2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類【十大題型】（原卷版）

重難點(diǎn)22立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1立體幾何中的體積問(wèn)題】..............................................................4

【題型2立體幾何中的線段長(zhǎng)度問(wèn)題】..........................................................5

【題型3空間角問(wèn)題】.........................................................................7

【題型4空間點(diǎn)、線、面的距離問(wèn)題】..........................................................9

【題型5立體幾何中的作圖問(wèn)題】..............................................................11

【題型6立體幾何中的折疊問(wèn)題】..............................................................13

【題型7立體幾何中的軌跡問(wèn)題】..............................................................15

【題型8立體幾何中的探索性問(wèn)題】...........................................................17

【題型9立體幾何建系繁瑣問(wèn)題(幾何法)】...................................................19

【題型10新情景、新定義下的立體幾何問(wèn)題】..................................................21

?命題規(guī)律

1、立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類

空間向量與立體幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，空間向量是將空間幾何問(wèn)題坐標(biāo)化的工具，屬于高考

的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)

空間幾何體為依托，分步設(shè)問(wèn)，逐層加深；第一小問(wèn)主要考察空間線面位置關(guān)系的證明，難度較易；第二、

三小問(wèn)一般考察空間角、空間距離與幾何體的體積等，難度中等偏難；空間向量作為求解空間角的有力工

具，通常在解答題中進(jìn)行考查，解題時(shí)需要靈活建系.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體表面積與體積的常見(jiàn)求法】

1.求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2.求組合體的表面積與體積的一般方法

求組合體的表面積的問(wèn)題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該

怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡(jiǎn)單

幾何體的體積，再相加或相減.

【知識(shí)點(diǎn)2幾何法與向量法求空間角】

1.幾何法求異面直線所成的角

(1)求異面直線所成角一般步驟：

①平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角，的取值范圍是(0,5],所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面

直線所成的角.

2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,y],即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的

絕對(duì)值.

3.幾何法求線面角

(1)垂線法求線面角(也稱直接法)：

①先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)8為斜足；找線在面外的一點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)4向平面a做垂線，確定

垂足。；

②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影80與斜線AB之間的夾角為線面角；

③把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.

(2)公式法求線面角(也稱等體積法)：

用等體積法，求出斜線P/在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解.

h

公式為：sin<=彳，其中。是斜線與平面所成的角，是垂線段的長(zhǎng)，/是斜線段的長(zhǎng).

4.向量法求直線與平面所成角的主要方法：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)

角)；

(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余

角就是斜線和平面所成的角.

5.幾何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線,

再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解題思路：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角

的大小.

【知識(shí)點(diǎn)3空間距離的求解策略】

1.向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟：

__>

(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量V.

(2)在直線上任取一點(diǎn)M(可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)).計(jì)算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量加.

(3)垂線段長(zhǎng)度］=2_(而.于

2.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

(1)直接法：過(guò)P點(diǎn)作平面a的垂線，垂足為。，把尸0放在某個(gè)三角形中，解三角形求出PQ的長(zhǎng)度就

是點(diǎn)P到平面a的距離.

②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)尸所在的直線/平行于平面a,則轉(zhuǎn)化為直線/上某一個(gè)點(diǎn)到平面a的距離來(lái)求.

③等體積法.

④向量法：設(shè)平面a的一個(gè)法向量為之，N是a內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到a的距離為4=

【知識(shí)點(diǎn)4立體幾何中的軌跡問(wèn)題的解題策略】

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷方法

動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

2.立體幾何中的軌跡問(wèn)題的常見(jiàn)解法

(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求解軌跡問(wèn)題.

(2)交軌法：若動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是兩動(dòng)曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點(diǎn)，此時(shí)，要首先分析兩動(dòng)曲

線的變化，依賴于哪一個(gè)變量?設(shè)出這個(gè)變量為3求出兩動(dòng)曲線的方程，然后由這兩動(dòng)曲線方程著力消去

參數(shù)3化簡(jiǎn)整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.

(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，再進(jìn)行求解.

(4)坐標(biāo)法：坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何中的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)

行求解.

(5)向量法：不通過(guò)建系，而是利用空間向量的運(yùn)算、空間向量基本定理等來(lái)研究立體幾何中的軌跡問(wèn)

題，進(jìn)行求解.

