2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第20講 命題與證明（含解析+考點卡片）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第20講命題與證明

一．選擇題（共20小題）

1．下列命題中，真命題是（）

A．三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線交點

B．對角線相等的四邊形是菱形

C．五邊形的內(nèi)角和是360°

D．等邊三角形是中心對稱圖形

2．能說明“相等的角是對頂角”是假命題的一個反例是（）

A．B．

C．D．

3．如圖，P是∠BAC內(nèi)部一點，連結(jié)PA，PB，PC，有以下三個命題：

①若AP平分∠BAC，PB＝PC，則△PAB≌△PAC；

②若∠ABC＝∠ACB，PB＝PC，則△PAB≌△PAC；

③若AP平分∠BAC，∠ABC＝∠ACB，則△PAB≌△PAC．

其中正確的是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

4．下列命題中是真命題的是（）

A．同旁內(nèi)角互補

B．對角線相等的菱形是正方形

C．平分弦的直徑垂直于弦

D．?dāng)?shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)

5．下列命題中，正確的是（）

A．順次連接平行四邊形四邊的中點所得到的四邊形是矩形

．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定

B甲乙

22

?=0.39?=0.27

C．線段AB的長度是2，點C是線段AB的黃金分割點且AC＜BC，則

D．二次函數(shù)的頂點在x軸??=5?1

29

6．下列命題是真?命=題?的+是3（?+4）

A．是有理數(shù)

?

B．﹣2a是負數(shù)

C．若|a|＝1，則a＝±1

D．S＝r2中，S，，r均為變量

7．某次歌π手大獎賽中π，呼聲最高的六名選手為a，b，c，d，e，f，他們順利地進入決賽爭奪前六名，甲

預(yù)測比賽結(jié)果為abcdef，結(jié)果沒有猜中任何一名選手的名次，乙預(yù)測比賽結(jié)果為fedcba，他猜中了兩名

選手的名次，丙預(yù)測比賽結(jié)果為daefbc，丁預(yù)測比賽結(jié)果為acefbd，丙和丁雖然沒有猜中名次，但各猜

對了兩對相鄰選手的名次順序，那么實際的名次順序是（）

A．cedafbB．ecfbadC．ceadfbD．daecfb

8．用反證法證明命題“一個三角形中至少有一個內(nèi)角是銳角”時，應(yīng)先假設(shè)（）

A．三個內(nèi)角都是銳角B．三個內(nèi)角都是鈍角

C．三個內(nèi)角都不是銳角D．三個內(nèi)角都不是鈍角

9．已知，如圖：在四邊形ABCD中，如果AB＝CD，BC＝DA，“華益必勝”，那么四邊形ABCD是菱形．在

以上真命題中，“華益必勝”可以表示的條件是（）

A．∠A＝∠CB．AD∥BCC．AB＝BCD．AB∥DC

10．如圖，在打開房門時，將門扇繞著門軸逆時針旋轉(zhuǎn)160°后可以開到最大，若門扇的寬度OA＝90cm，

則旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長為（）

A．60cmB．80cmC．100cmD．120cm

11．下列命π題：①對頂角相等；π②同位角相等，兩直線π平行；③若|a|＝|b|，則πa＝b；④若x＞y，則a2x

＞a2y．其中是真命題的是（）

A．②③B．①②C．①②④D．①②③④

12．請閱讀以下關(guān)于“圓的切線垂直于過切點的半徑”的證明過程．

已知：直線l與O相切于點C．

求證：OC與直線⊙l垂直．

證明：如圖，假設(shè)OC與直線l不垂直，過點O作OM⊥直線l于點M．

∴OM＜OC，即圓心O到直線l的距離小于O的半徑．

∴直線l與O相交．⊙

這與已知“⊙直線l與O相切”相矛盾．

∴假設(shè)不成立．⊙

∴OC與直線l垂直．

這種證明方法為（）

A．綜合法B．歸納法C．枚舉法D．反證法

13．下列命題，說法正確的是（）

A．兩條直線被第三條直線所截，則內(nèi)錯角相等

B．對角線相等且垂直的四邊形是正方形

C．同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等

D．圓內(nèi)接四邊形對角互補

2

14．已知二次函數(shù)y＝ax﹣2ax+3圖象上兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1＜y2.下列命題正確的是（）

