高等代數(shù)課件：基

1向量空間的概念2第三節(jié)基向量空間的基4基變換與坐標(biāo)變換3向量坐標(biāo)加法與數(shù)乘合稱線性運(yùn)算，三維向量空間對線性運(yùn)算封閉.一、向量空間的概念1.向量空間的定義設(shè)V是非空的n維實(shí)向量集合，定義一、向量空間的概念例1一、向量空間的概念1.向量空間的定義一、向量空間的概念1.向量空間的定義命題

若V是向量空間，則V必含有零向量.

即V

含零向量是V為向量空間的必要條件.證明加法封閉數(shù)乘封閉一、向量空間的概念例2定義例3一、向量空間的概念2.向量組生成的向量空間一、向量空間的概念2.向量組生成的向量空間對兩個n維向量集合V1與V2,若定義例4一、向量空間的概念3.子空間命題即：等價向量組生成相同的向量空間.證明證畢4.等價向量組生成的向量空間的關(guān)系一、向量空間的概念一、向量空間的概念4.等價向量組生成的向量空間的關(guān)系推論問題：對向量空間，可否尋求其最少生成？需引出如下“基”概念。一、向量空間的概念4.等價向量組生成的向量空間的關(guān)系1.基的概念

定義設(shè)V為向量空間，若二、向量空間的基注意：向量空間的維數(shù)與向量的維數(shù)是兩個不同的概念

向量空間維數(shù):其基所含的向量個數(shù)；

向量維數(shù)：此向量所含的坐標(biāo)個數(shù)；規(guī)定：只含零向量的向量空間V，dimV＝0.先通過觀察找出V的一組向量，并證明其線性無關(guān)，再驗(yàn)證V中任一向量都可由該向量組線性表示，這組向量即為V的一組基。確定V的基的一般方法：二、向量空間的基1.基的概念例5二、向量空間的基1.基的概念V1二、向量空間的基1.基的概念設(shè)V是由

n

維向量構(gòu)成的

r

維向量空間，則命題1.V的任意r+1個向量必定線性相關(guān).證明證畢二、向量空間的基2.基的性質(zhì)證明二、向量空間的基2.基的性質(zhì)V中任意r個線性無關(guān)向量都可作為V的一個基.證明證畢二、向量空間的基2.基的性質(zhì)證明二、向量空間的基2.基的性質(zhì)證畢證明證畢證明證畢二、向量空間的基2.基的性質(zhì)二、向量空間的基2.基的性質(zhì)3.正交基的概念

定義注意:兩兩正交的非零向量組,必定線性無關(guān).二、向量空間的基

例6二、向量空間的基3.正交基的概念二、向量空間的基3.正交基的概念問題:如何根據(jù)向量空間的已知基,

求正交基,或單位正交基?二、向量空間的基3.正交基的概念

定義注：坐標(biāo)通常記做列向量，即三、向量坐標(biāo)

例7

解三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)三、向量坐標(biāo)例9三、向量坐標(biāo)注1：同一向量在不同基下的坐標(biāo)一般不相同。注2：向量的分量和其在某組基下的坐標(biāo)一般不相同。注3：三、向量坐標(biāo)注4：總結(jié)：對向量空間V:問題:

(1)兩個不同基之間的關(guān)系，即互相表示方法(基變換公式)；

(2)同一個向量在不同基下，坐標(biāo)之間的關(guān)系，即互相表示方法(坐標(biāo)變換公式)。(1)

基不唯一，但各個基所含線性無關(guān)的向量組個數(shù)相同；(2)

不同基等價，即可互相線性表示；(3)

同一個向量，在不同基下坐標(biāo)不同。四、基變換與坐標(biāo)變換1.基變換與過渡矩陣

設(shè)r維向量空間V的兩個基為四、基變換與坐標(biāo)變換四、基變換與坐標(biāo)變換1.基變換與過渡矩陣注意：四、基變換與坐標(biāo)變換1.基變換與過渡矩陣(3)由基(Ⅱ)到基(Ⅰ)的基變換公式四、基變換與坐標(biāo)變換1.基變換與過渡矩陣2.坐標(biāo)變換公式四、基變換與坐標(biāo)變換四、基變換與坐標(biāo)變換2.坐標(biāo)變換公式例10設(shè)是三維向量空間的一組基,則由基到基的過渡矩陣為（