2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)相似三角形綜合解答題專題提升訓(xùn)練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)相似三角形綜合解答題專題提升訓(xùn)練1．如圖，點(diǎn)是的邊延長線上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若的面積為4，求的面積．2．在中，，對角線交于點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)．延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．(1)如圖1，若．①求證：；②如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，若．求證：．(2)如圖3，若，，，是否存在最小值？若存在，求出最小值并直接寫出的長度；若不存在，請說明理由．3．在四邊形中，對角線，與交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)如圖2，若，過中點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，．證明：；(3)如圖3，若，點(diǎn)在直線上，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)線段取最小值時(shí)，內(nèi)部一點(diǎn)滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，直接寫出的面積．4．如圖，點(diǎn)D、E、F分別在等邊的三邊，，上，且，．(1)求證：；(2)若，求的長．5．如圖，在中，，，，是線段上的點(diǎn)，且滿足，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)．(1)求證：；(2)連結(jié)交線段于點(diǎn)，求的值；(3)點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，求的長．6．如圖，在等邊中，點(diǎn)P、D分別是邊上的點(diǎn)，連接，且．(1)求證：；(2)若；求的長．7．已知：如圖，中，，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B、C點(diǎn)重合），．(1)求證：；(2)若，求的長．8．在矩形中，E為上的一點(diǎn)，過B作的垂線，垂足為點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，，求四邊形的面積．9．如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），點(diǎn)F在邊的延長線上，且，連接交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)若，求證：．10．如圖，是等邊三角形，、分別是、邊上的點(diǎn)（點(diǎn)、不與端點(diǎn)重合），，連接、為交于點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為平面內(nèi)上方、左側(cè)一點(diǎn)，，延長交于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)是中點(diǎn)，，求線段的長度；(2)若，請用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若，為內(nèi)部一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出面積的最小值．11．在菱形中，E，F(xiàn)為線段上的點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)G．(1)如圖（1）所示，若，求：的余弦值的值；(2)連接，在圖（2）上求作在與方向上的分向量（保留作圖痕跡即可）12．如圖，在中，，，．點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)P作的垂線交線段于點(diǎn)Q，連接．(1)求證：．(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長．13．如圖：點(diǎn)、在線段上，是等邊三角形．(1)求證：(2)，，求的長14．如圖在四邊形中，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)如圖①，若四邊形是矩形，且，求證：(2)如圖②，若四邊形是平行四邊形，且，求證：15．如圖，正方形中，M為上一點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，垂足為F，交的延長線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)若，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)相似三角形綜合解答題專題提升訓(xùn)練》參考答案1．(1)見解析(2)48【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明；（2）由，證明，則，求得，由，證明，得，則，結(jié)合，即可由得到答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，．（2）解：，，，，，，，，，，，，，，的面積為48．2．(1)①見解析；②見解析(2)存在，，【分析】（1）①證明即可解答；②證明，得出，再結(jié)合①得出，即可得，證明，即可解答．（2）取的中點(diǎn)，證明，得出，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，，作交延長線于點(diǎn)，則，，證明，得出，取中點(diǎn)，連接，得出是的中位線，，，則三點(diǎn)共線時(shí)，最?。^作于點(diǎn)，求出，，連接，勾股定理求出，根據(jù)，求出的最小值為．再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可解答．【詳解】（1）解：①證明：在中，，，，在與中，，．②證明：，，，，，，，，，．（2）解：存在．四邊形是平行四邊形，，，取的中點(diǎn)，則，，，在和中，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，，作交延長線于點(diǎn)，則，，∴，∴，，取中點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，則三點(diǎn)共線時(shí)，最小．過作于點(diǎn)，則，，，，，連接，，，，的最小值為．∵，∴，∴，，∴，∴，故此時(shí)．【點(diǎn)睛】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，三角形中位線定理，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．3．(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）作于，則，求出，得出，，求出，得出為等腰直角三角形，推出，由勾股定理可得，即可得解；（2）作于，交的延長線于，作交于，令交于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，設(shè)，則，求出，由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，求出，由平行線的性質(zhì)可得，得出為等腰直角三角形，推出，證明，得出，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，得出，即可得證；（3）作，作于，連接，過點(diǎn)作直線，交直線于，證明四邊形為正方形，得出，，證明，得出，得出點(diǎn)在直線上運(yùn)動，從而可得當(dāng)時(shí)，最小，即最小，證明為等腰直角三角形，得出，以為圓心，為半徑畫圓，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，則，求出點(diǎn)在上，且在劣弧上，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，作于，則為等腰直角三角形，再由計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：如圖，于，則，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴四邊形的面積為；（2）證明：如圖，作于，交的延長線于，作交于，令交于，，∵，，∴，，，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，作，作于，連接，過點(diǎn)作直線，交直線于，，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，，∵點(diǎn)在直線上，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動，∴當(dāng)時(shí)，最小，即最小，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵內(nèi)部一點(diǎn)滿足，∴，以為圓心，為半徑畫圓，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，則，∴，∴點(diǎn)在上，且在劣弧上，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，∴，，∴，作于，則為等腰直角三角形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．4．(1)證明見解析(2)【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識．（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到，證明，即可證明；（2）證明，由（1）知：，得到，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，