A．若|x1+1|＞|x2+1|，則a＜0B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則a＞0

C．若|x1+1|＞|x2+1|，則a＞0D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則a＜0

15．下列說法正確的有（）

①同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

②若a是實數(shù)，則|a|＞0是必然事件；

③兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等；

④任何實數(shù)的零次冪都為1．

A．1個B．2個C．3個D．4個

16．下列命題是真命題的是（）

A．對角線相等的四邊形是矩形

B．對角線互相平分且相等的是菱形

C．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D．對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形

17．下列命題中是假命題的是（）

A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

18．下列命題正確的是（）

A．平行四邊形是軸對稱圖形

B．對角線相互垂直的四邊形是菱形

C．對角線相等的四邊形是矩形

D．對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形

19．已知四邊形ABCD，對角線AC和BD交于點O，則下列命題是真命題的是（）

A．如果OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，那么四邊形ABCD為平行四邊形

B．如果AB＝CD，OB＝OD，那么四邊形ABCD為平行四邊形

C．如果AD∥BC，∠ADB＝∠CBD，那么四邊形ABCD為平行四邊形

D．如果AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，那么四邊形ABCD為平行四邊形

20．下列命題中正確的是（）

A．到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三條角平分線的交點

B．如果a＜0，那么，

22

C．等腰三角形的高、?中線=?、?角平(分?線?)互=相?重?合

D．對于函數(shù)，y隨x的增大而減小

4

?=?

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之命題與證明

參考答案與試題解析

一．選擇題（共20小題）

1．下列命題中，真命題是（）

A．三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線交點

B．對角線相等的四邊形是菱形

C．五邊形的內(nèi)角和是360°

D．等邊三角形是中心對稱圖形

【考點】命題與定理；中心對稱圖形；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的判定；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】A

【分析】利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)、菱形的判定方法、多邊形的內(nèi)角和及等邊三角形的對稱性分別判斷

后即可確定正確的選項．

【解答】解：A、三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點，正確，是真命題，符合題意；

B、對角線相等的平行四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

C、五邊形的內(nèi)角和為540°，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

D、等邊三角形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖象，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．

故選：A．

【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大．

2．能說明“相等的角是對頂角”是假命題的一個反例是（）

A．B．

C．D．

【考點】命題與定理；對頂角、鄰補角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角的概念、假命題的概念解答即可．

【解答】解：A、如圖，兩個角都是30°，這兩個角相等，但這兩個角不是對頂角，可以說明“相等的

角是對頂角”是假命題，本選項符合題意；

B、如圖，兩個角都是30°，這兩個角相等，這兩個角是對頂角，不能說明“相等的角是對頂角”是假

命題，本選項不符合題意；

C、如圖，兩個角不相等，不能說明“相等的角是對頂角”是假命題，本選項不符合題意；

D、如圖，兩個角不相等，不能說明“相等的角是對頂角”是假命題，本選項不符合題意；

故選：A．

【點評】本題考查的是命題與定理以及假命題的證明，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確

性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．

3．如圖，P是∠BAC內(nèi)部一點，連結(jié)PA，PB，PC，有以下三個命題：

①若AP平分∠BAC，PB＝PC，則△PAB≌△PAC；

②若∠ABC＝∠ACB，PB＝PC，則△PAB≌△PAC；

③若AP平分∠BAC，∠ABC＝∠ACB，則△PAB≌△PAC．

其中正確的是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【考點】命題與定理；全等三角形的判定；角平分線的性質(zhì)．

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)全等三角形判定定理逐項判斷即可．

【解答】解：若AP平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P導(dǎo)角兩邊的距離相等，又PB＝PC，AP＝

