2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的四邊形問題（二階）（學(xué)生版+教師版）

/2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的特殊四邊形問題（二階）學(xué)生版考法探究突破考法一平行四邊形問題1.求作平行四邊形的方法：（1）三定頂點(diǎn)，一動(dòng)頂點(diǎn)：分別過三個(gè)定點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，三條所作直線的交點(diǎn)即為所求動(dòng)點(diǎn)；（2）兩定頂點(diǎn)，兩動(dòng)頂點(diǎn)：已知A，B為兩定點(diǎn)，分兩種情況討論：①情況一：若AB為平行四邊形的邊，如圖1，平移AB，確定另外兩點(diǎn)的位置；②情況二：若AB為平行四邊形的對(duì)角線，如圖2，取AB的中點(diǎn)，作過中點(diǎn)的直線確定另外兩點(diǎn)的位置.2.求點(diǎn)坐標(biāo)常用方法：（1）坐標(biāo)平移法：通過點(diǎn)的平移，求坐標(biāo)；（2）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1（3）平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），則xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝y(tǒng)B＋yD，即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.考法二矩形問題3.求作矩形的方法條件：已知A，B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn).分兩種情況討論：①當(dāng)以AB為矩形的邊時(shí)，如圖1，分別過點(diǎn)A，B作AC⊥AB，BC⊥AB確定點(diǎn)C，再利用矩形對(duì)邊平行的性質(zhì)確定點(diǎn)D；②當(dāng)以AB為矩形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，以AB為直徑構(gòu)造輔助圓，圓與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C，過點(diǎn)A，B分別作BC，AC的平行線確定點(diǎn)D.考法三正方形問題4.求作正方形的方法：當(dāng)已知線段為邊時(shí)，分別過兩端點(diǎn)作已知線段的垂線，再在兩垂線上截取與已知線段相等的線段，即可得正方形；當(dāng)已知線段為對(duì)角線時(shí)，以已知線段的中點(diǎn)為圓心，線段的一半為半徑畫圓，再作線段的垂直平分線，與圓的交點(diǎn)即為所求.【溫馨提示】（1）在菱形的基礎(chǔ)上滿足有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等即可.（2）在矩形的基礎(chǔ)上滿足鄰邊相等或?qū)蔷€垂直即可.考法四菱形問題5.求作菱形的方法條件：已知A，B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn).分兩種情況討論：①當(dāng)以AB為菱形的邊時(shí)，如圖1，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫☉A交直線l于點(diǎn)C，再分別過點(diǎn)B，C作AC，AB的平行線確定點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫☉B(tài)交直線l于點(diǎn)C，再分別過點(diǎn)A，C作BC，AB的平行線確定點(diǎn)D；②當(dāng)以AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)C，再畫☉O確定點(diǎn)D.題型分類過關(guān)類型一平行四邊形存在性問題1.（2024歷城二模節(jié)選）如圖，拋物線y＝x2＋bx與x軸交于點(diǎn)A，與直線y＝x交于點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)C（0，4）在y軸上.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BO方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止.（1）求拋物線y＝x2＋bx的表達(dá)式；（2）在圖中過點(diǎn)P作PD⊥OA交拋物線于點(diǎn)D，連接PC，OD，類型二矩形存在性問題2.如圖，拋物線y＝ax2－x＋c與x軸交于A（－4，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），直線x＝－3與x軸交于點(diǎn)F.（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是拋物線上位于第二象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OF和直線x＝－3上是否分別存在點(diǎn)Q，G，使以C，Q，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以CQ為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；薦不存在，請(qǐng)說明理由.類型三正方形存在性問題3.（2023章丘二模）如圖，二次函數(shù)y＝－13x2＋bx＋c的圖象過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（8，0）（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在x軸上方作x軸的平行線y1＝m，交二次函數(shù)圖象于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C.當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求m的值.類型四菱形存在性問題4.如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）與x軸交于A，O兩點(diǎn)，已知該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1），點(diǎn)B橫坐標(biāo)為1.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)D，使得以A，B，D，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)1.