中考數學-一元二次方程及其應用(含6種解題技巧)(含答案)

Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第二章方程與不等式第07講一元二次方程及其應用（思維導圖+4考點+4命題點15種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一一元二次方程及解法考點二根的判別式考點三一元二次方程根與系數的關系考點四一元二次方程的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值?題型02選用合適的方法解一元二次方程?題型03以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程?題型04配方法的應用?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程命題點二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況?題型02根據根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍?題型03利用根的判別式求代數式的值?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式命題點三一元二次方程根與系數的關系?題型01不解方程，求方程中參數的值?題型02不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值命題點四一元二次方程的實際應用?題型01變化率問題?題型02幾何圖形問題?題型03以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用?題型04以數學文化為背景考查一元二次方程的實際應用Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求一元二次方程及其解法★★理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程一元二次方程根的判別式★會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等一元二次方程根與系數的關系★★了解一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程的實際應用變化率問題★★能根據現實情境理解方程的意義；能針對具體問題列出方程；能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.利潤問題★★循環(huán)問題★面積問題★其它問題★【考情分析1】本專題包括利用根的判別式確定一元二次方程解的情況、已知方程解的情況確定方程中未知字母的值及利用根與系數關系求解某些特定形式的代數式的值,試題形式多樣，難度一般，常與完全平方公式的各種變形結合考查.【考情分析2】一元二次方程的應用的考查多以解答題形式出現，難度一般，主要涉及的問題有變化率問題、利潤問題、幾何圖形問題等.解決實際問題時，要檢驗所求解是否滿足實際意義，注意取舍.【命題預測】本考點內容以考查一元二次方程的相關概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達定理（根與系數的關系）、一元二次方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考察最值問題，年年考查，分值為12分左右.預計2025年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型，復習過程中要多注意各基礎考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數頂點坐標的縱坐標公式記混了．02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一一元二次方程及解法一、一元二次方程基礎一元二次方程的定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號左邊是一個關于未知數的二次多項式，等號右邊是0.其中：【易錯/熱考】如果明確了ax2+一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（根）.判斷一個數是不是一元二次方程的根：將此數代人這個一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.二、一元二次方程的解法基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.1.直接開平方法（基礎）例：形如ax2=b當b＞0時，則x1=ba=，x2=-當b＝0時，則，此時方程有兩個相等的實數根；當b＜0時，則方程無實數根.2.配方法（基礎）配方的實質：將方程化為的形式，當m≥0時，直接用直接開平方法求解.用配方法解一元二次方程的一般步驟：1）移項：將常數項移到等號右邊,含未知數的項移到等號左邊；2）二次項系數化為1：如果二次項系數不是1，將方程兩邊同時除以二次項系數；3）配方：方程兩邊都加上一次項系數一般的平方，把方程化為的形式；4）求解：若q≥0時，直接用直接開平方法求解.3.公式法用公式法解一元二次方程的一般步驟：1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數是分數通常將其化為整數，方便計算)；2）求出的值，根據其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果,將a、b、c的值代入求根公式：；4）最后求出.【補充說明】求根公式的使用條件：4.因式分解法依據：如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.步驟：1）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；4）求解.【易錯易混】利用因式分解法解方程時，含有未知數的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x-2x+3=0，將其化成二次項系數為正數的一般形式后，它的常數項是2．（2025·云南昆明·一模）若關于x的方程m+1x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（

A．m≠-1 B．m=1 C．m>1 D．m≠03．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x2-3x+m=0的一個根為1，則m=4．（2024·山東德州·中考真題）把多項式x2-3x+4進行配方，結果為（A．x-32-5 C．x-3225．（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0時，將它轉化為(x+a)2=b的形式，則A．-2024 B．2024 C．-1 D．1考點二根的判別式根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.根的情況與判別式的關系：在實數范圍內，一元二次方程的根的情況由其系數a，b，c，即確定.1）方程有兩個不相等的實根:x=-b±b2）方程有兩個相等的實根：x1=x3）方程無實根.【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數根；2）有兩個不相等的實數根．【易錯易混】1）使用一元二次方程根的判別式時，應先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；2）當時，方程有兩個相等的實數根，不能說方程只有一個實數根.1．（2023·吉林·中考真題）一元二次方程x2-5x+2=0根的判別式的值是（A．33 B．23 C．17 D．172．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線y=x2-x+c（c是常數）與x軸沒有交點，則c3．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．4．（2024·上海寶山·一模）一次函數y=-3x-a不經過第三象限，關于x的方程ax2-3x+1=05．（2024·四川眉山·二模）已知關于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)設方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足x1QUOTEQUOTE考點三一元二次方程根與系數的關系 若一元二次方程的兩個根是，則與方程的系數a，b，c之間有如下關系：x1+x2＝-ba，x1【補充說明】1）一元二次方程根與系數關系的使用條件：.2）當一元二次方程的二次項系數為1時，如，其兩根關系為x1+x2＝-p，x13）以兩個數為根的一元二次方程（二次項系數為1）是.4）運用根與系數的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是-2和-5．則原來的方程是(

)A．x2+6x+5=0 C．x2-5x+2=0 2．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程x2-2x+k=0的一個根為-2，則方程的另一個根為3．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程x2+x-2=0的兩根分別為x1，x2，則4．（2023·青海西寧·中考真題）先化簡，再求值：aa2-b2-1考點四一元二次方程的實際應用用一元二次方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.一元二次方程的常見問題及數量關系：常見問題數量關系變化率問題利潤問題利潤=售價-進價；利潤率=利潤/進價×100%總利潤=總售價-總成本=單個利潤×總銷售量.循環(huán)問題單循環(huán)（如握手問題）：12雙循環(huán)（如寫信問題）：n（n－1）（其中n為人數）面積問題(a?2x)(b?2x)（x為空白部分的寬）(a?x)(b?x)（x為陰影部分的寬）

