2025年廣東大灣區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案詳解）

2025屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試(一)

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和

準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項(xiàng)的

答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在

試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={x|x=2左水eZ},B={x|log2x<3},則人口2=()

A.{2,4}B.{4,6}

C.{0,2,4}D.{2,4,6}

2.復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，則忖=()

A.2B.2叵C.1D.72

3.已知平面向量1,5的夾角為60。，且同=2,歸+.=2若，則歸卜()

A.1B.2C.20D.4

4.若/,“2為兩條不同的直線，C,尸為兩個(gè)不同的平面，則()

A.若/〃a,mca,貝1"〃羽

B.若/〃a,m//a,貝

C.若/_La,mV(},l±m(xù),則C#

D.若/〃a,a///3,則〃/月

5.下列四組數(shù)據(jù)中，方差最小的為（）

A.29,25,37B.30,46,25

C.38,40,35D,40,18,30

6.早在兩千年前，古人就通過觀測發(fā)現(xiàn)地面是球面，并會(huì)運(yùn)用巧妙的方法對地球半徑進(jìn)行

估算.如圖所示，把太陽光視為平行光線，。為地球球心，A,B為北半球上同一經(jīng)度的兩點(diǎn)，

且43之間的經(jīng)線長度為L于同一時(shí)刻在A,B兩點(diǎn)分別豎立一根長桿AA和8月，通過

測量得到兩根長桿與太陽光的夾角a和夕和夕的單位為弧度），由此可計(jì)算地球的半徑

7.設(shè)函數(shù)/（x）=ln（e2，+l）+國一無，則不等式〃2X一1）一〃%+1）〈0的解集為（）

A.（-00,2]B.[0,2]

C.[2,+oo）D.（-oo,0]u[2,+oo）

8.己知拋物線V=4x的弦48的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為5,則|鉆|的最大值為（）

A.12B.11C.10D.9

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線/：Ax-y+2左=0和圓。：/+_/=9,貝!|（）

A,直線/恒過定點(diǎn)（2,0）

B.存在上使得直線/與直線％：x-2y+2=。垂直

C.直線/與圓。相交

D.若左=-1,直線/被圓。截得的弦長為2近

10.已知函數(shù)〃x）=siiu>Jl+cos2x,則（）

試卷第2頁，共4頁

A.是奇函數(shù)

B.〃x)的最小正周期為兀

C.在卜母上單調(diào)遞增

D.〃x)的最小值為一4

11.設(shè)曲線G：y=e)拋物線G：V=2px(p>0),記拋物線的焦點(diǎn)為尸，M,。為分別

為曲線G，C上的動(dòng)點(diǎn)，/為曲線C1的切線，則()

A.若C1與G無公共點(diǎn)，則pe(O,e)

2

B.若/過點(diǎn)/，貝!]/被G截得的弦長為P+F

ez

@

c.當(dāng)P=I時(shí)，2

0

4

D.當(dāng)P=1時(shí)，

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.雙曲線尤2一匕=1的左，右焦點(diǎn)分別為6,鳥，點(diǎn)尸在雙曲線右支上，若戶周=4,則

6

"PF。=.

2兀

13.在VA5c中，已知C=y,tanAtanB=2-73,則cos(A-3)=.

14.有三個(gè)袋子，每個(gè)袋子都裝有〃個(gè)球，球上分別標(biāo)有數(shù)字123,…,w.現(xiàn)從每個(gè)袋子里任

摸一個(gè)球，用X,Y,Z分別表示從第一，第二，第三個(gè)袋子中摸出的球上所標(biāo)記的數(shù)，則事

件“x+y=z”的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.已知等差數(shù)列｛4｝滿足%,。用是關(guān)于x的方程工2-4力\+2=0的兩個(gè)根.

⑴求q；

(2)求數(shù)列[(-1)”?學(xué)|的前〃項(xiàng)和s”.

16.在VABC中，角A,民C的對邊分別為a,b,c,AD為邊BC上的中線.

(1)證明：AD=^2(b2+c2)-a2；

TT

(2)若4=§,a=2,求AD的最大值.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD_L平面ABC。，AB//DC,BC=CD=AD=2,AB=4.

(1)證明：PA1BD-

(2)若四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為25兀，求二面角C-AB-P的余弦值.

