專題03 二次函數(shù)與一元二次方程重難點題型專訓(xùn)（解析版）

專題03二次函數(shù)與一元二次方程重難點題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一求拋物線與x、y軸的交點坐標(biāo)題型二由二次函數(shù)解一元二次方程題型三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集題型四拋物線交點問題的綜合題型五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況題型六求x軸與拋物線的截線長【知識梳理】知識點：二次函數(shù)與一元二次方程1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根。2.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根。3.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根。二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系有三種情況:①沒有公共點;②有一個公共點;③有兩個公共點，這對應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況:①有實數(shù)根，此時△＜0;②有兩個相等的實數(shù)根，此時△=0;③有兩個不相等的實數(shù)根，此時△＞0.(2)解決函數(shù)圖象過定點問題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項的和為0時，則函數(shù)值不受字母的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo).(3)拋物線中三角形面積的最值問題，一般先設(shè)出動點的坐標(biāo)，然后用其表示相關(guān)線段的長度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式來確定最值.在將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度時，要注意符號的轉(zhuǎn)換.知識點：二次函數(shù)與不等式判別式拋物線與x軸的交點不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實數(shù)無解【經(jīng)典例題一拋物線與x、y軸的交點坐標(biāo)】【例1】（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃┮阎獟佄锞€的頂點為M，直線與該拋物線交于點M和，若，則直線與x軸交點的橫坐標(biāo)p的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出點M的坐標(biāo)是，再求出拋物線與x軸交于點，再求出，，求得，當(dāng)，，解得，則，進(jìn)一步即可得到p的取值范圍．【詳解】解：∵，∴點M的坐標(biāo)是，∵，∴，∴在第一象限，當(dāng)時，，解得，∴拋物線與x軸交于點，∵直線與該拋物線交于點M和，∴①，②，③，∴④，由①③得，當(dāng)時，，與矛盾，∴，∴，把代入得，，∵，，解得，∴，當(dāng)，，解得，∴直線與x軸交點的橫坐標(biāo)，∴，即，故選：A．【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式組等知識，讀懂題意準(zhǔn)確計算是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數(shù)圖像（如圖所示），當(dāng)直線與新圖像有3個交點時，m的值是（）A． B． C．或3 D．或【答案】D【分析】求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，直線與拋物線只有一個公共點時，即可求得直線與新圖象有3個交點時m的值．【詳解】解：令，解得：，拋物線與x軸的交點坐標(biāo)分別為及，如圖，當(dāng)直線過時，它與新函數(shù)的圖象有3個交點，則有，解得：；當(dāng)直線與拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線只有一個公共點時，則，即，則，即，此時直線與拋物線恰有3個公共點；綜上，當(dāng)或時，直線與新圖像有3個交點．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖形的翻折，圖象與坐標(biāo)軸的交點等知識，注意數(shù)形結(jié)合．2．（2023·江蘇揚州·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線與軸交于點，交軸正半軸于，直線過，是拋物線第一象限內(nèi)一點，過點作軸交直線于點，則的最大值為______．

【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的解析式求出、坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出的解析式，再設(shè)，則，得出，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可．【詳解】解：令，則，解得：，，，令，則，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)，則，在線段上方，，，，當(dāng)時，有最大值，最大值為．故答案為：4.【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點以及一次函數(shù)，二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線交x軸于、B兩點，交y軸于，點P在拋物線上，橫坐標(biāo)設(shè)為m．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點P在x軸上方時，直接寫出m的取值范圍；(3)若拋物線在點P右側(cè)部分（含點P）的最高點的縱坐標(biāo)為，求m的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)圖象寫出m的取值范圍即可；（3）先求出拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，得出二次函數(shù)有最大值4，分兩種情況討論，當(dāng)點在對稱軸的左側(cè)或?qū)ΨQ軸上，即時，當(dāng)點在對稱軸的右側(cè)，即時，分別求出m的值即可．【詳解】（1）解：把，代入拋物線得：，解得：，∴拋物線解析式為．（2）解：把代入得：，解得：，，∴點B的坐標(biāo)為，∴當(dāng)點P在x軸上方時，m的取值范圍是．