人教A版高二下冊(cè)數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分布乘法計(jì)數(shù)原理（第2課時(shí)）【課件】

普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)6.1

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第2課時(shí)）

第六章

計(jì)數(shù)原理例4：要從甲、乙、丙3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的

指定位置，問(wèn)共有多少種不同的掛法?分析要完成的一件事是:“從3幅畫(huà)中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，法一：可以分兩步進(jìn)行，第1步選出兩幅畫(huà)，第2步對(duì)選出的2幅畫(huà)確定左右，然后應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解；法二：可以分兩步進(jìn)行，第1步給左邊選1幅，第2步在剩下的中給右邊選1幅，然后應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解；法三：可以分三類方案，第1類甲在左邊，第2類乙在左邊，第3類丙在左邊，然后應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解；法四：由于數(shù)值不大，可以用樹(shù)狀圖法羅列所有掛法.典例講解例4：要從甲、乙、丙3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的

指定位置，問(wèn)共有多少種不同的掛法?解析法一：分步乘法計(jì)數(shù)原理3×2=6

第1步：選出2幅畫(huà)(3種：甲乙、甲丙、乙丙)

第2步：對(duì)2幅畫(huà)確定左右(各2種掛法)法二：分步乘法計(jì)數(shù)原理3×2=6

第1步：選1幅掛左邊(3種：甲、乙、丙)

第2步：選1幅掛右邊(各2種選擇)典例講解例4：要從甲、乙、丙3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的

指定位置，問(wèn)共有多少種不同的掛法?解析法三：分類加法計(jì)數(shù)原理2+2+2=6

第1類：甲在左(2種方法：甲乙、甲丙)

第2類：乙在左(2種方法：乙丙、乙甲)

第3類：丙在左(2種方法：丙甲、丙乙)法四：樹(shù)狀圖列舉法，如右圖典例講解跟蹤練習(xí)：完成的事：50人中選擇兩人做班長(zhǎng)和學(xué)習(xí)委員，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，選班長(zhǎng)，有50種不同選法；第2步，選學(xué)習(xí)委員，有49種不同選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法種數(shù)為

N=50×49=2450解析典例講解例5：給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，

后兩個(gè)字符要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個(gè)程序模塊命名?分析要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，選首字符，首字符又可以分為兩類；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字符．典例講解例5：給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，

后兩個(gè)字符要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個(gè)程序模塊命名?解析要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，選首字符，由加法原理，共有7+6=13種不同選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法種數(shù)為N=13×9×9=1053第2步，選中間字符，有9種不同選法，第3步，選最后一個(gè)字符，有9種不同選法，典例講解思考你能給出不同的解法嗎？法二要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分兩類方案：第1類，首字符為字母A~G中的一個(gè)，中間字符和最后一個(gè)字符都是從1~9中選，由乘法原理得，共有

6×9×9=486

種不同選法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法種數(shù)為：

N=486+567=1053第2類，首字符為字母U~Z中的一個(gè)，中間字符和最后一個(gè)字符都是從1~9中選，由乘法原理得，共有

7×9×9=567種不同選法；思考探究

總結(jié)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用：特點(diǎn)有些較復(fù)雜的問(wèn)題往往不單獨(dú)考查某一個(gè)計(jì)數(shù)原理，而是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都要考查.分類中有分步分步中有分類先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“分類”處理，每一類的計(jì)數(shù)，還需要應(yīng)用到分步乘法計(jì)數(shù)原理；先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“分步”處理，每一步的計(jì)數(shù)，還需要應(yīng)用到分類加法計(jì)數(shù)原理．模型方法總結(jié)跟蹤練習(xí)：書(shū)架上有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，3本不同的文藝書(shū)，2本不同的體育

書(shū)，從書(shū)架上任取2種不同類型的書(shū)各1本,有多少種不同的取法？解析要完成的一件事是“取2種不同類型的書(shū)”，可以分三類方案：第1類，取計(jì)算機(jī)和文藝書(shū)各一本，由乘法原理得，有

4×3=12

種不同取法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有不同取法種數(shù)為：N=12+8+3=23第2類，取計(jì)算機(jī)和體育書(shū)各一本，由乘法原理得，有

4×2=8

種不同取法；第3類，取文藝書(shū)和體育書(shū)各一本，由乘法原理得，有

3×2=6

種不同取法；典例講解例6：電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也

是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩

種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符

進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)

中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成．(1)1個(gè)字節(jié)(8位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符?(2)計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這

些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示?典例講解分析(1)要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”．

由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有0，1兩種選擇

而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理

求解；(2)只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可．典例講解解析(1)用圖6.1-3表示1個(gè)字節(jié)：1個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是：2×2×2×2×2×2×2×2=28=256典例講解解析(2)由(1)知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符只有256個(gè)，不夠6763個(gè)，我們

考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符．第1步，前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法；第2步，后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法．

