1.4 等腰三角形（4） 等邊三角形的判定-八年級數(shù)學(xué)下冊10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）（解析版）

課前預(yù)習(xí)記錄：月日星期10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）1.4等腰三角形（4）—等邊三角形的判定知識要點:1．三個角都相等的三角形是_______________．【答案】等邊三角形2．有一個角等于________的等腰三角形是等邊三角形.【答案】60°3．在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的_____?！敬鸢浮恳话胝n堂練習(xí)一、選擇題1．下列命題中真命題有（）個．①有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；②等腰三角形的角平分線、中線、高線三線合一；③在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用等邊三角形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：①有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，正確，是真命題，符合題意；②等腰三角形的頂角的平分線、底邊的中線、底邊上的高線三線合一，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；③在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，正確，是真命題，符合題意；④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個，故選：C．【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解等邊三角形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)，難度不大．2．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，BD是角平分線，DE∥BC交AB于E，那么△ADE的周長是（）A．9 B．6 C．12 D．18【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明DE=BE以及△ADE為等邊三角形，從而得到DE=BE=AE，再利用△ABC的邊長得出結(jié)果.【詳解】解：∵BD是角平分線，DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠CBD=∠EBD，∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°，∴∠EDB=∠EBD，△ADE為等邊三角形，∴DE=BE=AE，∵△ABC為等邊三角形，AB=6，∴DE=AE=3，∴△ADE的周長為9.故選A.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出DE=AE=3是解題的關(guān)鍵.3．如圖，在中，是的角平分線，于點，，，，則長是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到DE的長，然后根據(jù)平分線的性質(zhì)，可以得到DE＝DF，再根據(jù)∠C＝45°，即可得到CD的長，本題得以解決．【詳解】解：∵于點，，，∴BD=2DE，設(shè)DE=x，則BD=2DE=2x，∴，∴，解得：作于點，是的角平分線，，，，∴，∴在Rt△CDF中，，∴故選：．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．如圖，在等邊ABC中，AD是它的角平分線，DE⊥AB于E，若AC=8，則BE=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由等邊△ABC的“三線合一”的性質(zhì)推知，根據(jù)等邊三角形三個內(nèi)角都相等的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余推知∠BDE=30°，最后根據(jù)“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”來求BE即可．【詳解】∵是等邊三角形，是它的角平分線，∴，．∵于，∴，∴．故選B【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識．5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點E，DE=1，則BD=()A．2 B．3 C． D．+2【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BD，計算即可．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=1，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，故選：A．【點睛】本題考查的是含30°角的直角三角形，角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°,AD是△ABC的角平分線，AD=4，則點D到AB的距離是______．【答案】2【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，再求出∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，再根據(jù)直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD＝2CD，即可得出答案.【詳解】解：過D點作DE⊥AB，∵AD平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴CD=DE，∠CAD＝30°，又∵∠C＝90°，AD=4，∴CD=2，∴DE=2，即點D到AB的距離是2.【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=，則BC=________．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD的長，然后在直角△BDE中，根據(jù)30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BD長，則BC即可求得．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=+2=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，是的角平分線，，垂足為E，，則的周長為________．【答案】；【分析】在△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形，利用邊之間的關(guān)系，得出各邊長，從而得出△ABC的周長．【詳解】∵∠C=90°，∠B=30°，DE=1∴在Rt△DEB中，DB=2，EB=∵AD是∠CAB的角平分線∴CD=DE=1，∠CAD=∠DAE=30°∴在Rt△ACD中，AD=2，同理，在Rt△ADE中，AD=2，AE=∴△ABC的周長=AE+EB+BD+DC+CA=3+3故答案為：3+3．【點睛】本題考查含30°角的直角三角形、角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是得出△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形．9．如圖，點P是∠AOB的角平分線上一點，過點P作PC∥OA交OB于點C，過點P作PD⊥OA于點D，若∠AOB＝60°，OC＝2，則PD＝_____________．

