2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：矩形 練習(xí)題匯編（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：矩形專(zhuān)題練習(xí)題匯編

一.矩形的性質(zhì)

1.矩形的性質(zhì)：

（1）角：四個(gè)角都是直角；

（2）對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分；

（3）四個(gè)等腰三角形面積=長(zhǎng)、寬=2區(qū)蹲4叢形（如圖）

（4）直角三角形斜中線等于斜邊一半；

有直角求長(zhǎng)度可以用勾股或者相似；

（5）折疊問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，注意平行線有等腰三角形，折痕和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線垂直。

矩形特有的條件：直角和對(duì)角線相等。

1.（2024?黃巖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)O,鉆垂直平

分OB于點(diǎn)、E,則的長(zhǎng)為（）

C.4D.2

2.（2024?麗水一模）如圖，在矩形ABCD中，AC與交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是3C上一點(diǎn)，連結(jié)DE交對(duì)角

線AC于F.若NCFD=2NBAC,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZAOD=ZDFCB.ZDFA^ZDOCC.ZEFC^2ZACBD.Z.DCF=2Z.FDO

3.（2024?浙江校級(jí)模擬）如圖，在矩形A3CD中，AB=2,E,F分別是OC的中點(diǎn).若

則斯=()

A.y/6B.A/7C.272

BC

4.（2024?下城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和3￡>相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD

和BC于點(diǎn)E,F.若BC=3,CD=2,則圖中陰影部分的面積為（

5.（2024?蕭山區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是3C上一點(diǎn)，沿DE折

疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)。處，則的度數(shù)為（）

BEC

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

6.（2024?臺(tái)州一模）如圖，在矩形ABCD中，BC>AB,先以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊4）于

點(diǎn)E；再以點(diǎn)。為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊OC于點(diǎn)尸；最后以點(diǎn)C為圓心，CF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊BC

于點(diǎn)G.求3G的長(zhǎng)，只需要知道（）

AED

A.線段AB的長(zhǎng)B.線段4）的長(zhǎng)C.線段DE的長(zhǎng)D.線段CF的長(zhǎng)

7.（2024?杭州二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=y/2,E是AB邊上的中點(diǎn)，以E為圓心，AD

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊3c于點(diǎn)尸，連結(jié)EF交對(duì)角線比?于點(diǎn)G,則空的值是（）幺______________

B.V2-1C.2-73

8.（2024?麗水一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,①在邊CD上取一點(diǎn)E,連結(jié)BE,②

以點(diǎn)5為圓心，然長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)E為圓心，鎰長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A,M；③類(lèi)比②

以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)E為圓心，田長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)。，N.連結(jié)

當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，DE的長(zhǎng)是.

M

9.（2024?上城區(qū)二模）如圖，矩形ABCD,點(diǎn)￡、尸分別是5C,CD上一點(diǎn)，連接EF,令/AEB=a,

3

已知y4E=AF,BE=5CE,sina=-,則sinZAFD=

5

10.（2024?錢(qián)塘區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為"）上一點(diǎn)，連結(jié)3E,作NEBC的平分線交CD

3DF

于點(diǎn)F,連結(jié)AF交BE于點(diǎn)G.若AB=BG,tanZABE=~,則——的值為（）

4FC

11.（2024?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，ABEC與AFEC關(guān)于直線EC對(duì)稱(chēng),

點(diǎn)3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸在邊上，G為CD中點(diǎn)，連結(jié)3G分別與CE,CF交于M,N兩點(diǎn).若BM=BE,

MG=1,則3N的長(zhǎng)為,sin/AFE的值為.A--------------------------

A/

BC

12.（2024?嘉興二模）用兩對(duì)全等的直角三角形（RtAADE三RtACBG,RtAABF三RtACDH）和一個(gè)矩形

EFG”拼成如圖所示的口ABCD（無(wú)縫隙且不重疊），RtAADE和RtAABF的面積相等，連結(jié)DF,若

AD.LDF,-=貝iJtanNS4F的值是（）

DE2

13.（2024?浙江模擬）如圖所示，矩形ABCD由兩直角邊之比皆為1:2的三對(duì)直角三角形紙片甲、乙、丙

拼接而成，它們之間互不重疊也無(wú)縫隙，則矩形ABCD與矩形EFGH的面積之比為

14.（2024?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接AE,BE,CE,DE,下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.0<CE<2A/61