AP，故能得到△PAB≌△PAC，①正確；

若∠ABC＝∠ACB，則AB＝AC，又PB＝PC，AP＝AP，由SSS可知△PAB≌△PAC，故②正確；

若AP平分∠BAC，則∠PAB＝∠PAC，又∠ABC＝∠ACB，可得AB＝AC，而PA＝PA，由SAS可知△

PAB≌△D，故③正確；

故選：D．

【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形判定定理．

4．下列命題中是真命題的是（）

A．同旁內(nèi)角互補

B．對角線相等的菱形是正方形

C．平分弦的直徑垂直于弦

D．?dāng)?shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)

【考點】命題與定理；實數(shù)與數(shù)軸；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；平行線的性質(zhì)；正方形的判定；垂徑

定理．

【專題】實數(shù)；線段、角、相交線與平行線；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．

【答案】B

【分析】選項A根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷即可；選項B根據(jù)正方形的判定方法判斷即可；選項C根據(jù)垂

徑定理判斷即可；選項D根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系判斷即可．

【解答】解：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，故選項A是假命題，不符合題意；

對角線相等的菱形是正方形，是真命題，故選項B符合題意；

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項C是假命題，不符合題意；

數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，故選項D是假命題，不符合題意．

故選：B．

【點評】本題考查命題與定理，平行線的性質(zhì)，正方形的判定，垂徑定理，實數(shù)與數(shù)軸，掌握以上知識

點是解題的關(guān)鍵．

5．下列命題中，正確的是（）

A．順次連接平行四邊形四邊的中點所得到的四邊形是矩形

．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定

B甲乙

22

?=0.39?=0.27

C．線段AB的長度是2，點C是線段AB的黃金分割點且AC＜BC，則

D．二次函數(shù)的頂點在x軸??=5?1

29

【考點】命題?與=定?理+；3黃?金+分4割；二次函數(shù)的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定；中點四邊形．

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；統(tǒng)計的應(yīng)用；多邊形與平行四邊形；推理能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)中點四邊形，方差，黃金分割，二次函數(shù)性質(zhì)等逐項判斷即可．

【解答】解：順次連接平行四邊形四邊的中點所得到的四邊形是平行四邊形；故A錯誤，不符合題意；

若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定；故錯誤，不符合題意；

甲乙B

22

?=0.39?=0.27

線段AB的長度是2，點C是線段AB的黃金分割點且AC＜BC，則BC1，故C錯誤，不符合題

意；=5?

二次函數(shù)的頂點為（，0），在x軸上，故D正確，符合題意；

293

故選：D．?=?+3?+4?2

【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握中點四邊形，方差，黃金分割，二次函數(shù)性質(zhì)等知識．

6．下列命題是真命題的是（）

A．是有理數(shù)

?

B．﹣2a是負數(shù)

C．若|a|＝1，則a＝±1

D．S＝r2中，S，，r均為變量

【考點】π命題與定理π；常量與變量．

【專題】實數(shù)；函數(shù)及其圖象；數(shù)感．

【答案】C

【分析】選項A根據(jù)有理數(shù)的分類判斷即可；選項B根據(jù)負數(shù)的定義判斷即可；選項C根據(jù)絕對值的

性質(zhì)判斷即可；選項D根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．

【解答】解：是無理數(shù)，故A是假命題，不符合題意；

?

﹣a有可能是負2數(shù)，有可能是正數(shù)，也有可能是0，故B是假命題，不符合題意；

若|a|＝1，則a＝±1，故C是真命題，符合題意；

S＝t2中，S，r均為變量，為常量，故D是假命題，不符合題意．

故選π：C．π

【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)、負數(shù)的定義，絕對值的性質(zhì)以及函數(shù)的定義．