【答案】【分析】作，則，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作，如下圖：

∵平分，，，∴，，∵，∴，∴，，在中，，，∴∴，由勾股定理得，，故答案為：．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及含直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解．三、解答題10．如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，E是AC延長線上一點．且CE=CD，AD=DE．(1)求證：ABC是等邊三角形；(2)如果把AD改為ABC的中線或高、其他條件不變），請判斷(1)中結(jié)論是否依然成立？（不要求證明）【答案】（1）見解析；（2）成立【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，角平分線AD同時也是三角形ABC底邊BC的高，即∠ADC=90°．再加上已知條件可推出∠DAC=30°，即可知三角形ABC是等邊三角形．（2）在等腰三角形ABC中，如果其他條件不變，則AD同時是角平分線、中線及高，所以（1）中結(jié)論仍然成立．【詳解】（1）證明：∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，

∴∠ACB=2∠E．

又∵AD=DE，∴∠E=∠DAC，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAC=2∠DAC=2∠E，

∴∠ACB=∠BAC，∴BA=BC．

又∵AB=AC，∴AB=BC=AC．

∴△ABC是等邊三角形．

（2）解：當AD為△ABC的中線或高時，結(jié)論依然成立．理由：當AD為△ABC的中線時，，，由（1）的結(jié)論，易證ABC是等邊三角形；當AD為△ABC的高時，，，由（1）的結(jié)論，易證ABC是等邊三角形；【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定，綜合利用了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)．同時要掌握等腰三角形中底邊的高、中線和角平分線重合的性質(zhì)．11．如圖，已知在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=30°,高AD與角平分線CE相交于F.（1）求證△AEF是等邊三角形；（2）EF=2FD．【答案】見詳解【解析】【分析】（1）在直角△ADB和直角△CAE中,分別證明∠BAD=60°,∠AEC=60°即可解題,（2）利用30°所對直角邊是斜邊一半即可解題.【詳解】解：（1）∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACB=60°,∵AD⊥BC,CE平分∠ACB,∴∠BAD=60°,∠ACE=∠BCE=30°,∴∠BAD=∠AEC=60°,∴△AEF是等邊三角形；（2）由（1）可知∠FAC=30°,∴AF=CF,在Rt△CDF中,∠DCF=30°,∴FC=2DF,∴EF=2FD.【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和含30°的直角三角形的特殊性質(zhì),屬于簡單題,熟悉直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.12．如圖，，OC平分，C為角平分線上一點，過點C作，垂足為C，交OB于點D，交OB于點E．判斷的形狀，并說明理由；若，求CD的長．【答案】（1）等邊三角形，理由見解析；（2）【分析】（1）△CED為等邊三角形，理由如下：由OC為角平分線及∠AOB度數(shù)求出∠AOC與∠COE度數(shù)，再由CE與OA平行，得到一對內(nèi)錯角相等，再由CD與OC垂直，求出∠ECD度數(shù)，利用三個內(nèi)角相等的三角形為等邊三角形即可得證；（2）由△CED為等邊三角形，得到三邊相等，利用等角對等邊得到OE=CE，進而得到OE=CE=DE，設(shè)CD=x，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OD=2x，再由OC的長，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出CD的長．【詳解】是等邊三角形，理由如下：平分，，，，，，，，，是等邊三角形；

是等邊三角形，，又，，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，則．【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線.（1）如圖1，若AD=BD，求∠A的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，作DE⊥AB于E，連接EC．求證：△EBC是等邊三角形.【答案】(1)30°;(2)見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易證∠A=∠DBA=∠DBC，然后利用三角形的內(nèi)角和進行求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=BE，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證.【詳解】（1）解：∵AD=BD，∴∠A=∠DBA，∵∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°，∴∠A=30°；（2）證明：∵AD=BD，DE⊥AB，∴AE=BE，∴CE=BE，∵∠A=30°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等邊三角形.【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定.解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.14．在中，，，是的中線，是的角平分線，交