B.無(wú)論點(diǎn)E在何位置，總有人彥+^:彥二郎②+小？

C.若MLBE,則線段CE的最小值為8

D.若NE4D+N包C=60。，M+BE的最大值為23

15.（2024?拱墅區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=3AB=3jlO,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在3c上,

CE=2BE,點(diǎn)、M、N在線段上.若"MN是等腰三角形且底角與"EC相等，則"N的值為（

或”

A.6或2B.3

8

或空

C.2或3D.6

8

16.（2024?柯橋區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=W,E,F,G,"分別是邊4）,AB,

BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)，若AE=CG=a,當(dāng)四邊形EFG//為矩形時(shí)，則。的取值范圍是.

17.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)一模）如圖，已知矩形ABCD,過(guò)點(diǎn)A作AE_LAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若

18.（2024?婺城區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，E是上一點(diǎn)，且AE=A￡>,過(guò)點(diǎn)。作￡衣，AE于

點(diǎn)F.

(1)求證：AF=BE.

(2)已知3c=5,CD=3.求EF的長(zhǎng).

19.（2024?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，E,尸分別是BC,AD邊上的點(diǎn)，^.AE=CF.

(1)求證：AABE=ACDF；

(2)當(dāng)AC_LE/時(shí)，AE=W,AC=16,求四邊形AECF的面積.

20.(2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)四模)如圖,在矩形ABCD中，尸為邊他的一點(diǎn)，的中垂線分別交矩形兩邊4),

BC于點(diǎn)、E,F,交DP于點(diǎn)H,BF=CD,連結(jié)。尸，PF.

(1)判斷ADFP的形狀，并說(shuō)明理由.IJv^7|

(2)若AP=BP=2,求EH,EF的長(zhǎng).\/

F~~C

21.(2024?臨安區(qū)二模)如圖，在矩形ABCD中，E為邊上一點(diǎn)，連結(jié)CE,DE.若CE=CD,過(guò)

點(diǎn)。作CE于點(diǎn)P.

AD

(1)求證：ACFD三AEBC.I—

(2)若AE=1,sin/BEC=M求3c的長(zhǎng).卜、/

22.(2024?龍灣區(qū)二模)如圖，在矩形ABCD中，ZACB=60°,分別過(guò)點(diǎn)3,。作3E_LAC,DF±AC

交AC于點(diǎn)E,F,連結(jié)所，DE.

(1)求證：四邊形阻出為平行四邊形.

(2)分別取DE,族的中點(diǎn)M,N,連結(jié)FM,EN.若AF=1,求四邊形AffWE的面積.

AB

二.矩形的判定

(1)定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；

(2)有三個(gè)角是直角；

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形.

23.(2024?下城區(qū)校級(jí)三模)如圖，已知尸為平行四邊形ABCD的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且BE=DF,

(1)求證：AABE=ACDF；

(2)若ZAEC=90。，求證：四邊形A￡CF為矩形.

24.(2024?鎮(zhèn)海區(qū)一模)如圖，已知AABC和AAER均是等邊三角形，P點(diǎn)在AC上，延長(zhǎng)EF交3c于點(diǎn)

D,連接4),CE.

(1)求證：四邊形AfiDE是平行四邊形;

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段3C上什么位置時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案解析

一.矩形的性質(zhì)

1.矩形的性質(zhì)：

（1）角：四個(gè)角都是直角；

（2）對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分；

（3）四個(gè)等腰三角形面積=長(zhǎng)乂寬=2以加4見(jiàn)速（如圖）

（4）直角三角形斜中線等于斜邊一半；

有直角求長(zhǎng)度可以用勾股或者相似；

（5）折疊問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，注意平行線有等腰三角形，折痕和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線垂直。

矩形特有的條件：直角和對(duì)角線相等。

1.（2024?黃巖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,對(duì)角線AC與如相交于點(diǎn)O,/正垂直平

分OB于點(diǎn)、E,則3C的長(zhǎng)為（）

C.4D.2

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形,

:.AO=BO=CO=DO,

AE垂直平分OB,

AB=AO,

/.AB=AO=BO,

/.AAOB是等邊三角形，

/.ZBAC=60°,

:.BC=^3AB=2y/3,

故選：B.

