2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓與二次函數(shù) 壓軸練習(xí)題（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓與二次函數(shù)壓軸練習(xí)題

一'選擇題（每題3分，共24分）

1.用一個(gè)圓心角為心（n為常數(shù)，0<n<180）的扇形作圓錐的側(cè)面，記扇形的半徑為R,所作的圓錐

的底面圓的周長(zhǎng)為1,側(cè)面積為S,當(dāng)R在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，與S都隨R的變化而變化，貝也與R,S與R滿

足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B.二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

2.如圖，拋物線y=——2%—3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D,點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，以C

為圓心，4C長(zhǎng)為半徑在x軸的上方作一個(gè)半圓，點(diǎn)E為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,取DE的中點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)

E沿著半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B的過(guò)程中，線段2F的最小值為（）

A.V5-1B.2V5-1C.2V2-1D.242-2

3.如圖，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A,B重合），AB=1.分別以AB,AP,BP為直徑作

半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y,線段AP的長(zhǎng)為%.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，y

隨久的變化而變化，則陰影面積的最大值是（）

4.如圖，點(diǎn)P在拋物線y=x2-3x+l上運(yùn)動(dòng)，若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則符合上述條件

的所有的點(diǎn)P共有（）

B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.已知拋物線y=a(x-3)2+孕過(guò)點(diǎn)C(0,4),頂點(diǎn)為M,與x軸交于A、B兩點(diǎn).如圖所示以AB為直徑

作圓，記作。D,下列結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3；②點(diǎn)C在。D夕卜；③在拋物線上存在一

點(diǎn)E,能使四邊形ADEC為平行四邊形；④直線CM與。D相切。正確的結(jié)論是()

C.①③④D.①②③④

6.如圖，ZBAC=60°,點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿NBAC的角平分線向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中，以O(shè)為圓心的圓始終保持與NBAC的兩邊相切，設(shè)。。的面積為S(cn?),則。。的面積s與圓心

。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(s)的函數(shù)圖象大致為()

7.如圖，拋物線y=義/一％一|與X軸交于點(diǎn)4,B,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，以4B為直徑在X軸上方

畫(huà)半圓交y軸于點(diǎn)E,圓心為/,P是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP,點(diǎn)Q為PD的中點(diǎn).下列四種說(shuō)法：

①點(diǎn)C在上；

②IQCD；

③當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)4時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為兀；

④線段BQ的長(zhǎng)可以是3.2.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）

8.圖，拋物線y=^/—3%-3的圖像與x軸交于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在射線AB運(yùn)動(dòng),

作ABCP的外接圓。M,當(dāng)圓心M落在該拋物線上時(shí)，則AP的值（）

二'填空題（每題3分，共15分）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知OP的半徑為2,圓心P在拋物線y=2上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。尸與x軸相

切，且圓心P在第二象限內(nèi)時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為.

10.劉微是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利出圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似

計(jì)算圓周率.如圖，多邊形公慶&…4是。。的內(nèi)接正九邊形.已知。。的半徑為r，乙生。4的度數(shù)為

a,點(diǎn)。到&A2的距離為d，△AiO&的面積為S.下面推斷中,

①當(dāng)n變化時(shí)，a隨n的變化而變化，a與n滿足函數(shù)關(guān)系a=當(dāng)5.②無(wú)論"，r為何值，總有ziS=

nr2.③若ri為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足二次函數(shù)關(guān)系.其中正確的

是.（填序號(hào)）.

11.如圖，已知OP的半徑為2,圓心P在拋物線y=E久2一2上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)OP與X軸相切時(shí)；圓

心P的坐標(biāo)為.

12.如圖，拋物線y=5久2—4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)

點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)OQ.則線段0Q的最小值是.