18.數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)工具研究數(shù)列性質(zhì).比如，為了研究數(shù)列

(〃eN*)的性質(zhì)，對通項(xiàng)公式取對數(shù)得，ln%=ln[l+/J,則可通過研究函數(shù)

y=ln(l+x,的性質(zhì)，得到數(shù)歹U｛lnqJ的性質(zhì)，進(jìn)而得到｛%｝的性質(zhì).請根據(jù)以上材料，解決

如下問題：

⑴若不等式5、ln(l+x)對任意x?0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍，并證明：+；

.19-

⑵是否存在常數(shù)。，使得：WTZEN*有，1-?！??若存在，求。的值；若不存在，

n

請說明理由.

(注：e為自然對數(shù)的底數(shù))

19.線段MN的長為3,端點(diǎn)M,N分別在y軸和無軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E滿足礪=2就，記點(diǎn)E

的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)曲線C與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)分別為4反尸為C上異于A,8的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)0(1,0)分別作

直線4〃AP,直線尸，其中乙與曲線C交于G,H兩點(diǎn)，/?交直線x=-1于點(diǎn)R，點(diǎn)/滿

足應(yīng)=|Z)M而.

①求點(diǎn)/的軌跡方程；

②的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

1.D

【分析】解對數(shù)不等式求出集合3,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由log2*<3,即logzXVbg/,解得0<x<8,

所以3={x|log2尤<3}={x[0<尤<8},

又4={彳歸=2太上eZ}={…,T,-2,0,2,4,6,8,…},

所以4nB={2,4,6}.

故選：D

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡z,再計(jì)算其模即可.

【詳解】因?yàn)閦1+i=2i,所以z=「=〉J=l+i,

所以|z|=至不=&.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)向量模長的關(guān)系，利用平方法轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積公式，解一元二次方程即可得

出答案.

【詳解】由忖+方|=2道，

ll-j一必

r2rrr2

所以k=12,即Q+2a-b+b=12,

即22+2x2忖xcos60°+懺=12,整理得懷+2舊—8=0,

解得忖=2或T（舍去），

所以W=2.

故選：B.

4.C

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，

若l〃a,mua,貝心〃機(jī)或/與機(jī)異面，A錯(cuò)誤；

答案第1頁，共15頁

平行與同一平面的兩條直線位置關(guān)系不確定，可能平行、相交或異面，B錯(cuò)誤;

如圖，Bui,過點(diǎn)3作機(jī)的平行線〃，設(shè)/，幾所在平面為

且7I4=6,貝!J〃_Lb,

根據(jù)已知/_Lm，所以〃_L/,

則〃/〃，由/_L。，可得Z?_La,且匕u/7,所以a_L尸，C正確;

若/〃a,a///3,則〃板或/u月，D錯(cuò)誤.

故選：D

5.C

【分析】先分別求平均數(shù)，再分別求出方差，最后比較方差的大小即可.

29+25+37_91

【詳解】對于A,

672

s

3~zi~

30+46+25101

對于B,x=

33

222

11011011012166

S230-+46-+25

333327

38+40+35113

對于C,x=

33

222

1113113113114

S238+40-+35

333327

40+18+3088

對于D,x=

33

222

188+3。-生2184

s240I+|18-—

333327

11467221662184

<---<<

27272727

所以四組數(shù)據(jù)中，方差最小的為1黃14,

答案第2頁，共15頁

故選：c.

6.A

【分析】過點(diǎn)8作太陽光的平行線，與。1的延長線交于點(diǎn)C,可求出=利

用弧長公式即可求得地球的半徑.

則=〃，ZBCO=a,所以NA03=￡—。，

設(shè)地球半徑為R,則根據(jù)弧長公式得R(，-a)=L,所以R=J^，

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)題意判斷了(%)是偶函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性和奇偶性解不

等式即可.

［詳解］Q/(x)=ln(e2r+l)+|x|-x,xeR,

又/(-x)=In(e"'+l)+|x|+x

i/+1I?

=ln-^「+|x|+x

=ln(e2^+l)+|x|-x=f(x),所以函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，

當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=ln(e2x+l),易得/(x)單調(diào)遞增，

不等式“2x-l)-〃x+l)(O,gp/(2x-l)</(x+l),

等價(jià)于川

.".|2x—1|<|x+l|,可得(2x-1)~W(x+l)2,解得0VxV2,

所以不等式F(2x—1)—〃x+l)W。的解集為［0,2］.