2.（2024?麗水一模）如圖，在矩形ABCD中，AC與3。交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是3C上一點(diǎn)，連結(jié)DE交對(duì)角

線AC于F.若NCFD=2NBAC,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZAOD=ZDFCB.ZDFA=ZDOCC.ZEFC=2ZACBD.ZDCF=2ZFDO

【解答】解：?四邊形ABCD是矩形，

:.AC=BD,AO=-AC,BO=-BD,

22

AO—BO,

.\ZOAB=ZOBA,

ZAOD=ZOAB+AOBA=2ZBAC,

,.?/CFD=2ZBAC,

:.ZAOD=ZCFD,故A不符合題意；

ZDFA=180°-ZDFC,ZDOC=180°—ZA8,

:.ZDFA=ZDOC,故3不符合題意；

ZDFA=180?！猌DFC=180。—2ZB4C,ABAC+ZACB=90°,

:.ZDFA=2ZACB,

又???NDE4=NEFC,

:.ZEFC=2ZACB,故C不符合題意；

ZAOD=2ZBAC=2NBDC,ZAOD=ZBDC+ZDCF,

ZBDC+ZDCF=2ZBDC,

ZDCF=ZBDC=ZBDF+ZFDO,故。符合題意；

故選：D.

3.(2024?浙江校級(jí)模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,E,尸分別是45,OC的中點(diǎn).若EF上BD,

則斯=()

A.A/6B.77C.2A/2D.3

【解答】解：連接OE,BE,DF,過(guò)F作HF//CD交OD于點(diǎn)、H,

四邊形ABCD是矩形，

AO=OD,AD±CD,石是AO的中點(diǎn),

OE±AD,

OE//CD且FH//CD,

OE//FH,

OEHCD,

ZAEO=ZADCfZAOE=ZACD,

AAE0czW1ZX7,

FH//CD,

NOHF=NODC,/OFH=NOCD,

NOHF^NODC，

OEAOFHOF

而一耘'CD-OC?

四邊形ABCD是矩形，

AB=CD=2,且AC=2AO,

尸為oc的中點(diǎn)，

OC=2OF,

FH_OEOFAO_1?

FH=OE=1且FH//OE,

CD~CD~OC~AC~2"

ZOEG=ZHFG,

^OEG=AHFG(AAS),

EG=FG,

EFLBD,

ZBGE=NBFG=9。。,

AOEG=AOFG(SAS),

OE=OF=\,

OC=2OF=2,

四邊形ABCD是矩形，

44E=90。，AO=OC=2且OE_LAD,

ZOEA=90°,

在直角三角形OE4中，由勾股定理得：AE=y/o^-OE2=A/3,

ABEG^ABFG(SAS),

:.BE=BF,

22

在直角三角形ABE中，由勾股定理得：BE=4AB+AE=77,

：.BF=BE=sf7,

4.（2024?下城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和3。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD

和3c于點(diǎn)E,F.若3c=3,CD=2,則圖中陰影部分的面積為（）

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形,

\OA=OC,AD!IBC,

:.ZAEO=ZCFO.

-.-ZAOE^ZCOF,

/.AAOE=ACOF,則S^OE=SACOF，

一S陰影=^AAOE+SAAOB+SABOF=S&COF+S岫OF+^ACOD=^ABCD，

?■?5ABCD=^BC-CD=1X3X2=3,故S陰影=3?

故選：B.

5.（2024?蕭山區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是3C上一點(diǎn)，沿上折

疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)。處，則NDBC的度數(shù)為（）

BEC

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形，

:.AC=BD,OC=-AC,OB=OD=LBD,ZBCD=90°,

22

OB=OC-OD,

:.ZDBC=/OCB,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得，CD=OD,

:.CD=OD=OC,

」.△OCD是等邊三角形，

ZCOD=6Q°,

ZCOD=ZDBC+ZOCB,

;.ZDBC=30°,

故選：C.

