2025年高考物理二輪專題復習講義：第3專題　圓周運動、航天與星體問題

第3專題圓周運動、航天與星體問題知識網絡考點預測本專題包含兩類問題或者說兩大題型，無論是星體問題還是其他圓周運動的問題，往往都要運用牛頓運動定律和功能關系進行求解，但由于在高考中地位重要，因`而單獨作為一個專題進行總結、分類和強化訓練．航天與星體問題是近幾年各地高考卷中的必考題型．由于對這個小模塊每年都考，各類題型都有，考得很細，所以歷年高考試題往往與近期天文的新發(fā)現(xiàn)或航天的新成就、新事件結合，我們在平時學習的過程中應多思考這類天文新發(fā)現(xiàn)和航天新事件中可能用于命題的要素．在高考卷中，關于航天及星體問題的大部分試題的解題思路明確，即向心力由萬有引力提供，設問的難度不大，但也可能出現(xiàn)設問新穎、綜合性強、難度大的試題．如2008年高考全國理綜卷Ⅱ中第25題，2009年高考全國理綜卷Ⅱ第26題．要點歸納一、圓周運動1．描述勻速圓周運動的相關物理量及其關系(1)物理量：線速度v、角速度ω、周期T、頻率f、轉速n、向心加速度a等等．(2)關系：v＝eq\f(2πr,T)＝ωr＝2πrf，a＝eq\x\bo(\f(v2,r))＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2f2r．2．勻速圓周運動的向心力(1)向心力的來源：向心力是由效果命名的力，它可以由重力、彈力、摩擦力等力來充當，也可以是由這些力的合力或它們的分力來提供，即任何力都可能提供向心力，向心力的作用是只改變線速度的方向，不改變線速度的大?。?2)大?。篎向＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝4mπ2f2r(牛頓第二定律)3．圓周運動的臨界問題分析圓周運動的臨界問題時，一般應從與研究對象相聯(lián)系的物體(如：繩、桿、軌道等)的力學特征著手．(1)如圖3－1所示，繩系小球在豎直平面內做圓周運動及小球沿豎直圓軌道的內側面做圓周運動過最高點的臨界問題(小球只受重力、繩或軌道的彈力)．圖3－1由于小球運動到圓軌跡的最高點時，繩或軌道對小球的作用力只能向下，作用力最小為零，所以小球做完整的圓周運動在最高點應有一最小速度vmin．當小球剛好能通過最高點時，有：mg＝meq\f(vmin2,r)解得：vmin＝eq\x\bo(\r(gr))．又由機械能守恒定律有：eq\f(1,2)mv下2＝eq\f(1,2)mv上2＋mg·2R，可得v下≥eq\x\bo(\r(5gR))所以，小球要能通過最高點，它在最高點時的速度v需要滿足的條件是v≥eq\r(gr)．當v＞eq\r(gr)時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力．(2)如圖3－2所示，輕質桿一端的小球繞桿的另一端做圓周運動及小球在豎直放置的圓環(huán)內做圓周運動過最高點的臨界問題．圖3－2分析小球在最高點的受力情況：小球受重力mg、桿或軌道對小球的力F．小球在最高點的動力學方程為：mg＋F＝meq\f(v2,r)．由于小球運動到圓軌跡的最高點時，桿或軌道對小球的作用力可以向下，可以向上，也可以為零；以向下的方向為正方向，設小球在最高點時桿或軌道對它的作用力大小為F，方向向上，速度大小為v，則有：mg－F＝meq\f(v2,r)當v＝0時，F(xiàn)＝mg，方向向上；當0＜v＜eq\r(gr)時，F(xiàn)隨v的增大而減小，方向向上；當v＝eq\r(gr)時，F(xiàn)＝0；當v＞eq\r(gr)時，F(xiàn)為負值，表示方向向下，且F隨v的增大而增大．4．彎道問題(1)火車的彎道、公路的彎道都向內側傾斜，若彎道半徑為r，車輛通過速度為v0，則彎道的傾角應為：θ＝EQ\x\bo(arctaneq\f(v02,rg))．(2)飛機、鳥在空中盤旋時受力與火車以“v0”過彎道相同，故機翼、翅膀的傾角θ＝arctaneq\f(v2,rg)．圖3－3(3)騎自行車在水平路面上轉彎時，向心力由靜摩擦力提供，但車身的傾斜角仍為θ＝arctaneq\f(v2,rg)．二、航天與星體問題1．天體運動的兩個基本規(guī)律(1)萬有引力提供向心力行星衛(wèi)星模型：F＝Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r雙星模型：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2(L－r1)其中，G＝6.67×10－11N·m2/kg22．萬有引力等于重力Geq\f(Mm,R2)＝mg(物體在地球表面且忽略地球自轉效應)；Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝mg′(在離地面高h處，忽略地球自轉效應完全相等，g′為該處的重力加速度)2．人造衛(wèi)星的加速度、線速度、角速度、周期跟軌道半徑的關系F萬＝Geq\f(Mm,r2)＝F向＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3).))3．宇宙速度(1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v＝eq\r(gR)＝7.9_km/s，是衛(wèi)星發(fā)射的最小速度，也是衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的最大速度．