【知識(shí)點(diǎn)5立體幾何中的探索性問(wèn)題的求解策略】

1.與空間向量有關(guān)的探索性問(wèn)題的求解策略：

在立體幾何中，與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探

究線面角、二面角或點(diǎn)線面距離滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題.

解決這兩類探索性問(wèn)題的解題策略是：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)

出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.

?舉一反三

【題型1立體幾何中的體積問(wèn)題】

【例1】(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知三棱柱ABC-AiBiCi，如圖所示，P是4?，上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。、D

分別是AC、PC的中點(diǎn)，AB1BC,AA1=AB=BC=2.

B

(1)求證：。0|平面P4B；

(2)當(dāng)1平面4BC,且AiP=3PCi時(shí)，求三棱錐當(dāng)-43。的體積.

【變式1-1](2024?山東日照?二模)在三棱錐P-4BC中，BA1BC,PBJ,平面ABC,點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)，且

滿足平面PAE，平面PBE,AB=BC=BP=1.

(1)求證：AE1BE；

⑵當(dāng)二面角E-PA-B的余弦值為日時(shí)，求三棱錐E-PCB的體積.

【變式1-2](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))如圖，幾何體2BCDEF中，底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，平面CDEF1

平面ABCD,平面BCF_L平面4BCD,/.DAB=J

(1)證明：。尸1平面48。。；

(2)若以=半，平面4DE與平面BCF的夾角為也求四棱錐E-4BCD的體積.

【變式1-3](2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐P—48CD的底面ABCD是矩形，PD，平面

48。。，￡>=岳。=魚(yú),用為2。的中點(diǎn)，Q為尸/上一點(diǎn)，S.AMLDQ.

⑴證明：PC〃平面AD。；

(2)若二面角B-DQ-C為45°,求三棱錐Q-BCD的體積.

【題型2立體幾何中的線段長(zhǎng)度問(wèn)題】

【例2】(2024?江蘇南京?二模)如圖,AD//BC,4D14B,點(diǎn)E、F在平面4BCD的同側(cè),CF//AE,

AD=1,AB=BC=2,平面4CFE1平面ABCD,EA=EC=V3.

(1)求證：BF〃平面4DE；

(2)若直線EC與平面F8D所成角的正弦值為需，求線段CF的長(zhǎng).

【變式2-1](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐E-ABCD中，EC1平面4BCD/B||DC,△ACD為等邊

三角形，DC=24B=2,CB=CE,點(diǎn)F為棱BE上的動(dòng)點(diǎn).

E

/B

(1)證明：DC1平面BCE；

⑵當(dāng)二面角F-AC-B的大小為45。時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)度.

【變式2-2](2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))如圖，AEABCD,E,F在平面4BCD的同側(cè)，AE//DF,AD//BC,

ADLAB,4。=23=卻=1.

(1)若B,E,F,C四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，求線段EF的長(zhǎng)；

(2)若DF=24E,平面BEF與平面BCF的夾角為30。，求線段4E的長(zhǎng).

【變式2-3](2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))如圖1,在五邊形力8CDP中，連接對(duì)角線AD,AD//BC,AD1DC,

PA=PD=2?AD=2BC=2DC=4,將三角形PAD沿力。折起，連接PC,PB,得四棱錐P—28CD(如圖

2),且PB=2VIE為AD的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PE上.

圖1圖2

(1)求證：平面PADJ■平面力BCD；

(2)若平面4MN和平面P2B的夾角的余弦值為嚼，求線段EN的長(zhǎng).

【題型3空間角問(wèn)題】

【例3】(2024?青海?二模)如圖，在三棱柱aBC-Ai&Ci中,所有棱長(zhǎng)均相等,CBr(\BCr=O,^ABB1

=60°,CB1BBX.

A4

(1)證明；4。1平面BBiCiC

(2)若二面角的-4/1-8的正弦值.

【變式3-1](2024?福建龍巖?三模)如圖，在四棱臺(tái)ABC。-&為C1D1中，底面四邊形為菱形,

Z.ABC=60°,AB=2441=2A1B1,AA11平面ABCD.

(1)證明：BDICC1；

⑵若M是棱上的點(diǎn)，且滿足器=|,求二面角”-力的余弦值.

【變式3-2](2024?黑龍江大慶?三模)如圖，在四棱錐P-4BCD中，AD//

BC,ABAD=90°,AD=2BC=4,AB=2,PA=2^2,AO=45°,且。是AD的中點(diǎn).