6.（2024?臺(tái)州一模）如圖，在矩形ABCD中，BC>AB,先以點(diǎn)A為圓心，45長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊相>于

點(diǎn)E；再以點(diǎn)。為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊DC于點(diǎn)尸；最后以點(diǎn)C為圓心，CF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊3c

于點(diǎn)G.求BG的長(zhǎng)，只需要知道（）

A.線段AB的長(zhǎng)B.線段AD的長(zhǎng)C.線段DE的長(zhǎng)D.線段CF的長(zhǎng)

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形，

:.AB=CD,AD—BC,

\AB=AE,DE=DF,CF=CG,

設(shè)AB=AE=CD=x,CF=CG=yf

:.DE=DF=x-y,

.,.AD=BC=x+x-y,

/.BG=BC-CG=2x-y-y=2(x-y)=2DEf

.?.求3G的長(zhǎng)，只需要知道線段DE的長(zhǎng)，

故選：C.

AED

7.（2024?杭州二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=^2,石是AB邊上的中點(diǎn)，以石為圓心，AD

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊BC于點(diǎn)F,連結(jié)￡F交對(duì)角線BD于點(diǎn)G,則變的值是（）

DG

A.—B.A/2-1C.2—6D.—

23

【解答】解：延長(zhǎng)所交。C的延長(zhǎng)線于〃，

???￡是邊上的中點(diǎn)，

:.BE=-AB=1,

2

?/EF=AD=叵,

,BF二^EF2-BE2=1,

.\CF=A/2-1,

?：CD11AB,

:.\CHF^\BEF,

CF

?烏---,

BEBF

CH_應(yīng)-1

一f

一11

:.CH=yf2-l,

\-DH//BE,

:.\DHG^\BEG,

BG

DH0+1夜-

一~DG

故選：B.

在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,①在邊CD上取一點(diǎn)E,連結(jié)BE,②

以點(diǎn)3為圓心，然長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)E為圓心,隹長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A,M；③類(lèi)比②

以點(diǎn)3為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)E為圓心,團(tuán)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)。，N.連結(jié)

當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，DE的長(zhǎng)是3.

連接AM、BM、BN、ME、EN,

由題意可得=AE=ME,BD=BN,DE=NE,

AB^MB,AE=ME,

.?.3石是40的垂直平分線,

???BD=BN,DE=NE,

：.BE是DN的垂直平分線，

/.四邊形AAWD關(guān)于直線5石對(duì)稱(chēng)，

.\AD=MN,

???四邊形ABCD為矩形，

.\ZBAD=ZADC=90°fCD=AB=8fAD=BC=10,

MN=10,

在ABAD和ABMZV中,

AD=MN

<AB=MB,

BD=BN

:.ABAD=ABMN(SSS),

:.ZBAD=ZBMN=90°f

???AB=8,

又???BC=1。,

MC=^BC2-MB2=A/102-82=6,

..CN=MN-MC=W-6=4,

同理可證AMNE=AADE(SSS),

:.ZMNE=ZADE=90°,

設(shè)DE=EN=x,則CE=8—x,

在RtACNE中，EN2+CN2=CE2,

x2+42=(8-x)2

解得％=3,

/.DE=3,

故答案為：3.

9.(2024?上城區(qū)二模)如圖，矩形ABCD,點(diǎn)E、尸分別是3C,CD上一點(diǎn)，連接EF,令A(yù)AEB=a,

374

已知鉆=AF,BE=5CE,sina=—,貝!]sinZAFD=—.

5一25一

【解答】解：在矩形ABCD中，ZB=ZD=9O°,AD=BC,

ZAEB=a,

./4廠八.3AB

sinAAEB=sma=—=,

5AE

設(shè)AB=3x,貝!!AE=5x,

BE=y/AE2-AB2=4x,

\-AE=AF,

:.AF=5x，

?;BE=5CE,

I4V

CE=-BE=—

55

24r

..AD=BC=BE+EC=5CE+CE=6CE=——

5

.-.sin==

AF55x25

故答案為：—

25

10.（2024?錢(qián)塘區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連結(jié)3E,作N￡BC的平分線交CD