13.如圖，拋物線y=（久-2）2-1與y軸交于點(diǎn)4,與％軸交于B、C,點(diǎn)Z關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為

點(diǎn)。，點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在以點(diǎn)C為圓心，半徑為④的圓上，當(dāng)DE+EF取得最小值時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)

是

A'D

三'解答題(共7題，共61分)

14.如圖，以E(3,0)為圓心，5為半徑的OE與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線y=

(2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)口的坐標(biāo);

(3)已知P是拋物線上位于第四象限的點(diǎn)，且滿足SU4BP=S/4BC，連接PF,判斷直線PF與。E的位

置關(guān)系并說(shuō)明理由.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，以。4為直徑的半圓，圓心為8,半徑為1.過(guò)y軸上

點(diǎn)C(0,2)作直線CD與。3相切于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)D二次函數(shù)產(chǎn)加―2G的圖象過(guò)點(diǎn)c和。

交x軸另一點(diǎn)為b點(diǎn).

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接OE,如圖2,求sin/AOE的值;

(3)如圖3,若直線CD與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q,M是線段0C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)“作MN//CD交x軸

于N,連接QM,QN,設(shè)CM=3AOMN的面積為S,求S與/的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍.S

是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

16.已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B在y軸的正半軸上，且

tan/OAB=,，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑作。P交x軸于C點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)

A、B、C的拋物線頂點(diǎn)為D點(diǎn)，設(shè)PA=5m.

(1)求線段OA和AB的長(zhǎng).

(2)①求用含字母m的代數(shù)式來(lái)表示點(diǎn)C的坐標(biāo).

②當(dāng)點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC：PA=8：15時(shí)，求拋物線的解析式.

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE〃x軸交y軸于點(diǎn)E,作直線CD交y軸于點(diǎn)F,當(dāng)。P與ADEF其中一邊

所在的直線相切時(shí)，求所有滿足條件的m的值.

17.如圖1,過(guò)點(diǎn)A(0,4)的圓的圓心坐標(biāo)為C(2,0),B是第一象限圓弧上的一點(diǎn)，且BC_LAC,

拋物線y=x?+bx+c經(jīng)過(guò)C、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為D.

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(),拋物線的表達(dá)式為

(2)如圖2,求證：BD〃AC；

(3)如圖3,點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，且AQ=5,直線AQ交。C于點(diǎn)P,求AP的長(zhǎng).

18.如圖，OE的圓心E(3,0),半徑為5,OE與y軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方)，與x

軸的正半軸交于點(diǎn)C,直線1的解析式為y=,x+4,與x軸相交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線1與。E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P到直線1的距離最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離.

19.如圖1是某餐館外的伸縮遮陽(yáng)棚，其輪廓全部展開(kāi)后可近似看成一個(gè)J圓，即弧AOC,已知OA和

遮陽(yáng)棚桿子OD在同一條直線上，且與地面垂直，當(dāng)上午某一時(shí)刻太陽(yáng)光從東邊照射，光線與地面呈45°

角時(shí)，光線恰好能照到桿子底部D點(diǎn)，已知OD長(zhǎng)為2m.

(2)如圖2當(dāng)下午某一時(shí)刻太陽(yáng)光從西邊照射，光線與地面呈60°角，在遮陽(yáng)棚外，距離遮陽(yáng)棚外檐

C點(diǎn)正下方E點(diǎn)(遮-1)血的F點(diǎn)處有一株高為1.2m的植物，請(qǐng)問(wèn)植物頂端是否會(huì)被陽(yáng)光照射到?請(qǐng)說(shuō)明理

由.(遙?1.73)

(3)如圖3為擴(kuò)大遮陽(yáng)面積，餐館更換了遮陽(yáng)棚，新遮陽(yáng)棚輪廓可近似看成拋物線的一部分，已知

新遮陽(yáng)棚上最高點(diǎn)仍為2點(diǎn)，且外檐點(diǎn)c'到AD的距離為差小、至的距離為現(xiàn)需過(guò)遮陽(yáng)棚上-點(diǎn)

P為其搭設(shè)架子，架子由線段GP、線段PH兩部分組成，其中GP14D,PH與地面垂直，若要保證從遮陽(yáng)

棚上的任意一點(diǎn)P(不含4點(diǎn))都能按照上述要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備多少加的鋼材搭設(shè)架子？

