2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平移型“將軍飲馬”問題（含解析）

專題二平移型“將軍飲馬”問題

知識(shí)與方法

、“造橋選址”模型

問題：如圖3-2-1,河的兩側(cè)有兩定點(diǎn)A,B,請(qǐng)?jiān)诤拥膬砂墩业近c(diǎn)P,Q（河的兩岸是平行的直線，PQ必須與

河岸垂直），使得AP+PQ+QB:最短.

方法將AP沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)Al點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)Q，則.AA'=PQ.連接AB,線段A'B

與直線b的交點(diǎn)為Q；過點(diǎn)Q，作QPJ_b,連接AP；即此時(shí).AP，+P，Q，+Q，B最短.

二、“將軍遛馬”模型

問題：在直線1上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q（P,Q兩動(dòng)點(diǎn)間距離為定值），使得AP+PQ+BQ的距離之和最小，該如何

處理呢？（“兩動(dòng)兩定型”）

3定長

PQ

定點(diǎn)8,?

定點(diǎn)4?/

左―K——F右

圖3-2-3

方法一：先對(duì)稱后平移

如圖3-2-4，作定點(diǎn)A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線1的對(duì)稱點(diǎn)A，,將點(diǎn)A，沿平行于直線1的方向從左到右平移PQ的

長度得點(diǎn)A"，連接A”B交直線1于點(diǎn)Q,將點(diǎn)Q沿直線1從右到左平移PQ的長度得點(diǎn)P,即此時(shí)AP+PQ+BQ

最短.

對(duì)稱+平移A

連接+平移

方法二：先平移后對(duì)稱

如圖3-2-5,將點(diǎn)A沿平行于直線1的方向從左到右平移PQ的長度得點(diǎn)A1,作定點(diǎn)"關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線1

的對(duì)稱點(diǎn)A“，連接A”B交直線1于點(diǎn)Q,將點(diǎn)Q沿直線1從右到左平移PQ的長度得點(diǎn)P,即此時(shí)AP+PQ+BQ

最短.

圖3-2-5

典例精析

例如圖3-26正方形AB-CD的邊長為6,E,F是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2企,連接CE,CF,則ACEF

周長的最小值為.

答案：4V5+2V2

圖3-2-6

【簡析】典型的“平移型將軍飲馬問題”（要將“一定兩動(dòng)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟啥ㄒ粍?dòng)”問題即轉(zhuǎn)化為“飲馬問題”）.具體思路

均是構(gòu)造定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn).

解法一：先對(duì)稱后平移

如圖3-2-7①,易得點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱，將點(diǎn)A沿射線BD方向平移2a個(gè)單位長度到點(diǎn)C,

連接CC交BD于點(diǎn)F,將點(diǎn)F沿射線DB方向平移2四個(gè)單位長度到點(diǎn)E1,連接CE；CF,此時(shí)ACEF的周長最

小.

如圖②，因?yàn)锳,C兩點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱，易得AE=CE,由平移易得四邊形AEFC為平行四邊形，所以AE=

C'F=CE,,由兩點(diǎn)之間線段最短知CF+CF最短為CC,即CE+CF的最小值為CC的長，因?yàn)锳CEF有一定邊EF,

即此時(shí)ACEF的周長最小.

由勾股定理易得CC=4V5,BPACEF的周長最小值為4V5+2V2.

①

圖3-2-7

解法二：先平移后對(duì)稱

如圖328①，將點(diǎn)C沿射線BD方向平移2/個(gè)單位長度到點(diǎn)C,作C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C"，連接CC”,

則交BD于點(diǎn)F,將點(diǎn)F沿射線DB

方向平移2近個(gè)單位長度到點(diǎn)E1,連接CE,此時(shí)ACEF的周長最小.

如圖②，因?yàn)镃,C”兩點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱，易得C'F=CE由平移易得四邊形CEFC為平行四邊形，所以CF=

C'F=CE,由兩點(diǎn)之間線段最短知C'F+CF最短為CC”,即CE+CF的最小值為CC”的長，因?yàn)锳CEF有一定邊EF,

即此時(shí)ACEF的周長最小.