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是256×256=65536．這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763．因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示．典例講解例7：計(jì)算機(jī)編程人員在編寫(xiě)好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開(kāi)始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)．一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成．圖6.1-4是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?典例講解分析整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束．而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來(lái)完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來(lái)完成．因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．典例講解解析完成的事情：完成程序測(cè)試，分兩步進(jìn)行：第1步：從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)，由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為：18+45+28=91．即該步共有91種執(zhí)行路徑；第2步：從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束，同理，子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為：38+43=81．即該步共有81種執(zhí)行路徑；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為：91×81=7371．典例講解追問(wèn)為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)．你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎?分析在實(shí)際測(cè)試中，如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常．因此，整個(gè)測(cè)試可以分兩類測(cè)試進(jìn)行：第一類測(cè)試：?jiǎn)为?dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常；第二類測(cè)試：測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常；兩類測(cè)試完成，就完成了全部測(cè)試，由分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解總的測(cè)試次數(shù).典例講解解析完成的事情：完成程序測(cè)試，分兩類測(cè)試進(jìn)行：第1類測(cè)試：?jiǎn)为?dú)測(cè)試5個(gè)模塊，由分類加法計(jì)數(shù)原理，5個(gè)模塊總共需要的測(cè)試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172．第2類測(cè)試：測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，同分兩步進(jìn)行，第1步先測(cè)試從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)的3個(gè)子模塊；第2步再測(cè)試從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束的2個(gè)子模塊，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共需要的測(cè)試次數(shù)為：3×2=6.由分類加法計(jì)數(shù)原理，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)共為：172+6=178.典例講解追問(wèn)顯然，通過(guò)以上兩種方案的測(cè)試，測(cè)試次數(shù)178與7371的差距是非常大的，為什么呢？解析通過(guò)兩種測(cè)試方案中測(cè)試總次數(shù)的計(jì)算過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)：第1種測(cè)試方案：整體分步測(cè)試，

整體使用了分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出總的測(cè)試次數(shù)；第2種測(cè)試方案：整體分類測(cè)試，

整體使用了分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出總的測(cè)試次數(shù)；典例講解例8：通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖6.1-5所示．其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個(gè)英文字母組成；(2)最多只能有2個(gè)英文字母．如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？典例講解知識(shí)車牌小知識(shí)：對(duì)于省和自治區(qū)，發(fā)牌機(jī)關(guān)通常是指其地級(jí)市的公共交通管理部門，并用英文字母依次編碼．例如，湖南省長(zhǎng)沙市、株洲市、湘潭市的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)分別為A，B，C．直轄市的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)可備案后依次自行使用．分析由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)．按序號(hào)編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號(hào)分為三類：沒(méi)有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母．以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號(hào)分為五個(gè)子類，將有2個(gè)字母的序號(hào)分為十個(gè)子類．典例講解解析完成的事情：編汽車號(hào)牌，由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù)．根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒(méi)有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母．第1類：沒(méi)有字母，確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選１個(gè)，各有10種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為：10×10×10×10×10=100000．典例講解解析第2類：1個(gè)字母，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類：第1位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為:24×10×10×10×10=240000.同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為：240000×5=1200000.典例講解解析第3類：2個(gè)字母，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為

十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1，2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24×24×10×10×10=576000典例講解解析同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張．于是，這類號(hào)牌張數(shù)一共為：576000×10=5760000.綜合(1)(2)(3)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為：100000+1200000+5760000=7060000典例講解總結(jié)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分類還是需要分步．注意：(1)分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，后用分

類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分步

后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每

一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．方法總結(jié)思考乘法運(yùn)算是特定條件下加法運(yùn)算的簡(jiǎn)化，分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理也有這種類似的關(guān)系嗎?有這種類似的關(guān)系.

實(shí)際上，分步乘法計(jì)數(shù)原理也可以看成是特定條件下的分類加法計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)化.典例講解題型一“排數(shù)”問(wèn)題例題1用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【詳解】(1)三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位

置都有5種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以排成電話號(hào)碼總數(shù)共有：5×5×5=125.

(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，

除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5=100.能力提升題型一“排數(shù)”問(wèn)題例題1用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【詳解】(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3=12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3=18(種)排法．因而有12+18=30(種)排法.能力提升總結(jié)“排數(shù)”問(wèn)題，應(yīng)把握的兩個(gè)原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一

般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)

先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.能力提升題型二選(抽)取與分配問(wèn)題例題2高三年級(jí)的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有多少種？【法一】直接法以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為四類：①四個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；②有三個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案共

有5×4×4=16(種)；能力提升【法一】直接法以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為四類：③有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他四個(gè)工廠，其分配方案共有6×4×4=96(種)；④有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，其他班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案有：4×4×4×4=256(種)．綜上所述，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的分配方案有：1+16+96+256=369(種)．【法二】間接法：先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)班級(jí)去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4=369(種)方案能力提升總結(jié)選(抽)取與分配問(wèn)題的常見(jiàn)類型及其解法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹(shù)形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：