故選：B.

8.A

答案第3頁，共15頁

【分析】根據(jù)拋物線定義，可得|AF|+|明=12,數(shù)形結(jié)合可得恒尸|+忸同習(xí)得解.

【詳解】設(shè)拋物線＞2=4x的焦點(diǎn)為尸，A,3的橫坐標(biāo)分別為毛，%，則為+%=10,

,??拋物線V=4x的準(zhǔn)線為x=—l,Ky|AF|=^+l,\BF\=X2+1,

+忸尸|=玉+/+2=12,

用+忸廠以(當(dāng)且僅當(dāng)尸，A,B共線時(shí)取等號)如圖所示，

即|鈿|的最大值為12.

故選：A.

【分析】A選項(xiàng)，化為點(diǎn)斜式可以看出直線恒過的點(diǎn)，B選項(xiàng)兩直線斜率存在且垂直，斜率

乘積為-1，從而存在上=-2滿足題意,C選項(xiàng)直線過的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項(xiàng)；

當(dāng)人=-1時(shí)，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長

【詳解】直線/：履一y+2左=0,即y=A(x+2),則直線恒過定點(diǎn)(-2,0),故A錯(cuò)誤；

當(dāng)人=一2時(shí)，直線/:Ax-y+24=0與直線％:x-2y+2=。垂直，故B正確：

:定點(diǎn)(-2,0)在圓。N+y2=9內(nèi)部，.?.直線/與圓O相交，故C正確：

當(dāng)左=一1時(shí)，直線/化為一x-y-2=0,即x+y+2=0,圓心。到直線的距離〃=賢=血，直

線/被圓O截得的弦長為2"1=2近，故D正確，

故選：BCD.

10.AD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)+可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)

答案第4頁，共15頁

〃。)=/(鼻=0可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)二倍角公式結(jié)合=—與可得選項(xiàng)D正確.

【詳解】由題意得，/(x)=sinx-A/1+2COS2J;-1=y/2siwc?|cosx\.

A.???函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(-x)=V2sin(-x)?|cos(-x)|=-V2sinx-|cosx|=-f(x),

???〃x)是奇函數(shù)，選項(xiàng)A正確.

B.V/(x+7i)=A/2sin(x+7i)-|cos(x+K)|=—V2sinx?|cosx\=—/,

???兀不是函數(shù)/(X)的周期，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

C.V/(0)=V2sin0?|cos0|=0,/fj=V2sin-cos^-=0,

JT

???〃x)在o,-上不是單調(diào)遞增函數(shù)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

D.V/(x)=yflsiwc?|cosx\：|>-|V2sinxcosx|=---|sin2x|0<|sin2x|<1,

.??/(x)的最小值為一4,選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

11.AD

【分析】選項(xiàng)A將G與。2無公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為外力二。2、-2px無零點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)求最小值大于0

即得；選項(xiàng)B先求切線方程為聯(lián)立y?=2px,利用韋達(dá)定理和

弦長公式即可求得；選項(xiàng)C利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)=e2，+,-；J的最小值小于:，進(jìn)而可得;

選項(xiàng)D根據(jù)G：y=e*的切線方程y=x+l和拋物線的切線方程y=x+；為曰，進(jìn)而可得.

【詳解】選項(xiàng)A：聯(lián)立卜：e：得e2-2px=0,設(shè)/(x)=e"-2px,

[y~=2px

由題意可知〃尤)無零點(diǎn)，f\x)=2^x-2p,

答案第5頁，共15頁

故當(dāng)尤e(0,glnp]時(shí)，/(%)<0,當(dāng)xe(glnp,+e.寸，尸(久)>0,

故/(x)N/[glnp]=p(l_lnp),由題意p(l_lnp)>0,得0</?<e,故A正確;

選項(xiàng)B：由題意由y二/得了二^,

設(shè)/與曲線CI的切點(diǎn)為(天,e，。)，則切線方程/為y—e*=e"x—%),

因/過點(diǎn)嗚,0),故-e&=e&?xj,解得/=1+1,

所以I的方程為y」"=e'+3、一；〃一1],即>=e*[x-；P)