7．某次歌手大獎賽中，呼聲最高的六名選手為a，b，c，d，e，f，他們順利地進入決賽爭奪前六名，甲

預(yù)測比賽結(jié)果為abcdef，結(jié)果沒有猜中任何一名選手的名次，乙預(yù)測比賽結(jié)果為fedcba，他猜中了兩名

選手的名次，丙預(yù)測比賽結(jié)果為daefbc，丁預(yù)測比賽結(jié)果為acefbd，丙和丁雖然沒有猜中名次，但各猜

對了兩對相鄰選手的名次順序，那么實際的名次順序是（）

A．cedafbB．ecfbadC．ceadfbD．daecfb

【考點】推理與論證；列代數(shù)式．

【專題】猜想歸納；整式；推理能力．

【答案】A

【分析】根據(jù)丙預(yù)測比賽結(jié)果為daefbc，丁預(yù)測比賽結(jié)果為acefbd，丙和丁沒有猜中名次，可排除B和

D，根據(jù)丙預(yù)測比賽結(jié)果為daefbc，丁預(yù)測比賽結(jié)果為acefbd，丙和丁雖然沒有猜中名次，但各猜對了

兩對相鄰選手的名次順序，可判斷正確的順序有fb組合且fb不是第四名和第五名，e不是第三名，根

據(jù)甲預(yù)測比賽結(jié)果為abcdef，結(jié)果沒有猜中任何一名選手的名次，可判斷d不是第四名，排除C．

【解答】解：∵丙預(yù)測比賽結(jié)果為daefbc，丁預(yù)測比賽結(jié)果為acefbd，丙和丁沒有猜中名次，

∴可排除B和D，

∵丙預(yù)測比賽結(jié)果為daefbc，丁預(yù)測比賽結(jié)果為acefbd，丙和丁雖然沒有猜中名次，但各猜對了兩對相

鄰選手的名次順序，

∴正確的順序有fb組合且fb不是第四名和第五名，e不是第三名，

∵甲預(yù)測比賽結(jié)果為abcdef，結(jié)果沒有猜中任何一名選手的名次，

∴d不是第四名，排除C．

故選：A．

【點評】此題主要考查了推理與論證，解決本題的關(guān)鍵，是要綜合考慮甲乙丙丁的猜測情況，利用排除

法解答．

8．用反證法證明命題“一個三角形中至少有一個內(nèi)角是銳角”時，應(yīng)先假設(shè)（）

A．三個內(nèi)角都是銳角B．三個內(nèi)角都是鈍角

C．三個內(nèi)角都不是銳角D．三個內(nèi)角都不是鈍角

【考點】反證法；三角形內(nèi)角和定理．

【專題】反證法；推理能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．

【解答】解：反證法證明命題“一個三角形中至少有一個內(nèi)角是銳角”時，先假設(shè)三個內(nèi)角都不是銳角，

故選：C．

【點評】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考

慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一

否定．

9．已知，如圖：在四邊形ABCD中，如果AB＝CD，BC＝DA，“華益必勝”，那么四邊形ABCD是菱形．在

以上真命題中，“華益必勝”可以表示的條件是（）

A．∠A＝∠CB．AD∥BCC．AB＝BCD．AB∥DC

【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．

【專題】矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的定義判定即可，“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”．

【解答】解：根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，可得“華益必勝”可以表示的是AB＝BC．

故選：C．

【點評】本題考查命題與定理的知識及菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的定義是解題的關(guān)鍵．

10．如圖，在打開房門時，將門扇繞著門軸逆時針旋轉(zhuǎn)160°后可以開到最大，若門扇的寬度OA＝90cm，

則旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長為（）

A．60cmB．80cmC．100cmD．120cm

【考點π】軌跡；生活中的旋轉(zhuǎn)π現(xiàn)象．ππ

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長為：即可計算．

160?×90

=80?(??)

【解答】解：旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長為：180．

160?×90

=80?(??)