20.【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：建筑學(xué)中“拱”的建造及裝飾

項(xiàng)目背景：拱結(jié)構(gòu)由于其美觀且堅(jiān)固的特點(diǎn)，在古代建筑中得到了廣泛的應(yīng)用，并在現(xiàn)代建筑中也有不

少應(yīng)用.目前已知對(duì)拱最早的使用是公元前2000年美索不達(dá)米亞地區(qū)的磚拱，公園前200年兩河流域

Ctesip/ione（現(xiàn)在伊拉克中部）Sascmicm王朝的近似拋物線型磚拱已經(jīng)橫跨近28米、高40米了（如圖）.（注：

拋物線拱，就是由截面均為拋物線形狀弧構(gòu)成的拱.）

(a)(b)(c)

項(xiàng)目素材：

素材1：某地在進(jìn)行景觀改造過(guò)程中模擬建設(shè)了一座與Sasmian王朝的石專拱同樣跨度（即圖中的地面

AB=28米）和高度（最高點(diǎn)離地面40米）的拋物線拱（圖（a）為其中一處拋物線拱截面）.

在圖（a）的拋物線拱截面距離地面20米高的墻面上安裝有一根用于燈光布置的橫梁GH.

素材2：圖（b）為另一處拋物線拱截面.景點(diǎn)要求工人師傅在拋物線拱上做一個(gè)正方形（PCQD）裝飾

品，要求C,。兩點(diǎn)在拋物線上（C在。的左側(cè)），P是拋物線的頂點(diǎn)，且PQ與地面垂直.

素材3：如圖（c）,景點(diǎn)管理公司利用素材1中的橫梁GH安裝了一個(gè)半徑為8米的圓形燈光飾品，后來(lái)

為了美觀，公司要求安裝燈光的師傅將圓形燈光飾品改裝成月牙形的燈光飾品，安裝師傅于是將原圓形燈

光飾品的一段劣弧EN沿一條直線翻折，EMN交GH于點(diǎn)、M.

項(xiàng)目任務(wù)：

任務(wù)1：素材1中橫梁GH的長(zhǎng)度是多少米？（結(jié)果若有根號(hào)則保留根號(hào)）

任務(wù)2：素材2中工人師傅的安裝計(jì)劃若能實(shí)現(xiàn)，那么點(diǎn)C距離地面的高度是米.

任務(wù)3：在素材3中，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)EM=10,FM=6.請(qǐng)直接寫(xiě)出兩月牙尖的距離.

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】（-2也2）

10.【答案】①③

11.【答案】（，2）或（-2魚(yú)，2）或（0,-2）

12.【答案】|

13.【答案】（0,

14?【答案】（1）解：?.?以E（3,0）為圓心，5為半徑的OE與x軸交于A、B兩點(diǎn),

；.4（一2,0）,B（8,0），

連接CE,

在RtZkOCE中，0E=4E-。4=5-2=3,CE=5,

由勾股定理得0C=y/CE2-0E2=V52-32=4，

."（0,-4）;

（2）解：點(diǎn)4（—2,0）,B（8,0）在拋物線上,

，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(%-8),

;點(diǎn)C(0,-4)在拋物線上，

**?—4-a(%+2)(%—8))解得a=J,

，拋物線的解析式為：y=,(%+2)(%—8)，即y=^x2——4，

11”

??》=4(%+2)(無(wú)-8)=4。-3)2—彳

—令:

(3)解：直線PF與。E相切，理由如下：

V△ABC中，底邊AB上的高0C=4,

；.P是拋物線上位于第四象限的點(diǎn)，且滿足S4ABp=S4ABe，則P(6,-4)，

如圖，連接PE,PF，過(guò)點(diǎn)P作PG1對(duì)稱軸EF于點(diǎn)G,貝!JPG=3,EG=4，

在Rt△PEG中，由勾股定理得：PE=yJPG2+GE2=V32+42=5，

.?.點(diǎn)P在OF上，

由(2)知，尸(3,一令，

.25

??即=~4~'

Q

???FG=EF-EG=^，

在RtAPGF中，由勾股定理得：PF=VPG2+GF2=卜+=苧,

22

在△EFP中，YEP?+FP=5+得尸=(竽＞=EF2,

...△EFP為直角三角形，/.EPF=90°,

:點(diǎn)P在OE上，且Z.EPF=90°,

，直線PF與OE相切.

