高考備考資料之數(shù)學人教B版全國用課件第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ22

§2.2

函數(shù)的單調(diào)性與最值第二章

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ基礎知識

自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識自主學習

增函數(shù)減函數(shù)定義設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間M?A，如果取區(qū)間M中任意兩個值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1>0，則當

時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)

時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)1.函數(shù)單調(diào)性的定義知識梳理Δy＝f(x2)－f(x1)<0Δy＝f(x2)－f(x1)>0圖象自左向右看圖象是______自左向右看圖象是______下降的上升的2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是______或是_______，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為_________.增函數(shù)減函數(shù)單調(diào)區(qū)間3.函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得_________(3)對于任意的x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得________結論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M【知識拓展】(3)在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關系是“同增異減”.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(－1)<f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).(

)(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞).(

)(3)函數(shù)y＝

的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)(4)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點取到.(

)基礎自測××√×1234567題組二教材改編2.函數(shù)f(x)＝x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是____________________.3.函數(shù)y＝

在[2,3]上的最大值是___.4.若函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_________.答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))2(－∞，2]解析由題意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，∴m≤2.解析1234567題組三易錯自糾5.函數(shù)y＝

的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.解析答案(2，＋∞)6.若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)增區(qū)間是[3，＋∞)，則a的值為________.－612345677.函數(shù)f(x)＝

的最大值為________.解析當x≥1時，函數(shù)f(x)＝

為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當x＜1時，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.解析答案21234567題型分類深度剖析命題點1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性典例

(1)(2017·全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)多維探究答案√解析解析由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.設t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù).要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間.∵函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞).故選D.(2)函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是__________________.答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由題意知，當x≥0時，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；當x<0時，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函數(shù)的圖象如圖.解析由圖象可知，函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1,0]，[1，＋∞).命題點2解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性解答典例

判斷并證明函數(shù)f(x)＝ax2＋

(其中1＜a＜3)在[1,2]上的單調(diào)性.證明：設1≤x1＜x2≤2，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，又因為1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，從而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故當a∈(1,3)時，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.如何用導數(shù)法求解本例？引申探究解答因為1≤x≤2，∴1≤x3≤8，又1＜a＜3，所以2ax3－1＞0，所以f′(x)＞0，確定函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法和導數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導數(shù)法；(2)復合函數(shù)法，復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接.思維升華跟蹤訓練

(1)(2017·鄭州模擬)函數(shù)y＝

的單調(diào)遞增區(qū)間為解析答案√(2)函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是A.[1,2]

B.[－1,0]C.(0,2] D.[2，＋∞)解析答案√當x≥2時，[2，＋∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當x<2時，(－∞，1]是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，[1,2]是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解析答案題型二函數(shù)的最值自主演練解析由于y＝

在R上單調(diào)遞減，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝3.32.已知函數(shù)f(x)＝

則f(x)的最小值是________.解析當x≤1時，f(x)min＝0，解析答案3.(2017·浙江)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－mA.與a有關，且與b有關

B.與a有關，但與b無關C.與a無關，且與b無關

D.與a無關，但與b有關解析答案√解析方法一設x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點與最大值點，顯然此值與a有關，與b無關.故選B.方法二由題意可知，函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖象的形狀一定.隨著b的變動，相當于圖象上下移動，若b增大k個單位，則最大值與最小值分別變?yōu)镸＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故與b無關.隨著a的變動，相當于圖象左右移動，則M－m的值在變化，故與a有關，故選B.求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)均值不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.(5)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值.思維升華命題點1比較大小典例

已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設a＝

，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為A.c>a>b

B.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c題型三函數(shù)單調(diào)性的應用多維探究解析答案√命題點2解函數(shù)不等式典例

若f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，則當f(x)＋f(x－8)≤2時，x的取值范圍是A.(8，＋∞) B.(8,9]C.[8,9] D.(0,8)解析答案√解析

2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f

[x(x－8)]≤f(9)，因為f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，命題點3求參數(shù)范圍典例