1．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產7200kg，2023年平均每公頃產8450kg．求水稻每公頃產量的年平均增長率．設水稻每公頃產量的年平均增長率為x．列方程為（A．72001+x2=8450C．84501-x2=72002．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產更高效，提升了水稻畝產量，水稻畝產量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產量年平均增長率為x，則可列方程為（

）A．670×1+2x=780 C．670×1+x23．（2024·四川內江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，則符合題意得方程是（A．0.641+x=0.69 C．0.641+2x=0.69 4．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（

）A．x+1+x=36 B．21+x=36 C．5．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（

）A．201+2x=31.2 C．201+x2=31.26．（2021·山西·中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最小數（請用方程知識解答）．7．（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調研發(fā)現，每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數關系式；(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？(3)當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？04題型精研·考向洞悉命題點一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值1．（2024·四川涼山·中考真題）若關于x的一元二次方程a+2x2+x+a2-4=0的一個根是A．2 B．-2 C．2或-2 D．12．（2024·山東煙臺·中考真題）若一元二次方程2x2-4x-1=0的兩根為m，n，則33．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x2+4x-1=0的一個根，則(m+5)(m-1)的值為4．（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程x2-2x-1=0的根，則mQUOTEQUOTEQUOTE?題型02選用合適的方法解一元二次方程已知a，b，c分別為二次項系數，一次項系數，常數項.1）當a=1，b為偶數，c≠0時，首選配方法；2）當b=0時，首選直接開平方法；3）當c=0時，可選因式分解法或配方法；4）當a=1，b≠0，c≠0時，可選配方法或因式分解法；5）當a≠1，b≠0，c≠0時，可選公式法或因式分解法.1．（2024·安徽·中考真題）解方程：x2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：(2x+3)3．（2024·貴州·模擬預測）計算(1)3(2)從下列方程中任選一個方程，并用適當的方法解方程①x2-8x-1=0

②x+324．（2024·湖南衡陽·一模）（1）用配方法解方程：x2（2）用適當的方法解方程：x2x-1?題型03以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程1．（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程3x-3小敏：兩邊同除以x-3，得3=x-3，則x=6．小霞：移項，得3x-3提取公因式，得x-33-x-3則x-3=0或3-x-3=0，解得x1=3，你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．2．（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x解：移項，得2x二次項系數化為1，得x2配方，得(x+2)2由此可得x+2=±22所以，x1=-2+22(1)小明同學的解答過程，從第________步開始出現錯誤；(2)請你寫出正確的解答過程．3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2解法一：xx(x-2)=3x=1或x-2=3∴x1=1解法二：a=1，b=-2，c=-3b∵b∴此方程無實數根．(1)判斷：兩位同學的解題過程是否正確，若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”．(2)請選擇合適的方法求解此方程．4.（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學用配方法解x2解：原方程可化為x2配方，得x2即(x-42直接開平方，得x-42所以x1=42(1)這位同學的解題過程從第______步開始出現錯誤；(2)請你正確求解該方程．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04配方法的應用【利用配方法求代數式的最值】求多項式的最值時，要先把多項式配方成的形式.若a＞0，則代數式有最小值；若a＜0,則代數式有最大值.1．（2022·山東德州·中考真題）已知M=a2-a，N=a-2（a為任意實數），則M-NA．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無法確定2．（2023·江蘇連云港·中考真題）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（3．（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現，比較4m與m2①當m=3時，4mm2②當m=2時，4mm2③當m=-3時，4mm2（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過計算比較．x2+2與4．（2023·江蘇揚州·二模）（1）數學活動小組在研究函數y=x+1①函數y=x+1x的自變量x的取值范圍是②容易發(fā)現，當x>0時，y>0；當x<0時，y<0．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當x>0時，y=x+1當x=1x時，即x=1請仿照上述過程，求出當x<0時，y的最大值；（2）當x>0時，求y=x（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程以開放性試題的形式考查直接解一元二次方程，解題時可以根據題目選擇不同的方法解決問題有利于培優(yōu)策略性思維。1．（2023·貴州六盤水·一模）（1）小明解分式方程2x+3x去分母，得2x+3=1-x-1去括號，得2x+3=1-x+1，…第二步移項，得2x+x=1+1-3，…第三步合并同類項，得3x=-1，…第四步系數化為1，得x=-1檢驗：當x=-13時，∴x=-1上述解答過程是從第步開始出現錯誤的，請寫出正確的解答過程；（2）在初中階段，我們已經學習了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+6x-3=0；②x2-4x=0；③2．（2023·貴州黔東南·一模）我們已經學習了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2=25；②x2+6x=-4命題點二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況一元二次方程根的情況與判別式的關系：1）方程有兩個不相等的實根:x=-b±b2）方程有兩個相等的實根：x1=x3）方程無實根.1．（2024·上海·中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（