(2)第二宇宙速度：v＝11.2km/s(3)第三宇宙速度：v＝16.7km/s注意：①三個宇宙速度的大小都是取地球中心為參照系；②以上數據是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，計算方法與地球相同．4．關于地球同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星是指與地球自轉同步的衛(wèi)星，它相對于地球表面是靜止的，廣泛應用于通信領域，又叫做同步通信衛(wèi)星．其特點可概括為六個“一定”：(1)位置一定(必須位于地球赤道的上空)地球同步衛(wèi)星繞地球旋轉的軌道平面一定與地球的赤道面重合．假設同步衛(wèi)星的軌道平面與赤道平面不重合，而與某一緯線所在的平面重合，如圖3－4所示．同步衛(wèi)星由于受到地球指向地心的萬有引力F的作用，繞地軸做圓周運動，F(xiàn)的一個分力F1提供向心力，而另一個分力F2將使同步衛(wèi)星不斷地移向赤道面，最終直至與赤道面重合為止(此時萬有引力F全部提供向心力)．圖3－4(2)周期(T)一定①同步衛(wèi)星的運行方向與地球自轉的方向一致．②同步衛(wèi)星的運轉周期與地球的自轉周期相同，即T＝24h．(3)角速度(ω)一定由公式ω＝eq\f(φ,t)知，地球同步衛(wèi)星的角速度ω＝eq\f(2π,T)，因為T恒定，π為常數，故ω也一定．(4)向心加速度(a)的大小一定地球同步衛(wèi)星的向心加速度為a，則由牛頓第二定律和萬有引力定律得：Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝ma，a＝eq\f(GM,(R＋h)2)．(5)距離地球表面的高度(h)一定由于萬有引力提供向心力，則在ω一定的條件下，同步衛(wèi)星的高度不具有任意性，而是唯一確定的．根據Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝mω2(R＋h)得：h＝eq\r(3,\f(GM,ω2))－R＝eq\r(3,\f(GM,(\f(2π,T))2))－R≈36000km．(6)環(huán)繞速率(v)一定在軌道半徑一定的條件下，同步衛(wèi)星的環(huán)繞速率也一定，且為v＝eq\r(\f(GM,r))＝eq\r(\f(R2g,R＋h))＝3.08km/s．因此，所有同步衛(wèi)星的線速度大小、角速度大小及周期、半徑都相等．由此可知要發(fā)射同步衛(wèi)星必須同時滿足三個條件：①衛(wèi)星運行周期和地球自轉周期相同；②衛(wèi)星的運行軌道在地球的赤道平面內；③衛(wèi)星距地面高度有確定值．熱點、重點、難點一、圓周運動關于圓周運動，在高考中除了一般會出現(xiàn)星體問題，帶電粒子在勻強磁場中的運動的試題外，還常會出現(xiàn)其他考查動能和功能關系的圓周運動問題．如2009年高考安徽理綜卷第24題、浙江理綜卷第24題，2008年高考山東理綜卷第24題、廣東物理卷第17題，2007年高考全國理綜卷Ⅱ第23題等．●例1如圖3－5所示，兩個eq\f(3,4)圓弧軌道固定在水平地面上，半徑R相同，A軌道由金屬凹槽制成，B軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道．在兩軌道右側的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別用hA和hB表示，則下列說法正確的是()圖3－5A．若hA＝hB≥2R，則兩小球都能沿軌道運動到最高點B．若hA＝hB＝eq\f(3R,2)，由于機械能守恒，兩個小球沿軌道上升的最大高度均為eq\f(3R,2)C．適當調整hA和hB，均可使兩小球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口處D．若使小球沿軌道運動并且從最高點飛出，A小球的最小高度為eq\f(5R,2)，B小球在hB>2R的任何高度均可【解析】當hB＝2R時，B小球能沿圓管運動到達最高點，且由機械能守恒定律知到達最高點時速度減為零，故當hA＝2R時，A小球到達最高點前已離開圓弧軌道；同理，當hA＝hB＝eq\f(3,2)R時，B小球能恰好上升至eq\f(3,2)R，A小球上升至eq\f(3R,2)前已離開圓弧，故選項A、B錯誤．要使小球從軌道最高點飛出后恰好落在軌道右端口，在最高點的初速度應為v0＝eq\f(R,\r(\f(2R,g)))＝eq\r(\f(Rg,2))又因為A小球沿凹槽到達最高點的條件為meq\f(v2,R)≥mg，即v≥eq\r(gR)，故A小球不可能從軌道最高點飛出后恰好落在軌道右端口處．又由機械能守恒定律，A小球能到達凹槽軌道高點的條件為：mgha≥mg·2R＋eq\f(1,2)m(eq\r(gR))2得ha≥eq\f(5,2)R．故選項C錯誤、D正確．[答案]D【點評】除了天體問題和帶電粒子在勻強磁場中運動外，豎直方向的圓周運動問題是較常出現(xiàn)的題型．本例題較典型地包含這類問題中的動力學關系和動能關系．二、天體質量、密度及表面重力加速度的計算1．星體表面的重力加速度：g＝Geq\f(M,R2)2．天體質量常用的計算公式：M＝eq\f(rv2,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)●例2假設某個國家發(fā)射了一顆繞火星做圓周運動的衛(wèi)星．