3

于點(diǎn)F,連結(jié)AF交BE于點(diǎn)G.若AB=BG,tanZABE=-,則——的值為（）

4FC

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)班1,交AD的延長(zhǎng)線于延長(zhǎng)AF,交3c的延長(zhǎng)線于N,

3AF

RtAABE中，tanZABE=-=——，

4AB

設(shè)AE=3x,貝！jAB=4x,

...BE=A/A￡2+AB2=5x,

AB=BG=4x,

GE=BE-BG=x,

AE//BN,

AAGE^ANGB,

AEEG1

礪一而一"

BN=4AE=12x,

?;BF平分/EBC,EM//BN,

:.ZEBM=ZCBM=ZM,

BE=ME=5x,

AM=AE+ME=3%+5x=8x,

AM!/BN,

AAFM^ANFB,

DFAM8x2

FC~BN~12x~3t

11.（2024?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，ABEC與AFEC關(guān)于直線EC對(duì)稱(chēng),

點(diǎn)3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/在邊"）上，G為CD中點(diǎn)，連結(jié)3G分別與CE,CF交于M,N兩點(diǎn).若BM=BE,

MG=1,則BN的長(zhǎng)為2,sin/AFE的值為.

【解答】解：?.?8W=BE,

:.ZBEM=ZBME,

■.■AB//CD,

:.ZBEM=ZGCM,

又Y/BMEUNGMC,

:.ZGCM=ZGMC,

:.MG=GC=1,

???G為CD中點(diǎn)，

:.CD=AB^2.

連接加1,FM,

由翻折可得NFEM=NBEM,BE=EF,

:.BM=EF,

\ZBEM=ZBME,

:.ZFEM=ZBME,

:.EF//BM,

/.四邊形5EF70為平行四邊形，

?：BM=BE,

.?.四邊形的河為菱形，

?:ZEBC=ZEFC=90。,EF/IBG,

:.ZBNF=90。,

???3尸平分NABN,

:,FA=FN,

RtAABF工RtANBF(HL),

：,BN=AB=2.

??FE=FM,FA=FN,ZA=ZBNF=90。,

RtAAEF二RtANMF(HL),

:,AE=NM,

^AE=NM=x,

貝lj鹿=而=2—％,NG=MG-NM=l-x,

?:FMIIGC,

:.AFMN^ACGN,

.CGGN

…FM-NM'

即，=土三，

2—xx

解得x=2+(舍)或x=2—A/2,

EF=BE=2—x="\/2,

?.sinZAFE=—

EF

故答案為：2；72-1.

12.（2024?嘉興二模）用兩對(duì)全等的直角三角形（RtAADE=RtACBG,RtAABF=RtACDH）和一個(gè)矩形

￡FGH拼成如圖所示的DABCD（無(wú)縫隙且不重疊），RtAADE和RtAABF的面積相等，連結(jié)DF,若

AD±DF,—=-,貝iJtanNS4F的值是()

DE2

【解答】解：如圖，由題意知RtAADE三RtACBG,RtAABF=RtACDH,四邊形EFGH為矩形,

:.DH=BF,DE=BG,HC=AF,AE^CG,HE=GF,HG=EF,

設(shè)EF=HG=x,AE=CG=a,DH=BF=b,

EF_1

貝UDE=BG=2x,AE=AE+EF=a+x,

RtAADE和RtAABF的面積相等，

-DEAE=-BFAF,

22

:.2xa=b(a+x)@,

\AD±DF,DELAF,

??.ZEDF+ZEDA=ZEDA+ZDAE=90。,

:.ZEDF=ZDAE,

/SADEs\DFE,

DEAE

"~EF~~DE"

.'.DE1=AEEF,

(2x)2=ax,々=4%②，

結(jié)合①②可得人二總％,

5

8

—x

/.tanNBAF=竺^=—58

AFa+x4x+x25

故選：B.

