2025年上海閔行區(qū)高三一模高考數(shù)學模擬試卷（含答案詳解）

數(shù)學試卷

考生注意：

1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.

2.作答前，考生在答題紙正面填寫學校、姓名、考生號，粘貼考生本人條形碼.

3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位.在

草稿紙、試卷上作答一律不得分.

4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第L6題每題4分，第7-12題每

題5分）考生應在答題紙相應位置直接填寫結(jié)果.

1.設集合/={0,1,2,3,4},5={x|0<x<3},則/口8=.

2.不等式2xJ-1<0的解集為____.

x-1

3.直線百x—y+]=0的傾斜角為.

4.已知正實數(shù)。、6滿足仍=1,則1+:的最小值為.

5.已知圓錐的高為8,底面半徑為6,則該圓錐的側(cè)面積為.

6.（x+』）8的二項展開式中，/項的系數(shù)為.

X

110g2%,x>0/\

7.已知函數(shù)y=x<0為奇函數(shù)，貝1/（-8）=.

8.從10名數(shù)學老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班.若老師

甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為.

9.已知/（"）=『"+嚴2+嚴3+產(chǎn)4+嚴56為虛數(shù)單位，〃為正整數(shù)），當4、”取遍所有

正整數(shù)時，/（々）+/（〃2）的值中不同虛數(shù)的個數(shù)為.

22

10.已知片、片分別為橢圓土+匕=1的左、右焦點，過片的直線交橢圓于A、B兩點.若

42

正正=0,則福.甌二.

11.如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域4BC。，其中N8=40米，40=20米，點后、尸分別

試卷第1頁，共4頁

為4B、CO的中點，左右兩個扇形區(qū)域為花壇（兩個扇形的圓心分別為A、B,半徑均為

20米），其余區(qū)域為草坪.現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個

頂點在線段所上，另外兩個頂點在線段CD上，則該游樂區(qū)面積的最大值為平方

米.（結(jié)果保留整數(shù)）

11

12.已知/（x）=卜inox|,若存在X]、x2e[mn,2（07i],且匹3馬,使得/(%)+1+/卜2)+1=1

成立，則。的取值范圍是.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題

每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表

正確選項的小方格涂黑.

13.在空間中，％、b為異面直線”是、、6不相交”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要

條件

14.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上是嚴格減函數(shù)的為（）

1

A.y=x^B.了=777C.y=2XD.y=ig|x|

15.設/（》）=（5尿-005工）（005苫-121?）（^1討-$血），若夕、夕為同一象限的角，且不存在a、

P，使得/（&）/（夕）＜0,則a、尸所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

16.已知數(shù)列｛見｝滿足。,用=|%+1|+川?！?1|,其中4為常數(shù).對于下述兩個命題:

①對于任意的力＞0,任意的qcR,都有｛。J是嚴格增數(shù)列;

②對于任意的2＜0,存在qeR,使得｛與｝是嚴格減數(shù)列.

以下說法正確的為（）

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

試卷第2頁，共4頁

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應

位置寫出必要的步驟.

17.在直三棱柱48C-481G中，AB=AC=2,04］=3,NB4C=90°,連接&C,M、E

分別為4c和8c的中點.

(1)證明：直線〃平面；

(2)求二面角A1-BC-A的大小.

%2-6ZX,X>0

is.已知y(x)=，1

XH---,X<0

(1)若“=1,求函數(shù)y=〃x)的值域；

⑵若存在夕eg),使得〃sin。)=/(cos夕)，求實數(shù)。的取值范圍.

19.為了解某市高三學生的睡眠時長，從該市6.6萬名高三學生中隨機抽取600人，統(tǒng)計他

們的日均睡眠時長及分布人數(shù)如下表所示：

睡眠時長(小時)[4,6)[6尚[8,10]

人數(shù)150270180

注：睡眠時長在［8,10］的為睡眠充足，在［6,8)的為睡眠良好，在［4,6)的為睡眠不足.

(1)估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為多少？

(2)估計該市高三學生日均睡眠時長；

(3)若從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取4人做進

一步訪談調(diào)查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生的概率.

2

20.已知圓知副+優(yōu)=1,雙曲線-方=1,直線/:尸區(qū)+6,其中「eR,6>0.