(1)(2018·鄭州模擬)函數(shù)y＝

在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是A.a＝－3 B.a＜3

C.a≤－3 D.a≥－3解析答案√∴a的取值范圍是a≤－3.(2)已知f(x)＝

是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是解析答案√函數(shù)單調(diào)性應用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小.(2)解不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，轉化為具體的不等式求解，應注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.思維升華跟蹤訓練

(1)已知函數(shù)f(x)＝x|2x－a|(a>0)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的值是____.解析答案8(2)(2017·珠海模擬)定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且

＝0，則不等式f()>0的解集為________________.解析答案f(x)在(－∞，0)上也單調(diào)遞增.課時作業(yè)1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是A.y＝

B.y＝(x－1)2C.y＝2－x

D.y＝log0.5(x＋1)基礎保分練12345678910111213141516解析答案√解析答案√解析由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函數(shù)的定義域為(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，則y＝

，易知其為減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性法則可知本題等價于求函數(shù)t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的單調(diào)遞減區(qū)間.利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t＝－x2＋x＋6在定義域(－2,3)上的單調(diào)遞減區(qū)間為

，故選A.123456789101112131415163.已知函數(shù)f(x)＝

則“c＝－1”是“函數(shù)f(x)在R上遞增”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案12345678910111213141516√解析若函數(shù)f(x)在R上遞增，則需log21≥c＋1，即c≤－1.由于c＝－1，即c≤－1，但c≤－1不能得出c＝－1，所以“c＝－1”是“函數(shù)f(x)在R上遞增”的充分不必要條件.解析4.已知函數(shù)y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A.(0,1] B.[1,2]C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)答案12345678910111213141516√解析要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函數(shù)，則a>0且a－1≥0，即a≥1.解析5.(2017·天津)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).若a＝

，b＝

f(log24.1)

，c＝f(20.8)，則a，b，c的大小關系為A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.c<a<b解析答案12345678910111213141516√解析∵f(x)在R上是奇函數(shù)，又f(x)在R上是增函數(shù)，且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.故選C.6.設f(x)＝

若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為A.[－1,2] B.[－1,0]C.[1,2] D.[0,2]解析答案12345678910111213141516√解析∵當x≤0時，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.當x＞0時，f(x)＝x＋

＋a≥2＋a，當且僅當x＝1時取“＝”.要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范圍是0≤a≤2.故選D.[3，＋∞)解析設t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函數(shù)的定義域為(－∞，－1]∪[3，＋∞).因為函數(shù)t＝x2－2x－3的圖象的對稱軸為x＝1，所以函數(shù)t在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，在[3，＋∞)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞).解析答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析[0,1)函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間為[0,1).解析

作函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，需滿足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.解析答案123456789101112131415169.(2017·濰坊模擬)設函數(shù)f(x)＝

若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是____________________.(－∞，1]∪[4，＋∞)10.已知函數(shù)f(x)＝

若f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________.解析由題意，得12＋

a－2≤0，則a≤2，又y＝ax－a(x>1)是增函數(shù)，故a>1，所以a的取值范圍為1<a≤2.解析12345678910111213141516答案(1,2]11.已知f(x)＝

(x≠a).(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增；證明

設x1＜x2＜－2，證明12345678910111213141516因為(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增.(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解設1＜x1＜x2，解答12345678910111213141516因為a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.綜上所述，0＜a≤1.12.函數(shù)f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求a的值.解答1234567891011121314151612345678910111213141516∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.12345678910111213141516f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.技能提升練答案12345678910111213141516解析13.已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝

在區(qū)間(1，＋∞)上一定A.有最小值

B.有最大值C.是減函數(shù)

D.是增函數(shù)√解析12345678910111213141516答案14.已知f(x)＝

不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________.(－∞，－2)解析二次函數(shù)y1＝x2－4x＋3的對稱軸是x＝2，∴該函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴x2－4x＋3≥3，同樣可知函數(shù)y2