已知該衛(wèi)星貼著火星表面運動，把火星視為均勻球體，如果知道該衛(wèi)星的運行周期為T，引力常量為G，那么()A．可以計算火星的質量B．可以計算火星表面的引力加速度C．可以計算火星的密度D．可以計算火星的半徑【解析】衛(wèi)星繞火星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，則有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r而火星的質量M＝ρeq\f(4,3)πr3聯(lián)立解得：火星的密度ρ＝eq\f(3π,GT2)由M＝eq\f(4π2r3,GT2)，g＝Geq\f(M,r2)＝eq\f(4π2,T2)r知，不能確定火星的質量、半徑和其的表面引力加速度，所以C正確．[答案]C【點評】歷年的高考中都常見到關于星體質量(或密度)、重力加速度的計算試題，如2009年高考全國理綜卷Ⅰ第19題，江蘇物理卷第3題，2008年高考上海物理卷1(A)等．★同類拓展1我國探月的嫦娥工程已啟動，在不久的將來，我國宇航員將登上月球．假如宇航員在月球上測得擺長為l的單擺做小振幅振動的周期為T，將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，則月球的密度為()A．eq\f(3π,GT2)B．eq\f(3πl(wèi),GrT2)C．eq\f(16πl(wèi),3GrT2)D．eq\f(3πl(wèi),16GrT2)【解析】設月球表面附近的重力加速度為g0．有：T＝2πeq\r(\f(l,g0))又由g0＝Geq\f(M,r2)，ρ＝eq\f(3M,4πr3)可解得ρ＝eq\f(3πl(wèi),GrT2)．[答案]B三、行星、衛(wèi)星的動力學問題不同軌道的行星(衛(wèi)星)的速度、周期、角速度的關系在“要點歸納”中已有總結，關于這類問題還需特別注意分析清楚衛(wèi)星的變軌過程及變軌前后的速度、周期及向心加速度的關系．●例32008年9月25日到28日，我國成功發(fā)射了神舟七號載人航天飛行并實現(xiàn)了航天員首次出艙．飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為90分鐘．下列判斷正確的是[2009年高考·山東理綜卷]()A．飛船變軌前后的機械能相等B．飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態(tài)C．飛船在此圓軌道上運動的角速度大于同步衛(wèi)星運動的角速度D．飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度【解析】飛船點火變軌，反沖力對飛船做正功，飛船的機械能不守恒，A錯誤．飛船在圓形軌道上繞行時，航天員(包括飛船及其他物品)受到的萬有引力恰好提供所需的向心力，處于完全失重狀態(tài)，B正確．神舟七號的運行高度遠低于同步衛(wèi)星，由ω2∝eq\f(1,r3)知，C正確．由牛頓第二定律a＝eq\f(F引,m)＝Geq\f(M,r2)知，變軌前后過同一點的加速度相等．[答案]BC【點評】對于這類衛(wèi)星變軌的問題，特別要注意比較加速度時不能根據運動學公式a＝eq\f(v2,r)＝ω2r，因為變軌前后衛(wèi)星在同一點的速度、軌道半徑均變化，一般要通過決定式a＝eq\f(F,m)來比較．★同類拓展2為紀念伽利略將望遠鏡用于天文觀測400周年，2009年被定為以“探索我的宇宙”為主題的國際天文年．我國發(fā)射的嫦娥一號衛(wèi)星繞月球經過一年多的運行，完成了既定任務，于2009年3月1日16日13分成功撞月．圖示為嫦娥一號衛(wèi)星撞月的模擬圖，衛(wèi)星在控制點1開始進入撞月軌道．假設衛(wèi)星繞月球做圓周運動的軌道半徑為R，周期為T，引力常量為G．根據題中信息()A．可以求出月球的質量B．可以求出月球對嫦娥一號衛(wèi)星的引力C．可知嫦娥一號衛(wèi)星在控制點1處應減速D．可知嫦娥一號在地面的發(fā)射速度大于11.2km/s【解析】由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R可得月球的質量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，A正確．由于不知嫦娥一號的質量，無法求得引力，B錯誤．衛(wèi)星在控制點1開始做近月運動，知在該點萬有引力要大于所需的向心力，故知在控制點1應減速，C正確．嫦娥一號進入繞月軌道后，同時還與月球一起繞地球運行，并未脫離地球，故知發(fā)射速度小于11.2km/s，D錯誤．[答案]AC四、星體、航天問題中涉及的一些功能關系1．質量相同的繞地做圓周運動的衛(wèi)星，在越高的軌道動能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝Geq\f(Mm,2r)越小，引力勢能越大，總機械能越大．2．若假設距某星球無窮遠的引力勢能為零，則距它r處衛(wèi)星的引力勢能Ep＝－Geq\f(Mm,r)(不需推導和記憶)．在星球表面處發(fā)射物體能逃逸的初動能為Ek≥|Ep|＝Geq\f(Mm,R)．