故選：B．180

【點評】本題考查弧長的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式，據(jù)此解答即可．

11．下列命題：①對頂角相等；②同位角相等，兩直線平行；③若|a|＝|b|，則a＝b；④若x＞y，則a2x

＞a2y．其中是真命題的是（）

A．②③B．①②C．①②④D．①②③④

【考點】命題與定理；絕對值；平行線的判定與性質(zhì)．

【專題】幾何圖形；應(yīng)用意識．

【答案】B

【分析】根據(jù)對頂角相等，平行線的判定，等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，逐一進行判斷即可．

【解答】解：對頂角相等，故①為真命題；

同位角相等，兩直線平行，故②為真命題；

若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b，故③為假命題；

若x＞y，當(dāng)a≠0時，則a2x＞a2y，故④為假命題．

故選：B．

【點評】本題考查命題的真假，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．

12．請閱讀以下關(guān)于“圓的切線垂直于過切點的半徑”的證明過程．

已知：直線l與O相切于點C．

求證：OC與直線⊙l垂直．

證明：如圖，假設(shè)OC與直線l不垂直，過點O作OM⊥直線l于點M．

∴OM＜OC，即圓心O到直線l的距離小于O的半徑．

∴直線l與O相交．⊙

這與已知“⊙直線l與O相切”相矛盾．

∴假設(shè)不成立．⊙

∴OC與直線l垂直．

這種證明方法為（）

A．綜合法B．歸納法C．枚舉法D．反證法

【考點】反證法；直線與圓的位置關(guān)系；切線的性質(zhì)．

【專題】反證法；推理能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．

【解答】證明：假設(shè)OC與直線l不垂直，過點O作OM⊥直線l于點M．

∴OM＜OC，即圓心O到直線l的距離小于O的半徑．

∴直線l與O相交．⊙

這與已知“⊙直線l與O相切”相矛盾．

∴假設(shè)不成立．⊙

∴OC與直線l垂直．

這種證明方法為反證法，

故選：D．

【點評】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，

經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．

13．下列命題，說法正確的是（）

A．兩條直線被第三條直線所截，則內(nèi)錯角相等

B．對角線相等且垂直的四邊形是正方形

C．同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等

D．圓內(nèi)接四邊形對角互補

【考點】命題與定理．

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．

【答案】D

【分析】利用平行線的性質(zhì)、正方形的判定方法、圓內(nèi)接四邊形的知識分別判斷后即可確定正確的選項．

【解答】解：A、兩條平行直線被第三條直線所截，則內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，不符合題意；

B、對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，故原命題錯誤，不符合題意；

C、同圓或等圓中，相等的弦所對的劣弧相等，故原命題錯誤，不符合題意；

D、圓內(nèi)接四邊形對角互補，正確，符合題意．

故選：D．

【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)、正方形的判定方法、圓內(nèi)接

四邊形的知識，難度不大．

2

14．已知二次函數(shù)y＝ax﹣2ax+3圖象上兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1＜y2.下列命題正確的是（）

A．若|x1+1|＞|x2+1|，則a＜0B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則a＞0

C．若|x1+1|＞|x2+1|，則a＞0D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則a＜0

【考點】命題與定理；二次函數(shù)的性質(zhì)．

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識．

【答案】D

【分析】根據(jù)a＞0時，離對稱軸直線水平距離越遠，函數(shù)值越大，a＜0時，離對稱軸直線水平距離越

遠，函數(shù)值越小可得答案．

【解答】解：二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3圖象的對稱軸為直線x＝1，

∵y1＜y2，

∴若|x1﹣1|＜|x2﹣1|，則a＞0；

若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則a＜0；

故選：D．

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握a＞0時，離對稱軸直線水平距離越遠，函數(shù)值

越大，a＜0時，離對稱軸直線水平距離越遠，函數(shù)值越?。?/p>

15．下列說法正確的有（）

①同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

②若a是實數(shù)，則|a|＞0是必然事件；

③兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等；

④任何實數(shù)的零次冪都為1．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【考點】命題與定理；隨機事件；零指數(shù)冪；垂線．

