內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市回民區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采集數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)第19頁(yè)，共19頁(yè)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采集一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)先求出直線斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系求得傾斜角.【詳解】由已知直線AB的斜率，設(shè)直線傾斜角為，則，所以.故選：B.2.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】C【解析】【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.3.在四面體中，點(diǎn)為線段靠近的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】因?yàn)樗拿骟w中，點(diǎn)為線段靠近的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以，故．故選：A4.已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時(shí)答對(duì)的概率為23，在A題答對(duì)的情況下，B題也答對(duì)的概率為，則A題答對(duì)的概率為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A：答對(duì)A題，事件B：答對(duì)B題，則，..故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5.下列說(shuō)法正確的是（）A.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1B.回歸直線方程為時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)C.在回歸直線方程中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測(cè)值y增加0.5個(gè)單位D.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)中的一個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)回歸方程概念性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樾甭市∮?，所以變量x和y負(fù)相關(guān)，故B正確；對(duì)于C，在回歸直線方程中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)觀測(cè)值y約增加0.5個(gè)單位，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線，必過(guò)點(diǎn)，不一定經(jīng)過(guò)中的點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選:B．6.在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為原點(diǎn)，以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由求解.【詳解】解：以為原點(diǎn)，以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，則，，，，所以，，所以，故與所成角的余弦值為．故選：C7.某校高二年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷滿分為150分，90分以上（含90分）為及格．閱卷結(jié)果顯示，全年級(jí)1200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷的難度系數(shù)（難度系數(shù)平均分/滿分）為0.49，標(biāo)準(zhǔn)差為22，則該次數(shù)學(xué)考試及格的人數(shù)約為（）附：若，記，則．A.136人 B.272人 C.328人 D.820人【答案】B【解析】【分析】首先求出平均數(shù)，即可得到學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，再根據(jù)所給條件求出，即可求出，即可估計(jì)人數(shù)．【詳解】由題得，，，，該校及格人數(shù)為（人），故選：B．8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與，有關(guān)齊次式即可得離心率．【詳解】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，，則四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，，則，因?yàn)?，所以，故，則有，即，即，則，由，故．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于，，之間的等量關(guān)系，本題中結(jié)合題意與雙曲線的定義得出，與的具體關(guān)系及的大小，借助余弦定理表示出與，有關(guān)齊次式，即可得解．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)人排成一列，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若其中甲不能排在最后，有96種不同的排隊(duì)方法B.若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72種不同的排隊(duì)方法C.若其中甲乙必須相鄰，有48種不同的排隊(duì)方法D.若其中甲乙不能相鄰，有36種不同的排隊(duì)方法【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于AB，先安排特殊的人甲或甲、乙、，再安排其它人即可；對(duì)于C，采用捆綁法，將甲和乙捆綁在一起，再和剩余3人放在一起排隊(duì)，即可求得結(jié)果；對(duì)于D，采用插空法，先安排丙、丁、戊3個(gè)人，在形成的4個(gè)空中，再排甲乙，即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：甲不能排在最后，則甲有種排法，剩下乙、丙、丁、戊4個(gè)人全排有種排法，所以排隊(duì)方法有種，故A正確；對(duì)于B：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，則共有種排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有種排法；則所有的排隊(duì)方法有種，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：甲乙兩人相鄰，將甲和乙捆綁在一起，和剩余3人放在一起排隊(duì)，則共有種排隊(duì)方法，故C正確；對(duì)于D：甲乙兩人不能相鄰，則先安排其余丙、丁、戊3個(gè)人，有種排法，在形成的4個(gè)空中，再排甲乙，有種排隊(duì)方法，故共有種排隊(duì)方法，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若，則 B.C. D.面積的最小值為16【答案】ACD【解析】【分析】確定焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，設(shè)直線為，聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義逐項(xiàng)計(jì)算判斷.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，，直線不垂直于軸，設(shè)方程為，由，得，則，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確．故選：ACD11.一種疾病需要通過(guò)核酸檢測(cè)來(lái)確定是否患病，檢測(cè)結(jié)果呈陰性即沒(méi)患病，呈陽(yáng)性即為患病，已知7人中有1人患有這種疾病，先任取4人，將他們的核酸采樣混在一起檢測(cè)．若結(jié)果呈陽(yáng)性，則表明患病者為這4人中的1人，然后再逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定患病者為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外3人中逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定患病者為止．則（）A.最多需要檢測(cè)4次可確定患病者B.第2次檢測(cè)后就可確定患病者的概率為C.第3次檢測(cè)后就可確定患病者概率為D.檢測(cè)次數(shù)的期望為3【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，分患病者在混檢的4人中和患病者不在混檢的4人中兩種情況分析判斷即可，對(duì)于B，分患者在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次抽到他和患者不在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次抽到他兩種情況求解，對(duì)于C，分患者在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第2次抽到他和患者不在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次未抽到他兩種情況求解即可，對(duì)于D，設(shè)檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量，則可能取2，3，4，求出相應(yīng)的概率，從而可求出期望.