由勾股定理易得CC=4V5,BPACEF的周長最小值為4V5+2V2.

圖3-2-8

反思與總結(jié)

平移型，，將軍飲馬，，問題，需要我們有化動(dòng)為定思想，將某動(dòng)點(diǎn)看作定點(diǎn)，再通過平移定線段轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”

問題來解決.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖329,正方形ABCD內(nèi)接于。0,線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若。0的面積為2私MN=1,則AAMN

周長的最小值是（）

C.5D.6

2.如圖3-2-10,在平面直角坐標(biāo)系中,長為2的線段CD（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動(dòng)，A（0,2）,B（0,4）,

連接AC,BD,則AC+BD的最小值為（）

圖3-2-10

A.2V5B.2V10

C.6V2D.3V5

3.如圖3211,已知直線lilIHU之間的距離為8點(diǎn)P到直線11的距離為6點(diǎn)Q至II直線12的距離為4PQ=

4府,在直線11上有一動(dòng)點(diǎn)A,直線卜上有一動(dòng)點(diǎn)B,滿足ABXl2,nPA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=

圖3-2-11

4.如圖3212矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E為CD的中點(diǎn),P,Q為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=3,當(dāng)CQ=

時(shí),四邊形APQE的周長最小.

圖3-2-12

5.如圖3213,在直角坐標(biāo)系中矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸上,B,D兩點(diǎn)坐

標(biāo)分別為B(-4,6),D(0,4).線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF=3,當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)

為.

圖3-2-13

6.如圖3214,已知sinC=|,長度為2的線段DE在射線CF上移動(dòng)，點(diǎn)B在射線CA上，且BC=5,則ABDE

周長的最小值為

F

E.

圖3-2-14

7.如圖3215在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,4),點(diǎn)E(O,1).將AAEO沿x軸向右平移得到小上。,

連接AB,BE,則當(dāng)AB+BO取最小值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

8.如圖3216直線1外有一點(diǎn)D,點(diǎn)D至I」直線1的距離為5,AABC中,NABC=9(F,AB=6,tanzCXS=/邊AB

在直線1上滑動(dòng)，則四邊形ABCD周長的最小值為.

圖3-2-16

9.如圖3217,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B(-3,0)兩點(diǎn)與y軸交于C(0,-3),對(duì)稱軸為直線x=-l,

直線y=-2x+m經(jīng)過點(diǎn)A,且與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)E,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F.

⑴求拋物線的解析式和m的值

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得以D,E,P為頂點(diǎn)的三角形與AAOD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，試說明理由.

(3)直線y=l上有M,N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè))，且MN=2若將線段MN在直線y=l上平移，當(dāng)它移動(dòng)到某一

位置時(shí)，四邊形MEFN的周長會(huì)達(dá)到最小，請(qǐng)求出周長的最小值(結(jié)果保留根號(hào)).

10.已知拋物線y=ax2-2ax+c(a,c為常數(shù),a/))經(jīng)過點(diǎn)C(0,-l),頂點(diǎn)為D.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

⑵當(dāng)a>0時(shí)，點(diǎn)E(O,l+a)若DE=2夜DC,,求該拋物線的解析式.

⑶當(dāng)a<-l時(shí)點(diǎn)F(O,l-a),過點(diǎn)C作直線1平行于x軸，M(m,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),N(m+3,-l)是直線1上的動(dòng)點(diǎn).

當(dāng)a為何值時(shí)，F(xiàn)M+DN的最小值為2VIU,并求此時(shí)點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

進(jìn)階訓(xùn)練I

1.B［解析］連接AC/.*?O的面積為2兀,；.OO的半徑為a,則.BD=2V2=AC.

由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn).

過點(diǎn)C作CA，〃BD,且使(CA'=1.

連接AA交BD于點(diǎn)N,取NM=1,連接CM,則點(diǎn)M,N為所求點(diǎn).