15.【答案】（1）證明：連接BE訃、

~~lo（B

VCD與。B相切于點(diǎn)E.\BE±CD

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,0）,則BD=x—1

在AOCD和AEBD中，｛第憶瑞一(CD^AEBD

:端=照即1=合.\CD=2x—2在RtAOCID中，OC2+OD2=CD2即22+X2=(2X-2)2解得XI=1,

X2=0（舍去）

即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(”0)

把C(0,2),D(|,0)代入y=ax2—2ax+c中得：

函數(shù)解析式為：y=—葛x2+2x+2

04

(2)解：連接BE,CB,CB交OE于H碌、\-

；CD與。O相切于E,COLOB于

JR3,

0,BO為。O半徑

；.CO與。O相切于O

.\BC±OE于點(diǎn)H?.ZOCH+ZCOH=ZBOH+ZCOH=90°,

ZBOH=ZCOH

即NAOE=/OCBAsinZAOE=sinZOCB=空

CD

在RtAOCB中，VOB=1,OC=2由勾股定理得BC=y/OB2+OC2=V5

：.stn^AOE=^==^~

(3)存在，理由如下：連接DM,據(jù)題意有CM=t,OC=2,OD=1,貝！J0M=2-t

?.?MN//CDZONM=ZODC且SAQMN=SADMN

tanZONM=tanZODC

284844

2-t_PC-D

8---t----t

?'-'0N=OD33333

3-

114772

.S—SAQMN-SADMN-ND?0M??S—5x滅_t）=_我（t_1）+滅

?點(diǎn)M在OC上運(yùn)動(dòng)0<t<2

?.?s與t成二次函數(shù)關(guān)系，且—|<。

.?.當(dāng)t=l時(shí)，S有最大值，為,

16.【答案】(1)解：「yin，0),

0A=4,

在RtzlOAB中，tcinz.OAB——,，

OB=3,

由勾股定理得力B=5,

即04長(zhǎng)為4,43長(zhǎng)為5；

(2)解：①如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M,

圖1

在4PM中，tanZ.OAB=彳，

PM：MA：PA=3：4：5,

???PA=5m,

:.PM=3m,MA=4m,

???CM=MA=4m,

??.AC=8m,

即C(4—8zn,0);

②,:OC：PA=8：15,

4-8m_8

'~5m~=15，

解得771=I，

o

AC(l,0),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-l)(x-4),

把B(0,3)代入解析式得3=a(0-1)(0—4),

解得a

=Jq,

QQIC

???y=4。-1)(久一4)=4/一彳%+3，

即拋物線的解析式為y=-苧久+3;

(3)解：?"(4,0),C(4-8m,0)，

:.設(shè)拋物線解析式為y=a(x-4)(x-4+8m),

由圖知，點(diǎn)C在x軸正半軸上，

①當(dāng)。P與DE相切時(shí)，如下圖所示，

??,PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且DEJ.PM,

OE且。P于點(diǎn)D,

PD=5m,

DM=2m,

即0(4—4m,—2m),

把B(0,3),。(4一4m,-2m)代入拋物線的解析式,

把.(3=a(—4)(—4+8m),

'I—2m=a(-4m)4m'

7

a=

解得162

n_

m=7

.,.此時(shí)血的值為,

②當(dāng)G)P與OF相切時(shí)，如下圖所示,

連接PC,

???PC1DF,

???/,PCM+2LDCM=90°,

???乙DCM+乙CDM=90°,

???乙CDM=乙PCM,

又???乙PMC=乙CMD=90°,

???APCM?ACDM,

CM_DM

'PM=~CMf

即DM=-

c416、

D(4—4m,-^-mp

把B(0,3),0(4—4m,竽m)代入拋物線的解析式,

3=a(-4)(—4+8)7i)