(1)當6=2時，求雙曲線「的離心率；

試卷第3頁，共4頁

⑵若/與圓。相切，證明：/與雙曲線「的左右兩支各有一個公共點；

(3)設/與V軸交于點P,與圓O交于點A、B,與雙曲線「的左右兩支分別交于點C、D,

四個點從左至右依次為C、A、B、D.當左="時，是否存在實數(shù)6,使得方.定=旃.而

2

成立？若存在，求出6的值；若不存在，說明理由.

21.設函數(shù)>=/(x)的定義域為R,集合M={x|/(x)=a,xeR}.若M中有且僅有一個元

素，則稱。為函數(shù)y=/(x)的一個"s值”

(1)設/(X)=X2-2X,求y=/(x)的s值；

(2)設g(x)=3x~4左+4)d+6丘2+1,且O<E,若y=g(x)的函數(shù)值中不存在S值，求

實數(shù)人取值的集合；

(3)已知定義域為R的函數(shù)y="(X)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)〉="X)的所有函數(shù)值均

為s值，若機證明：y=〃(x)在［見可上為嚴格增函數(shù)的一個充要條件是〃(加)<〃5).

試卷第4頁，共4頁

1.(1,2)##(2,1)

【分析】根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】因為/={0,123,4},5={x|0<x<3),

所以4口3={1,2}.

故答案為：{1,2}

【分析】將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解得即可.

o_11

【詳解】不等式二Y一<0等價于(x-l)(2x-l)<0,解得;<X<1,

x-12

所以不等式生?<o的解集為D

x-l)

故答案為：U

3.-

3

【分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關系即可得出.

【詳解】設直線后-產(chǎn)1=0的傾斜角為6.

由直線任一＞+1=0化為y=^x+l,故tand=6,

又ee(o,；r],故e=q，故答案為?.

【點睛】一般地,如果直線方程的一般式為Ax+By+C=0(B^0),那么直線的斜率為左=,

且左=tan。，其中。為直線的傾斜角，注意它的范圍是(0,句.

4.2

【分析】利用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】正實數(shù)“、6滿足M=1,則工+』口=2,當且僅當4=6=1時取等號,

abNab

所以工+1的最小值為2.

ab

故答案為：2

5.60兀

【分析】根據(jù)勾股定理求出母線長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.

答案第1頁，共13頁

【詳解】因為圓錐的高為8,底面半徑為廠=6,

所以圓錐的母線長為/=后壽=10，

則圓錐的側(cè)面積S=nr/=7ix6xl0=60TI.

故答案為：60TI.

6.28

【分析】利用二項式定理求出含X’的項，進而求出其系數(shù).

【詳解】在。+^)8的二項展開式中，含X’的項為C56.(1)2=28/,

XX

所以一項的系數(shù)為28.

故答案為：28

7.-3

【分析】首先求出當x=8時的函數(shù)值，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得解.

log,x,x>0

【詳解】因為函數(shù)了="\°為奇函數(shù)，

j[X),尤<0

s

當x=8時y=log28=log22=31og22=3,

所以/(一8)=-3.

故答案為：-3

8.144

【分析】利用分步乘法計數(shù)原理及排列應用問題列式計算得解.

【詳解】依題意，安排老師甲有￡種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有A；種,

所以不同的值班安排方法種數(shù)為A；A：=2x72=144(種).

故答案為：144

9.6

【分析】由i的整數(shù)次幕的周期性求出“”，的取值集合，進而列舉出所有結(jié)果即可得解.

【詳解】依題意，neW,i4"-3=i,i4，，-2==~i,i4"=1,則i4"-3+i4T+i4"T+i4"=o,

因此〃eN*,f(n)=i"+1+i”+2+產(chǎn)+i”+4+i"+5=嚴e{_1,-i,1,i},

所以/(%)+/(%)的值中不同虛數(shù)有:-2i,2i)-l-i)-l+i,l-i,l+i,共6個.

故答案為：6

答案第2頁，共13頁

10.4

【分析】首先求出片、F2,設力Oo，yo），根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及日+正=1，求出A點坐

■....42

標，從而求出的方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，求出B點坐標，最后由數(shù)量積的坐標表

示計算可得.