理由:；A'C〃MN,A'C=MN,；.四邊形MCA'N為平行四邊形.

AN=CM=AM,故AAMN的最小周長=AM+AN+MN=A'N+AN+1=AA：+1.

A'A=［僅可+12=3,.-.AMN的周長的最小值為3+1=4.故選B.

2.B［解析］作A(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A<0,-2)過A作A舊〃x軸且4E=CD=2,.故E(2,-2).連接BE交x

軸于點(diǎn)D1.

連接AC,DE,則AC=AC,四邊形CDEA為平行四邊形,，A,C=DE..\AC=DE.

AC+BD=A'C+BD=DE+BD

??.AC+BD的最小值等于BE的長，

AAC+BD的最小值==BE=V22+(2+4)2=2V10.

3.16［解析］作PF±12TF交li于E,在PF上截取PC=8,連接QC交k于B,作BAj于A,此時(shí)

PA+AB+BQ

：AB=PC=8,AB〃PC,

.??四邊形ABCP是平行四邊形.

-?.PA=BC.

.\PA+BQ=CB+BQ.

PA+BQ最小值為QC的長.

過點(diǎn)Q作QDLPF交PF的延長線于D.

在RtAPQD中，ZD=90°,PQ=4V30,PD=18,DQ=y/PQ2-PD2=V156,CD=PD-PC==18-8=10.

4.宗解析］VE為CD中點(diǎn),CD=AB=4,AD=BC=8,DE=2.：.AE=y/AD2+DEe=V82+22=2V17.

VPQ=3,

要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小.

將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長度到點(diǎn)M，作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接MF交BC于Q,截取PQ=3,如圖

所示.易知四邊形AMQP為平行四邊形，

AP=MQ.AP+EQ=MQ+EQ.

此時(shí)MQ+EQ最小.

過M作MN_LBC于N,

設(shè)CQ=x，貝UNQ=8-3-x=5-x.

易知MN=AB=4,CF=CE=2,z\MNQs.?.竺=”.?.土=—,

CFCQ2X

解得：%=|,即CQ=|.

故答案為：|

5.(-0.4,0)［解析］如圖所示作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H,連接EH,

D(0,4),H(0,-4),ED=EH.

將點(diǎn)H向左平移3個(gè)單位長度，得到點(diǎn)G(-3,-4),.?.EF=HG,EF〃HG....四邊形EFGH是平行四邊形.二

EH=FG.FG=ED//B(-4,6),BD=J(—4—0)2+(6-4)2=2瓜又EF=3,四邊形BDEF的周長

=BD+DE+EF+BF=2岔+FG+3+BF.要使四邊形BDEF的周長最小,則應(yīng)使FG+BF的值最小.而當(dāng)F,G,B三點(diǎn)共線時(shí)

FG+BF的值最小.設(shè)直線BG的解析式為：y=kx+b(k#O).

VB(-4,6),G(-3,-4),.\{-4k-b=b=-4,竹=y=-10x-34.

lb=-34.

當(dāng)y=O時(shí),x=-3.4,；.F(-3.4,0).，E(-0.4,0).

6.2V10+2［解析］作點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)B1,將點(diǎn)B，沿射線CD方向平移2個(gè)單位長度到點(diǎn)B",

連接BB”,交CF于點(diǎn)E；將點(diǎn)E沿EC方向平移2個(gè)單位長度到點(diǎn)D,連接BD,BD,此時(shí)ABDE的周長最小.

由sin口=|鳳=5,易得BB，=6,由勾股定理易得B『=29，，則ABDE的周長的最小值為2V10+2.

7.(刻)［解析］如圖，將點(diǎn)B(0,4)沿射線AE方向平移線段AE的長度得點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,5).連接

BM,ME；易證四邊形BMEA是平行四邊形，則A,B=E'M.

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1),將AAEO沿x軸向右平移得到AAEO.

設(shè)AA'=n,則EE，=n,.,.點(diǎn)E'(n,l),即點(diǎn)E在直線y=l上.