(1)求證：平面P0C1平面ABC；

(2)若二面角P-4D-B的大小為120。，求直線P8與平面P4D所成角的余弦值.

【變式3-3](2024?河南濮陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，在等腰梯形4BCD中，AB//CD,AD=AB=BC=2,

CD=4,￡為CD中點(diǎn)，NE與3D相交于點(diǎn)。，將△4DE沿4E折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置(PW平面

ABCE).

(1)求證：平面POB1平面P2C；

(2)若PB=e，試判斷線段尸8上是否存在一點(diǎn)。(不含端點(diǎn))，使得直線PC與平面4EQ所成角的正弦值

為平，若存在，求。在線段必上的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【題型4空間點(diǎn)、線、面的距離問(wèn)題】

【例4】(2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺(tái)ABC-&BiCi中，△ABC為等邊三角形，AB=2A1B1=4,

4411平面/8C,點(diǎn)M,N,。分別為N8,AC,8c的中點(diǎn)，ArBVAC1.

(1)證明：CC1II平面4MN；

(2)求直線4山與平面力iMN所成角的正弦值;

(3)求點(diǎn)D到平面&MN的距離.

【變式4-1](2024?廣東?三模)如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形力BC,BCD所在平面互相垂直，E,F分別

為BC,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱4D上，AG=2GD,直線4B與平面EFG相交于點(diǎn)H.

⑴證明：BD//GH-,

(2)求直線BD與平面EFG的距離.

【變式4-2](2024?上海?三模)如圖，在直三棱柱4BC—4/道1中，AA1=AB=2,AC=1,AACB=90°,

。是棱ZS上的一點(diǎn).

G

\Bx

小

(1)若4。=DB,求異面直線當(dāng)。與41cl所成的角的大小;

(2)若CD1B1D,求點(diǎn)8到平面BiCD的距離.

【變式4-3](2024?海南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在直四棱柱力BCO-中，底面四邊形力BCD為梯形,

AD//BC,AB=AD=2,BD=2?BC=4.

(1)證明：A1B11AD1-,

(2)若直線力B與平面BQi所成角的正弦值為半，點(diǎn)M為線段BD上一點(diǎn)、,求點(diǎn)M到平面為孫的距離.

【題型5立體幾何中的作圖問(wèn)題】

【例5】(2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，正三棱柱力BC-4B1C1中,AB=4,441=VI設(shè)點(diǎn)。為41cl

上的一點(diǎn)，過(guò)。，/作平面BCCiBi的垂面a,

B

⑴畫(huà)出平面a與正三棱柱ABC-4/13表面的交線（保留作圖痕跡，不需證明）；

（2）若4到平面a的距離為手，求AC與平面a所成角的正弦值.

【變式5-1]（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐P—ABCD中，底面A8CD為直角梯形，CD//AB,

^ABC=90°,4B=2CD,三棱錐B-PCD的體積為竽，平面PAD與平面PBC的交線為

（1）求四棱錐P-48CD的體積，并在答卷上畫(huà)出交線/（注意保留作圖痕跡）；

（2）若4B=2BC=4,PA=PD,且平面PAD1平面48CD,在】上是否存在點(diǎn)N,使平面PDC與平面DCN所成

角的余弦值為手？若存在，求PN的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式5-2]（2023?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為直角梯形，P21平面486,

AD||BC,ABLAD,PA^AD=4,BA=BC^2,M為24中點(diǎn)，過(guò)C,D,M的平面截四棱錐P—A8C。所

得的截面為a.

(1)若a與棱PB交于點(diǎn)?，畫(huà)出截面a,保留作圖痕跡(不用說(shuō)明理由),求點(diǎn)尸的位置;

(2)求平面CDM與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

【變式5-3](2024?廣西河池?模擬預(yù)測(cè))已知四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為直角梯形，PA1平面

ABCD,ADWBC,AB1AD,PA=AD=4,BA=BC=2,M為P力中點(diǎn)，過(guò)C,D,M的平面截四棱錐P-4BCD

所得的截面為a.

(1)若a與棱PB交于點(diǎn)F,畫(huà)出截面a,保留作圖痕跡(不用說(shuō)明理由)，并證明言=3.

⑵求多面體的體積.

【題型6立體幾何中的折疊問(wèn)題】

【例6】(2024?四川南充?三模)已知如圖，在矩形48CD中，AB=2,AD=2?將△ABD沿8。折起，得

到三棱錐M-BCO,其中△MBD是折疊前的△力BD,過(guò)M作BD的垂線，垂足為X,MC=V10.