（3）解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，∵，∴二次函數(shù)有最大值4，當(dāng)點在對稱軸的左側(cè)或?qū)ΨQ軸上，即時，拋物線在點P右側(cè)部分圖象的最高點為拋物線的頂點，∴，解得：；當(dāng)點在對稱軸的右側(cè)，即時，拋物線在點P右側(cè)部分圖象的最高點就是點P，∴，解得：，（舍去）；綜上分析可知，或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求拋物線的解析式，拋物線的圖象和性質(zhì)，求拋物線的最值，解題的關(guān)鍵是理解題意，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．【經(jīng)典例題二由二次函數(shù)解一元二次方程】【例2】（2023秋·山東淄博·九年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)（a，k，h均為常數(shù)）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為和5，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律可得y向左平移2個單位長度得到，即可得出與x軸的交點橫坐標(biāo)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)，∵，∴y向左平移2個單位長度得到，∵二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為和5，∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為和3，∴一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，以及二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)的值等于所對應(yīng)一元二次方程的根．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北武漢·九年級湖北省水果湖第一中學(xué)?？计谥校佄锞€的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線經(jīng)過點兩點可得，方程的解為或3，整理可得，進(jìn)而得到或3，求出x的值即可的解．【詳解】解：由題意可知，拋物線與x軸的交點為A、B兩點，∴方程的解為或3，整理關(guān)于x的一元二次方程可得，，∴或3，解得，故選A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將變形為后得到或3．2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點．若關(guān)于的一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則的取值范圍為______.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再根據(jù)將一元二次方程的實數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點，結(jié)合圖象，在的范圍確定y的取值范圍即可求解．【詳解】∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得：，∴拋物線解析式為．一元二次方程的實數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點，如圖，當(dāng)時，．∵方程在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，即函數(shù)的圖象在的范圍內(nèi)與的圖象有交點，∴．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點問題，從而借助數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．3．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考一模）閱讀材料：材料1．已知實數(shù)m、n滿足，且，求的值．解：由題意知m、n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，得，∴材料2．如圖，函數(shù)的圖像，是一條連續(xù)不斷的拋物線，因為當(dāng)時，；當(dāng)時，．可知拋物線與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)在0與1之間．所以方程的一個根所在的范圍是．根據(jù)上述材料解決下面問題：

(1)已知實數(shù)m、n滿足，，且，求的值．(2)已知實數(shù)p、q滿足，，，且，求的值．(3)若關(guān)于x的一元二次方程的一個根大于2，另一個根小于2，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行即可；（2）由變形得，仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行即可；（3）考慮二次函數(shù)，由題意知當(dāng)時，，即可求得m的取值范圍．【詳解】（1）解：由題意知m、n是方程的兩實數(shù)解，∴，，∴；（2）解：由，得，由，得，且則與為方程的兩實數(shù)解，∴，∴．（3）解：∵一元二次方程的一個根大于2，另一個根小于2，∴令，∴當(dāng)時，，解得，．【點睛】本題是材料問題，考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解不等式，求代數(shù)式的值等知識，理解題中材料解決問題的方法是問題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集】【例3】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？家荒＃┮阎P(guān)于的一元二次方程的一個根為，二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為，則關(guān)于的不等式的解為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，把代入，即可求得拋物線的表達(dá)式，再由不等式得，聯(lián)立和并解得，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得．【詳解】解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，由題意知，當(dāng)時，，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，將不等式整理為：，聯(lián)立和并解得：，故時，函數(shù)在之上，即，故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式((組))和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的交點，根據(jù)交點處圖象之間的位置關(guān)系，確定不等式的解．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線和直線都經(jīng)過點，拋物線的對稱軸為，那么下列說法正確的是（