13.（2024?浙江模擬）如圖所示，矩形ABCD由兩直角邊之比皆為1:2的三對(duì)直角三角形紙片甲、乙、丙

拼接而成，它們之間互不重疊也無(wú)縫隙，則矩形ABCD與矩形EFGH的面積之比為—

一9

【解答】解：設(shè)尸G=a,CG=b,

依題意得：EH=FG=a.AE=CG=b,

???甲、乙、丙三角形的兩條直角邊之比皆為1:2,

:.HG=2a,DG=2b,

:.DH=DG—HG=2b—2a,

,\AH=2DH=2（2b-2a）=4b-4a,

/.AE—AH—EH=4b—4a—a=4b—5ay

又?；AE=CG=b,

.\4b—5a=b,

/.a=0.6b,

HG=2a=1.2b?DH=2b-2a=O.8Z?,AH—4b—4a=1.6b,

11.11.

2

:.S9=-CG-DG=-xbx2b=b,S7=-DH-AH=-xO.8bxl.6b=O.Mb-

甲22乙22

11,,

S丙=-FGHG=-ax2a=a2=O.36Z?2,

丙22

S矩?必=2（S甲+S乙+S丙）=2x（從+0.64/+0.36必）=4/，

S矩形EFGH=2s丙=2x0.36b3=0.72廳，

S矩形ABCD_4b-_50

S矩形EFGH=Q.72H=W

14.（2024?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接AE,BE,CE,DE,下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

AD

B.無(wú)論點(diǎn)E在何位置，總有AE2+CE2=3E2+DE2

C.若則線段CE的最小值為8

D.若ZEAD+ZEBC=60°,M+BE的最大值為23

【解答】解：?.?在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,

AC=yjAB2+BC2=2-Jei,

又?.?點(diǎn)E在矩形ABCD內(nèi)部，

0<CE<2A/61,

故選項(xiàng)A正確，不符合題意;

過(guò)點(diǎn)于/,ME的延長(zhǎng)線交CD于P,EN±BC,NE的延長(zhǎng)線交AD于。，如圖1所示:

設(shè)EQ=a,EN=b,EM=c,EP=d,

?.?四邊形ABCD為矩形，EM±AB,EN±BC,

:.EP±CD,EQ1AD,

二.四邊形AME。，四邊形瓦忸0,四邊形CPEN,四邊形均為矩形，

由勾股定理得：EA2=a2+c2,EC2=b2+d2,BE2=b2+c2,DE2=a2+d2,

:.AE2+CE2=a2+C2+b2+d2,BE2+DE1=b2+c2+a2+d2,

AE2+CE2=BE2+DE2,

故選項(xiàng)3正確，不符合題意；

以他為直徑作圓，圓心為O,連接OC交。。于點(diǎn)K,如圖2所示：

AD

貝|Q4=OB=OK」AB=5,

2

-.■AE±BE,即Z4EB=90°,

.?.點(diǎn)E在矩形內(nèi)部的半圓上運(yùn)動(dòng),

根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)K重合時(shí)，CE為最小，最小值為CK的長(zhǎng),

在RtAOBC中，OB=5,BC=12,由勾股定理得：OC^yjOB2+BC2=13,

:.CK^OC-OK=13-5^8,

即線段CE的最小值為8,

故選項(xiàng)C正確，不符合題意;

四邊形ABCD為矩形，

:.ZCBA+ZBAD=180°,

-.■ZEAD+ZEBC=60°,

:.ZEAB+ZEBA=120°,

ZAEB=180°-(Z￡AB+ZEBA)=180°-120°=60°,

在矩形ABCD內(nèi)部，以M為一邊作等邊AA5G,以點(diǎn)G為圓心，以他為半徑作OG,延長(zhǎng)BE到尸，使

EF=AE,如圖3所示:

圖3

:.AE+BE=EF+BE=BF,ZEAF=ZEFA,NG=60。，0G的直徑為20

5L-.-ZEAF+ZEFA=ZAEB=60°,

:.ZEAF=ZEFA=30°,

，點(diǎn)尸在優(yōu)弧AFB上運(yùn)動(dòng)，加'為OG的弦，

根據(jù)“直徑是圓內(nèi)最大的弦”得：當(dāng)所為OG的直徑時(shí)為最大，最大值為20,

故選項(xiàng)。不正確，符合題意.

故選：D.