【專題】實數(shù)；線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】A

【分析】根據(jù)垂直的定義、實數(shù)絕對值，平行線的性質(zhì)、零指數(shù)冪判斷即可．

【解答】解：①同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，說法正確；

②若a是實數(shù)，則|a|＞0是隨機事件，故本小題說法錯誤；

③兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，故本小題說法錯誤；

④除靈外的任何實數(shù)的零次冪都為1，故本小題說法錯誤；

故選：A．

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

16．下列命題是真命題的是（）

A．對角線相等的四邊形是矩形

B．對角線互相平分且相等的是菱形

C．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D．對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形

【考點】命題與定理．

【專題】矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．

【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項命題是假命題，不符合題意；

B、對角線互相平分且垂直的是菱形，故本選項命題是假命題，不符合題意；

C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，本選項命題是真命題，符合題意；

D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故本選項命題是假命題，不符合題意；

故選：C．

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

17．下列命題中是假命題的是（）

A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【考點】命題與定理；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理；垂徑定理；切線的性質(zhì)．

【專題】空間觀念．

【答案】B

【分析】利用三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判

斷后即可

【解答】解：A、三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選

項不符合題意；

B、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故原命題是假命題，本選項符

合題意；

C、從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，

是真命題，故此選項不符合題意；

D、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；

故選：B．

【點評】本題考查了命題與定理的知識，掌握三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三

角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

18．下列命題正確的是（）

A．平行四邊形是軸對稱圖形

B．對角線相互垂直的四邊形是菱形

C．對角線相等的四邊形是矩形

D．對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形

【考點】命題與定理；軸對稱圖形；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定．

【專題】矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、菱形、矩形、正方形的判定定理判斷即可．

【解答】解：A、平行四邊形不一定是軸對稱圖形，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B、對角線相互垂直的平行四邊形是菱形，故本選項說法錯誤，不符合題意

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項說法錯誤，不符合題意

D、對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形，說法正確，符合題意；

故選：D．

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

19．已知四邊形ABCD，對角線AC和BD交于點O，則下列命題是真命題的是（）

A．如果OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，那么四邊形ABCD為平行四邊形

B．如果AB＝CD，OB＝OD，那么四邊形ABCD為平行四邊形

C．如果AD∥BC，∠ADB＝∠CBD，那么四邊形ABCD為平行四邊形

D．如果AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，那么四邊形ABCD為平行四邊形

【考點】命題與定理；平行四邊形的判定．

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．

【答案】D

【分析】由平行四邊形的判定分別對各個條件進行判斷即可．

【解答】解：A、如果OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故本選項不

符合題意；

B、如果AB＝CD，OB＝OD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故本選項不符合題意；

C、如果AD∥BC，∠ADB＝∠CBD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故本選項不符合題意；

D、如果AB∥CD，則∠ABC+∠BCD＝180°，再由∠ABC＝∠ADC，可得∠ADC+∠BCD＝180°，則

得到AD∥BC，那么四邊形ABCD為平行四邊形，故本選項符合題意，

故選：D．

【點評】本題考查了真命題及平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．

20．下列命題中正確的是（）

A．到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三條角平分線的交點

B．如果a＜0，那么，

22

C．等腰三角形的高、?中線=?、?角平(分?線?)互=相?重?合

D．對于函數(shù)，y隨x的增大而減小

4

【考點】命題?與=定?理；二次根式有意義的條件；反比例函數(shù)的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角

形的性質(zhì)．

【專題】實數(shù)；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；三角形；等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】B

【分析】利用三角形的外心的定義、二次根式的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)分別判斷

后即可確定正確的選項．

【解答】解：A、到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，故原命題錯誤，不

符合題意；

B、如果a＜0，那么，正確，符合題意；

22

C、等腰三角形的底邊?上的=?高?、底(邊?上?)的=中?線?及頂角的平分線互相重合，故原命題錯誤，不符合題意；

D、對于函數(shù)，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，故原命題錯誤，不符合題意．

4

故選：B．?=?