∴，

∴；（2）解：∵，，∴，∴，

由（1）知：，∴，

∵，∴．5．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得；（2）如圖2，過點(diǎn)作交BC于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到，由（1）知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到，（3）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖3，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，解直角三角形得到；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖4，連結(jié)，過點(diǎn)作交BD的延長線于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，在中，，∵，，∴，，由旋轉(zhuǎn)的特征，得：，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)∴，∴，即，∴，由（1）知，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴；（3）解：在Rt△中，，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖3，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，設(shè)，則，在和中，，∴，∵，∴，解得：，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖4，連結(jié)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，在中，，設(shè)，則，在和中，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的長為．【點(diǎn)睛】本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，，可證；（2）由，可得，代入數(shù)值即可求出的長．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，又，．（2）由（1），，即，即，．7．(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．（1）先判斷為等腰直角三角形得到，再利用三角形內(nèi)角和得到，利用平角定義得到，則，于是可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到結(jié)論；（2）先由等腰直角三角形性質(zhì)得，，設(shè)，則，再由相似三角形的性質(zhì)得，即，解方程即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，由（1）知為等腰直角三角形，∴，，設(shè)，則，由（1）知，∴，∴，解得：，∴．8．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)并能得到是解決此題的關(guān)鍵．(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，然后即可證明；(2)根據(jù)勾股定理求出的長，再求出三角形的面積，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得三角形的面積，進(jìn)而可得四邊形的面積．【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，，，，，，，，；（2）四邊形為矩形，，在中，，，，，，，，四邊形的面積．9．(1)見解析(2)見解析【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件得到，由(1)知，，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，在與中，，，，，，，；（2）解：四邊形是正方形，，，，由(1)知，，，，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，由勾股定理得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)的綜合運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵．10．(1)(2)(3)【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，解，，進(jìn)而等面積法求得，再求得，在中，求得，進(jìn)而即可求解；（2）證明，設(shè)得出，過點(diǎn)作，，設(shè)與交于點(diǎn)，證明得出，進(jìn)而得出，又，即可得出結(jié)論；（3）連接，以，為直角邊分別在其右側(cè)作等腰，，連接，可得，進(jìn)而可得四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，最小值為，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則，得出，根據(jù)四點(diǎn)共線，是等腰直角三角形，連接，在上截取，得出在的一部分弧上運(yùn)動，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，面積取得最小值，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，進(jìn)而求得，根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是等邊三角形，點(diǎn)是中點(diǎn)，，∴，，∴，，∵，∴，∴∵∴，∵，∴，在中，∴（2）證明：∵是等邊三角形，，∴又∵，∴∴設(shè)∴∴∵∴，如圖所示，過點(diǎn)作，，設(shè)與交于點(diǎn)，∴，又∵∴，∴，∵∴，∴，∴又∵，∴，∴∴∴（3）解：如圖所示，連接，以，為直角邊分別在其右側(cè)作等腰，，連接，∵，∴∴，即∴∴四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，最小值為如圖所示，∵是等邊三角形，∴，∵等腰，∴，，∴如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則∵等腰，∴,∴，又∵,∴∴，∵∴∴∵四點(diǎn)共線∴，連接，在上截取，∵，∴∵∴∴∵∴在的一部分弧上運(yùn)動，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，面積取得最小值，∵∴過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，∵∴∴是等腰直角三角形，∴，在中，如圖所示，作∴，∴，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，求一點(diǎn)到圓上的最值問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件設(shè)，則，，，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在，中，根據(jù)勾股定理可得，由此建立方程求出，然后根據(jù)余弦的定義可得，于是得解；（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，則，即為所求作．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，又，，，，即：，，，，，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在，中，，，解得：，；（2）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，則，即為所求作，理由如下：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，又，是平行四邊形，，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，在與方向上的分向量分別為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，求角的余弦值，向量的線性運(yùn)算，勾股定理，平行線分線段成比例定理，平行公理的推論等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)或6【分析】（1）由兩對應(yīng)角相等（，），證明．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論．①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，如圖1所示．由三角形相似（）關(guān)系計(jì)算的長；②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)，如圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段的中點(diǎn)，從而可以求出．本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形兩個(gè)銳角互余，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)定理進(jìn)行證明．【詳解】（1）解：∵，∴∵過點(diǎn)作的垂線交線段（如圖1）或線段的延長線（如圖2）于點(diǎn)，∴，在與中，；（2）解：在中，，，由勾股定理得：，∵為鈍角，∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只可能是，①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，如題圖1所示，由（1）可知，，∴，即，解得：∴②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)，如題圖2所示，∵，∴∵，，∴．∴．∴，點(diǎn)B為線段中點(diǎn)．∴綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為或6．13．(1)見解析(2)【分析】此