15.（2024?拱墅區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=3AB=3-Jw,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在3c上,

CE=2BE,點(diǎn)、M、N在線段上.若APMN是等腰三角形且底角與"EC相等，則肱V的值為（

D.6或比

8

【解答】解：分兩種情況：

①肱V為等腰APMV的底邊時(shí)，作尸于/，如圖所示:

貝I]NPFM=ZPFN=90°,

V四邊形ABCD是矩形，

:.AB=CD,BC=AD=3AB=3A/10,ZA=NC=90。，

：.AB=CD=4W,BD=-JAB2+AD2=10,

?.?點(diǎn)尸是A3的中點(diǎn)，

亞，

22

\ZPDF=ZBDA,

:."DFsgDA,

3M

:.里="即二

ABBD71010

3

解得：PF=—

2

\CE=2BE,

：.BC=AD=3BE,

BE=CD,

CE=2CD，

???APMV是等腰三角形且底角與ND￡C相等，PF工MN,

;.MF=NF,ZPNF=ZDEC,

???N/Y7V=NC=9O。，

.NNFS^DEC,

NFCE、

.-----=-----=2,

PFCD

：.MF=NF=2PF=3,

..MN=2NF=6；

②MN為等腰APMN的腰時(shí)，作尸尸_LB￡＞于尸，如圖所示：

設(shè).MN=PN=x,則RV=3—x,

在RtAPNF中，(1)2+(3-x)2=x2,

解得：x=—,即="；

88

綜上所述，MN的長(zhǎng)為6或”.

8

故選：D.

16.(2024?柯橋區(qū)二模)如圖，在矩形XBCD中，AB=8,AD=1O,E,F,G,”分別是邊AD,AB,

3C,8上的動(dòng)點(diǎn)，若AE=CG=a,當(dāng)四邊形EFG”為矩形時(shí)，則a的取值范圍是—魄k2或8釉10_.

【解答】解：當(dāng)四邊形￡FGH為矩形時(shí),

EH//FG,EH=FG,/EHG=90。,

???四邊形ABCD是矩形，

,\ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=10,AB=CD=8f

...ZDEH+ZDHE=ZDHE+ZGHC=90°,

:.ZDEH=NGHC,

..AEDH^AHCG,

罪嚼‘且』CG=a,

設(shè)CW=%(啖8),貝ljDH=8—x,

ED=10—a,

10—a8—x

??—,

xa

整理得，尤2—8x+10o—a?=0,

Xy=4—J(<7—2)(a—8),x,=4+J(a-2)(a-8),

.?.闔-J(a-2)(a-8)4,

①0”J（a-2）（。-8）,

解得：藤上2或a.8,

解得：出10（負(fù)解集舍去），

綜上所述：噴女2或8麴h10.

故答案為：噂W2或8張女10.

17.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)一模）如圖，已知矩形ABCD,過(guò)點(diǎn)A作AE_LAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若

ZAED=ZACB,則tai?ZBAE=夜一1

【解答】解：...四邊形ABCD是矩形，

.,.ZBCD=ZABC=90。,ADIIBC,DC=AB,

222

由勾股定理得：DC+EC=EDf

,;ADIIBC,

:.AAFD^ACFE,ZADE=NCEF,

.ADDF

…~EC~~EF"

.ADED-EF

…耘一EF'

AD+EC

\-ZAED=ZACB,ZADE=NCEF,

:.^AED^NFCE,

.EFEC

一罰一訪‘

ECEDEC

"AD\AD+EC)~~ED'

..ED1=Alf+ADEC,

/.DC2+EC2=AD2+ADEC,

\-AE.LAC,

.?.NC4E=90。，

..ZBAE-^-ZBAC=90°,

?/ZABE=ZABC=90°,

:.ZBAE^ZAEB=90°,

:.ZAEB=ZBAC,

/.AAEB^ACAB,

AB_BC

前一耘’

/.AB2=EBBC,

DC2=AB2=EBBC,

?.-CE2=(EB+BC)2=EB2+2EB-BC+BC2,

EB-BC+BC2+2EB-BC+BE2=BC2+EC-BC,

EBBC+2EB-BC+BE2=BC(BC+BE)=BC2+BCBE,

:.BE2+2EBBC-BC2=0,

-2署1=。

解得：匹=_i土夜（負(fù)值舍去），

BC

—=72-1,BPBE=（A/2-1）BC,

BC

BE2=(V2-1)2BC2,

AB2=(s/2-l)-BC2,

(3-1)2.叱

tan2ZBAE=(—)2==A/2—1,

AB(A/2-1)BC2

故答案為：\/2—1.