●例42008年12月，天文學家們通過觀測的數據確認了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質量與太陽質量的倍數關系．研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運動，其軌道半長軸為9.50×102天文單位(地球公轉軌道的半徑為一個天文單位)，人馬座A*就處在該橢圓的一個焦點上．觀測得到S2星的運動周期為15.2年．(1)若將S2星的運行軌道視為半徑r＝9.50×102天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質量MA是太陽質量MS的多少倍．(結果保留一位有效數字)(2)黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛．由于引力的作用，黑洞表面處質量為m的粒子具有的勢能為Ep＝－Geq\f(Mm,R)(設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質量和半徑．已知引力常量G＝6.7×10－11N·m2/kg2，光速c＝3.0×108m/s，太陽質量MS＝2.0×1030kg，太陽半徑RS＝7.0×108m，不考慮相對論效應，利用上問結果，在經典力學范圍內求人馬座A*的半徑RA與太陽半徑RS之比應小于多少．(結果按四舍五入保留整數)[2009年高考·天津理綜卷]【解析】(1)S2星繞人馬座A*做圓周運動的向心力由人馬座A*對S2星的萬有引力提供，設S2星的質量為mS2，角速度為ω，周期為T，則有：Geq\f(MAmS2,r2)＝mS2ω2rω＝eq\f(2π,T)設地球質量為mE，公轉軌道半徑為rE，周期為TE，則：Geq\f(MSmE,rE2)＝mE(eq\f(2π,TE))2rE綜合上述三式得：eq\f(MA,MS)＝(eq\f(r,rE))3(eq\f(TE,T))2上式中TE＝1年，rE＝1天文單位代入數據可得：eq\f(MA,MS)＝4×106．(2)引力對粒子作用不到的地方即為無限遠處，此時粒子的勢能為零．“處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運動的粒子在遠離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達無限遠之前，其動能便減小為零，此時勢能仍為負值，則其能量總和小于零．根據能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面處的能量也小于零，則有：eq\f(1,2)mc2－Geq\f(Mm,R)＜0依題意可知：R＝RA，M＝MA可得：RA＜eq\f(2GMA,c2)代入數據得：RA＜1.2×1010m故eq\f(RA,RS)＜17．[答案](1)4×106(2)eq\f(RA,RS)<17【點評】①“黑洞”問題在高考中時有出現(xiàn)，關鍵要理解好其“不能逃逸”的動能定理方程：eq\f(1,2)mc2－Geq\f(Mm,R)<0．②Ep＝－Geq\f(Mm,R)是假定離星球無窮遠的物體與星球共有的引力勢能為零時，物體在其他位置(與星球共有)的引力勢能，同樣有引力做的功等于引力勢能的減少．★同類拓展32005年10月12日，神舟六號飛船順利升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了73圈．運行中需要多次進行軌道維持．所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間、推力的大小和方向，使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行．如果不進行軌道維持，由于飛船在軌道上運動受摩擦阻力的作用，軌道高度會逐漸緩慢降低，在這種情況下，下列說法正確的是()A．飛船受到的萬有引力逐漸增大、線速度逐漸減小B．飛船的向心加速度逐漸增大、周期逐漸減小、線速度和角速度都逐漸增大C．飛船的動能、重力勢能和機械能都逐漸減小D．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小【解析】飛船的軌道高度緩慢降低，由萬有引力定律知其受到的萬有引力逐漸增大，向心加速度逐漸增大，又由于軌道變化的緩慢性，即在很短時間可當做勻速圓周運動，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r知，其線速度逐漸增大，動能增大，由此可知飛船動能逐漸增大，重力勢能逐漸減小，由空氣阻力做負功知機械能逐漸減少．[答案]BD五、雙星問題●例5天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質量．(引力常量為G)[2008年高考·寧夏理綜卷]【解析】設兩顆恒星的質量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為ω1、ω2．根據題意有：ω1＝ω2r1＋r2＝r根據萬有引力定律和牛頓定律，有：Geq\f(m1m2,r2)＝m1r1ω12Geq\f(m1m2,r2)＝m2r2ω22聯(lián)立解得：r1＝eq\f(m2r,m1＋m2)根據角速度與周期的關系知ω1＝ω2＝eq\f(2π,T)聯(lián)立解得：m1＋m2＝eq\f(4π2r3,T2G)．