22

【詳解】橢圓：+/1,則川0）、鳥"0）,

設4（%0，、0），因為而?亞=0，即卜后-Xo/J^-Xol+f-yoY=0,

2_）

即號$2,又不?1,解得.已二，不妨取/（0,后卜

玉）=°

4VI

y=x+yflX=--------------

x=03

貝IJ/B的方程為尸x+收,由，*y2,解得'或，

—+^=1y=V2

142

所以2「殍&

3J

所以正=（三-后），*=]￥，￡

所以正.甌=Z^1XV2-72Xy^=4.

故答案為：4.

11.137

【分析】根據(jù)已知條件知，當三角形的兩邊分別與圓弧相切時，三角形的面積最大，設切點

為G,ZMAE=0,0e[o,^,由三角形全等得到/尸/。=弓-8,將三角形面積的表達式用6

表示，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值即可求解.

【詳解】設游樂區(qū)所在的三角形為△尸。M,M在線段跖上，尸，。在線段。C上，如圖所

不，

答案第3頁，共13頁

當PM,分別于圓弧相切時，金加取得最大值,

由對稱性，只討論,

設尸”與圓弧相切于點G,連接尸，

設=,因為空△M4G,^PAD^APAG,

--20

則NM4G=0,zpAD=2=。，

24

因為/E=EF=Z)尸=/。=20,所以Affi=20tan。，A/F=20-20tan6?,

PD=20tan(：-e],PF=2O-2Otan^-0^,

所以=2SPFU=2x|(20-20tan0)20-20tan“

兀)

tan——tan。

=400(1-tan6?)14=800網(wǎng)也3

711+tan。

1+tan--tan0

4)

/《J,所以tan6e(0,l),

因為

令，=l+tanO￡(l,2),則tan6=￡-l,

(r—1)(2—

貝!JSp0M=8OO-^—2=-800|Z+--3|<-800■1-3=2400-160072,

當且僅當/=2*,即「=后時等號成立,

2400

所以(SpQML=-160072=137平方米,

即該游樂區(qū)面積的最大值為137平方米.

故答案為：137.

正，闿u[立,+8

12.

2222

答案第4頁，共13頁

【分析】根據(jù)/（x）的值域得到/（再）=/（工2）=1，則W-尤Ln=T=巴成立的必要條件是

CO

jr2冗

2CDTI-G）TI>—,當2。兀-。兀2一時必然成立，討論也時是否滿足條件即可.

COG）

【詳解】因為2①?！邓匀?gt;0,T=—,

co

因為/（X）引sin①乂，所以/（X）￡[O,1],所以/（[+]￡；/，

即再1包，「!1’J]'1「1J｝所以而1石+?（汨14J

當且僅當/&）=/優(yōu)）=1時,島石+不二？=1成立，

所以昆一的仁=7=：,

CD

71

必要條件：2CDTl-CDTl>—,解得。21;

G）

27r

若2。兀-。兀2——，即0?也時，必然成立；

a）

若14。<血，因為卜加叫|=1,Rin叫|=1,不妨設占<々,

兀71

則coxx=—■\-kx兀尢GZ,a)x2=—+k2?！?￡Z,且左］<女?，

71771.

所以己+左”,7,--Fk2兀

玉=-.AGZX------#2GZ'

CD2CO

Tlj兀7

所以<2'7①，2>3狎.7②,

(DTI<-----AGZ2①71>------，&GZ

CDCO

①②兩式聯(lián)立得1+5左2VoW5+勺，即個:+?①《%，

所以0<1+]左2<~+左1,又左]<左2，所以0（左<左2?務+2左，左1,左2￡Z,

當占=0時，0<&vg，不符合條件;

當匕=1時，l<k2<-,則&=2,此時蟲必；

222

當仁=2時，2<心（2,貝U左2=3或&=4,止匕時立《0《典或亞,

22222

萬L

因為所以】上工切<行；

2

綜上，叵〈④〈魚或°』叵,

222

答案第5頁，共13頁

所以0的取值范圍是與，,U今,+(?].

_22」L2J

故答案為：與，*u等，+°°j

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點之一在于根據(jù)/(x)的值域得到/'(xj=/(x2)=l,將問

題轉(zhuǎn)化為W-%|好=7=巴；關鍵點之二在于討論14?！词諘r是否滿足條件.

(D

13.A

【分析】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】直線。、6為異面直線，則直線0、b不相交，

反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，

所以在空間中，“。、6為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.

故選：A

14.B

【分析】利用解析式直接判斷各選項中函數(shù)在(0,E)上的單調(diào)性即可.