作點(diǎn)M關(guān)于直線y=l的對(duì)稱點(diǎn)M；連接EM；則點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,-3).

當(dāng)點(diǎn)B,E,M在同一條直線上時(shí),BE+ENT最小，即此時(shí)AB+BE取得最小值.設(shè)直線BM，的表達(dá)式為y=kx+b,

k=--

則解得

Zi/v?u—D,b=4,

二直線BM，的表達(dá)式為y=-1%+4.

當(dāng)y=l時(shí),-|x+4=1,

解得%=p

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)是(?,點(diǎn)

8.18［解析］解法一：作點(diǎn)D關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)D1將點(diǎn)D沿射線AC方向平移AC的長度到點(diǎn)D“，連

接DD”，再將點(diǎn)C沿平行于1方向平移交DD”于點(diǎn)C；將AB沿直線1向左平移到AB位置，且使/ABC=90。,

連接DA',AC,A'D'.

因?yàn)镈,D兩點(diǎn)關(guān)于1對(duì)稱，易得DA'=由平移易得四邊形ADD"C為平行四邊形，所以.=D'A'=

D'C「.由兩點(diǎn)之間線段最短知DC+DC最短，為DD”,即DA+DC的最小值為DD”的長，因?yàn)樗倪呅蜛BCD有兩條定

邊，即此時(shí)周長最短.

過D"作D"E，DD,易得D”E=6,DE=2,在R3DED”中易得DD”=10,即四邊形ABCD周長的最小值為18.

解法二：乾坤倒轉(zhuǎn)兩動(dòng)點(diǎn)看成定點(diǎn)——先對(duì)稱再連接

將動(dòng)點(diǎn)A,C看作定點(diǎn)，則本題迅速變?yōu)槲覀兪熘摹皟啥ㄒ粍?dòng)型”飲馬問題，易得下圖，可得四邊形ABCD周

長的最小值為18.

9.解：⑴.??拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-l,與x軸的交點(diǎn)為A,B(-3,0),

.??可以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-l).

把C(0,-3)代入得a=l,

,拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

.直線y=-2x+m經(jīng)過點(diǎn)A(1,O),

/.0=-2+m.m=2.

(2)如圖①，

,??直線AF的解析式為y=-2x+2,交y軸于D,與拋物線交于點(diǎn)E,.\D(0,2).

由0一；；；身解得｛；：＞m，'：E點(diǎn)在第二象限,??.E(-5,12).

過點(diǎn)E作EPLy軸于P.

*.?ZEPD=ZAOD=90°,ZEDP=ZODA,

AEDP^AADO./.P(0,12).

過點(diǎn)E作EP」DE交y軸于P',

同法可證AP'DEsAADO,

ZEP'D=ZDAO.

tanZ.EP'D=tanZ.DAO.

?ppr

,,,—■.,_2_,—￡..,rr—2乙.Js.

PP'OA?PP'1?

??.P'(0,14.5).

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,12)或(0,14.5).

⑶E,F為定點(diǎn),線段EF的長為定值.

...當(dāng)EM+FN的和最小時(shí),四邊形MEFN的周長最小.

如圖②,畫出直線y=l,將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位得到F；

作點(diǎn)E關(guān)于直線y=l的對(duì)稱點(diǎn)E；連接EF與直線y=l交于點(diǎn)M,連接FN,

由作圖可知,EM=E，M,FN=FM.

：E,M,F三點(diǎn)共線.

EM+FN=E'M+F'M=EF”此時(shí)EM+FN的值最小.

?，點(diǎn)F為直線y=-2x+2與直線x=-l的交點(diǎn)，

.,.F(-l,4)..\F'(-3,4).

如圖②，延長FF交線段EE于W,

?；FF〃直線y=l,

.,.FW±EE,,

在RtAWEF中，EF=-JEW2+FW2=7(12-4)2+(-1+5)2=4V5,

在RtAE'F'W中,.E'F'=