浙江省9+1聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

浙江省9+1聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1．在2x?1A．1120 B．160 C．?120 D．?1602．已知事件A,B，且P(A)=56，P(B)=23，A．45 B．25 C．133．已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(2x)=x，則fA．14 B．12 C．24．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,A．18 B．36 C．54 D．605．已知函數(shù)f(x)=x+4x+3A．0<a<13 B．0≤a<13 C．6．已知函數(shù)f(x)=|lnx|,x1、A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．2024年伊始，隨著“廣西砂糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出，哈爾濱火爆出圈，成為旅游城市中的“頂流”．某班級六位同學(xué)也準備共赴一場冰雪之約，制定了“南方小土豆，勇闖哈爾濱”的出游計劃，這六位同學(xué)準備在行程第一天在圣索菲亞教堂、冰雪大世界、中央大街三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學(xué)會選，六位同學(xué)都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)是（）A．132 B．144 C．150 D．1688．已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1A．218,5516 B．11964,二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知隨機變量X,Y滿足X～B(4,p)，且P(X=0)=1681，且A．E(X)=23 B．E(Y)=?16 C．10．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A．2024行中從左往右第1012個數(shù)與第1014個數(shù)相等B．CC．記第10行的第i個數(shù)為ai，則D．記第n行的第i個數(shù)為ai，則11．有個等分為五個扇形的圓形幸運轉(zhuǎn)盤，這五個扇形分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，轉(zhuǎn)動圓盤等其靜止時，指針均指向扇形的內(nèi)部，記錄下對應(yīng)的數(shù)字．持續(xù)這個過程，記前n次所得的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為PnA．P2=13C．Pn?13是等比數(shù)列三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N4,σ2，且P(4<X<6)=0.4，則13．將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)填入圖所示的格子中，要求每個數(shù)字都要填入，且每個格子只能填一個數(shù)，其中1與2相鄰（有公共邊的兩格子稱為相鄰）的不同的填法有種（結(jié)果用數(shù)字作答）．14．已知實數(shù)a>0,b∈R，且函數(shù)f(a,b)=(a?2b)2+4lna?四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)f(x)=aex+(a?1)x+（1）當a=2時，求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程；（2）若f(x)在區(qū)間(0,+∞16．已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且（1）求數(shù)列an（2）若數(shù)列bn滿足b1=1,3b117．小明參加一個抽紙牌游戲，規(guī)則如下：有九張質(zhì)地完全相同的紙牌，其中有一張大王牌，其余四種花色為：紅桃、黑桃、方塊、梅花各2張．逐次從9張牌中不放回地隨機抽取一張紙牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一張新的大王牌．（1）求小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下，第三次抽牌抽到紅桃牌的概率．（2）抽牌過程中，若抽到大王牌，則宣告游戲結(jié)束：若累計抽到兩張花色相同的紙牌，也宣告游戲結(jié)束；否則游戲繼續(xù)．用X表示小明在游戲中一共抽到的紙牌數(shù)，求X的分布列．18．已知數(shù)列an，滿足a1=2,（1）求數(shù)列an（2）求證：bn（3）設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Sn，證明：19．藥房里有若干味藥．藥劑師用這些藥配成22副藥方，每副藥方中恰有5味藥，從中任選的三味藥都恰好只包含在某一副藥方中．（1）藥房中共有幾味藥？（2）藥物分為烈性藥和非烈性藥，要求每副藥方中至少有一味是烈性藥．（i）假設(shè)藥房中有7味烈性藥，證明：全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥；（ii）證明：全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：2x?1x6令6?2r=0，解得r=3，則常數(shù)項為C6故答案為：D.【分析】根據(jù)二項式定理得到通項公式求常數(shù)項即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由條件概率公式知：P(AB)=P(A|B)?P(B)=1則PB|A故答案為：B.【分析】利用條件概率公式求PB|A3．【答案】A【解析】【解答】解：令t=2x，得x=t2，則ft=t2，故答案為：A.【分析】利用換元法先求函數(shù)解析式，再求導(dǎo)求值即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，