與F=2Px聯(lián)立得/-++?=0,

設(shè)/與。2的交點(diǎn)坐標(biāo)為4(*1，月),B(X2，V2)，

可設(shè)為(x,e),則=e2x+(尤一;

設(shè)g(x)=e2'+、-g],g'(x)=2e2*+2x—l,

設(shè)//(%)=2e2x+2x-l,貝(^)=4e2r+2>0,

故h(x)在R上單調(diào)遞增，又/i(0)=l>0,〃(-1)=21-3<0,

故土o?T,O),使得g'5)=0,

則g(x)在(-8,%)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增，

故怛M「的最小值為g(%),又g(x0)<g(O)=：,故|磯n冷，故C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D：當(dāng)。=1時(shí)，C2：y2=2x在(x(),%)處的切線方程為/':%y=x+xo，

答案第6頁，共15頁

11

將無o=5必代入得/'：x-%y+5y；=。,

而曲線C：y=ex在x=f處的切線方程為/:e'x-y+（lT）e'=O,

要使得兩曲線上得點(diǎn)M,。之間距離最小，當(dāng)t=0時(shí)，/：x-y+l=O,

11--

l,//I,則為=1,/'猶-丁+彳=0,兩直線的距離為2_7r2,

2^F=T

顯然兩切點(diǎn)為（O，l）（2,g）得連線與切線不垂直，故|MQ|>d=亨，故D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題選項(xiàng)A,C關(guān)鍵是把幾何問題解析化，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

12.120°

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得戶名|,再利用余弦定理求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線右支上，且|普|=4,

則仍閭=歸周一2a=4—2=2,又閨用=2嶼,

在AP耳月中，由余弦定理可得co./尸尸尸,不+22-（2夕）=1,/耳尸與?0,兀）,

'122x4x22

所以/片/￥；=120。.

13.2

2

【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合條件切化弦可得cosAcosB=3土L將條件

4

tanA.tan3=2-/切化弦運(yùn)算得解.

【詳角星】QtanA-tanB=2-百，C-—,

tanA+tanB_tanA+tanB

/.tanC=-tan（A+B）即

1-tanA?tanB1-

答案第7頁，共15頁

角牟得tanA+tanB=3-g,即況+厘=3—

cosAcosB

所以sin(A+5)=(3—G)cosAcos5,又A+3=TC—C,

得cosAcos3=史坦

4

?,r~—r/口sinA-sinBr-

又由tanA?tan5=2-近，可得---------=2-J3,

cosA?cosB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

=(3-V^cosAcos8=(3一道=岑

故答案為：叵.

2

14,二

【分析】歸納求出滿足z=x+y的情況種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式求解.

【詳解】由題意，從三個(gè)袋子中摸出的球上所標(biāo)記的數(shù)的總的情況為A?種,

滿足z=x+y,則24zw〃,

當(dāng)z=2時(shí),x,y對應(yīng)的情況有。,1),1種;

當(dāng)Z=3時(shí),x,y對應(yīng)的情況有(1,2),(2,1),2種;

當(dāng)Z=4時(shí),X,y對應(yīng)的情況有(1,3),(2,2),(3,1),3種;

L

當(dāng)2=〃時(shí),X,y對應(yīng)的情況有(1,〃—1),(2,"-2)』，(”—1,1),“一1種;

所以滿足2=*+丫的情況有1+2+3+…+駕1種,

n(n-l)

故所求事件的概率為尸二2_n-l.

n3

n-1

故答案為:

15.⑴4=1

⑵""/I

【分析】(1)根據(jù)韋達(dá)定理可得%+。用=4〃，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列式計(jì)算;

答案第8頁，共15頁

An(11A

(2)由⑴求得通項(xiàng)。,=2九-1,代入運(yùn)算可得(-1)“7=(-1)“--,利用裂

項(xiàng)求和得解.

【詳解】(1)根據(jù)題意，由韋達(dá)定理可得%+。用=4〃，

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

所以4+(〃一l)d+,+加=4〃，BP2dn+2ax-d=4n,

[2d=4

則《。/八，解得1=2,囚=1,

[2%—a=0

%=1.

