù)垂徑定理得出DF=EF=12DE=4，根據(jù)勾股定理得出OF=OD2?DF2=3，求出AF=OA+OF=5+3=8；證明△EFM∽△CAM，得出EFAC【詳解】解：連接DO并延長，交⊙O于點H，連接GH，設CE、AB交于點M，如圖所示：∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，∴AB⊥AC，∴∠CAB=90°，∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴DE∥AC，AC=DE=8，∴∠BFD=∠CAB=90°，∴AB⊥DE，∴DF=EF=1∵AB=10，∴DO=BO=AO=1∴OF=O∴AF=OA+OF=5+3=8；∵DE∥AC，∴△EFM∽△CAM，∴EFAC∴48即48解得：FM=8∴EM=E∵DH為直徑，∴∠DGH=90°，∴∠DGH=∠EFM，∵DG=∴∠DEG=∠DHG，∴△EFM∽△HGD，∴FMDG即83解得：DG=20故答案為：8；2013【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由垂徑定理，得AD=BD

AC=BC，由圓周角定理，得（2）可證△ACF∽△ECA得ACEC=CFCA；Rt△ADC【詳解】（1）證明：∵OC⊥AB

OC是⊙O的半徑∴AD=BD，

AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所對的圓周角相等）（2）解：∵∠BAC=∠E

又∵∠ACF=∠ECA∴△ACF∽△ECA（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴ACEC∵AB=8

∴AD=BD=4在Rt△ADC中∠ADC=90°

AD=4

∴AC=AD即25∴CF=2【點睛】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理；由相似三角形得到線段間的數(shù)量關系是解題的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標1．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以M2，3為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點，則點B的坐標是【答案】(4,3?【分析】如圖，連接BC，設圓與x軸相切于點D，連接MD交BC與點E，結合已知條件，則可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，進而即可求得B的坐標．【詳解】如圖，連接BC，設圓與x軸相切于點D，連接MD交BC與點E，則MD⊥x軸，∵AB為直徑，則∠ACB=90°，∴BC⊥MD，∴BC//∵M2，3∴MB=MD=3，CE=EB=2，∴ME=MB2?EB∴DE=MD?ME=3?5∵BC//∴B(4,3?5故答案為：(4,3?5【點睛】本題考查了圓的性質，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質，勾股定理，坐標與圖形，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2024·山東·模擬預測）在平面直角坐標系中，圓心在坐標原點、半徑為4的圓被直線y?x=?2所截得的弦長為（

