2025人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量模擬檢測（二）（含解析）

2024-2025學(xué)年上學(xué)期人教A版)高二年級期末教學(xué)質(zhì)量模擬檢測

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)

中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.若過點(diǎn)A(l,l)的直線/與圓C：x2+y2_4x_8y+2=0交于M，N兩點(diǎn),則弦長|兒網(wǎng)的最小值

為()

A4B2A/2C.40D.8夜

2.已知圓￡：/+,2=4和圓：/+/一8%一6丁+16=0,則G與的位置關(guān)系是()

A.外切B.內(nèi)切C.相交D.外離

22

3.如果橢圓的方程是土+2L=i，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

42

A.(±2,0)B.(O,±2)C.(±V2,0)D(0,±^)

4.已知點(diǎn)P(a,l),Q(—2,—3),若|PQ|=5,則。=()

A.lB.-5C.l或_5D._］或5

AB

5.若空間中四點(diǎn)A,BCD滿足4次+AC=4DB，則，■=()

BC

113

A.AB.3C.-D._

344

6.我國古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說,

有一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)，如圖所示已

知圓O的半徑為2丈，過C作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,若MN=?JM,則對角線

AC長度為()

A.4+2a丈B.2+后丈

C.10-2拒丈D.2+4行丈

7.拋物線＞2=4x的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為()

1

A.-B.lC.2D.4

2

8.已知向量Z=(l,2,—6),S=(1,1,73),則￡?B=()

A.-lB.OC.lD.2

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知｛￡,瓦斗構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）

A.a+2c,a+2b,b-c

B.a+2b,a-b,b-c

C.a-b,a+c,b-c

D.〃+B,a+b+c,b+c

22

10.已知橢圓C：3+J=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，工，點(diǎn)尸為橢圓C上一動點(diǎn),則下列說法正確的是

（）

A.橢圓C的離心率為L

2

B.|P1的最大值為6

的周長為

c.Z\FXPF210

D.存在點(diǎn)P,使得△KPK為等邊三角形

11.已知曲線0：/+根》2=1，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若0＜加＜1，則C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

B.若加=1，則C是圓

C若m＞1，則C是焦點(diǎn)在V軸上的橢圓

D.若爪=0,則C是兩條平行于y軸的直線

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若直線乙：屈一y—3=°與直線4：X+"9+=°平行，則/］與6之間的距離為.

13.空間直角坐標(biāo)系O-孫z中，過點(diǎn)？(1，%，20)且一個法向量為7=(。,女。)的平面￡的方程為

。(%-％0)+》(丁—%)+c(z—z0)=0,閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面a的方程為

2x—y+z—4=0,直線/是兩平面2x—y+5=0與x+3z—3=0的交線，則直線/與平面a所成

角的正弦值為.

14.若點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)5(—1,3)關(guān)于直線/:7九t+y+”=0對稱，貝！1772+〃=-

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在空間四邊形ABCD中，連接AC,5。設(shè)G分別是BC,的中點(diǎn)，化簡下列各向量

表達(dá)式：

(1)AB+BC+AD；

—■1—■—.

(2)AD--(AB+AC).

16.平面幾何中有一定理：三角形任意一個頂點(diǎn)到其垂心(三角形三條高所在直線的交點(diǎn))的距離等

于外心(三角形外接圓的圓心)到該頂點(diǎn)對邊距離的2倍.已知△ABC的垂心為。，外心為E,。和

E關(guān)于原點(diǎn)。對稱，4(13,0).

(1)若E(3,0),點(diǎn)8在第二象限，直線5CJ_龍軸，求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

22

(2)若A,D,E三點(diǎn)共線，ZVIBC有一內(nèi)切橢圓T：A+2y=l(a〉6〉0),證明：D,E為橢圓

ab

T的兩個焦點(diǎn).