(1)求證：MH1CD；

(2)過(guò)X作MB的垂線，垂足為N,求點(diǎn)N到平面MCD的距離.

【變式6-1](2023?甘肅?一模)如圖甲所示的正方形440遇1中，AAi=12,AB=A1B1=3,BC=B1C1=4,

對(duì)角線441分別交于點(diǎn)P,Q,將正方形447TM1沿BBi，CCi折疊使得44i與重合，構(gòu)成如圖乙所

示的三棱柱ABC-a/?.點(diǎn)M在棱2C上，且AM=y.

⑵求三棱錐M-4PQ的體積.

【變式6-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在梯形4BCD中，AB||CD,ABAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E

為線段4B上靠近點(diǎn)2的三等分點(diǎn),將△ADE沿著DE折疊，得至U四棱錐力一BCDE,使平面ADE_L平面BCDE,P

為線段CE上的點(diǎn).

圖1圖2

(1)求證：AD1AP-

(2)是否存在點(diǎn)P,使得直線4P與平面4BE所成角的正弦值為華?若存在，求出線段EP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【變式6-3](2024?安徽合肥?三模)如圖一：等腰直角448。中4。148且4。=2,分別沿三角形三邊向

外作等腰梯形ZBB242，BCC2B3,Caa3c3使得4^2=BB2=CC2=1,^CAA3=Z.BAA2=p沿三邊48,BC,Ca折

疊，使得出43，B2B3，C2c3,重合于％Bi，Ci，如圖二

圖一圖二

(1)求證：AAi1BrCr.

⑵求直線CCi與平面A41aB所成角6的正弦值.

【題型7立體幾何中的軌跡問(wèn)題】

【例7】(2024?安徽蕪湖?二模)在三棱錐P-4BC中，PB1平面ABC,4B=BC=BP=2,點(diǎn)E在平面力BC

內(nèi)，且滿足平面P4E_L平面PBE,B4垂直于BC.

(1)當(dāng)N4BE6時(shí)，求點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)二面角E—P2-B的余弦值為苧時(shí)，求三棱錐E-PC8的體積.

【變式7-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在直三棱柱4BC—4聲道1中，AB=4C=441=3,BC=3四萬(wàn)是

側(cè)面441cle內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，。為BCi的中點(diǎn)，BrELArD.

(1)求證：點(diǎn)￡的軌跡為線段AC4

(2)求平面4DE與平面A8C夾角的大小.

【變式7-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，四邊形ABDC為圓臺(tái)內(nèi)。2的軸截面，AC=2BD,圓臺(tái)的母線與

底面所成的角為45。，母線長(zhǎng)為VZE是麗的中點(diǎn).

（1）已知圓。2內(nèi)存在點(diǎn)G,使得。E1平面BEG,作出點(diǎn)G的軌跡（寫(xiě)出解題過(guò)程）；

⑵點(diǎn)K是圓。2上的一點(diǎn)（不同于4C）,2CK=AC,求平面4BK與平面CDK所成角的正弦值.

【變式7-3］（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四面體4BCD的每條棱長(zhǎng)都等于2,M,G,N分別是棱48,

BC,CD的中點(diǎn)，。，E,F分別為面BCD,面4BC,面4CD的重心.

A

o\7N

（1）求證：面。EF〃面ABD；

（2）求平面OEF與平面ABN的夾角的余弦值；

（3）保持點(diǎn)E,F位置不變，在△BCD內(nèi)（包括邊界）拖動(dòng)點(diǎn)0,使直線MN與平面OEF平行，求點(diǎn)。軌跡長(zhǎng)度;

【題型8立體幾何中的探索性問(wèn)題】

【例8】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知4B1平面BCE,CDWAB,△BCE是等腰直角三角形，其

中NEBC=5，且AB=BC=2CD=4.

A

(1)設(shè)線段BE中點(diǎn)為尸，證明：CF||平面4DE；

(2)在線段4B上是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)B到平面CEM的距離等于?，如果存在，求MB的長(zhǎng).

【變式8-1](2024?貴州黔西?一模)如圖所示為直四棱柱28CD—AiBiCiAAB=2。=2Vle8=CD=4,AA1

=4,ABCD=60°,分別是線段Be,%。的中點(diǎn).