）A．14 B．23 C．214 【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，設圓心為O，直線y?x=?2與圓O交于A，B兩點，x軸，y軸交于點C，點D，過點O作OH⊥直線y?x=?2，連接OB，求出C2,0，D0,?2，進而證明△OCD是等腰直角三角形，得到∠OCD=45°，由∠OHB=90°，易證△OCH是等腰直角三角形，求出OH=CH=2，再根據(jù)OB=4，利用勾股定理即可求BH=【詳解】解：如圖，設圓心為O，直線y?x=?2與圓O交于A，B兩點，x軸，y軸交于點C，點D，過點O作OH⊥直線y?x=?2，連接OB，在直線y?x=?2中，令x=0，則y=?2，令y=0，則x=2，∴C2,0，D∴OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠OCD=45°，∵∠OHB=90°，∴△OCH是等腰直角三角形，∴OH=CH=2∵OB=4，∴BH=O∵OH⊥AB，點O為圓心，∴OA=OB=14∴AB=214∴半徑為4的圓被直線y?x=?2所截得的弦長為214故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，等腰直角三角形的判定與性質，坐標與圖形，根據(jù)題意作出圖形是解題的關鍵．3．（2023·安徽淮北·三模）如圖，在平面直角坐標系中，A6，0、B0，8，點C在y軸正半軸上，點D在x軸正半軸上，且CD=6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段A．3.6 B．4.8 C．32 D．【答案】B【分析】過CD的中點G作EF的垂線與AB交于點M，過點O作OH⊥AB于H，連接OG、FG，先求出OA=6，OB=8，進而求出AB=10，再根據(jù)等面積法求出OH=4.8，由直角三角形斜邊中線的性質得到OG=FG=3，由垂徑定理得到EF=2FM，由FM=9?GM2，可知當GM最小時，F(xiàn)M最大，即EF最大，再由OG+GM≥OH，得到G【詳解】解：過CD的中點G作EF的垂線與AB交于點M，過點O作OH⊥AB于H，連接OG、FG∵A6,0，∴OA=6，∴AB=O∵S△ABC∴OH=OA?OB∵CD=6，∠COD=90°，G為∴OG=FG=1∵GM⊥EF，∴∠GMF=90°，∴FM=G∴當GM最小時，F(xiàn)M最大，即EF最大，∵OG+GM≥OH，∴3+GM≥4.8，∴GM≥1.8，即GM∴FM∴EF故選B．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、坐標與圖形、直角三角形斜邊上的中線的性質等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．QUOTE?題型05垂徑定理在格點中的應用1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網格，每個小正方形的邊長均為1，半圓ACB上的點A，(1)在圖中作出弧BC的中點D．(2)連結AC，作出∠BAC的角平分線．(3)在AB上作出點P，使得AP=AC．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連BC與網格線交于一格點G，以O為端點，作射線OG與圓弧交于點D，（2）作射線AD，則AD即是∠BAC的角平分線，（3）連結BD并延長，交AC的延長線于點E,AD與BC交于點F，連結EF并延長交AB于點P，則AP=AC．本題考查了無刻度直尺作圖，垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質定理，解題的關鍵是：熟練掌握無刻度直尺作圖，與相關定理的結合．【詳解】（1）解：由格點可知G為BC中點，根據(jù)垂徑定理可得，點D為弧BC的中點，點D即為所求，（2）解：∵點D為弧BC的中點，根據(jù)圓周角定理，可得∠CAD=∠BAD，AD即為所求，（3）解：∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=∠ADE=90°，∠BCE=90°，∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABDASA∴ED=BD，∠AED=∠ABD，∴AD是BE的垂直平分線，∴FE=FB，∴∠FEB=∠FBE，∴△EPB≌△BCEASA∴∠EPB=∠BCE=90°，∴△ACF≌△APFAAS∴AP=AC，作圖如下：．2．（2024·湖北·模擬預測）如圖是由小正方形組成的8×8網格，每個小正方形的頂點叫做格點．⊙O經過格點A，B，點C為⊙O與格線的交點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)畫出該圓的圓心O，并畫弦AD，使AD平分∠BAC；(2)先將弦AC繞點A順時針旋轉90°得到線段AF，再在圓上畫點E，使AC=BE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）CN為圓的直徑，根據(jù)對稱性知CN與格線的交點O為圓心；P為BC中點，根據(jù)垂徑定理推論得OP⊥BC，OD平分BC，根據(jù)圓周角定理得∠BAD=∠CAD，AD平分∠BAC；（2）∠CAN=90°，由AAS可得AC、AF所在的兩個直角三角形全等，得到AF=AC；根據(jù)BE與AC對稱，得到BE=AC．【詳解】（1）如圖，取圓與格線交點N，連接CN交格線于點O，O即為圓心；連接BC，交格線于點P，作射線OP交⊙O于點D，連接AD，AD即為作求作；（2）如圖，取⊙O與格線交點N，連接AN交一條格線于點F，線段AF即為所求作；取⊙O與AB上方的一條格線交點E，連接BE，線段BE即為所求作．【點睛】本題主經考查了網格作圖．熟練掌握圓周角定理及其推論，垂徑定理，旋轉性質，全等三角形的判定和性質，圓的對稱性，是解決問題的關鍵．3．（2024·山東濰坊·模擬預測）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點BM=4，BN=2．若點P是這個網格圖形中的格點，連結PM，PN，則所有滿足【答案】2【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，得出邊PM的長的最大值等于圓O的直徑是解題的關鍵．作線段MN中點Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=12MN，以O為圓心，OM為半徑作圓，通過圖形可知，當點P在P'位置時，恰好過格點且P'M經過圓心O，此時P'M最大，等于圓O的直徑，得出【詳解】解：作線段MN中點Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=12MN，以O為圓心，OM∵OQ為MN垂直平分線且OQ=12MN∴OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，∴弦MN所對的圓O的圓周角為45°，∴點P在圓O上，PM為圓O的弦，通過圖形可知，當點P在P'位置時，恰好過格點且P'M∴此時P'M最大，等于圓∵BM＝4，BN＝2，∴MN=2∴MQ=OQ=5，∴OM=2MQ=∴P'即邊PM的長的最大值為210QUOTE?題型06垂徑定理的實際應用1．（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A,B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交AB于點C，測出AB=40?cm,CD=10?cmA．50?cm B．35?cm C．25?cm【答案】C【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識．由垂徑定理，可得出BD的長；設圓心為O，連接OB，在Rt△OBD中，可用半徑OB表示出OD【詳解】解：∵CD是線段AB的垂直平分線，∴直線CD經過圓心，設圓心為O，連接OB．

Rt△OBD中，BD=1根據(jù)勾股定理得：ODOB?102解得：OB=25；故輪子的半徑為25cm故選：C．2．（2023·湖南·中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米．當t=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM=30°，經過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離．（結果精確到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離為0.3米．【分析】（1）先求得該盛水筒的運動速度，再利用周角的定義即可求解；（2）作BC⊥OM于點C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求得OD的長，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得【詳解】（1）解：∵旋轉一周用時120秒，∴每秒旋轉360°120當經過95秒后該盛水筒運動到點B處時，∠AOB=360°?3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°?30°=45°；（2）解：作B