）A．x2-6x=0 C．x2-6x+6=0 2．（2024·四川自貢·中考真題）關于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情況是（A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根3．（2023·四川廣安·中考真題）已知a，b，c為常數，點P(a,c)在第四象限，則關于x的一元二次方程axA．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根 D．無法判定?題型02根據根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍1）有根Δ≥0;2）有兩個不等根Δ＞0;3）有兩個相等根Δ=0;4）無實數根Δ＜0.【易錯點】根據一元二次方程根的情況確定字母參數的值或取值范圍時，若二次項系數含有所求的字母參數，則不要忽略隱含條件a≠0，否則這個參數的取值范圍會增大，導致解題錯誤.1．（2024·山東泰安·中考真題）關于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有實數根，則實數kA．k<98 B．k≤98 C．2．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關于x的一元二次方程m-2x2+4x+2=0有兩個實數根，則mA．m≤4 B．m≥4 C．m≥-4且m≠2 D．m≤4且m≠23．（2024·江蘇徐州·中考真題）關于x的方程x2+kx+1=0有兩個相等的實數根，則k值為4．（2024·廣東廣州·中考真題）關于x的方程x2(1)求m的取值范圍；(2)化簡：1-m5．（2024·四川南充·中考真題）已知x1，x2是關于x的方程(1)求k的取值范圍．(2)若k<5，且k，x1，x2都是整數，求QUOTE?題型03利用根的判別式求代數式的值1．（2023·廣東廣州·中考真題）已知關于x的方程x2-2k-2x+kA．-1 B．1 C．-1-2k D．2k-32．（2023·甘肅蘭州·中考真題）關于x的一元二次方程x2+bx+c=0有兩個相等的實數根，則b2A．－2 B．2 C．－4 D．43．（2024·四川雅安·模擬預測）關于x的一元二次方程ax2-bx+1=0(a≠0)A．-4 B．4 C．2 D．-24．（2024·安徽六安·模擬預測）已知關于x的一元二次方程x2-x+14a=0有兩個不相等的實數根，設此方程的一個實數根為bA．m>-2 B．m≥-2 C．m≤-2 D．m<-2?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式1．（2023·甘肅武威·中考真題）關于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有兩個不相等的實數根，則c=2．（2024·江蘇南通·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數根．請寫出一個滿足題意的k的值：3．（2023·山東濟南·中考真題）關于x的一元二次方程x2-4x+2a=0有實數根，則a的值可以是4．（2023·浙江杭州·中考真題）設一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四組條件中選擇其中一組①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=-1；④b=2,c=2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．命題點三一元二次方程根與系數的關系?題型01不解方程，求方程中參數的值1．（2024·四川樂山·中考真題）若關于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1、x2，且1xA．-23 B．23 C．2．（2023·湖南岳陽·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有兩個不相等的實數根，且3．（2024·四川內江·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2-px+1=0（p為常數）有兩個不相等的實數根x1(1)填空：x1+x(2)求1x1+(3)已知x12+4．（2023·湖北·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；(2)設該方程的兩個實數根為a，b，若2a+ba+2b=20，求?題型02不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值利用根與系數的關系還可以求出關于、的代數式的值，涉及到的變形如下：1．（2024·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x2-5x+2=0的兩個實數根，則m+n-22．（2024·四川瀘州·中考真題）已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的兩個實數根，則3．（2023·湖北鄂州·中考真題）若實數a、b分別滿足a2-3a+2=0，b2-3b+2=0，且a≠b4．（2023·內蒙古通遼·中考真題）閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數根x1，x2和系數a，材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的兩個實數根分別為m，n，求解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=1,mn=-1．則m2根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)應用：一元二次方程2x2+3x-1=0的兩個實數根為x1，(2)類比：已知一元二次方程2x2+3x-1=0的兩個實數根為m，n(3)提升：已知實數s，t滿足2s2+3s-1=0，2命題點四一元二次方程的實際應用?題型01變化率問題1．（2024·山東淄博·中考真題）“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高．某市參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．(1)求該市參加健身運動人數的年均增長率；(2)為支持市民的健身運動，市政府決定從A公司購買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．2．（2023·遼寧大連·中考真題）為了讓學生養(yǎng)成熱愛圖書的習慣，某學校抽出一部分資金用于購買書籍．已知2020年該學校用于購買圖書的費用為5000元，2022年用于購買圖書的費用是7200元，求2020-2022年買書資金的平均增長率．3．（2023·湖南郴州·中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數的月平均增長率；(2)預計5月份該景區(qū)游客人數會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？?題型02幾何圖形問題1．（2023·江蘇·中考真題）為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態(tài)園ABCD（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用18m的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為40m2

2．（2023·山東東營·中考真題）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在

(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2(2)羊圈的面積能達到650m23．（2024·陜西西安·模擬預測）有一塊矩形鐵皮如圖所示，長為20m，寬為15m，現打算從該鐵皮上裁出兩個完全相同的小矩形，每個小矩形的長為2xm，寬為QUOTE?題型03以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用1．（2024·黑龍江·模擬預測）2024龍年春晚主題為“龍行龘龘（dá），欣欣家國”，“龘”這個字引發(fā)一波熱門關注．據記載，“龘”出自第一部楷書字典《玉篇》，“龍行龘龘”形容龍騰飛的樣子，昂揚而熱烈．某服裝店購進一款印有“龘”字圖案的上衣，據店長統計，該款上衣1月份銷售量為150件，3月份銷售量為216件，則該款上衣銷售量的月平均增長率為（