）A． B．C． D．是不等式的解【答案】D【分析】由圖象可得信息，，，，直接可以判斷A和B是錯誤的；由和直線都經(jīng)過點，得到，，可以判斷C是錯誤的；由對稱軸為，，當(dāng)時，，可以判斷D正確；【詳解】解：由圖象可知，，∴，故A錯誤；由圖象得知拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴，故B錯誤；∵過點，∴，∵過點，∴，∴，故C錯誤；∵對稱軸為，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時，，由圖象可知，，∴，即；故D正確；故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象；熟悉二次函數(shù)圖象的特點，能夠通過圖象直接獲取信息，結(jié)合題中給出條件進(jìn)行推斷．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）拋物線開口向上，且過，下列結(jié)論中正確的是_________（填序號即可）．①若拋物線過，則；②若，則不等式的解為；③若，、為拋物線上兩點，則時；④若拋物線過，且，則拋物線的頂點一定在的下方．【答案】①③④【分析】①由拋物線過和，則對稱軸為直線，故，①對；②由得，拋物線對稱軸為直線，拋物線過和，由圖象得不等式的解為，②錯；③設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為，由得，，得，則對稱軸在直線左邊，由，可得，③對；④由得頂點坐標(biāo)為，由得，，④對；【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過和，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，即，故①正確；∵，∴拋物線對稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過和，∵拋物線開口向上，∴當(dāng)時，拋物線的函數(shù)圖象在直線的函數(shù)圖象下方，即此時，故②錯誤；設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為，∵拋物線開口向上，∴，∵，∴，∴，∴，∴拋物線對稱軸在直線左邊，∵，∴，故③正確；∵拋物線經(jīng)過，，∴拋物線對稱軸為直線，拋物線解析式為，∴頂點坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴，∴拋物線的頂點一定在的下方，故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)?？级＃┱堥喿x下列解題過程：解一元二次不等式：．解：設(shè)，解得：，，則拋物線與軸的交點坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知：當(dāng)時函數(shù)圖象位于軸下方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為：．

通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：(1)上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的_________和_________（只填序號）①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結(jié)合思想．(2)用類似的方法解一元二次不等式：．(3)某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補充完整：①自變量的取值范圍是___________；與的幾組對應(yīng)值如表，其中___________．…401234……50010…②如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整．③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題：解不等式：

【答案】(1)①，③(2)(3)①全體實數(shù)；；②見解析；③或或【分析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想解答，即可；（2）依照例題，先求得的解，再畫出的草圖，觀察圖象即可求解；（3）①當(dāng)時，代入數(shù)據(jù)求解即可；②描點，連線，即可畫出函數(shù)圖象；③觀察圖象即可求解．【詳解】（1）解：上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想；故答案為：①，③（2）解：，設(shè)，解得：，，則拋物線與軸的交點坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．

由圖象可知：當(dāng)時函數(shù)圖象位于軸上方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為：；（3）解：①自變量的取值范圍是全體實數(shù)；當(dāng)時，，即列表；…01234……50010…故答案為：全體實數(shù)；；②描點，連線，函數(shù)圖象如圖：

③由圖象可知；由圖象可知：當(dāng)或或時函數(shù)的圖象位于與0之間，此時，即．一元二次不等式的解集為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，一元二次不等式的解法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，本題是閱讀型題目，理解題干中的解題的思想方法并熟練運用是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四拋物線交點問題的綜合】【例4】（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)分別交x軸、y軸于P，Q兩點，點C的坐標(biāo)是（2，1）．若在線段上存在A，B兩點使得為等腰直角三角形，且，則b的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】可求出拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，從而可求得直線的解析式，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：令，解得：（舍去）；令，得，即，；設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴；若點C在直線上，即，此時，當(dāng)時，如圖，由題意，，且，，∴，，則滿足條件的等腰直角三角形有兩個；當(dāng)時，如圖，此時點B與點P重合，點Q與點B重合，此時，滿足條件的等腰直角三角形恰有一個；當(dāng)時不存在；當(dāng)時，如圖，當(dāng)時，此時滿足條件的等腰直角三角形存在，綜上，滿足條件的b的取值范圍為或；故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，注意數(shù)形結(jié)合與分類討論．