如圖，直線y＝－x＋4交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝32的拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M，作x軸的垂線PN，垂足為點(diǎn)N，直線MN交y軸于點(diǎn)D（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若0＜m＜32，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形2.如圖，二次函數(shù)y＝x2－6x＋8的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線l是對(duì)稱軸.點(diǎn)P在函數(shù)圖象上，其橫坐標(biāo)大于4，連接PA，PB，過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為r的圓，PT與☉M相切，切點(diǎn)為T.（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）四邊形ABPM能是一個(gè)菱形嗎？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由.2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的特殊四邊形問題（二階）教師版考法探究突破考法一平行四邊形問題1.求作平行四邊形的方法：（1）三定頂點(diǎn)，一動(dòng)頂點(diǎn)：分別過三個(gè)定點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，三條所作直線的交點(diǎn)即為所求動(dòng)點(diǎn)；（2）兩定頂點(diǎn)，兩動(dòng)頂點(diǎn)：已知A，B為兩定點(diǎn)，分兩種情況討論：①情況一：若AB為平行四邊形的邊，如圖1，平移AB，確定另外兩點(diǎn)的位置；②情況二：若AB為平行四邊形的對(duì)角線，如圖2，取AB的中點(diǎn)，作過中點(diǎn)的直線確定另外兩點(diǎn)的位置.2.求點(diǎn)坐標(biāo)常用方法：（1）坐標(biāo)平移法：通過點(diǎn)的平移，求坐標(biāo)；（2）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1（3）平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），則xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝y(tǒng)B＋yD，即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.考法二矩形問題3.求作矩形的方法條件：已知A，B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn).分兩種情況討論：①當(dāng)以AB為矩形的邊時(shí)，如圖1，分別過點(diǎn)A，B作AC⊥AB，BC⊥AB確定點(diǎn)C，再利用矩形對(duì)邊平行的性質(zhì)確定點(diǎn)D；②當(dāng)以AB為矩形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，以AB為直徑構(gòu)造輔助圓，圓與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C，過點(diǎn)A，B分別作BC，AC的平行線確定點(diǎn)D.考法三正方形問題4.求作正方形的方法：當(dāng)已知線段為邊時(shí)，分別過兩端點(diǎn)作已知線段的垂線，再在兩垂線上截取與已知線段相等的線段，即可得正方形；當(dāng)已知線段為對(duì)角線時(shí)，以已知線段的中點(diǎn)為圓心，線段的一半為半徑畫圓，再作線段的垂直平分線，與圓的交點(diǎn)即為所求.【溫馨提示】（1）在菱形的基礎(chǔ)上滿足有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等即可.（2）在矩形的基礎(chǔ)上滿足鄰邊相等或?qū)蔷€垂直即可.考法四菱形問題5.求作菱形的方法條件：已知A，B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn).分兩種情況討論：①當(dāng)以AB為菱形的邊時(shí)，如圖1，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫☉A交直線l于點(diǎn)C，再分別過點(diǎn)B，C作AC，AB的平行線確定點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫☉B(tài)交直線l于點(diǎn)C，再分別過點(diǎn)A，C作BC，AB的平行線確定點(diǎn)D；②當(dāng)以AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)C，再畫☉O確定點(diǎn)D.題型分類過關(guān)類型一平行四邊形存在性問題1.（2024歷城二模節(jié)選）如圖，拋物線y＝x2＋bx與x軸交于點(diǎn)A，與直線y＝x交于點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)C（0，4）在y軸上.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BO方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止.（1）求拋物線y＝x2＋bx的表達(dá)式；（2）在圖中過點(diǎn)P作PD⊥OA交拋物線于點(diǎn)D，連接PC，OD，當(dāng)四邊形OCPD是平行四邊形時(shí)，求BP的長(zhǎng).解：（1）∵拋物線y＝x2＋bx過點(diǎn)B（4，4），∴16＋4b＝4，∴b＝－3，∴y＝x2－3x.（2）∵OC⊥x軸，PD⊥x軸，∴PD∥OC，∵四邊形OCPD是平行四邊形；∴PD＝OC，∵C（0，4），∴PD＝OC＝4，∵點(diǎn)P在y＝x上，設(shè)P（a，a），∴D（a，a2－3a），∴PD＝a－（a2－3a）＝－a2＋4a＝4，解得a＝2，∴P（2，2）.∵B（4，4），∴PB＝22.類型二矩形存在性問題2.如圖，拋物線y＝ax2－x＋c與x軸交于A（－4，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），直線x＝－3與x軸交于點(diǎn)F.