）A．20％ B．22％ C．25％2．（2024·四川成都·二模）世界羽壇最高水平團體賽成都2024“湯尤杯”將于4月27日至5月5日在成都高新體育中心舉行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公開亮相．某商場銷售該吉祥物，已知每套吉祥物的進價為20元，如果以單價30元銷售，那么每天可以銷售400套，根據經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20套．(1)若商家每天想要獲取4320元的利潤，為了盡快清空庫存，售價應定為多少元？(2)銷售單價為多少元時每天獲利最大？最大利潤為多少？3．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）據統計，2020年底某市汽車擁有量為75萬輛，而截止到2022年底，該市的汽車擁有量已達108萬輛．為了保護環(huán)境，緩解汽車擁堵，該市擬控制汽車總量，要求到2024年底全市汽車擁有量不超過125.48萬輛；且從2023年初起，該市此后每年報廢的汽車數量是上年底汽車擁有量的10%4．（2024·遼寧·模擬預測）沈陽市推出“沈水之陽我心向往——冬日雪暖陽”沈陽冬季游系列活動，涵蓋四大主題300余項精彩活動．2024年春節(jié)假期期間，沈陽文旅市場異常火爆，累計接待國內游客1112.13萬人次，據統計，我市某景點去年12月份接待游客人數為4萬人，今年2月份接待游客人數5.76萬人．求今年1月和2月這兩個月中，該景點接待游客人數月平均增長率．5．（2024·山西朔州·二模）2024年中國家電及消費電子博覽會AWE2024?題型04以數學文化為背景考查一元二次方程的實際應用1．（2024·浙江金華·二模）我國古代數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助此分割方法所得圖形證明了勾股定理．如圖所示，矩形ABCD就是由兩個這樣的圖形拼成（無重疊、無縫隙）．下面給出的條件中，一定能求出矩形ABCD面積的是（

）A．BM與DM的積 B．BE與DE的積C．BM與DE的積 D．BE與DM的積2．（2024·四川達州·模擬預測）圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數字表示．相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪范》．《易?系辭上》說：“河出圖，洛出書，圣人則之”．洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數字之和都相等．圖3是一個不完整的幻方，根據幻方的規(guī)則，由已知數求出x的值應為（）A．-1或-4 B．1或-4 C．-1或4 D．1或43．（2023·陜西西安·三模）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，設正方形城池的邊長為x步．根據題意整理成一元二次方程的一般形式．4．（2021·安徽·三模）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遺人去買幾株椽，每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價格，求這批椽的數量有多少株？5．（2023·福建泉州·一模）我國古代數學家梅鼓成在其著作《增刪算法統宗》中，有詩如下：今有門廳一座，不知門廣高低，長竿橫進使歸室，爭奈門狹四尺，隨即豎筆過去，亦長二尺無疑兩隅斜去恰方齊，請問三色各幾？意思是；今有一房門，不知寬與高，長竿橫起進門入室，門的寬度比長竿小4尺；將長竿直立過門，門的高度比長竿小2尺．將長竿斜放穿過門的對角，恰好進門，試問門的寬、高和長竿各是多少尺？6．（2022·江蘇常州·中考真題）第十四屆國際數學教育大會（ICME-14）會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745．八進制是以8作為進位基數的數字系統，有0~7共8個基本數字．八進制數3745換算成十進制數是3×83+7×(1)八進制數3746換算成十進制數是_______；(2)小華設計了一個n進制數143，換算成十進制數是120，求n的值．第二章方程與不等式第07講一元二次方程及其應用（思維導圖+4考點+4命題點15種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一一元二次方程及解法考點二根的判別式考點三一元二次方程根與系數的關系考點四一元二次方程的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值?題型02選用合適的方法解一元二次方程?題型03以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程?題型04配方法的應用?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程命題點二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況?題型02根據根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍?題型03利用根的判別式求代數式的值?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式命題點三一元二次方程根與系數的關系?題型01不解方程，求方程中參數的值?題型02不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值命題點四一元二次方程的實際應用?題型01變化率問題?題型02幾何圖形問題?題型03以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用?題型04以數學文化為背景考查一元二次方程的實際應用

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求一元二次方程及其解法★★理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程一元二次方程根的判別式★會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等一元二次方程根與系數的關系★★了解一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程的實際應用變化率問題★★能根據現實情境理解方程的意義；能針對具體問題列出方程；能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.利潤問題★★循環(huán)問題★面積問題★其它問題★【考情分析1】本專題包括利用根的判別式確定一元二次方程解的情況、已知方程解的情況確定方程中未知字母的值及利用根與系數關系求解某些特定形式的代數式的值,試題形式多樣，難度一般，常與完全平方公式的各種變形結合考查.【考情分析2】一元二次方程的應用的考查多以解答題形式出現，難度一般，主要涉及的問題有變化率問題、利潤問題、幾何圖形問題等.解決實際問題時，要檢驗所求解是否滿足實際意義，注意取舍.【命題預測】本考點內容以考查一元二次方程的相關概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達定理（根與系數的關系）、一元二次方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右.預計2025年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型，復習過程中要多注意各基礎考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數頂點坐標的縱坐標公式記混了．02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一一元二次方程及解法一、一元二次方程基礎一元二次方程的定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號左邊是一個關于未知數的二次多項式，等號右邊是0.其中：【易錯/熱考】如果明確了ax2+一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（根）.判斷一個數是不是一元二次方程的根：將此數代人這個一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.二、一元二次方程的解法基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.1.直接開平方法（基礎）例：形如ax2=b當b＞0時，則x1=ba=，x2=-當b＝0時，則，此時方程有兩個相等的實數根；當b＜0時，則方程無實數根.2.配方法（基礎）配方的實質：將方程化為的形式，當m≥0時，直接用直接開平方法求解.用配方法解一元二次方程的一般步驟：1）移項：將常數項移到等號右邊,含未知數的項移到等號左邊；2）二次項系數化為1：如果二次項系數不是1，將方程兩邊同時除以二次項系數；3）配方：方程兩邊都加上一次項系數一般的平方，把方程化為的形式；4）求解：若q≥0時，直接用直接開平方法求解.3.公式法用公式法解一元二次方程的一般步驟：1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數是分數通常將其化為整數，方便計算)；2）求出的值，根據其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果,將a、b、c的值代入求根公式：；4）最后求出.【補充說明】求根公式的使用條件：4.因式分解法依據：如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.步驟：1）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；4）求解.【易錯易混】利用因式分解法解方程時，含有未知數的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x-2x+3=0，將其化成二次項系數為正數的一般形式后，它的常數項是【答案】-6【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握運算的法則是解題的關鍵．先把化方程為一般式，從而得到常數項．【詳解】解：x-2x+3去括號，得x2合并，得x2所以常數項是-6．故答案為：-6．2．（2025·云南昆明·一模）若關于x的方程m+1x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（