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，）經(jīng)過點，且對稱軸為直線，有下列結(jié)論：①；②；③無論a，b，c取何值，拋物線一定經(jīng)過．其正確結(jié)論有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由對稱軸及拋物線開口向上、與y軸的交點，來判斷a、b、c的關(guān)系，即可判斷①；由拋物線經(jīng)過點及與y軸的交點，即可判斷②；由對稱性可得圖象經(jīng)過（-1，0），結(jié)合對稱軸公式，即可判斷③．【詳解】①拋物線對稱軸為直線，即對稱軸在y軸右側(cè)拋物線與y軸交于負(fù)半軸故①正確；②拋物線（a，b，c為常數(shù)，）經(jīng)過點故②正確；③由對稱得：拋物線與x軸的另一個交點為（-1，0）對稱軸為直線所以，無論a，b，c取何值，拋物線一定經(jīng)過故③正確；綜上，正確結(jié)論有3個．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握知識點，并能夠通過圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·北京海淀·九年級期末）已知拋物線（）．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①該拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是；②當(dāng)時，拋物線與直線沒有交點；③若該拋物線的頂點在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)（包括邊界），則；④若拋物線與x軸有兩個交點，則其中一定有一個交點在點與之間．其中正確的是______________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】③④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】令則，即該拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是；①錯誤；聯(lián)立得：∴當(dāng)時，，拋物線與直線有交點；②錯誤；拋物線頂點坐標(biāo)為直線與坐標(biāo)軸交點為∵該拋物線的頂點在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)（包括邊界）∴解得∴③正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∴，∵拋物線經(jīng)過，且時，，∴拋物線與x軸一定有一個交點在點與之間．故④正確；綜上所述，正確的有③④．故答案為：③④．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建不等式或不等式組解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．3．（2022秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點都在拋物線上．(1)當(dāng)時，求的值；(2)當(dāng)時，求的取值范圍；(3)在（1）的條件下，設(shè)拋物線與軸正半軸交于點A，與軸交于點B．將拋物線沿著軸向上平移個單位長度得到拋物線，若拋物線與軸交于C，D兩點，與軸交于點E，且，．求拋物線在的最高點的縱坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可知點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，由此利用拋物線對稱軸公式進(jìn)行求解即可；（2）分當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，兩種情況根據(jù)拋物線開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大進(jìn)行求解即可；（3）先求出點的坐標(biāo)為，在求出拋物線H的解析式為，得到點E的坐標(biāo)為，則；設(shè)，得到，，根據(jù)，推出，得到，求出點A的坐標(biāo)為，得到，根據(jù)，求出或（舍去），得到，則拋物線H的解析式為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，即時，拋物線H的最高點的橫坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵點在拋物線上，且，∴點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴；（2）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)，即時，∵，∴，∴，∴；當(dāng)，即時，∵，∴，∴，∴；綜上所述，；（3）解：由（1）得，拋物線G的解析式為，∴點的坐標(biāo)為，∵將拋物線沿著軸向上平移個單位長度得到拋物線，∴拋物線H的解析式為，∴點E的坐標(biāo)為，∴，設(shè)，∵拋物線與軸交于C，D兩點，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，令，解得或，∴點A的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，∴，∴∴，解得或（舍去），∴，∴拋物線H的解析式為，∵，∴，∵拋物線H的對稱軸為直線，且其開口向上，∴離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵當(dāng)時，，∴拋物線在的最高點的縱坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與x軸的交點問題，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況】【例5】（2022秋·河南安陽·九年級統(tǒng)考期中）一元二次方程的兩個根分別為和4，若二次函數(shù)與軸的交點為，，則對于，的范圍描述正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用將向上平移3個單位得到，即可求解．【詳解】解：將向上平移3個單位得到，而拋物線開口向上，則，在和4之間，故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解函數(shù)平移的意義是本題解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎?，關(guān)于的一元二次方程的解為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由關(guān)于的一元二次方程的解為，，可以看作二次函數(shù)的圖像與直線的交點的橫坐標(biāo)，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，利用圖像即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，關(guān)于的一元二次方程的解為，，可以看作二次函數(shù)的圖像與直線的交點的橫坐標(biāo)，二次函數(shù)與軸的交點為，又因為，，故可畫出函數(shù)圖像如下：由圖像可知．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運用，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)的圖象上有兩點和，則的值等于_____．【答案】【分析】由題意可得、是方程的兩個根，則有，又由，將所求式子變形為，然后再求值即可．【詳解】解：點和在二次函數(shù)的圖象上，、是方程的兩個根，，將代入，，，，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江·九年級期中）宏志班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補充完整．(1)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應(yīng)值列表如下：01233003其中，(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)：①；②．(4)關(guān)于的方程有4個實數(shù)根時，的取值范圍是．【答案】(1)0(2)見解析(3)①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②當(dāng)時，隨的增大而增大(4)【分析】（1）將代入函數(shù)解析式求解．（2）通過描點，連線作圖．（3）由函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)即可．（4）寫出函數(shù)圖象與直線有4個交點時求的取值范圍即可．【詳解】（1）將代入得，∴，故答案為：0．（2）如圖所示：（3）由函數(shù)圖象知：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②當(dāng)時，隨的增大而增大，（4）由圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有4個交點時．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖像，掌握函數(shù)與方程的關(guān)系．【經(jīng)典例題六求x軸與拋物線的截線長】【例6】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與一次函數(shù)交于兩點，則線段的長度為（

）A． B． C． D．20【答案】A【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再運用兩點距離公式變形求出長度即可得到答案．【詳解】解：拋物線與一次函數(shù)交于兩點，聯(lián)立，消元得，，故選：A【點睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中求線段長問題，涉及函數(shù)圖像交點問題、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間距離公式及完全平方公式等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點之間距離公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)題意求得二次函數(shù)與軸的截線長，進(jìn)而通過平移知識即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，，二次項系數(shù)為二次函數(shù)與軸有2個交點，設(shè)與軸交于點，令，則即二次函數(shù)圖像在軸上方的部分的“寬度”小于2，當(dāng)時，的取值范圍為.故選B【點睛】本題考查了二次函數(shù)與軸的截線長，理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，則線段AB的長的最小值為______．【答案】2【分析】設(shè)A(x?，0)，B(x?，0)，則．由根與系數(shù)的關(guān)系把x?+x?，x?x?用含m的代數(shù)式表示出來，再代入上式計算，再利用配方法求出AB的最小值即可．【詳解】設(shè)A(x?，0)，B(x?，0)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x?+x?=-m，x?x?=m-2，則===當(dāng)m=2時，(m-2)2=0此時有最小值為，∴AB的長的最小值為2．故答案為：2【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及用配方法求二次三項式的最小值．綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)拋物線的頂點坐標(biāo)為______（用含m的式子表示）；(2)已知拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C．①若，求拋物線的解析式；②若，請直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）將二次函數(shù)的解析式化成頂點式，由此即可得；（2）①先求出二次函數(shù)的對稱軸和點的坐標(biāo)，從而可得點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可得；②設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，，從而可求出的值，再根據(jù)建立不等式，解不等式即可得．【詳解】（1）解：，則拋物線的頂點坐標(biāo)為．（2）解：①二次函數(shù)的對稱軸為直線，且開口向下，當(dāng)時，，，∵拋物線的開口向下，點一定都位于軸的負(fù)半軸，，，將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為；②設(shè)點的坐標(biāo)分別為，由題意得：是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，，，，，，即，又，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【重難點訓(xùn)練】1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校考二模）函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，，且，，當(dāng)時，該函數(shù)的最小值m與b的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線與一元二次方程的關(guān)系求出拋物線與x軸兩個交點，然后求出拋物線中參數(shù)b的值，進(jìn)而利用端點來求函數(shù)的最小值即可．