[答案]eq\f(4π2r3,T2G)【點評】在雙星系統(tǒng)中，當其中一星體質量遠遠大于另一星體時，它們的共同圓心就在大質量星球內部且趨近于球心．經典考題1．天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的4.7倍，質量是地球的25倍．已知某一近地衛(wèi)星繞地球運行的周期約為1.4小時，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為[2009年高考·全國理綜卷Ⅰ]()A．1.8×103kg/m3B．5.6×103kg/m3C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3【解析】由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，ρ＝eq\f(3M,4πR3)可得，地球密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，再由質量和體積關系得該行星的密度ρ′＝2.9×104kg/m3．[答案]D2．2009年2月11日，俄羅斯的“宇宙－2251”衛(wèi)星和美國的“銥－33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805km處發(fā)生碰撞．這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件．碰撞過程中產生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境．假定有甲、乙兩塊碎片，繞地球運行的軌道都是圓，甲的運行速率比乙的大，則下列說法中正確的是[2009年高考·安徽理綜卷Ⅰ]()A．甲的運行周期一定比乙的長B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的加速度一定比乙的大【解析】由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，甲碎片的速率大，軌道半徑小，故B錯誤；由公式T＝2πeq\r(\f(R3,GM))可知，甲的周期小，故A錯誤；由于未知兩碎片的質量，無法判斷向心力的大小，故C錯誤；碎片的加速度是指引力加速度，由Geq\f(Mm,R2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,R2)，甲的加速度比乙大，D正確．[答案]D3.1990年4月25日，科學家將哈勃天文望遠鏡送上距地球表面約600km的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大的進展．假設哈勃望遠鏡沿圓軌道繞地球運行．已知地球半徑為6.4×106m，利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為3.6×107m這一事實可得到哈勃望遠鏡繞地球運行的周期．以下數據中，最接近其運行周期的是[2008年高考·四川理綜卷]()A．0.6小時B．1.6小時C．4.0小時D．24小時【解析】由開普勒行星運動定律可知，eq\f(R3,T2)＝恒量，所以eq\f((r＋h1)3,t12)＝eq\f((r＋h2)3,t22)，其中r為地球的半徑，h1，t1，h2，t2分別表示望遠鏡到地表的距離、望遠鏡的周期、同步衛(wèi)星距地表的距離、同步衛(wèi)星的周期(24h)，代入解得：t1＝1.6h．[答案]B【點評】高考對星體航天問題的考查以圓周運動的動力學方程為主，具體常涉及求密度值、同步衛(wèi)星的參量、變軌的能量變化等．在具體解題時要注意運用好幾個常用的代換．4．我國發(fā)射的嫦娥一號探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化，衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球．設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉動的周期為T．假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間．(用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響)．[2008年高考·全國理綜卷Ⅱ]【解析】如圖所示，設O和O′分別表示地球和月球的中心．在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心線OO′與地月球表面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星軌道的交點．過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點．衛(wèi)星在圓弧BE上運動時發(fā)出的信號被遮擋．