第1節(jié) 基本立體圖形及幾何體的表面積與體積

考試要求1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖．【知識梳理】1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相______且_____多邊形互相________且__________側(cè)棱________相交于____，但不一定相等延長線交于________側(cè)面形狀________________梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，____于底面相交于________延長線交于________軸截面________________等腰梯形圓側(cè)面展開圖________________扇環(huán)2.直觀圖的斜二測畫法(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為________________，z′軸與x′軸、y′軸所在平面________．(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別________坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度________，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳_______．3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝________S圓錐側(cè)＝____S圓臺側(cè)＝____________4.簡單幾何體的表面積和體積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝________錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝________臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝________V＝________[常用結(jié)論與微點提醒]1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．【診斷自測】1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)菱形的直觀圖仍是菱形．()(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方．()2．(必修二P106T8改編)如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，則剩下的幾何體是()A．棱臺 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)4．(必修二P120T5改編)一個長方體的頂點都在球面上，且長方體的棱長分別為1，2，3，則球的表面積為________.考點一基本立體圖形角度1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法中正確的是()A．以直角梯形垂直于底面的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．角度2直觀圖例2(1)對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是()A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形B．90°的角的直觀圖一定會變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同(2)如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B．eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段：“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．”2．按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原平面圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．角度3展開圖例3(2024·郴州模擬)已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為300π，AB為圓臺的一條母線(點B在圓臺的上底面圓周上)，M為AB的中點，一只螞蟻從點B出發(fā)，繞圓臺側(cè)面爬行一周到點M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為()A．30 B．40C．50 D．60________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升在解決空間曲線或折線(段)最短問題時一般要考慮幾何體的側(cè)面展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．訓(xùn)練1(1)(2024·棗莊調(diào)研)給出下列四個命題，正確的是()A．有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱B．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C．側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體D．底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱(2)如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為()A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8(3)(2023·福州檢測)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動點，則AF＋FC1的最小值為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點二面積與體積角度1表面積與側(cè)面積例4(1)(2024·濰坊模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為60°的扇形．把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為eq\f(1,3)，則圓臺的側(cè)面積為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2024·蘭州診斷)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，蘭州市著名景點三臺閣(如圖1)的屋頂部分是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖2所示是某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底邊、下底邊、側(cè)棱的長度(單位：dm)分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)的表面積為________________dm2.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2體積例5(1)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺的體積為________．(2)(2024·南寧質(zhì)檢)木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足．楔子是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為________．(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1－D1MN的體積為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．2．求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積．訓(xùn)練2(1)在我國瓷器