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，，∴，又，∴，解得或（舍去），∴，∴，則，∴該函數(shù)的對稱軸為直線，又該函數(shù)的圖象開口向上，，∴當(dāng)時，該函數(shù)有最小值，最小值，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用韋達(dá)定理處理根和系數(shù)之間的關(guān)系，掌握拋物線的對稱軸和增減性是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江臺州·臺州市書生中學(xué)統(tǒng)考一模）拋物線交x軸于，A兩點，將繞點A旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交x軸于另一點；將繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交x軸于另一點；…，如此進(jìn)行下去，形成如圖所示的圖像，則下列各點在圖像上的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的旋轉(zhuǎn)，找到圖像的循環(huán)特征，由循環(huán)特性分別找到當(dāng)、時，對應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)行判定即可．【詳解】解：由已知，則拋物線的頂點為，由旋轉(zhuǎn)可知，拋物線的頂點為，則拋物線解析式為：，由題意可知，題干中的復(fù)合圖像，每4個單位循環(huán)一次，由可知，的函數(shù)值等于時的函數(shù)值，∴時，，由可知，的函數(shù)值等于時的函數(shù)值，∴時，，故可知，點在圖像上．故選：C【點睛】本題考查了與二次函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題，解答關(guān)鍵是通過圖像的旋轉(zhuǎn)要找到對應(yīng)的函數(shù)解析式以及圖像的循環(huán)規(guī)律．3．（2023春·浙江杭州·九年級翠苑中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)，，其中a，b是正實數(shù)，且，設(shè)，的圖象與x軸交點個數(shù)分別是M，N，則（

）A．或或 B．或C．或 D．或或【答案】D【分析】先分別求出一元二次方程和的根的判別式，再根據(jù)的取值范圍分類討論即可得．【詳解】解：一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的判別式，當(dāng)時，解得或（不符合題意，舍去），當(dāng)時，解得，①當(dāng)時，則，，所以，所以；②當(dāng)時，則，所以；③當(dāng)時，則，所以，所以；④當(dāng)時，則，所以，所以；⑤當(dāng)時，則，所以；綜上，或或，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知點，，都在拋物線上，，下列選項正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】拋物線的頂點坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線圖像的性質(zhì)，增減性，無理數(shù)比較大小的方法即可求解．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，且開口向上，∴當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減??；拋物線與軸的交點坐標(biāo)，，與軸的交點為，當(dāng)時，，，點，，都在拋物線上，∴，則或，，則或，∵，∴，選項，若時，，，則，故選項錯誤，不符合題意；選項，若，，，則，故選項錯誤，不符合題意；選項，若時，，，則，故選項正確，符合題意；選項，若時，，，則，故選項錯誤，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，無理數(shù)比較大小是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線，且與x軸的一個交點坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)為；④關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；⑤．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)開口方向、與y軸的交點位置、對稱軸即可判斷①對錯；根據(jù)對稱軸即可判斷②對錯；根據(jù)拋物線的對稱性得即可判斷③對錯；根據(jù)圖象與x軸的交點個數(shù)，即可判斷④對錯；將代入函數(shù)解析式即可判斷⑤對錯．【詳解】解：圖象開口向上，與軸交點在負(fù)半軸，，，圖象對稱軸在x軸負(fù)半軸，、同號，，，①錯誤；對稱軸為直線，，，②正確；對稱軸為直線，且與的一個交點坐標(biāo)為，圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，③正確；圖象與x軸有兩個交點，關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，④錯誤；圖象與x軸的兩個交點為，，，，⑤正確，正確的結(jié)論有②③⑤，共3個，故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，函數(shù)與方程的關(guān)系，由圖象得出a、b、c的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型．6．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）拋物線與軸交于，兩點，和也是拋物線上的點，且，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線解析式化為頂點式，得到拋物線的對稱軸為直線，頂點，由拋物線與軸交于，兩點，得出拋物線開口向上，，距離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)的值越大，根據(jù)，，判斷，與對稱軸之間的關(guān)系即可．【詳解】解：拋物線，對稱軸為，頂點為，拋物線與軸交于，兩點，拋物線圖象開口向上，，，，，即點距離對稱軸更遠(yuǎn)，，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì)，拋物線與軸的交點，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的額性質(zhì)解答．7．