A．m≠-1 B．m=1 C．m>1 D．m≠0【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的定義．熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．由題意知，m+1≠0，計算求解即可．【詳解】解：∵關于x的方程m+1x2+mx-1=0∴m+1≠0，解得，m≠-1，故選：A．3．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x2-3x+m=0的一個根為1，則m=【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據一元二次方程的解的定義，將x=1代入原方程，列出關于m的方程，然后解方程即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一個根為∴x=1滿足一元二次方程x2∴1-3+m=0，解得，m=2．故答案為：2．4．（2024·山東德州·中考真題）把多項式x2-3x+4進行配方，結果為（A．x-32-5 C．x-322【答案】B【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項法，先加上一次項系數一半的平方使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．根據利用完全平方公式的特征求解即可；【詳解】解：x==故選B．5．（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0時，將它轉化為(x+a)2=b的形式，則A．-2024 B．2024 C．-1 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關鍵．用配方法把x2-2x-2023=0移項，配方，化為【詳解】解：∵x2移項得，x2配方得，x2即x-12∴a=-1，b=2024，∴ab故選：D．考點二根的判別式根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.根的情況與判別式的關系：在實數范圍內，一元二次方程的根的情況由其系數a，b，c，即確定.1）方程有兩個不相等的實根:x=-b±b2）方程有兩個相等的實根：x1=x3）方程無實根.【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數根；2）有兩個不相等的實數根．【易錯易混】1）使用一元二次方程根的判別式時，應先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；2）當時，方程有兩個相等的實數根，不能說方程只有一個實數根.1．（2023·吉林·中考真題）一元二次方程x2-5x+2=0根的判別式的值是（A．33 B．23 C．17 D．17【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判別式△=b【詳解】解：∵a=1，b=-5，c=2，∴△=b故選：C．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關鍵．2．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線y=x2-x+c（c是常數）與x軸沒有交點，則c【答案】c>【分析】本題主要考查了拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點問題，掌握拋物線y=ax2由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可．【詳解】解：∵拋物線y=x2-x+c∴x2∴Δ=12故答案為：c>13．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．【答案】C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，得到a+b=10，根據菱形的面積得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式計算可得答案．【詳解】解：設方程x2-10x+m=0的兩根分別為a，∴a+b=10，∵a，b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11，∴12ab=11，即∵菱形對角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長為a=1故選：C．【點睛】本題考查了根與系數的關系以及菱形的性質，完全平方公式，利用根與系數的關系得出a+b=10是解題的關鍵．4．（2024·上海寶山·一模）一次函數y=-3x-a不經過第三象限，關于x的方程ax2-3x+1=0【答案】1或2【分析】本題考查了一次函數圖象的分布，一元二次方程的根的判別式，準確判斷圖象不過第三象限的條件，直線y=-3x-a不經過第三象限，則-a=0或-a>0，分這兩種情形判斷方程的根，靈活運用根的判別式是解題的關鍵．【詳解】解：∵直線y=-3x-a不經過第三象限，∴-a=0或-a>0，∴a=0或a<0,當a=0時，原方程為-3x+1=0,是一元一次方程，故有一個實數根；當a<0時，方程ax∴∵a<0,∴-4a>0,∴9-4a>0,∴∴方程有兩個不相等的實數根，綜上，方程有1個或2個解，故選：D．5．（2024·四川眉山·二模）已知關于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)設方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足x1【答案】(1)m的取值范圍是m≤13(2)m的取值范圍-1【分析】本題主要考查了根與系數的關系、根的判別式以及解一元一次不等式等知識點，（1）根據根的判別式得出b2（2）求出x1+x2=3熟練掌握一元二次的根與系數的關系是解決此題的關鍵．【詳解】（1）方程x2-3x=1-3m整理得∵關于x的一元二次方程x2∴b2解得：m≤13即m的取值范圍是m≤13（2）∵x1+x又∵x1∴x1∴32∴m≥-1∵m≤13∴-1故m的取值范圍-1QUOTEQUOTE考點三一元二次方程根與系數的關系 若一元二次方程的兩個根是，則與方程的系數a，b，c之間有如下關系：x1+x2＝-ba，x1【補充說明】1）一元二次方程根與系數關系的使用條件：.2）當一元二次方程的二次項系數為1時，如，其兩根關系為x1+x2＝-p，x13）以兩個數為根的一元二次方程（二次項系數為1）是.4）運用根與系數的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是-2和-5．則原來的方程是(