（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是拋物線上位于第二象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OF和直線x＝－3上是否分別存在點(diǎn)Q，G，使以C，Q，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以CQ為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；薦不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）將A（－4，0），C（0，4）的坐標(biāo)代入y＝ax2－x＋c中，得0=16a+4+c，4=c，解得a＝－12，（2）存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為n,?12n2－n+4，如圖1，過點(diǎn)∵四邊形CPGQ是矩形，∴CP＝QG，∠PCQ＝∠CQG＝90°，∴∠GQF＋∠OQC＝∠CQO＋∠QCO＝∠OCQ＋∠PCH＝∠PCH＋∠HPC＝90°，∴∠GQF＝∠OCQ＝∠HPC，∵∠QFG＝∠PHC＝90°，CP＝QG，∴△QGF≌△PCH（AAS），∴FQ＝PH＝－n，OQ＝3＋n，F(xiàn)G＝CH＝－12n2－n.∵∠GQF＝∠OCQ，∴△FQG∽△OCQ，∴FQOC＝FGOQ，即－n4＝－12n2－n3+n，解得n＝0（舍去）或n＝－1，∴Q（－2，0）如圖2，過點(diǎn)G作GN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，同理可得NG＝QM＝3，OQ＝－3－n，∵∠OQC＝∠QPM，∴△OQC∽△MPQ，∴OCOQ＝MQMP，即4－3－n＝3－12n2－n+4，化簡(jiǎn)得－2n2－n＋25＝0，解得n類型三正方形存在性問題3.（2023章丘二模）如圖，二次函數(shù)y＝－13x2＋bx＋c的圖象過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（8，0）（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在x軸上方作x軸的平行線y1＝m，交二次函數(shù)圖象于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C.當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求m的值.解：（1）將（0，0），（8，0）代入y＝－13x2＋bx＋c，c=0，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－13x2＋83（2）當(dāng)y＝m時(shí)，－13x2＋83x＝解得x1＝4－16－3m，x2＝4∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4－16－3m點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4＋16－3m∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4－16－3m點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4＋16－3m，∵矩形ABCD為正方形，∴4＋16－3m－（4－16－解得m1＝－16（舍去），m2＝4.∴當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，m的值為4.類型四菱形存在性問題4.如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）與x軸交于A，O兩點(diǎn)，已知該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1），點(diǎn)B橫坐標(biāo)為1.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)D，使得以A，B，D，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1），∴－b2a＝－將頂點(diǎn)坐標(biāo)（－1，－1）代入y＝ax2＋bx，得a－b＝－1②，聯(lián)立①②可得a＝1，b＝2，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x.（2）存在.令y＝x2＋2x中y＝0，得x2＋2x＝0，解得x1＝－2，x2＝0，∴A（－2，0）.將x＝1代入y＝x2＋2x中，得y＝3，∴B（1，3）.設(shè)點(diǎn)D（－1，m），當(dāng)AB為菱形的邊時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)AD＝AB時(shí)，AD2＝AB2＝（－2－1）2＋32＝18，即（－2＋1）2＋m2＝18，解得m＝±17，∴D（－1，17）或（－1，－17）.②當(dāng)BD＝AB時(shí)，BD2＝AB2＝18，即（1＋1）2＋（3－m）2＝18，解得m＝3±14，∴D（－1，3＋14）或（－1，3－14）③當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，DA2＝DB2，即（－2＋1）2＋m2＝（1＋1）2＋（3－m）2，解得m＝2，∴D（－1，2）.綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，17）或（－1，－17）或（－1，3＋14）或（－1，3－14）或（－1，2）.達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)1.如圖，直線y＝－x＋4交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝32的拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M，作x軸的垂線PN，垂足為點(diǎn)N，直線MN交y軸于點(diǎn)D（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若0＜m＜32，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形解：（1）在直線y＝－x＋4中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），由題可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax－322＋k（a≠0），把B（4，0），C（0，得a4－322＋k=0，a0－322＋k=4（2）由題可設(shè)P（m，－m2＋3m＋4），∴PN＝－m2＋3m＋4.當(dāng)四邊形CDNP是平行四邊形時(shí)，PN＝CD，∴OD＝－m2＋