設探月衛(wèi)星的質量為m0，引力常量為G，根據萬有引力定律有：Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2rGeq\f(mm0,r12)＝m0(eq\f(2π,T1))2r1(其中T1表示探月衛(wèi)星繞月球轉動的周期)由以上兩式可得：(eq\f(T1,T))2＝eq\f(M,m)(eq\f(r1,r))3設衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，有：eq\f(t,T1)＝eq\f(α－β,π)，其中α＝∠CO′A，β＝∠CO′B由幾何關系得：rcosα＝R－R1，r1cosβ＝R1聯(lián)立解得：t＝eq\f(T,π)eq\r(\f(Mr13,mr3))(arccoseq\f(R－R1,r)－arccoseq\f(R1,r1))．[答案]eq\f(T,π)eq\r(\f(Mr13,mr3))(arccoseq\f(R－R1,r)－arccoseq\f(R1,r1))【點評】航體星體問題有時在高考中也以計算題出現(xiàn)，解答的關鍵仍是做圓周運動的動力學方程．另外，還需要同學們具有豐富的想象力，描繪情境圖、難圖化易、化整為零等能力．能力演練一、選擇題(10×4分)1．在越野賽車時，一輛賽車在水平公路上減速轉彎，從俯視圖可以看到，賽車沿圓周由P向Q行駛．下列圖中畫出了賽車轉彎時所受合力的四種方式，其中正確的是()【解析】將F向切向和徑向分解，切向分力使其減速，徑向的分力產生向心加速度，故D正確．[答案]D2．備受關注的京滬高速鐵路預計在2010年投入運營．按照設計，乘高速列車從北京到上海只需4個多小時，由于高速列車的速度快，對軌道、軌基的抗震動和抗沖擊力的要求都很高．如圖所示，列車轉彎可以看成是做勻速圓周運動，若某彎道的半徑為R，列車設計時速為v，則該彎道處鐵軌內外軌的設計傾角θ應為()A．arctaneq\f(v2,Rg)B．arcsineq\f(v2,Rg)C．arccoteq\f(v2,Rg)D．arccoseq\f(v2,Rg)【解析】設計的傾角θ應使列車過彎道時重力與支持力的合力提供向心力：mgtanθ＝meq\f(v2,R)，解得：θ＝arctaneq\f(v2,Rg)．[答案]A3.2005年12月11日，有著“送子女神”之稱的小行星“婚神”(Juno)沖日，在此后十多天的時間里，國內外天文愛好者憑借雙筒望遠鏡可觀測到它的“倩影”．在太陽系中除了八大行星以外，還有成千上萬顆肉眼看不見的小天體，沿著橢圓軌道不停地圍繞太陽公轉．這些小天體就是太陽系中的小行星．沖日是觀測小行星難得的機遇．此時，小行星、太陽、地球幾乎成一條直線，且和地球位于太陽的同一側．“婚神”星沖日的虛擬圖如圖所示，則()A．2005年12月11日，“婚神”星的線速度大于地球的線速度B．2005年12月11日，“婚神”星的加速度小于地球的加速度C．2006年12月11日，必將發(fā)生下一次“婚神”星沖日D．下一次“婚神”星沖日必將在2006年12月11日之后的某天發(fā)生【解析】由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v2∝eq\f(1,r)，“婚神”的線速度小于地球的線速度，由a＝eq\f(F,m)＝Geq\f(M,r2)知，“婚神”的加速度小于地球的加速度，地球的公轉周期為一年，“婚神”的公轉周期大于一年，C錯誤，D正確．[答案]BD4.2007年11月5日，嫦娥一號探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道到達月球附近，在距月球表面200km的P點進行第一次“剎車制動”后被月球俘獲，進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖所示．之后，衛(wèi)星在P點經過幾次“剎車制動”，最終在距月球表面200km、周期127min的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動．若已知月球的半徑R月和引力常量G，忽略地球對嫦娥一號的引力作用，則由上述條件()A．可估算月球的質量B．可估算月球表面附近的重力加速度C．可知衛(wèi)星沿軌道Ⅰ經過P點的速度小于沿軌道Ⅲ經過P點的速度D．可知衛(wèi)星沿軌道Ⅰ經過P點的加速度大于沿軌道Ⅱ經過P點的加速度【解析】由Geq\f(Mm,(R月＋h)2)＝m(R月＋h)eq\f(4π2,T2)可得：月球的質量M＝eq\f(4π2(R月＋h)3,GT2)，選項A正確．月球表面附近的重力加速度為：g月＝Geq\f(M,R月2)＝eq\f(4π2(R月＋h)3,R月2T2)，選項B正確．衛(wèi)星沿軌道Ⅰ經過P點時有：meq\f(vPⅠ2,R月＋h)>Geq\f(Mm,(R月＋h)2)沿軌道Ⅲ經過P點時：meq\f(vPⅢ2,(R月＋h))＝Geq\f(Mm,(R月＋h)2)可見vPⅢ<vPⅠ，選項C錯誤．加速度aP＝eq\f(F,m)＝Geq\f(M,(R月＋h)2)，與軌跡無關，選項D錯誤．[答案]AB5．假設太陽系中天體的密度不變，天體的直徑和天體之間的距離都縮小到原來的eq\f(1,2)，地球繞太陽公轉近似為勻速圓周運動，則下列物理量變化正確的是()A．地球繞太陽公轉的向心力變?yōu)榭s小前的eq\f(1,2)B．地球繞太陽公轉的向心力變?yōu)榭s小前的eq\f(1,16)C．地球繞太陽公轉的周期與縮小前的相同D．地球繞太陽公轉的周期變?yōu)榭s小前的eq\f(1,2)【解析】天體的質量M＝ρeq\f(4,3)πR3，各天體質量變?yōu)镸′＝eq\f(1,8)M，變化后的向心力F′＝Geq\f(\f(1,64)Mm,(\f(r,2))2)＝eq\f(1,16)F，B正確．又由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T′＝T．