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)患病者在混檢的4人中時(shí)，第2次和第3次都未檢測(cè)出患病者，則需要進(jìn)行第4次檢測(cè)，第4次可能檢測(cè)到患者，若第4次還是陰性，則剩下未測(cè)者為患者，所以最多要檢測(cè)4次可確定患病者，若患病者不在混檢的4人中時(shí)，最多再檢測(cè)2次就可確定患者，所以A正確；對(duì)于B中，第2次檢測(cè)后就可確定患病者有兩種情況：（1）患者在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次抽到他；（2）患者不在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次抽到他，所以其概率，所以B正確；對(duì)于C中，第3次檢測(cè)后可確定患病者有兩種情況：（1）患者在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第2次抽到他；（2）患者不在混檢中并在逐個(gè)檢測(cè)時(shí)第1次未抽到他，其概率為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，設(shè)檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量，則其分布列為234所以，故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是______.【答案】180【解析】【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先法，按照0是否被取到，先分類(lèi)再分步即可解決.【詳解】根據(jù)題意，可將四位數(shù)分成兩類(lèi)：第一類(lèi)，數(shù)字0被取到，則可從2，4中任選一個(gè)，再?gòu)?，3，5中任選兩個(gè)，接著從除0外的另外三個(gè)數(shù)中取一個(gè)排在首位，剩下的在三個(gè)數(shù)位上全排，此時(shí)共有個(gè)四位數(shù)；第二類(lèi)，數(shù)字0沒(méi)被取到，故2，4全被取到，只需從1，3，5中任選兩個(gè)，再與2，4共4個(gè)數(shù)字在四個(gè)數(shù)位上全排，此時(shí)共有個(gè)四位數(shù).根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故答案為：180.13.已知圓，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則四邊形的面積的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】首先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再由、，將問(wèn)題化為先求最小值，進(jìn)而求最小面積.【詳解】由，即，則，半徑，所以到的距離，即直線與圓相離，如下圖示，由題意，且，而，所以，要使四邊形的面積最小，只需最小，又，即只需最小，顯然，所以，故最小故答案為：.14.英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個(gè)高爾頓釘板的設(shè)計(jì)圖，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛(ài)動(dòng)腦的小明設(shè)計(jì)了一個(gè)不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時(shí)，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小球依次滾下時(shí)，最終都落入釘板下面的5個(gè)不同位置.若一個(gè)小球從正上方落下，經(jīng)過(guò)5層釘板最終落到4號(hào)位置的概率是______.【答案】【解析】【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)計(jì)算概率即可.【詳解】因?yàn)橄蜃笙侣涞母怕蕿橄蛴蚁侣涞母怕实?倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，則下落的過(guò)程中向左一次，向右三次才能最終落到4號(hào)位置，此時(shí)概率為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，15題13分，16和17題各15分，18和19題各17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．15.已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）0（3）【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式(且)求解；（2）分別令，令求解；（3）根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)得到偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，令求解.【小問(wèn)1詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為：(且)，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】令，得，令，得，所以．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為(且)，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)．所以，令，得，．16.某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和外語(yǔ)3門(mén)全國(guó)統(tǒng)考科目；“1”為考生在物理和歷史中選擇1門(mén)；“2”為考生在思想政治、地理、化學(xué)和生物4門(mén)中再選擇2門(mén)．為了研究高一年級(jí)學(xué)生的選科類(lèi)別是否與選生物有關(guān)聯(lián)，在某中學(xué)高一年級(jí)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：選科類(lèi)別是否選擇生物合計(jì)選擇生物不選擇生物物理類(lèi)10060160歷史類(lèi)152540合計(jì)11585200（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選科類(lèi)別與選擇生物有關(guān)聯(lián)?（2）現(xiàn)從選物理類(lèi)的樣本中，按分層隨機(jī)抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組，從抽取的8人中再隨機(jī)抽取3人參加生物競(jìng)賽，求這3人中，選擇生物的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828【答案】（1）推斷選科類(lèi)別與選生物有關(guān)聯(lián)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）依題意的可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)為：選科類(lèi)別與選生物無(wú)關(guān)聯(lián)，計(jì)算所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷選科類(lèi)別與選生物有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；【小問(wèn)2詳解】依題意選擇生物的人抽取人，不選擇生物的人抽取人，則的可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為：0123所以數(shù)學(xué)期望.17.某種體育比賽采用“五局三勝制”，具體規(guī)則為比賽最多進(jìn)行五場(chǎng)，當(dāng)參賽的兩方有一方先贏得三場(chǎng)比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場(chǎng)比賽都需分出勝負(fù)．現(xiàn)甲，乙雙方參加比賽，已知甲每局獲勝的概率為，假設(shè)每場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲以獲勝的概率；（2）設(shè)比賽場(chǎng)數(shù)為．試求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）如果還有“三局兩勝制”可以選擇，你覺(jué)得哪種賽制對(duì)甲更有利？【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）甲應(yīng)該采用“五局三勝制”．【解析】【分析】（1）根據(jù)乘法公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算出，列出分布列，即可求出；（3）分別求出采用“五局三勝制”和“三局兩勝制”甲獲勝的概率，比較大小即可下結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】若甲以獲勝，則第四局甲獲勝，且前三局的比分為，所以．【小問(wèn)2詳解】易知取值為3，4，5．，，，故的概率分布列為：345所以的數(shù)學(xué)期望為：．【小問(wèn)3詳解】采用“五局三勝制”甲會(huì)以、、獲勝，所以甲采用“五局三勝制”獲勝的概率：；采用“三局兩勝制”甲會(huì)以、獲勝，所以甲采用“三局兩勝制”獲勝的概率：因?yàn)椋约讘?yīng)該采用“五局三勝制”．18.如圖，在四棱錐中，平面，且為CD的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式求解即可；（3）不妨設(shè)則設(shè)出的坐標(biāo)，利用向量求線面所成的角的正弦值得出的坐標(biāo)，然后求解點(diǎn)到平面的距離即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，即兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而所以，令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，所以，令，則，記平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】依題意，不妨設(shè)則又由（2）得平面的一個(gè)法向量為，記直線CM與平面所成角為，所以