【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大．

考點卡片

1．絕對值

（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù)．

③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)．

（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：

①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；

②當(dāng)a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；

③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

2．實數(shù)與數(shù)軸

（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．

（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是

在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．

（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點左側(cè)，絕對值大的反而?。?/p>

3．列代數(shù)式

（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．

（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義．如

“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列

代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起

來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，

數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題

1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．

2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或

者省略不寫．

3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．

4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．

4．零指數(shù)冪

零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）

﹣

由am÷am＝1，am÷am＝amm＝a0可推出a0＝1（a≠0）

注意：00≠1．

5．二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被開方數(shù)的取?值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．

（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．

學(xué)習(xí)要求：?

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負性解決相關(guān)問題．

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是

非負數(shù)．

2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．

6．常量與變量

（1）變量和常量的定義：

在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量．

（2）方法：

①常量與變量必須存在于同一個變化過程中，判斷一個量是常量還是變量，需要看兩個方面：一是它是否

在一個變化過程中；二是看它在這個變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化；

②常量和變量是相對于變化過程而言的．可以互相轉(zhuǎn)化；

③不要認為字母就是變量，例如是常量．

7．反比例函數(shù)的性質(zhì)π

反比例函數(shù)的性質(zhì)

（1）反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象是雙曲線；

?

（2）當(dāng)k＞0，雙曲=線?的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；

（3）當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．

注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點．

8．二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（，），對稱軸直線x，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c

2

?4?????

（≠）的圖象具有如下性質(zhì)：?=?

a02?4?2?

①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜時，y隨x的增大而減??；x＞時，

??

?2??2?

y隨x的增大而增大；x時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．

2

?4????

=?

②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝a2x?2+bx+c（a≠0）的開口4?向下，x＜時，y隨x的增大而增大；x＞時，

??

?2??2?

y隨x的增大而減??；x時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．

2

?4????

=?

③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠2?0）的圖象可由拋物線4?y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或

?

?2?

向下平移||個單位得到的．

2

4????

．對頂角、鄰補角

94?

（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置

關(guān)系的兩個角，互為對頂角．

（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．

（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．

（4）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°．

（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩

個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．

10．垂線

（1）垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．

（2）垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以．

11．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線

（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．

（2）內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線

（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．

（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直

線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．

（4）三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決

定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直

線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，

內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．

12．平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．

2、兩條平行線之間的距離處處相等．

13．平行線的判定與性質(zhì)

（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)

量關(guān)系．

（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．

（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．

聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．

（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．

14．三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大

于0°且小于180°．

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平

行線．

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方

法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．

15．全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．

16．全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形．

17．角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，

有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵

C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

18．線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）

垂直平分線，簡稱“中垂線”．

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距

離相等．

19．等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩

個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．

20．等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的．

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸．

21．直角三角形斜邊上的中線

（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）

（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直

角三角形．

該定理可以用來判定直角三角形．

22．三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

（2）幾何語言：

如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點

∴DE∥BC，DEBC．

1

=2

23．平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等．

②角：平行四邊形的對角相等．

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．

（3）平行線間的距離處處相等．

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．

24．平行四邊形的判定

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行

四邊形．

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行

四邊形．

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四

邊形．

25．平行四邊形的判定與性質(zhì)

平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用

平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、

角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分

別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．

運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定

義判定比用其他判定定理還簡單．

凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和

判定去解決問題．

26．菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形．

幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．

幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形

27．矩形的判定

（1）矩形的判定：

①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相

等．

②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．

28．正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．

29．中點四邊形

瓦里尼翁平行四邊形（Varignonparallelogram）是四邊形的一個特殊內(nèi)接四邊形．順次連結(jié)四邊形各邊中

點而成的四邊形是平行四邊形，稱為瓦里尼翁平行四邊形．它的面積是原四邊形面積的一半，這個平行四

邊形是瓦里尼翁（P．Varignon）發(fā)現(xiàn)的．

30．垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?/p>

31．直線與圓的位置關(guān)系

（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點．

②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫

切點．

③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．

（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．

①直線l和O相交d＜r⊙

②直線l和⊙O相切?d