(1)證明:BC1平面MMjD；

(2)求直線8C與平面8D4i所成角的正弦值，并判斷線段8c上是否存在點(diǎn)P,使得〃平面8D4,若存在,

求出8P的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式8-2](2024?黑龍江哈爾濱?一模)如圖1,在平行四邊形力BCD中，D=60°,DC=2AD=2,將△4DC

沿AC折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P位置，且PC1BC,連接PB得三棱錐P-4BC,如圖2.

B

圖1C

圖2

(1)證明：平面P4B1平面ABC；

(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)“，使平面4MB與平面MBC的夾角的余弦值為今若存在，求出黑的值，若不存

orGI

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式8-3](2024?天津?一模)已知底面4BCD是正方形，平面4BCD,PA//DQ,

P4=AD=3DQ=3,點(diǎn)E、尸分別為線段PB、CQ的中點(diǎn).

(1)求證：￡尸〃平面P4DQ；

(2)求平面PCQ與平面CDQ夾角的余弦值；

(3)線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得直線4M與平面PCQ所成角的正弦值是苧，若存在求出費(fèi)的值，若不存在,

說(shuō)明理由.

【題型9立體幾何建系繁瑣問(wèn)題（幾何法）】

【例9】（2024?山東?二模）如圖所示，直三棱柱2BC-711B1C1，各棱長(zhǎng)均相等力，E,尸分別為棱AB,BC,

4G的中點(diǎn).

（1）證明：平面AiCD1平面AMBB1；

⑵求直線EF與&Bi所成角的正弦值.

【變式9-1]（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是平行四邊形,

NA8C=120。，AB=1,SC=4,PB=2^3,PDLCD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且PEIED.

（1）求證：PELAD；

⑵求點(diǎn)E到平面PAD的距離.

【變式9-2]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P—A8CD中，AB||CD,且4B14P,CD1DP.

p

c

L

AB

(1)證明：平面PCD_L平面PAD；

(2)若P2=PD=48,PALPD,求PB與平面ABC。所成角的大小.

【變式9-3](2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)).如圖，底面出8停1%固定在底面a上的盛水容器口為正方形48CD,

側(cè)棱44i，BBi，CCi，DDi相互平行.

⑴證明：底面四邊形4道停1。1是平行四邊形;

(2)若已知四條側(cè)棱垂直于面力BCD,且44i=DDi=4,BBi==AB=2.現(xiàn)往該容器中注水，求該容器

最大盛水體積U及此時(shí)側(cè)面B&JC與底面a所成角8的余弦值(水面平行于底面a).

【題型10新情景、新定義下的立體幾何問(wèn)題】

【例10】(23-24高一下?四川成都?期末)類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理;

如圖1,由射線P4PB,PC^m^M^P-ABC,^APC=a,乙BPC=0,4APB=y,二面角A—PC—B的

大小為仇則cosy=cosacos/3+sinasin0cos8.

(1)當(dāng)a、Se(o,3時(shí)，證明以上三面角余弦定理；

(2)如圖2,平行六面體ABCD—TliBiCiDi中，平面A4iCiC_L平面4BCD,zXiXC=60°,zBXC=45°,

①求乙4MB的余弦值；

②在直線CCi上是否存在點(diǎn)P,使BP〃平面D&C1?若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【變式10-1](24-25高三上?浙江?開(kāi)學(xué)考試)已知。是棱長(zhǎng)為四的正四面體ABCD,設(shè)。的四個(gè)頂點(diǎn)到平面

a的距離所構(gòu)成的集合為M,若M中元素的個(gè)數(shù)為m則稱a為。的那介等距平面，M為。的那介等距集.

(1)若a為。的1階等距平面且1階等距集為｛研，求a的所有可能值以及相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)；

(2)已知0為。的4階等距平面，且點(diǎn)2與點(diǎn)BCD分別位于夕的兩側(cè).若。的4階等距集為｛瓦2瓦3瓦4的，其中點(diǎn)4

到S的距離為6,求平面BCD與￡夾角的余弦值.

