2025年一?？荚嚁?shù)學試題及答案

一模考試數(shù)學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-2x+1的圖像關于直線x=1對稱，則下列說法錯誤的是（）

A.函數(shù)f(x)的頂點坐標為(1,0)

B.函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值

C.函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值

D.函數(shù)f(x)在x=1處取得極值

2.下列各數(shù)中，有理數(shù)是（）

A.√2

B.π

C.3.14

D.2.5

3.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，則△ABC的周長是（）

A.2√2

B.2√3

C.4

D.6

4.若a、b、c、d是等差數(shù)列，且a+b+c+d=20，a+c=10，則d等于（）

A.5

B.10

C.15

D.20

5.下列方程中，無解的是（）

A.2x+3=7

B.3x-4=5

C.4x+1=-3

D.5x-2=0

二、填空題（每題4分，共20分）

6.若|a|=5，b=-3，則a+b的值為______。

7.若x2-4x+3=0，則x的值為______。

8.在△ABC中，若a=5，b=8，c=7，則△ABC的面積是______。

9.若函數(shù)f(x)=2x2-3x+1的圖像的對稱軸是直線x=1，則函數(shù)f(x)在x=1處的函數(shù)值為______。

10.若等差數(shù)列{an}的公差d=3，且a?+a?=20，則a?的值為______。

三、解答題（每題10分，共40分）

11.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求：

（1）函數(shù)f(x)的圖像的頂點坐標；

（2）函數(shù)f(x)在x=2時的函數(shù)值；

（3）函數(shù)f(x)在x=1時的單調性。

12.已知等差數(shù)列{an}的公差d=2，且a?+a?=20，求：

（1）數(shù)列{an}的通項公式；

（2）數(shù)列{an}的前10項和。

13.在△ABC中，已知a=5，b=8，c=7，求：

（1）△ABC的面積；

（2）△ABC的外接圓半徑。

四、解答題（每題10分，共40分）

14.已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+4x-1，求：

（1）函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)；

（2）函數(shù)f(x)在x=1時的切線方程；

（3）函數(shù)f(x)的單調區(qū)間。

15.已知數(shù)列{an}滿足遞推關系an=2an-1-1，且a?=3，求：

（1）數(shù)列{an}的前5項；

（2）數(shù)列{an}的通項公式。

16.在平面直角坐標系中，點A(2,3)，點B(5,1)，求：

（1）直線AB的斜率；

（2）直線AB的截距；

（3）直線AB的方程。

五、證明題（每題10分，共20分）

17.證明：若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=0，則abc=0。

18.證明：若函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[1,3]上單調遞增，則f(2)<f(3)。

六、綜合題（每題20分，共40分）

19.已知函數(shù)f(x)=x2-6x+9，求：

（1）函數(shù)f(x)的圖像的頂點坐標；

（2）函數(shù)f(x)在x=3時的切線方程；

（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

20.在△ABC中，已知a=6，b=8，c=10，求：

（1）△ABC的面積；

（2）△ABC的內切圓半徑；

（3）△ABC的外接圓半徑。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.C。函數(shù)f(x)=x2-2x+1是一個二次函數(shù)，其頂點坐標為(-b/2a,f(-b/2a))，代入a=1，b=-2，得頂點坐標為(1,0)。由于a>0，函數(shù)開口向上，故x=1處取得最小值。

2.C。3.14是π的近似值，而π是一個無理數(shù)，故3.14是有理數(shù)。

3.C。由勾股定理可知，直角三角形的斜邊平方等于兩直角邊平方和，即c2=a2+b2，代入a=5，b=8，得c=√(52+82)=√89。因此，△ABC的周長為5+8+√89。

4.A。由等差數(shù)列的性質知，a?+a?=2a?+(n-2)d，代入a?=10，d=3，得10+a?=2a?+3(n-2)。由于a?+a?=20，得2a?+3(n-2)=20，解得n=6。因此，a?=a?+2d=10+2×3=16。

5.C。方程4x+1=-3無解，因為左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不可能相等。

二、填空題答案及解析：

6.-8。由|a|=5知a=±5，b=-3，故a+b=±5-3=±2。

7.1,3。將x2-4x+3=0因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。

8.14。由海倫公式知，△ABC的面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2=11，代入a=5，b=8，c=7，得S=√[11×6×3×4]=14。

9.2。由于函數(shù)f(x)=2x2-3x+1的圖像的對稱軸是直線x=1，故函數(shù)在x=1處取得最小值，即f(1)=2×12-3×1+1=0。

10.7。由等差數(shù)列的性質知，a?=a?+(n-1)d，代入a?=10，d=3，得a?=10+2×3=16。

三、解答題答案及解析：

11.（1）頂點坐標為(1,0)；

（2）函數(shù)值f(2)=2×22-3×2+1=1；

（3）在x=1處取得最小值。

12.（1）通項公式為an=3+(n-1)×2；

（2）前10項和為S??=10/2[2×3+(10-1)×2]=110。

13.（1）面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2=13，代入a=5，b=8，c=7，得S=√[13×8×6×5]=24√65；

（2）內切圓半徑r=(a+b+c-S)/2s=(6+8+10-24√65)/(2×13)；

（3）外接圓半徑R=(abc)/(4S)=(6×8×10)/(4×24√65)。

四、解答題答案及解析：

14.（1）f'(x)=6x2-6x+4；

（2）切線方程為y-2=4(x-1)；

（3）單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞)。

15.（1）前5項為3,5,9,17,33；

（2）通項公式為an=2^n-1。

五、證明題答案及解析：

17.證明：若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=0，則abc=0。

證明過程如下：

由等差數(shù)列的性質知，a+b=2c，代入a+b+c=0得2c+c=0，解得c=0。因此，abc=a×b×c=0×b×c=0。

18.證明：若函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[1,3]上單調遞增，則f(2)<f(3)。

證明過程如下：

由于f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[1,3]上單調遞增，故f'(x)=2x-4>0，解得x>2。因此，f(2)<f(3)。

六、綜合題答案及解析：

19.（1）頂點坐標為(1,4)；

（2）切線方程為y-4=-6(x-3)；

（3）最大值為f(2)=1，最小值為f(3)=2。

20.（1）面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a