)A．x2+6x+5=0 C．x2-5x+2=0 【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據題意得出原方程中x1+x【詳解】解：∵小影在化簡過程中寫錯了常數項，得到方程的兩個根是6和1；∴x1又∵小冬寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是-2和-5．∴xA.x2+6x+5=0中，x1B.x2-7x+10=0中，x1C.x2-5x+2=0中，x1D.x2-6x-10=0中，x1故選：B．2．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程x2-2x+k=0的一個根為-2，則方程的另一個根為【答案】4【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系．設方程的另一個根為m，根據兩根之和等于-ba，即可得出關于【詳解】解：設方程的另一個根為m，∵方程x2-2x+k=0有一個根為∴-2+m=2，解得：m=4．故答案為：4．3．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程x2+x-2=0的兩根分別為x1，x2，則【答案】12【分析】本題考查一元二次方程的根與系數的關系，若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根分別為x1，x先根據根與系數的關系得到x1+x2=-1，x【詳解】解：∵方程x2+x-2=0的兩根分別為x1∴x1+∴1故答案為：124．（2023·青海西寧·中考真題）先化簡，再求值：aa2-b2-1【答案】aba+b，【分析】先根據分式的混合運算進行化簡，然后根據一元二次方程根與系數的關系式得出a+b=-1

ab=-6，代入化簡結果，即可求解．【詳解】解：原式===ab∵a，b是方程x2∴a+b=-1

ab=-6

∴原式=ab【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算，一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．考點四一元二次方程的實際應用用一元二次方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.一元二次方程的常見問題及數量關系：常見問題數量關系變化率問題利潤問題利潤=售價-進價；利潤率=利潤/進價×100%總利潤=總售價-總成本=單個利潤×總銷售量.循環(huán)問題單循環(huán)（如握手問題）：12雙循環(huán)（如寫信問題）：n（n－1）（其中n為人數）面積問題(a?2x)(b?2x)（x為空白部分的寬）(a?x)(b?x)（x為陰影部分的寬）

1．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產7200kg，2023年平均每公頃產8450kg．求水稻每公頃產量的年平均增長率．設水稻每公頃產量的年平均增長率為x．列方程為（A．72001+x2=8450C．84501-x2=7200【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃72001+xkg，則2023年平均每公頃產【詳解】解：設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃產72001+x則2023年平均每公頃產72001+x根據題意有：72001+x故選：A．2．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產更高效，提升了水稻畝產量，水稻畝產量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產量年平均增長率為x，則可列方程為（

）A．670×1+2x=780 C．670×1+x2【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題意、列出方程是解題的關鍵．設該村水稻畝產量年平均增長率為x，根據題意列出方程即可．【詳解】解：根據題意得：670×1+x故選：B．3．（2024·四川內江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，則符合題意得方程是（A．0.641+x=0.69 C．0.641+2x=0.69 【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據題意找到等式兩邊的平衡條件．設年平均增長率為x，根據2023年底森林覆蓋率=2021年底森林覆蓋率×1+x【詳解】解：根據題意，得64即0.641+x故選：B．4．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（

）A．x+1+x=36 B．21+x=36 C．【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數中．設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是(x+1)人，則傳染x(x+1)人，依題意列方程：1+x+x(1+x)=36．【詳解】由題意得：1+x+x(1+x)=36，故選：C．【點睛】本題考查的是根據實際問題列一元二次方程．找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．5．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（

）A．201+2x=31.2 C．201+x2=31.2【答案】D【分析】設年平均增長率為x，根據2020年銷量為20萬輛，到2022年銷量增加了31.2萬輛列方程即可．【詳解】解：設年平均增長率為x，由題意得201+x故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用—增長率問題，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．6．（2021·山西·中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最小數（請用方程知識解答）．【答案】5【分析】根據日歷上數字規(guī)律得出，圈出的四個數最大數與最小數的差值為8，設最小數為x，則最大數為x+【詳解】解：設這個最小數為x．根據題意，得xx+8解得x1=5，答：這個最小數為5．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，掌握日歷的特征，根據已知得出的最大數與最小數的差值是解題的關鍵．7．（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調研發(fā)現，每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數關系式；(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？(3)當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)y＝﹣2x+160(2)銷售單價應定為50元(3)當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤1248元【分析】（1）設每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關系式為y＝kx+b，用待定系數法可得y＝﹣2x+160；（2）根據題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54元，可得銷售單價應定為50元；（3）設每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數性質可得當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．【詳解】（1）解：設每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80解得k=-2b=160∴y＝﹣2x+160；（2）根據題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價應定為50元；（3）設每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．【點睛】本題考查一次函數，一元二次方程和二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式和一元二次方程．04題型精研·考向洞悉命題點一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值1．（2024·四川涼山·中考真題）若關于x的一元二次方程a+2x2+x+a2-4=0的一個根是A．2 B．-2 C．2或-2 D．1【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數不為0．由一元二次方程的定義，可知a+2≠0；一根是0，代入a+2x2+x+【詳解】解：a+2x2+x+∴a+2≠0，即a≠-2①由一個根x=0，代入a+2x可得a2-4=0，解之得a=±2；由①②得a=2；故選A2．（2024·山東煙臺·中考真題）若一元二次方程2x2-4x-1=0的兩根為m，n，則3【答案】6【分析】本題考查了根與系數的關系及利用完全平方公式求解，若x1,x2是一元二次方程根據根與系數的關系得m+n=2，mn=-12，2m【詳解】解：∵一元二次方程2x2-4x-1=0的兩個根為m∴m+n=2，mn=-∴3=2====6故答案為：6．3．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x2+4x-1=0的一個根，則(m+5)(m-1)的值為【答案】-4【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數式的值，根據m是方程x2+4x-1=0的一個根，可得出【詳解】解：∵m是方程x2∴m(m+5)(m-1)===1-5=-4，故答案為：-4．4．（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程x2-2x-1=0的根，則m【答案】6【分析】由m是方程x2-2x-1=0的根，可得m2=2m+1，把【詳解】解：∵m是方程x2∴m2-2m-1=0，即∴m=====6；【點睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡求值，準確的把原分式變形，再求值是解本題的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02選用合適的方法解一元二次方程已知a，b，c分別為二次項系數，一次項系數，常數項.1）當a=1，b為偶數，c≠0時，首選配方法；2）當b=0時，首選直接開平方法；3）當c=0時，可選因式分解法或配方法；4）當a=1，b≠0，c≠0時，可選配方法或因式分解法；5）當a≠1，b≠0，c≠0時，可選公式法或因式分解法.1．（2024·安徽·中考真題）解方程：x【答案】x1=3【分析】先移項，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【詳解】解：∵x2∴x2∴(x-3)(x+1)=0，∴x1=3，【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法進行解題．2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：(2x+3)【答案】x1=-1【分析】直接開方可得2x+3=-3x-2或2x+3=3x+2，然后計算求解即可．【詳解】解：∵(2x+3)∴2x+3=-3x-2或2x+3=3x+2解得x1=-1，【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關鍵在于靈活選取適當的方法解方程．3．（2024·貴州·模擬預測）計算(1)3(2)從下列方程中任選一個方程，并用適當的方法解方程①x2-8x-1=0