（2022秋·浙江金華·九年級校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，將這個新函數(shù)的圖象記為G（如圖所示），當(dāng)直線與圖象G有4個交點時，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，解方程得，，再利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為，即，然后求出直線經(jīng)過點時的值和當(dāng)直線與拋物線有唯一公共點時的值，從而得到當(dāng)直線與新圖象有4個交點時，的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)時，，解得，，則，，將該二次函數(shù)在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方的部分圖象的解析式為，即，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，解得；當(dāng)直線與拋物線有唯一公共點時，方程有相等的實數(shù)解，解得，所以當(dāng)直線與新圖象有4個交點時，的取值范圍為．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．8．（2022秋·浙江舟山·九年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有一個根是1，若的頂點在第一象限，設(shè)，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．

【答案】A【分析】將代入可得，即；由，則；二次函數(shù)的圖像的頂點在第一象限，則且，最后解不等式組即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個根是1，∴，即，∵，∴，∵二次函數(shù)的圖像的頂點在第一象限，∴頂點坐標(biāo)為∴且，將，代入上式得：，解得．故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、解一元一次不等式等知識點，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江麗水·九年級期末）二次函數(shù)的部分對應(yīng)值列表如下：x…0135…y…77…則一元二次方程的解為____________．【答案】【分析】利用時，；時，得到二方程一元二次方程的兩根為，由于把一元二次方程可看作關(guān)于的一元二次方程，則或，然后解一次方程即可．【詳解】解：對于二次函數(shù)，∵時，；時，，即方程一元二次方程的兩根為，把一元二次方程看作關(guān)于的一元二次方程，∴或，解得．故答案為：．【點睛】本題考查通過表格確定二次函數(shù)圖象與的交點坐標(biāo)解一元二次方程．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和整體思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校佄锞€的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)為和1，則不等式的解集是__________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)以及對應(yīng)方程的實數(shù)根求得c、b，進(jìn)而可求得方程的實數(shù)根，利用拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)，結(jié)合開口方向即可求解．【詳解】解：∵拋物線的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)為和1，∴方程的兩個實數(shù)根為和1，∴，，即，∴方程的兩個實數(shù)根為和1，∴拋物線的開口向下，且與x軸交點的橫坐標(biāo)為和1，∴不等式的解集是，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題、解一元二次方程、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，能根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解不等式的解集是解答的關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標(biāo)為，與軸的交點在之間（包含端點），則的取值范圍為___________．【答案】/【分析】首先把頂點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到，利用c的取值范圍可以求得a的取值范圍．【詳解】∵拋物線與軸交于點，對稱軸，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)分別是，∴，∴，則．∵軸的交點在之間（包含端點），∴，∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸交點坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，圖象的其余部分不變，將這個新函數(shù)的圖象記為．若直線與圖象恰好有3個交點，則___________．【答案】1或【分析】將二次函數(shù)在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，即解析式為；直線，看成直線，上下移動個單位所得，當(dāng)經(jīng)過點或與二次函數(shù)圖象相切時，與圖象恰好有3個交點，進(jìn)而可求出的值．【詳解】解：當(dāng)時，解得：或，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，將二次函數(shù)在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，即解析式為；①當(dāng)經(jīng)過點，與圖象恰好有3個交點，將代入，可得；②當(dāng)直線圖象與二次函數(shù)圖象相切時，與圖象恰好有3個交點，聯(lián)立方程：，可得：，整理得：，∴，即，解得：，；綜上所述，若直線與圖象恰好有3個交點時，或．故答案為：1或．【點睛】本題考查了拋物線與直線的交點問題，熟練掌握函數(shù)圖象特點，用數(shù)形結(jié)合方法分析問題是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．13．（2021·浙江金華·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．（1）若該拋物線過原點，則t的值為________．（2）已知點與點，若該拋物線與線段只有一個交點，則t的范圍是__．【答案】或2【分析】(1)把（0，0）代入拋物線解析式即可；(2)把點與點分別代入解析式，求出t的值,再根據(jù)拋物線開口確定t的范圍．【詳解】解：(1)把（0，0）代入拋物線得，，解得，，；故答案為：或2(2)由解析式可知拋物線的對稱軸是直線；把點代入解析式得，，解得，，；當(dāng)時，拋物線與線段剛好有兩個交點和，當(dāng)時，拋物線與線段只有一個交點，故t的范圍是；把點代入解析式得，，解得，，；當(dāng)時，拋物線與線段剛好有兩個交點和，當(dāng)時，拋物線與線段只有一個交點，故t的范圍是；故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和它與一元二次方程的聯(lián)系，解題關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)和一元二次方程的知識，準(zhǔn)確進(jìn)行計算和正確進(jìn)行推理．