【詳解】對于A,函數(shù)了=彳：在(°，口)上是嚴格增函數(shù)，A不是；

對于B,函數(shù)了=一二在(0,3)上是嚴格減函數(shù)，B是；

x+1

對于C,函數(shù)夕=2,在(0,包)上是嚴格增函數(shù)，C不是；

對于D,當x>0時，y=lg|x|=lgx在(0,+oo)上是嚴格增函數(shù)，D不是.

故選：B.

15.D

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合同角公式，逐項分析確定sinx-cosx,cosx-tanx,tanx-sinx的取

值的正負情況即可判斷得解.

■、斗々刀，UTA-++-，八兀、cosx-smxl-sinx-smx

【詳解】對于A,右％￡(0,一)，cosx-tanx=-----------=--------------,

4cosxcosx

由l-sin?x-sinx=0,A?Wsinx=――,顯然―,

2222

令方程sinx=^~~的根為x0G?當O<x<%o時，一sir?%-sinx+l>0,

264

兀71

當天<、<—時，一sin2'—sinx+l〈0,而當xw(0,二)時，sinx-cosx<0,

44

答案第6頁，共13頁

jrcinyjr

當不￡(0,一)時，tanx=------>sinx,取aw(0,/),￡￡(/，一)，貝11/(a)<。,/(夕)>0,A不

2cosx4

是；

對于B,當％為第二象限時，sinx-cosx>0,tanx-sinx<0,

取。==,尸二"，cosa-tana=-—+cos>0-tanB=--^-+-^-<0，

36223

貝lJ/(a)<0,/(/7)>0,B不是；

77r4jr

對于C,當％為第三象限時，tanx-sinx>0,cosx-tanx<0,取。=——,0=一,

63

sindf-coscr=--+—>0,sin/y-cosyff=-^-<0，/(a)<。,/(萬)>。，C不是；

2222

對于D,當％為第四象限時，sinx-cosx<0,cosx-tanx>0,tanx—sinx=sinx(--------1)<0,

cosx

則/(幻〉0,當火尸為第四象限時，/(aW)>0,D正確.

故選：D

16.A

【分析】對于①，當丸〉0時，%+1=|%+1|+川%—1|引%+[,然后作差證明數(shù)列的單調(diào)性;

對于②，當幾=-1時，容易發(fā)現(xiàn)無論/為何值，｛4｝最終恒為常數(shù).

【詳解】對于①，丸〉0時，an+x=\an+1|+2-1|>\an+1|,an+l-an>\an+]\-an,

%<。時，?！?1-。〃〉0；。時，%=1，也有0+i>o,故①為真命題.

對于②，4=一1時，cin+l=\an+l|-|an-1|,電=|〃i+1|-1%-1|，

當q<-1時，a2=-2fa3=-2,｛〃〃｝不嚴格遞減；

當4>1時，出=2,%=2,｛%｝不嚴格遞減；

當—1<生<1時,出=41+1+4—1=24,

若〃2<%，則一1(生<0,

同理當％e[-1,0)時，an+1=2an,

則存在NeN+，使得心<-1,

則即+1=|“N-1|=-2，aN+2=,｛?！埃粐栏襁f減.

綜上所述，入=-1時，｛%｝不可能是嚴格遞減數(shù)列.故②為假命題.

答案第7頁，共13頁

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題對①的分析得關鍵是對?！ǚ诸愑懻?，分?！?lt;0和%20研究即可.

17.(1)證明見解析；

(2)arccos

【分析】(1)連接易得A】B//ME,再利用線面平行的判定定理證明；

(2)建立空間直角坐標系，求得平面4劣。的一個法向量隹=易知平面ABC的一

I成?萬I

個法向量元=(0,0,1),設二面角4-的大小為凡由(^。司改設為卜占昌求解.

【詳解】(1)證明：如圖所示：

連接42,因為w、E分別為4c和5c的中點，

所以42//ME,又48u平面MEcj平面4483],

所以直線〃平面片；

(2)建立如圖所示空間直角坐標系，

則4(0,0,3),5(2,0,0),C(0,2,0),

所以能=(一2,2,0)前=(—2,0,3),

設平面48。的一個法向量為隹=(x,y,z),

BC-m=0[-2x+2y=0

則_，即。,

BAX-m=0[—2x+3z—0

令x=l,得y=l,z=^,則成

答案第8頁，共13頁

易知平面ABC的一個法向量為：?=(0,0,1),

設二面角4-BC-A的大小為6,

,,\m-n\V22

貝!!cosO=\cosm,n\=,,,=----,

11\m\-\n\11

二面角4-EC-A的大小為arccos'區(qū).