[答案]BC6．假設有一載人宇宙飛船在距地面高度為4200km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6400km，地球同步衛(wèi)星距地面高為36000km，宇宙飛船和一地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當兩者相距最近時．宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻兩者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內，接收站共接收到信號的次數為()A．4次B．6次C．7次D．8次【解析】設宇宙飛船的周期為T有：eq\f(T2,242)＝(eq\f(6400＋4200,6400＋36000))3解得：T＝3h設兩者由相隔最遠至第一次相隔最近的時間為t1，有：(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T0))·t1＝π解得t1＝eq\f(12,7)h再設兩者相鄰兩次相距最近的時間間隔為t2，有：(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T0))·t2＝2π解得：t2＝eq\f(24,7)h由n＝eq\f(24－t1,t2)＝6.5(次)知，接收站接收信號的次數為7次．[答案]C7．圖示為全球定位系統(tǒng)(GPS)．有24顆衛(wèi)星分布在繞地球的6個軌道上運行，它們距地面的高度都為2萬千米．已知地球同步衛(wèi)星離地面的高度為3.6萬千米，地球半徑約為6400km，則全球定位系統(tǒng)的這些衛(wèi)星的運行速度約為()A．3.1km/sB．3.9km/sC．7.9km/sD．11.2km/s【解析】同步衛(wèi)星的速度v1＝eq\f(2π,T)r＝3.08km/s．又由v2∝eq\f(1,r)，得定位系統(tǒng)的衛(wèi)星的運行速度v2＝3.9km/s．[答案]B8．均勻分布在地球赤道平面上空的三顆同步通信衛(wèi)星夠實現(xiàn)除地球南北極等少數地區(qū)外的全球通信．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球的自轉周期為T．下列關于三顆同步衛(wèi)星中，任意兩顆衛(wèi)星間距離s的表達式中，正確的是()A．eq\r(3)RB．2eq\r(3)RC．eq\r(3)eq\r(3,\f(4π2,gR2T2))D．eq\r(3)eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))【解析】設同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則由萬有引力提供向心力可得：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r解得：r＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))由題意知，三顆同步衛(wèi)星對稱地分布在半徑為r的圓周上，故s＝2rcos30°＝eq\r(3)eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))，選項D正確．[答案]D9．發(fā)射通信衛(wèi)星的常用方法是，先用火箭將衛(wèi)星送入一近地橢圓軌道運行；然后再適時開動星載火箭，將其送上與地球自轉同步運行的軌道．則()A．變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛(wèi)星的機械能增大，動能增大B．變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛(wèi)星的機械能增大，動能減小C．變軌后衛(wèi)星運行速度一定比變軌前衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時的最大速度要大D．變軌后衛(wèi)星運行速度一定比變軌前衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時的最大速度要小【解析】火箭是在橢圓軌道的遠地點加速進入同步運行軌道的，故動能增大，機械能增大，A正確．設衛(wèi)星在同步軌道上的速度為v1，在橢圓軌道的近地點的速度為v2，再設橢圓軌道近地點所在的圓形軌道的衛(wèi)星的速度為v3．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，知v3>v1；又由向心力與萬有引力的關系知v2>v3．故v1<v2．選項C錯誤，D正確．[答案]AD10．如圖所示，在水平方向的勻強電場中，一絕緣細線的一端固定在O點，另一端系一帶正電的小球，小球在重力、電場力、繩子的拉力的作用下在豎直平面內做圓周運動，小球所受的電場力的大小與重力相等．比較a、b、c、d這四點，小球()A．在最高點a處的動能最小B．在最低點c處的機械能最小C．在水平直徑右端b處的機械能最大D．在水平直徑左端d處的機械能最大【解析】①由題意知，小球受的重力與電場力的合力沿∠bOc的角平分線方向，故小球在a、d兩點的動能相等；②小球在運動過程中，電勢能與機械能相互轉化，總能量守恒，故在d點處機械能最小，b點處機械能最大．