由a1+a2+a即S12故答案為：D.【分析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d5．【答案】B【解析】【解答】解：易知函數(shù)f(x)=x+4x+3f'令f'x=0當0<x<1時，f'x<0，當x>1則fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故fx因為函數(shù)fx在a,2?3a內(nèi)有最小值，故0≤a<1<2?3a，解得0≤a<則a的取值范圍是0,1故答案為：B.【分析】先求函數(shù)fx的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值點，即最小值，從而得到關(guān)于a6．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，不妨設(shè)0<x當fx1=fx2時，ln當0<x<1時，f(x)=?lnx，f'當x>1時，f(x)=lnx，f'則f'當f'x1f'x2所以“fx1=f故答案為：C.【分析】由題意，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，以及充分、必要條件的概念判斷即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：①若學(xué)生甲、乙選的景點沒有其他人選，

則分組方式為2,2,2或2,1,3（其中2為甲、乙），當為2,2,2時，有C4當為2,1,3（其中2為甲、乙）時，有C4②若學(xué)生甲、乙選的景點有其他人選，

則分組方式為4,1,1或3,2,1（其中3為甲、乙與另一學(xué)生），當為4,1,1時，則有C4當為3,2,1（其中3為甲、乙與另一學(xué)生）時，則有C4綜上可得：一共有18+24+36+72=150種不同的選法.故答案為：C.【分析】由題意，分學(xué)生甲、乙選的景點沒有其他人選與有其他人選兩大類，采用先分組、再分配的方法計算即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由a可得：n2易知數(shù)列n+1nan是常數(shù)列，當n=1時，2即an=nn+1，而令bn則bn+1?b當n>2時，bn+1?b而b1=2,b2=為了滿足不等式λ2na此時有b2故答案為：A.【分析】由題意，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造出常數(shù)列，求通項，再分離參變量，利用數(shù)列的單調(diào)性研究不等式成立的條件即可.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因為隨機變量X滿足X～B(4,p)，且P(X=0)=1681，所以(1?p)4A、E(X)=4×1B、因為X+2Y=1，所以Y=?12X?C、D(X)=4×1D、Y=?12X?故答案為：BCD.【分析】利用二次分布的期望與方差的公式，以及期望與方差的運算性質(zhì)逐項判斷即可.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、第2024行中數(shù)為(x+1)2024的展開式的二項式系數(shù)，

則從左往右第1012個數(shù)為C20241011，第1014個數(shù)為CB、由Cn?1m?1+Cn?1C、第n行的第i個數(shù)為ai=CD、第n行的第i個數(shù)為ai=C故答案為：AC.【分析】利用(x+1)2024的展開式的二項式系數(shù)計算即可判斷A；利用性質(zhì)Cn?1m?111．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、由題意，每次旋轉(zhuǎn)中，指針指向數(shù)字為偶數(shù)的概率為25，

指向數(shù)字為奇數(shù)的概率為3則P1=2則P2B、對于Pn+1=35?15故數(shù)列{Pn?12故Pn?1P7=12+C、PnP1?1則數(shù)列{PD、P2n由于P2n+2?P故答案為：AD.【分析】根據(jù)題意，由全概率公式分析可得Pn+1=P12．【答案】0.9【解析】【解答】解：易知μ=4，因為P(4<X<6)=0.4，所以P(X≥6)=0.5?0.4=0.1，