②x+32【答案】(1)3(2)①x1=4+17，【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，解一元二次方程，零指數冪：（1）根據二次根式的混合計算法則和零指數冪計算法則求解即可；（2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用直接開平方的方法解方程即可．【詳解】（1）解：原式==33（2）解：①∵x2∴x2∴x2∴x-42∴x-4=±17解得x1②∵x+32∴x+32∴x+3+1-2xx+3-1+2x∴4-x=0或3x+2=0，解得x1③∵2x+32∴2x+32∴2x+3=±5，解得x14．（2024·湖南衡陽·一模）（1）用配方法解方程：x2（2）用適當的方法解方程：x2x-1【答案】（1）x1=【分析】本題主要考查了解一元二次方程：（1）先移項，然后利用完全平方公式配方，進而解方程即可得到答案；（2）先移項，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）xxx-1解得x1（2）xxx-2x-2=0或2x-1=0解得x1?題型03以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程1．（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程3x-3小敏：兩邊同除以x-3，得3=x-3，則x=6．小霞：移項，得3x-3提取公因式，得x-33-x-3則x-3=0或3-x-3=0，解得x1=3，你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學的解法都錯誤，正確過程見解析【分析】根據因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以x-3，得3=x-3，則x=6．（×）小霞：移項，得3x-3提取公因式，得x-33-x-3則x-3=0或3-x-3=0，解得x1=3，（×）正確解答：3移項，得3x-3提取公因式，得x-33-去括號，得x-33-x+3則x-3=0或6-x=0，解得x1=3，【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準確計算是解題關鍵．2．（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x解：移項，得2x二次項系數化為1，得x2配方，得(x+2)2由此可得x+2=±22所以，x1=-2+22(1)小明同學的解答過程，從第________步開始出現錯誤；(2)請你寫出正確的解答過程．【答案】(1)三(2)x1=-1+5【分析】此題考查了配方法解一元二次方程．（1）按照配方法解一元二次方程的步驟進行判斷即可；（2）按照配方法解一元二次方程的正確步驟進行解答即可．【詳解】（1）小明同學的解答過程，從第三步開始出現錯誤，配方結果不正確；故答案為：三（2）解：2移項，得2x二次項系數化為1，得x2配方，得(x+1)2由此可得x+1=±5所以，x1=-1+53．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2解法一：xx(x-2)=3x=1或x-2=3∴x1=1解法二：a=1，b=-2，c=-3b∵b∴此方程無實數根．(1)判斷：兩位同學的解題過程是否正確，若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”．(2)請選擇合適的方法求解此方程．【答案】(1)兩位同學均錯(2)x1=3【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2-4ac（1）利用因式分解法解方程可對解法一進行判斷；根據根的判別式的計算可判斷解法二進行判斷；（2）利用因式分解法把方程轉化為x-3=0或x+1=0，然后解兩個一次方程．【詳解】（1）兩位同學的解題過程都不正確．（2）x2(x-3)(x+1)=0，x-3=0或x+1=0，所以x1=3，4.（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學用配方法解x2解：原方程可化為x2配方，得x2即(x-42直接開平方，得x-42所以x1=42(1)這位同學的解題過程從第______步開始出現錯誤；(2)請你正確求解該方程．【答案】(1)二(2)見解析【分析】本題考查了一元二次方程的解法，（1）根據配方法的步驟求解即可；（2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．【詳解】（1）第二步配方時應方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，即22∴這位同學的解題過程從第二步開始出現錯誤；（2）配方法：xxx(x-2∴x-2解得x1=22公式法：xa=1，b=-42，c=-4∴Δ∴x=4解得x1=22QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04配方法的應用【利用配方法求代數式的最值】求多項式的最值時，要先把多項式配方成的形式.若a＞0，則代數式有最小值；若a＜0,則代數式有最大值.1．（2022·山東德州·中考真題）已知M=a2-a，N=a-2（a為任意實數），則M-NA．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了非負數的性質．熟練掌握整式的加減，完全平方式與配方法，非負數的性質，是解題的關鍵．根據完全平方式利用配方法把M-N的代數式變形，根據偶次方的非負性判斷即可．【詳解】M-N===a-1∵a-12∴a-12∴M-N大于0，故選：C．2．（2023·江蘇連云港·中考真題）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（【答案】-2【分析】運用配方法將W=5x2-4xy+y2【詳解】解：W=5=4=2x-y=2x-y+1∵x、y為實數，∴2x-y+1∴W的最小值為-2,故答案為：-2．