(2)由(1)d=2,4=1,則〃〃=2〃-1,

=a?-an+l=(2/?-l)(2n+l),

(T)".例=(-1)"--------------------=(_琛(-J—+-J—

「撲L+(T[

2n-l2n+1)

''2n+l

16.(1)證明見解析

⑵6

【分析】()方法一：對詼=；(而+/)兩

1邊平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在

△ADB和△ADC中，由余弦定理可得答案；

(2)在VABC中，由余弦定理得廿=片+°2-ac,結(jié)合(1)再利用基本不等式可得答案.

,AD=1(AB+AC),

【詳解】(1)方法一：?.?4。為BC邊上中線,

2222

AD=^(AB+AC^^AD=^c+b+2bcc:osA),

在VABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2l?ccosA，

2bccosA=b2+c2-a2,

:.AD=^(2b2+2c2-a2),

A￡)=1^2(Z?2+c2)-a2.

答案第9頁，共15頁

方法二：?.?4￡)為BC邊上中線，

在VABC中，Z.ADB+ZADC=兀,coszTLDB+cosZADC=0,

在AADB和AWC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2八八八…

--------------------------1--------------------------=0,DU=CD,

2ADBD2ADBD

即2AD2+BD2+CD2-AB2-AC2=0,

AD2=1^2+C2-1?2^

即AO=；^b2+c2)-a2；

TT

(2)A=-,。=2,由余弦定理可得"=62+°2一歷，

故62+c2-4=6cV；,2+02),即62+C248,

[b=c

當(dāng)且僅當(dāng),22/7時(shí)，即人=。=2時(shí)等號成立，

[b+c-4=bc

所以AO=：,2伊+目-止=1{2但+/)_4<；>/16-4=6,

所以取得最小值為6.

17.(1)證明見解析

*

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)證明線線平行，先證平面上即可.

(2)先確定四棱錐P-ABCD的外接球的球心，即可得RD的長，過。作DEIAB于E,

所以/尸即為二面角C-AB-P的平面角，求解即可.

【詳解】(1)取的中點(diǎn)。I，連接CO1，則由題意知△BCQ為正三角形，

所以NABC=60。，

由等腰梯形知NBC￡>=120。，T^AD=CD=BC=2,則AB=4,BD=26,

i^AD2+BD2=AB2,即得NAD8=90。，所以

因?yàn)镻D_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以PD_LBD,

因?yàn)锳DIPD=D,AD,PDu平面尸A￡),所以ADI平面PAD,

因?yàn)镋4u平面PAD,所以BDLR4.

(2)由于AD=AO|=2,

答案第10頁，共15頁

又?.?NDW=60°,為等邊三角形,

/.OtD=O]A=O1B=O]C=2,

即。i為四邊形ABCD外接圓的圓心，且半徑廠=qA=2,

過。i作平面ABC。的垂線/,則尸?！?,

在平面尸。。1內(nèi)作的垂直平分線交/與點(diǎn)0,

則。尸=OD=Q4=03=OC,即。為四棱錐P-ABCD的外接球的球心,

,貝(]5=4兀?2=25%.[尺=3,

且半徑R=OD=

+r2=R2=—,貝!|PD=3,

4

過。作DE工AB于E,尸。,。及尸Du平面「￡區(qū)￡?6口也》=。，

所以AB_L平面PDE,又尸Eu平面尸DE,

則AB_LPE,所以NPED為二面角C-AB-尸的平面角,

tanAPED==-1==布

DE出

所以二面角C-AB-尸的平面角的余弦值為

18.(l)c>l；證明見解析

2

(2)存在，fl=e

【分析】(1)當(dāng)無=0時(shí)，cxNln(l+x)恒成立，ceR；當(dāng)x>。時(shí)，cx>ln(l+x)可化為

cl"1*",令g")J0*『,>0,利用導(dǎo)數(shù)方法判斷其單調(diào)性，結(jié)合洛必達(dá)法則即

XXx

可求出C的范圍；得出以xNln(l+x),將x=」代入整理，即可證明不等式成立；

n

(2)先由題意得到a>0；由2</-1推出21n6>ln(l+2],結(jié)合(口的結(jié)果，可求出

nnynJ

答案第11頁，共15頁

-12、二2_

a>e2;對于1一?！?lt;—,當(dāng)〃=1或〃=2時(shí)，于1一〃"<—顯然恒成立；當(dāng)〃之3時(shí)，推出以

nn

Inf1—|<—lna=—ln?,同(1)構(gòu)造函數(shù)，求出aVe?;從而可求出結(jié)果.