所以P(X≤2)=0.1，則P(X>2)=1?0.1=0.9.故答案為：0.9.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.13．【答案】336【解析】【解答】解：1從第一排開始排，滿足題意有如下情況：如右圖，此時2所在位置2種，其他全排即可，有2A4如右圖，此時2所在位置3種，其他全排即可，有3A4如右圖，此時2所在位置2種，其他全排即可，有2A4同理，由圖形對稱性知道，1從第二排開始排，與前面第一排情況數(shù)一樣.2(2A故答案為：336.【分析】根據(jù)排列組合以及分步乘法計數(shù)原理求解即可．14．【答案】5【解析】【解答】解：由題意得f(a,b)=(a?2b)設(shè)A(a,2lna)，B(2b,2b則點A在曲線y=2lnx上，點B在拋物線x2f(a,b)的幾何意義為A，B兩點間距離|AB|與點B到x軸的距離d之和，設(shè)拋物線x2=2y的焦點為F(0,1所以d=|BF|?1所以f(a,b)=|AB|+d=|AB|+|BF|?1問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=2lnx上的點到點F的距離的最小值，設(shè)曲線y=2lnx上的點A0(x0，則A0F與曲線在點A0處的切線垂直，即2ln作出函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=?1由圖象知，兩函數(shù)圖象只有一個交點(1,0)，所以方程lnx0=?14所以|AF|≥|A所以函數(shù)f(a,b)的最小值為5?1故答案為：5?1【分析】由題意可得f(a,b)的幾何意義為A，B兩點間距離|AB|與點B到x軸的距離d之和，其中點A在曲線y=2lnx上，點B在拋物線x215．【答案】（1）解：當a=2時，函數(shù)f(x)=2ef'(x)=2e則y=f(x)在x=0處的切線方程為y?3=2(x?0)，即2x?y+3=0；（2）解：由題意知f'x=a化簡得a≥e?x在(0,+∞)恒成立，而1e【解析】【分析】（1）將a=2代入，求函數(shù)值，以及導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)點斜式求直線方程即可；（2）根據(jù)f'x=a（1）當a=2時，f(x)=2f'(x)=2y=f(x)在x=0處的切線方程為y?3=2(x?0)，即2x?y+3=0（2）由題意知f'x=a化簡得a≥e?x在(0,+∞所以a≥116．【答案】（1）解：由2S3=2因為an是正項等比數(shù)列，所以a所以2q2?q?6=0，解得q=2由a4=a1q（2）解：由已知得33兩式相減得n2即bn當n=1時，b1所以bn+b當n為偶數(shù)時，T=1當n為奇數(shù)時，T=1+1則Tn【解析】【分析】（1）由2S3=2a1+a2+（2）由已知得3b1+b2+8b2+b3+…+n2+2n（1）由2S3=2因為an是正項等比數(shù)列，所以a于是2q2?q?6=0，解得q=2又a4=a所以an（2）由已知得33兩式相減得n2即bn當n=1時，b1所以bn+b當n為偶數(shù)時，T==1?1當n為奇數(shù)時，T=1+=3所以Tn17．【答案】（1）解：設(shè)事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”，設(shè)事件B表示“第三次抽到紅桃牌”，

則P(A)=19×89（2）解：易知X的可能所有取值為：1，2，3，4，5，P(x=1)=1P(X=2)=8P(X=3)=8P(X=4)=8P(X=5)=8則X的分布列為：X12345P1880448128【解析】【分析】（1）由題意，先設(shè)事件，利用條件概率公式能求出小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下，第三次抽牌抽到紅桃牌的概率即可；(2)易知X的可能所有取值為：1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，列分布列即可.（1）設(shè)事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”，設(shè)事件B表示“第三次抽到紅桃牌”.則P(A)=P(AB)=29×（2）X的可能所有取值為：1，2，3，4，5．P(x=1)=1P(X=2)=8P(X=3)=8P(X=4)=8P(X=5)=8則X的分布列為：X12345P188044812818．【答案】（1）解：設(shè)an+1+k(n+1)+b=4a因為an+1=4a解得k=?1,b=?1，所以an+1因為a1=2，則a1所以an（2）證明：令x=1an，因為a要證bn只要證f(x)=x+sin因為f'(x)=1+cos則g'所以f'x在0,1所以f(x)=x+sin則fx所以f(x)=x+sin（3）證明：由（2）可知，bn所以b=2ln32另一方面bn所b=4n+1?1，則所以2ln【解析】【分析】（1）由題意，設(shè)an+1+k(n+1)+b=4a（2）由題可得，令x=1an（3）由（2）中的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的求和公式可證Sn>2ln（1）設(shè)an+1+k(n+1)+b=4a因為an+1=4a解得k=?1,b=?1，所以an+1因為a1=2，則a1所以an（2）證明：令x=1an，因為a要證bn只要證f(x)=x+sin因為f'(x)=1+cos則g'所以f'x在0,1所以f(x)=x+sin則fx所以f(x)=x+sin（3）由（2）可知，bn所以b=2ln32另一方面bn所b=4n+1?1，則所以219．【答案】（1）解：設(shè)共有n味藥，一共可形成Cn3個“三藥組”，另一方面，每個“三藥組”恰