[答案]C二、非選擇題(共60分)11．(7分)圖甲是“研究平拋物體的運動”的實驗裝置圖．(1)圖乙是正確實驗取得的數據，其中O為拋出點，則此小球做平拋運動的初速度為______________m/s．(2)在另一次實驗中將白紙換成方格紙，每小格的邊長L＝5cm，通過實驗，記錄了小球在運動途中的三個位置，如圖丙所示，則該小球做平拋運動的初速度為________m/s；B點的豎直分速度為________m/s．【解析】(1)方法一取點(19.6,32.0)分析可得：0.196＝eq\f(1,2)×9.8×t120.32＝v0t1解得：v0＝1.6m/s．方法二取點(44.1,48.0)分析可得：0.441＝eq\f(1,2)×9.8×t220.48＝v0t2解得：v0＝1.6m/s．(2)由圖可知，物體由A→B和由B→C所用的時間相等，且有：Δy＝gT2x＝v0T解得：v0＝1.5m/s，vBy＝eq\f(yAC,2T)＝2m/s．[答案](1)1.6(2分)(2)1.5(3分)2(2分)12．(8分)圖甲為測量電動機轉動角速度的實驗裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動機轉軸上，在電動機的帶動下勻速轉動．在圓形卡紙的旁邊安裝一個改裝了的電火花計時器．下面是該實驗的實驗步驟：①使電火花計時器與圓形卡紙保持良好接觸；②啟動電動機，使圓形卡紙轉動起來；③接通電火花計時器的電源，使它工作起來；④關閉電動機，拆除電火花計時器，研究卡紙上留下的一段痕跡(如圖乙所示)，寫出角速度ω的表達式，代入數據得出ω的測量值．(1)要得到角速度ω的測量值，還缺少一種必要的測量工具，它是________．A．秒表B．游標卡尺C．圓規(guī)D．量角器(2)寫出ω的表達式，并指出表達式中各個物理量的含義：____________________________________________________________________________________．(3)為了避免在卡紙連續(xù)轉動的過程中出現(xiàn)打點重疊，在電火花計時器與盤面保持良好接觸的同時，可以緩慢地將電火花計時器沿圓形卡紙半徑方向向卡紙中心移動．這樣，卡紙上打下的點的分布曲線不是一個圓，而是類似一種螺旋線，如圖7－4丙所示．這對測量結果有影響嗎？____________(填“有影響”或“沒有影響”)理由是：_____________________________________________________________________________________________________________________________________．【解析】(1)角速度ω＝eq\f(θ,t)，需量角器測量轉過的夾角，故選項D正確．(2)ω＝eq\f(θ,(n－1)t)，θ是n個點的分布曲線所對應的圓心角，t是電火花計時器的打點時間間隔(3)沒有影響，因為電火花計時器向卡紙中心移動時不影響角度的測量．[答案](1)D(2分)(2)ω＝eq\f(θ,(n－1)t)，θ是n個點的分布曲線所對應的圓心角，t是電火花計時器的打點時間間隔(3分)(3)沒有影響(1分)電火花計時器向卡紙中心移動時不影響角度的測量(2分)13．(10分)火星和地球繞太陽的運動可以近似看做是同一平面內同方向的勻速圓周運動．已知火星公轉軌道半徑大約是地球公轉軌道半徑的eq\f(3,2)．從火星、地球于某一次處于距離最近的位置開始計時，試估算它們再次處于距離最近的位置至少需多少地球年．[計算結果保留兩位有效數字，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\f(3,2)＝1.85]【解析】由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，行星環(huán)繞太陽運行的周期與行星到太陽的距離的二分之三次方成正比，即T∝req\f(3,2)所以地球與火星繞太陽運行的周期之比為：eq\f(T火,T地)＝(eq\f(r火,r地))eq\f(3,2)＝(eq\f(3,2))eq\f(3,2)＝1.85(3分)設從上一次火星、地球處于距離最近的位置到再一次處于距離最近的位置，火星公轉的圓心角為θ，則地球公轉的圓心角必為2π＋θ，它們公轉的圓心角與它們運行的周期之間應有此關系：θ＝eq\f(2πt,T火)，θ＋2π＝eq\f(2πt,T地)(3分)得：2π＋eq\f(2πt,T火)＝eq\f(2πt,T地)(2分)最后得：t＝eq\f(T火T地,T火－T地)＝eq\f(1.85,0.85)T地≈2.2年(2分)[答案]2.214．(11分)若宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．已知：該過程宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得的總能量為E(可看做是返回艙的初動能)，返回艙與人的總質量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r，不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉的影響．問：(1)返回艙與軌道艙對接時，返回艙與人共具有的動能為多少？