\njnn

【詳解】(1)當(dāng)％=0時(shí)，c%21n(l+x)顯然恒成立，ceR；

當(dāng)%>0時(shí)，cx>ln(l+x)可化為0之山(1+”,

x

令g(x)="3,無〉。，則一W-Ml+x)x_(l+x)ln(l+x),

xx2-(l+x)x2

令/z(x)=x-(l+x)ln(l+x),%>0,則”(x)=l—ln(l+尤)—l=—ln(l+x)v0在％w(0,+oo)上

恒成立，

因此力(%)=1-(1+力111(1+X)在(0,+00)上單調(diào)遞減，所以/z(x)</z(O)=O,

x-(l+x)ln(l+x)

即((%)=<0在X￡（0,+00）上恒成立,

(l+x)x2

所以8⑴二時(shí)尹在（o,+s）上單調(diào)遞減，

ln1+%

又由洛必達(dá)法則可得：lim（）==limj_=i,

Xf0XXf0xfXf01+x

所以g（x）<l恒成立，因此，為使c（ln（l+無）對任意%>0恒成立,只需讓1；

X

綜上，C>1;

所以xNln（l+x）,因?yàn)椋?,所以:>ln[l+J,

則+[=,所以e〉e1/=(1+!]得證；

_121

(2)存在〃=e2,使得：V〃cN*有，1—〃〃<*<"—1,證明如下：

n

由題意，為使1一。n<—<an-1V〃wN*恒成立，必有a>0；

n

71191(2、2l(2、2

⑴由一<〃〃一1得〃〃>Id■—，所以一lna>ln1H■—,則一InJa>ln1+—,因?yàn)橐弧?,

nnn\n)nVnJn

由(1)知x〉ln(l+x)對任意%>0恒成立，

為使一InG〉In[1+—]N*者成R立，只需解得aNe。；

n\nJ

答案第12頁，共15頁

-12、二2_

(ii)對于1一〃〃<—,當(dāng)〃=1或〃=2時(shí)，于1一。〃<—顯然恒成立；

nn

99--99-12/—

當(dāng)〃之3時(shí)，一一<一一<0,由1一〃及<士得1一.<〃〃，所以In1一—<一一ln〃=一一lnj〃，

3nnnyn)nn

22r~

令x=——,則——<x<0,ln(l+x)<xlnJQ,

n3

所以lnG<ln(+“),同(1)令g(x)=9?！?f<x<0,

xx3

則g，⑶=+"=x-(l+x)ln(l+x),

x2*4(l+x)x2

2

令/z(x)=x-(l+x)ln(l+x),--<x<0,

貝I]/z'(x)=l-ln(l+x)-l=-ln(l+x)>O^Exe—g,。]上恒成立，

因止匕/z(x)=x—(l+x)ln(l+x)在一|,。]上單調(diào)遞增，所以可可<.0)=0,

因此g'X=—\—^<0在xe-/,0上恒成立，

(l+x)fL3)

所以g(x)=皿匕"在卜：,()]上單調(diào)遞減，

又ln(l+無)[ln(l+x)]1

乂lim-----=lim---------=lim----=1，

Xf0X尤-0XfX-0l+x

2

所以當(dāng)-gV尤<0,g(x)>l；

因此，為使In夜〈I"""恒成立,只需|n&wi,解得“We?；

■--2-

由(i)(ii)可得，a=e2;即存在a=e"使得：VneN1-a"<—<an-1.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:

利用導(dǎo)數(shù)的方法求解不等式中的參數(shù)時(shí)，一般可利用分離參數(shù)的方法，先分離出所求參數(shù),

再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值即可.

19.（1）—+/=1

4"

⑵①x=4（yw0）,②存在最小值，最小值為3.

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)E（x,y）,M（0,a）,N（b,0）,根據(jù)=3及合+〃=9計(jì)算即可;

,、ULLUUUUUULUUUU...Y--V一

⑵①由題意，可設(shè)在?=%〃/，則。G=＜。"，利用點(diǎn)差法得?+犬=1①，