【變式10-2](23-24高一下?福建三明?期末)閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M

在點(diǎn)P處的離散曲率為1-^(ZQ1PQ2+AQ2PQ3+^Q3PQ4+-+^Q^PQk+^QkPQ^，其中Qt

(i=l,2,k,kN3)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面

QkrPQk和平面QkPQi為多面體”的所有以P為公共點(diǎn)的面.”已知在直四棱柱力BCD-AIBIGDI中，底面

4BCD為菱形.44i=4B.(角的運(yùn)算均采用弧度制)

(1)若AC=BD,求四棱柱4BCD—4/傳/1在頂點(diǎn)4處的離散曲率；

(2)若四棱柱4BCD-&BiCiDi在頂點(diǎn)力處的離散曲率為，求BQ與平面4。射的夾角的正弦值；

⑶截取四面體&-4BD,若該四面體在點(diǎn)乙處的離散曲率為7已ACi與平面交于點(diǎn)G,證明：—AG=11

【變式10-3](23-24高一下?湖南長(zhǎng)沙?期末)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎

曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2TT與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面

體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為去故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均

為如一3x"n.如圖，在直三棱柱ZBC—aiB?中，點(diǎn)4的曲率為拳N,M分別為他砥的中點(diǎn)，且

AB=AC.

⑴證明：CNL平面ABBMi；

(2)若24=岳13,求二面角Bi-AM-Ci的余弦值；

(3)表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡(jiǎn)單多面

體的頂點(diǎn)數(shù)為。，棱數(shù)為3面數(shù)為則有：D-L+M=2.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率(多

面體有頂點(diǎn)的曲率之和)是常數(shù).

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）如圖，已知正方形ABCD為圓柱的軸截面，AB=BC=2,E,尸為上底面圓

周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且放過(guò)上底面的圓心G,若4B1EF,則三棱錐力-BEF的體積為（）

「2V2n2V3

?-3-

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD—的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)M6平面4BCD1，且翳=々，則點(diǎn)

M的軌跡的長(zhǎng)度為（）

「V34ircV17n

A.V34TTB.V171TC，2D，2

3.（2024?山東濟(jì)南?三模）如圖所示,正方體力BCD-4道也1。1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F,G分別為BC,CCi,88i的中

B.直線4第與平面4EF平行

C.三棱錐F-4BE的體積為《直線與平面所成的角為

OD.8C4EF45°

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知aaBC中，AC=1,AB=2,BC=V3,在線段4B上取一點(diǎn)M,連接CM,如

圖①所示.將△ACM沿直線CM折起，使得點(diǎn)4到達(dá)4的位置，此時(shí)aBCM內(nèi)部存在一點(diǎn)N,使得4N，平

面BCM,NC=￥，如圖②所示，則4M的值可能為（）

A

圖①圖②

A.B-1c-?D.1

5.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的多面體是由底面為ABC。的長(zhǎng)方體被截面AECF所截得到的，其中

AB=4,BC=2,CG=3,BE=1,則點(diǎn)C到平面AEC/的距離為（）

6.（2024?廣西南寧?一模）在邊長(zhǎng)為4的菱形力BCD中，乙48c=120。.將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為30。

的二面角9—AC—D.若點(diǎn)E為夕C的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐夕—4CD表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足AC1EF,則點(diǎn)尸軌跡

的長(zhǎng)度為（）

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

7.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）己知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD1底面4BCD,PD=力。，點(diǎn)E是線

段PB上的動(dòng)點(diǎn)，則直線OE與平面PBC所成角的最大值為（）

nnHn

A.NB.aC.1D.5

8.（2024?青海?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體力BCD-ABiCiOi中,E,F,M,N,G,H分別為棱4B,BC,

AD,CD,&Bi，Ci外的中點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，連接E”，F(xiàn)G.對(duì)于空間任意兩點(diǎn)/,/,若線段〃上不存在

也在線段E”，F(xiàn)G上的點(diǎn)，則稱/,/兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)為“可視”的點(diǎn)為（）

二、多選題

9.（2024?湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體2BCD-4/停1。1的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為40,AB,

BiQ的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）

A.三棱錐Ci—EFG的體積為!B.41C1平面EFG

C.BCill平面EFGD.二面角G-EF-C的余弦值為哼

10.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P—4BC中，平面PAC_L平面48C,且△PAC和△A8C均

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別為48/&BC的中點(diǎn)，G為PB上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），平面EFG交直線P2

于H,則下列說(shuō)法正確的是（）

P

A.當(dāng)G運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有〃&B

B.當(dāng)G運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G到直線4c距離的最小值為日

C.存在點(diǎn)G,使得CD1平面EFG

D.當(dāng)PG>GB時(shí)，直線PC,GF,交于同一點(diǎn)

11.（2024?山東?二模）如圖，在直三棱柱ABC-ABiCi中，A