高考備考資料之數(shù)學(xué)人教A版全國用課件95橢圓第2課時

第2課時直線與橢圓§9.5

橢圓課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引題型分類深度剖析題型一直線與橢圓的位置關(guān)系自主演練1.若直線y＝kx＋1與橢圓

總有公共點，則m的取值范圍是A.m>1 B.m>0C.0<m<5且m≠1 D.m≥1且m≠5答案解析√解析方法一由于直線y＝kx＋1恒過點(0,1)，所以點(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，故m≥1且m≠5.消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.解答2.已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：

.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點.解答(2)有且只有一個公共點；可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點.解答(3)沒有公共點.可知原方程組沒有實數(shù)解.這時直線l與橢圓C沒有公共點.思維升華研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù).(2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點.題型二弦長及弦中點問題多維探究答案解析命題點1弦長問題√解析設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，命題點2弦中點問題答案解析√解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，又因為a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.命題點3橢圓與向量等知識的綜合解答解

由橢圓的焦距為2，知c＝1，故b2＝a2－c2＝3，解答(2)求實數(shù)λ的值.若直線AB⊥x軸，則x1＝x2＝1，不符合題意；當AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1).(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

①①的判別式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單.思維升華(3)利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.跟蹤訓(xùn)練(2018·長春調(diào)研)已知橢圓

(a>b>0)的一個頂點為B(0，4)，離心率e＝

，直線l交橢圓于M，N兩點.(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長；解答將4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立，解答(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.解橢圓右焦點F的坐標為(2,0)，設(shè)線段MN的中點為Q(x0，y0)，又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，即Q的坐標為(3，－2).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，即6x－5y－28＝0.高考中求橢圓的離心率問題高頻小考點離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法.考點分析解析答案√∴1≤b＜2.解析設(shè)左焦點為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.典例2

(12分)(2016·浙江)如圖，設(shè)橢圓方程為

＋y2＝1(a＞1).(1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；規(guī)范解答規(guī)范解答解設(shè)直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AM，得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，

[2分](2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.規(guī)范解答規(guī)范解答解假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|＝|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1>0，k2＞0，k1≠k2. [5分]因為①式關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1＋a2(a2－2)＞1，因此，任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1＜a≤，

[10分]課時作業(yè)1.若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓

的交點個數(shù)是A.至多為1 B.2C.1 D.0基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析答案√答案12345678910111213141516解析√解析由題意知橢圓的右焦點F的坐標為(1,0)，則直線AB的方程為y＝2x－2.12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析√12345678910111213141516(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，且|AB|＝3，解析答案12345678910111213141516√解析由題意可設(shè)P(－c，y0)(c為半焦距)，12345678910111213141516解析12345678910111213141516答案√解析由題意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，12345678910111213141516解析12345678910111213141516答案√12345678910111213141516∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，答案123456789101112131415168.已知橢圓C：

(a>b>0)的左焦點為F，橢圓C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝

，則橢圓C的離心率e＝_____.解析解析設(shè)橢圓的右焦點為F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF為直角三角形，且∠AFB＝90°，又因為斜邊AB的中點為O，所以|OF|＝c＝5，連接AF1，因為A，B關(guān)于原點對稱，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以離心率e＝

.解析答案[3,15]12345678910111213141516解析

圓心C(1,0)為橢圓的右焦點，1234567891011121314151610.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：

(a>b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則橢圓C的離心率為_____.12345678910111213141516答案11.如圖，橢圓C：

(a>b>0)的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為A，B，且|AB|＝

|BF|.(1)求橢圓C的離心率；解答123456789101112131415164a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴3a2＝4c2，(2)若斜率為2的直線l過點(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程.12345678910111213141516解答12345678910111213141516設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.1234567891011121314151612.(2016·全國Ⅰ)設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；12345678910111213141516解答解因為|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由題設(shè)得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，12345678910111213141516(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.12345678910111213141516解答解當l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).12345678910111213141516點(1,0)在橢圓內(nèi)部，故直線l與橢圓必有兩交點.12345678910111213141516當l與x軸垂直時，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四邊形MPNQ的面積為12.技能提升練答案12345678910111213141516解析√解析方法一

∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，∴M在橢圓C的短軸上，設(shè)橢圓C的左焦點為F1，連接AF1，12345678910111213141516∴AF1⊥AF2，從而△AF1F2∽△OMF2，又|AF1|2＋|AF2|2＝(2c)2，又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，12345678910111213141516方法二

∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，設(shè)橢圓C的左焦點為F1，連接AF1，12345678910111213141516設(shè)|AF1|