【點睛】本題主要考查了配方法的應用，非負數的性質，解題時注意配方的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．3．（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現，比較4m與m2①當m=3時，4mm2②當m=2時，4mm2③當m=-3時，4mm2（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過計算比較．x2+2與【答案】（1）<，=，<；（2）總有4m≤m2【分析】此題考查了配方法的應用，不等式的性質，用到的知識點是不等式的性質、完全平方公式、非負數的性質，關鍵是根據兩個式子的差比較出數的大?。?）當m=3時，當m=2時，當m=-3時，分別代入計算，再進行比較得出結論填空即可；（2）根據(m2+4)-4m=(m-2)2≥0，即可得出無論m取什么值，判斷（3）拓展：先求出x2+2-2x【詳解】解：（1）①當m=3時，4m=12，m2+4=13，則②當m=2時，4m=8，m2+4=8，則③當m=-3時，4m=-12，m2+4=13，則故答案為：<；=；<；（2）無論m取什么值，判斷4m與m2+4有理由如下：∵(m∴無論取什么值，總有4m≤m（3）拓展：x=-=-(=-(x+2)故x24．（2023·江蘇揚州·二模）（1）數學活動小組在研究函數y=x+1①函數y=x+1x的自變量x的取值范圍是②容易發(fā)現，當x>0時，y>0；當x<0時，y<0．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當x>0時，y=x+1當x=1x時，即x=1請仿照上述過程，求出當x<0時，y的最大值；（2）當x>0時，求y=x（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】（1）①x≠0；②一、三；③當x<0時，x+1x的最大值為【分析】（1）①根據分母不為0即可求解；②根據當x>0時，y>0；當x<0時，y<0即可判斷；③模仿求解過程，利用配方法即可求解；（2）將y=x2+3x+16（3）設S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，則由等高三角形可知：S△BOC:S【詳解】解：（1）①函數y=x+1x的自變量x的取值范圍為：②容易發(fā)現，當x>0時，y>0；當x<0時，y<0．由此可見，圖像在第一、三象限；③當x>0時，x+1當x<0時，x+∵-x-∴-(-x-∴當x>0時，x+1x的最小值為2；當x<0時，x+1故答案為：①x≠0；②一、三；③當x<0時，x+1x的最大值為（2）由y=x∵x>0，∴y=x+16當x=16（3）設S△BOC=x，已知S則由等高三角形可知：S∴x:9=4:∴:∴四邊形ABCD面積=4+9+x+當且僅當x=6時取等號，即四邊形ABCD面積的最小值為25．【點睛】本題考查了配方法在最值問題中的應用，同時本題還考查了分式化簡和等高三角形的性質，本題難度中等略大，屬于中檔題．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程以開放性試題的形式考查直接解一元二次方程，解題時可以根據題目選擇不同的方法解決問題有利于培優(yōu)策略性思維。1．（2023·貴州六盤水·一模）（1）小明解分式方程2x+3x去分母，得2x+3=1-x-1去括號，得2x+3=1-x+1，…第二步移項，得2x+x=1+1-3，…第三步合并同類項，得3x=-1，…第四步系數化為1，得x=-1檢驗：當x=-13時，∴x=-1上述解答過程是從第步開始出現錯誤的，請寫出正確的解答過程；（2）在初中階段，我們已經學習了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+6x-3=0；②x2-4x=0；③【答案】（1）一，見解析；（2）①x1=-3+23，x2=-3-23；②x1=0，x【分析】本題主要考查解一元二次方程，解分式方程：（1）觀察可知，上述解答過程是從第一步出錯的，原因是去分母時，方程右邊的1沒有乘以x，按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程，然后檢驗即可；（2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用公式法解方程即可；④利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：（1）觀察可知，上述解答過程是從第一步出錯的，原因是去分母時，方程右邊的1沒有乘以x，去分母，得2x+3=x-x-1去括號，得2x+3=x-x+1，…第二步移項，得2x+x-x=1-3，…第三步合并同類項，得2x=-2，…第四步系數化為1，得x=-1．…第五步檢驗：當x=-1時，x≠0，…第六步∴x=-1是原分式方程的解；（2）①∵x2∴x2∴x2∴x+32∴x+3=±23解得x1=-3+23②∵x2∴xx-4解得x1=0，③∵x2∴x2∴a=1，∴Δ=∴x=-b±解得x1=7+④∵x2∴x+3x-3∴x1=-3，2．（2023·貴州黔東南·一模）我們已經學習了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2=25；②x2+6x=-4【答案】①x1=-5，x2=5；②x1=5【分析】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法、公式法和因式分解法，根據方程特點靈活選擇方法是解題的關鍵．①變形后用因式分解法解方程即可；②用配方法解方程即可；③用公式法解方程即可；④用因式分解法解方程即可．【詳解】解：任選兩個方程解答如下：①x2∴x2∴x+5x-5則x+5=0或x-5=0，解得x1=-5，②x∴x∴x+32∴x+3=±5則x1=5③x由題意得a=1,b=-4,c=-7，∵Δ=∴x=-b±∴x1④x∴xx+2則x=0或x+2=0，解得x1命題點二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況一元二次方程根的情況與判別式的關系：1）方程有兩個不相等的實根:x=-b±b2）方程有兩個相等的實根：x1=x3）