得：16rA9

--g-m=a(—4m)4m

(_41

解得"魯

lm=41

???此時(shí)m的值為莫；

41

③當(dāng)OP與EF相切時(shí)，如下圖所示，

則％P=5m,

???4—4m=5m,

m=%

綜上，符合條件的m的值為，或辭或*

".【答案】(1)6；2；y=x2+|x-7

⑵證明：在拋物線表達(dá)式y(tǒng)=x2+3x-7中，令y=0,即一4x2+|x-7=0,

解得x=2或x=7,AD(7,0).

如答圖2所示，

to

/答圖2\

過(guò)點(diǎn)B作BE_Lx軸于點(diǎn)E,則DE=OD-OE=1,CD=0D-OC=5.

在RtABDE中，由勾股定理得：BD=VBE2+DE2=V22+I2=V5;

在RtABCE中，由勾股定理得：BC=JBE?+CE2=V22+42=V20.

BCD中，BD=V5,BC=V20,CD=5,

,."BD2+BC2=CD2

；.△BCD為直角三角形，ZCBD=90°,

；.NCBD=NACB=90。，

；.AC〃BD

(3)解：如答圖3所不：

答圖3

由(2)知AC=BC=V20,又AQ=5,

則在RtAACQ中，由勾股定理得：CQ=AQ2-AC2=52-(V20)2=居■

過(guò)點(diǎn)C作CFLPQ于點(diǎn)F,

VSAACQ=|AC?CQ=1AQ?CF,

?AGCQ=720-75

??5-~AQ—5-=—92.

在R3ACF中，由勾股定理得：AF=VXC2-AF2=(V20)222=4.

由垂徑定理可知，AP=2AF,

；.AP=8.

18.【答案】(1)解：如圖1,連接AE,由已知得：AE=CE=5,OE=3,

在R3AOE中，由勾股定理得：OA=yjAE2-OE2=V52-3=4,

VOCXAB,

...由垂徑定理得：OB=OA=4,OC=OE+CE=3+5=8,

AA(0,4),B(0,-4),C(8,0),

?.?拋物線的頂點(diǎn)為C,

.?.設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-8)2,

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：64a=-4,

a--1

a-16'

；.y=一克(x-8)2,

...拋物線的解析式為：y=--x2+x-4；

(2)解：直線1與。E相切；

理由是：在直線1的解析式y(tǒng)=|x+4中，

當(dāng)y=0時(shí)，即1x+4=0,x=-竽，

；.D(-竽，0)，

當(dāng)x=0時(shí),y=4,

.?.點(diǎn)A在直線1上，

在RtAAOE和RtADOA中,

..OF_3OA_3

-0A=4,OD=4'

.OE_OA

''OA=OD'

?.?NAOE=NDOA=90。，

；.△AOE^ADOA,

.\ZAEO=ZDAO,

VZAEO+ZEAO=90°,

.\ZDAO+ZEAO=90°,

即NDAE=90。，

直線1與。E相切；

(3)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)P作直線1的垂線PQ,過(guò)點(diǎn)P作直線PMLx軸，交直線1于點(diǎn)M,

設(shè)M(m,最m+4),表m2+m-4),

4

則PM=+4-(上m2+m-4)_121m+8=表（吐―2猿+苧，

16一16m

當(dāng)m=2時(shí)，PM取最小值是斗,

此時(shí)，P(2,-1),

對(duì)于△PQM,

,.?PM1,X軸，

ZQMP=ZDAO=ZAEO,

又NPQM=90°,

PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，

在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變，

當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小?sinNQMP=PM最小?sinNAEO=卒=把，

455

當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P(2,-I)時(shí)，點(diǎn)P到直線1的距離最小，其最小距離為卷.

19.【答案】(1)解：：弧AOC

???OA=OC

???OC±AD,ZODC=45°

???OD=OC=2m

OA=2m

(2)解：如圖所示，MP與弧線AOC相切于M