11

18.(l)(-°o,-2]U[-p+<?)；

(2)(1,V2).

【分析】(1)把。=1代入，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及對勾函數(shù)的單調(diào)性分段求出求出值域即可

得解.

(2)由給定條件，可得-5，再代入化簡并結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求

出范圍.

x2-x,x>Q

【詳解】(1)當。=1時，函數(shù)/(x)=1,

XH--,X<0

-X

1111

當xNO時，/(x)=x2-x=(x--)2當且僅當尤=彳時取等號，

2442

當x<0時，〃x)=x+，在(-叫-1]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，/(%)</(-1)=-2,

X

所以函數(shù)>=/(%)的值域是(-8,-2]U[-J,+8).

4

兀

(2)當夕e(0q)時，sin?！?,cos。>0,由/(sin夕)=/(cos?),得=x2-ox,

貝!]sin20一asin<p=cos2(p-acoscp,整理得a=sin°+cos(p=V2sin(0+]),

而0+；?d),sin(e+工)e(S>1),因此ae(l,亞)，

44242

所以實數(shù)。的取值范圍(1,拒).

19.(1)4.95(萬人)

(2)7.1(小時)

⑶2

19

【分析】(1)由樣本中日均睡眠時長大于等于6小時的頻率估計總體即可;

(2)用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)即可；

答案第9頁，共13頁

（3）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解.

【詳解】（1）由題知，隨機抽取的600人中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)為

270+180=450（人）,

所以估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為6.6x45^0=4.95

600

（萬人）;

（2）隨機抽取的600人的日均睡眠時長為150X5+0?：7+180X9=7.］（小時），

600

所以估計該市高三學生日均睡眠時長約為7.1（小時）；

（3）從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為2:0會=或1，

所以睡眠時長在［4,6）抽取150x《=5（人）,

睡眠時長在［6,8）抽取270x*=9（人），

睡眠時長在［8,10］抽取180、：=6（人），

則從這20人中隨機抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生

的概率為受

20.（1）V5

（2）證明見解析

G）b=g

2

【分析】（1）根據(jù)離心率公式即可；

（2）聯(lián)立雙曲線和直線方程，根據(jù)韋達定理即可證明；

（3）聯(lián)立圓和直線方程，得到韋達定理式和判別式，再聯(lián)立雙曲線方程和直線方程，得到

韋達定理和判別式，再將向量點乘式化成橫坐標關系，再代入化簡即可.

【詳解】（1）由題意，a2=l,b2=4,所以，C2=〃+/=5,

因此，雙曲線「的離心率e=￡=囪.

a

(2)由直線/與圓。相切，得YL=1,即/=42+1>0,

VF+1

2—片=1

222

聯(lián)立11―記―-k)x-2kbx-2b=0f

y=kx+b

答案第10頁，共13頁

BPx2-2kbx-2b2=Q,

該一元二次方程的判別式△=4k2b°+8b。=4〃(r+2)>0,

因此有兩個不相等的實數(shù)根，

且兩根之積為-2〃<0,因此兩根一正一負，

即/與雙曲線r的左右兩支各有一個公共點.

(3)設幺(占，%)，8(%2/2)，。(工3，%)，。@4，%)，

-2kb

聯(lián)立,X+J；=1,得(l+F)/+2粕X+/一1=0

得

[y=kx-\-b'7b2-l

X}X.=---7

12l+F

由4>?？傻?—左2<1.

f22kb

丫2_匕=]%+%=豆子，

2

聯(lián)立b-'得,2一左2卜2一2助%—24=o,得

-2b2

y=kx+b

2b2-k2>0

4>。且分別交于左右兩支可得〃,2八'

b^-k>0.

又歷?定=麗?麗，又C、A、B、。四個點在同一直線上,

二網(wǎng).附卜叫匹卜PAPDX4

PBPC%2x3

二土=三,還可得三=%,

x2x3演x4

2222G+xJ

.再x2_x4x3x1+x2_x3+x4

..I-F,—

x2再x3x4xxx2x3x4

(