18.（2024?婺城區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，E是3c上一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)。作上_LAE于

點(diǎn)、F.

(1)求證：AF=BE.

(2)已知BC=5,CD=3.求EF的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABCD是矩形,

:.AD//BC,ZABE=90°,

:.ZDAF=ZAEB,

\DFLAE,

,\ZDFA=90°,

.\ZABE=ZDFA,

在AAOF和AE4B中，

ZAFD=ZEBA

<ZDAF=ZAEB,

AD=EA

:.\ADF=\EAB{AAS),

：.AF=EB；

(2)解：?.?四邊形ABCD是矩形，BC=5,CD=3,

.?.AD=BC=5,AB=CD=3,4=90。，

\AD=AE,

AE=5,

BE=^AE2-AB2=6-3?=4,

由(1)知：AF=BE,

:.AF=4,

.-.EF=AE-AF=5-4=1,

即EF的長(zhǎng)是1.

19.(2024?拱墅區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在矩形ABCD中，E,尸分別是BC,AD邊上的點(diǎn)，且AE=CF.

(1)求證：A4BE=ACDF；

(2)當(dāng)AC_LEF時(shí)，AE=10,AC=16,求四邊形AECF的面積.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABCD是矩形，

.-.ZB=ZD=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,

在RtAABE和RtACDF中,

AE=CF

AB=CD

RtAABE=RtACDF(HL)；

(2)解：\^ABE=\CDF,

:.BE=DF,

???BC=AD,

:.CE=AF,

?-CE//AF,

，四邊形AECF是平行四邊形,

又,.,AC_L￡F,

四邊形AECF是菱形，

設(shè)AC與￡F交于點(diǎn)O,

AO=-AC=-xl6=8,EF=2OE,

22

OE=A/A￡2-OA2=7102-82=6,

:.EF=12,

...S塞彩AS=-ACxEF=1x16x12=96?

交形Am*22

20.(2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)四模)如圖,在矩形ABCD中，尸為邊鉆的一點(diǎn)，3尸的中垂線分別交矩形兩邊4),

3c于點(diǎn)E,F,交DP于點(diǎn)H,BF=CD,連結(jié)。F,PF.

(1)判斷ADEP的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)若AP=BP=2,求EH,EF的長(zhǎng).

【解答】解：(1)ADFP為等腰直角三角形，理由如下:

???￡F是DP的中垂線,

:.DF=PF,

「.ADFP為等腰三角形，

??,四邊形ABCD為矩形，

:.ZA=ZB=ZC=90°,AB=CD,AD=BC

在RtABFP和RtACDF中，

[DF=PF

[BF=CD'

RtABFP三RtACDF(HL),

:.ZBFP=ZCDFf

???ZCDF+ZCFD=90°,

.?.ZBFP+NCFD=90。,

ZDFP=180。—(ZBFP+ZCFD)=90°,

「?AD"為等腰直角三角形；

(2)?.?AP=BP=2,

..AB=CD=4,BF=CD=4,

由(1)可知：RtABFP=RtACDF,

.\BP=CF=2,

.,.BC=AD=BF+CF=6,

在放4PD中，由勾股定理得：DP=7AP?+AD2=2廂,

由(1)可知：AZ才尸為等腰直角三角形，

又???跖是。尸的中垂線，

.?.FH=PH=DH=LDP=回,ZDHE=900,

2

:.ZDHE=ZA=90°,

又?.?ZHDE=ZADP,

:.ADEH^ADPA,

..EH:AP=DH:AD,

即EH:2=M：6,

，EH=-----,

3

.-.EF=EH+切=叵+而.

33

21.(2024?臨安區(qū)二模)如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)CE,DE.若CE=CD,過(guò)

點(diǎn)。作DF_LCE1于點(diǎn)尸.

(1)求證：△CTOvAEBC.

2

(2)若AE