14．（2022秋·浙江·九年級期中）對于一個函數(shù)，當(dāng)自變量x取n時，函數(shù)值y等于2﹣n，我們稱n為這個函數(shù)的“二合點”，如果二次函數(shù)y＝ax2+x﹣1有兩個相異的二合點x1，x2，且x1＜x2＜1，則a的取值范圍是_____．【答案】﹣＜a＜0或a＞1．【分析】首先根據(jù)已知條件得到符合題意的一個一元二次方程，再由一元二次方程根的判別式得到a的大致范圍，最后結(jié)合二次圖象及方程兩根小于1得到a的精確范圍．【詳解】解：根據(jù)題意，可得兩個相異的二合點x1，x2是方程an2+n﹣1＝2﹣n的兩個根，整理，得an2+2n﹣3＝0，△＞0，即4+12a＞0，解得a＞﹣．①當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，∵x1＜x2＜1，當(dāng)x＝1時，y＞0，即a+2﹣3＞0，解得a＞1．所以a＞1．②當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，∵x1＜x2＜1，當(dāng)x＝1時，y＜0，即a+2﹣3＜0，解得a＜1，所以﹣＜a＜0．綜上所述：﹣＜a＜0或a＞1．故答案為﹣＜a＜0或a＞1．【點睛】本題考查二次函數(shù)、一元二次方程與一元一次不等式的綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象、一元二次方程根的判別式及分類思想的運用是解題關(guān)鍵．15．（2023·浙江杭州·校考二模）已知關(guān)于的二次函數(shù)．(1)該函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，求與之間的關(guān)系；(2)若，當(dāng)時，隨的增大而增大，求的范圍；(3)當(dāng)，，該圖象不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）令，求出，，再根據(jù)函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，可得關(guān)系式；（2）根據(jù)，求出函數(shù)圖像的對稱軸，再根據(jù)當(dāng)時，隨的增大而增大，結(jié)合開口方向，可得不等式，解之可得；（3）求出函數(shù)圖像與x軸交點，再根據(jù)該圖象不經(jīng)過第三象限，分圖象與x軸只有一個交點，圖象與x軸有兩個交點，兩種情況，分別討論即可．【詳解】（1）解：令，則，∴，，∵函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，∴；（2）∵，∴，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∵當(dāng)時，隨的增大而增大，，∴，解得：；（3）∵，，∴，令，∴，，∵該圖象不經(jīng)過第三象限，∴當(dāng)該圖象與x軸只有一個交點時，，解得：；當(dāng)該圖象與x軸有兩個交點時，，，即，，解得：，綜上：m的取值范圍是．【點睛】本題考查了二次函數(shù)，涉及了圖像與x軸交點問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的圖像特征以及性質(zhì)，理解參數(shù)的意義和作用，并能將已知條件轉(zhuǎn)化為不等式求解．16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)．(1)二次函數(shù)的圖象過點，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點．①求證：；②若兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，求m的值．【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為；(2)①證明見解析，②【分析】（1）待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式即可．（2）①先求出二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)，進(jìn)而得到一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的交點坐標(biāo)，代入一次函數(shù)，即可得出結(jié)論；②求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，代入一次函數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)過，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，將點代入，得，∴；∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）①∵當(dāng)時，解得：，∴二次函數(shù)與x軸交于和點，又一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點，∴一次函數(shù)過點，∴，∴；②∵，∴，∵兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，∵二次函數(shù)的頂點為，∴過，∴∵，∴，∴．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)和時，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等．(1)若該函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；(2)若該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，當(dāng)時，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對稱軸即可解答；（2）根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點個數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（3）根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵當(dāng)和時，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等，∴二次函數(shù)的對稱軸為，，∵該函數(shù)的最大值為，∴該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，∴，∴由①②可得：，∴函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：∵該函數(shù)的圖象與軸有且只有