17.化簡：^(2a-b+41)一511^一；5+++

18.如圖,在平面四邊形A3CD中，A5=AO=1，BC=CD=Y2,且5C,CD，以瓦)為折痕把

2

△AB。和△CBD向上折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置，且E產(chǎn)不重合.

D

(1)求證：EFLBD，

⑵若點(diǎn)G為△AB。的重心(三條中線的交點(diǎn))，石G,平面求直線50與平面ABE所成角的

余弦值.

19.如圖，在四棱錐P—A5c。中，底面ABCD為正方形，平面PA。J_底面ABC。，△PAD是

邊長為6的正三角形，E,F分別是線段AB和PZ)上的點(diǎn)，AE=4-

(1)試確定點(diǎn)歹的位置，使得人尸〃平面PEC，并證明；

(1)若直線C戶與平面Q4O所成角的正切值為之，求平面ABC與平面AFC夾角的余弦值.

-2

參考答案

I.答案：C

解析：/+/一4%—8y+2=o可化為(X—2)2+0—4)2=18，可得圓心C(2,4)，半徑廠=3a?

當(dāng)C4_U時，|MN|最小，此時點(diǎn)C到/的距離d=|CA|=可，

所^\MN\的最小值為24=2718-10=472-

故選：C

2.答案：A

解析：由C2：(x—4)2+(y—3)2=9,可得Ci與G的圓心距是5,又(+々=5,所以G與。2外切，故選

A.

3.答案：C

解析：由02=/一廿=2,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±0,0卜故選c.

4.答案：C

解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(?,l)，Q(—2,—3),所以|PQ|=&+2)2+(1+3)2=5，

所以|a+2|=3,則q=l或一5?

故選:C.

5.答案：A

解析：?.?4方X+前=4麗，

:.AC=4(DB-DA^=4AB

二荏+碇=4通，

AB1

即團(tuán)=3同，則

BC3

故選:A.

6.答案：A

解析：記OC與MN相交于E,

過。作A3的垂線，與A3相交于尸點(diǎn)，如圖所示，

DC

OM=2丈,MN=?)M=2出文,

則腔=工加=百丈,

2

MF、石

在RtAMOE中，sinNMOE=——,

MO2

則NMOE=60°,

RtZXMOC中，OC=2OM=4丈,

RtaA。/中，OF=2文,

ZOAF=45°,則。4=2拒丈，

所以4。=0。+。4=4+2虛丈

故選：A.

7.答案：C

解析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為0,

所以由拋物線y2=4x可得p=2,

則焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2.

故選：C

8.答案：B

解析：?.?a-^=lxl+2xl+（-V3）x^=0,

故選:B

9.答案：BCD

解析：A選項(xiàng)：令&+2C=x（M+2否）+y（5—C）,

X=1r

X=1

則《2%+y=0,解得4,

即Q+2c,a+2b，b—c共面，故A選項(xiàng)不符合題意；

B選項(xiàng)：設(shè)2+=x{d-b^+y{b-c^,

x-\

則%+y=2,此方程組無解，

-y=0

即方+2萬，a-b,B—萬不共面，故B選項(xiàng)符合題意；

x=l

C選項(xiàng)：設(shè)H-5=x（H+1）+y（5—d），貝！1＜丁二一1,

x-y=0

此方程組無解，即方-5,a+c,B-△不共面，故C選項(xiàng)符合題意；

D選項(xiàng)：設(shè)m+5=x（d+b+c^+y[b+c^,

x=l

則＜%+）=1,

x+y=0

此方程組無解，a+b,a+b+c,石+E不共面，故D選項(xiàng)符合題意；

故選：BCD.

10.答案：ABD

22________

解析：由橢圓C：上+2L=1，可得。=4心=26，則0=，/_62=2、

1612

對于選項(xiàng)A橢圓C的離心率e=￡=J,故A正確；

a2

對于選項(xiàng)B,當(dāng)點(diǎn)尸為橢圓C的右頂點(diǎn)時，可得|尸片|=Q+C=6,故B正確；

I1Imax

對于選項(xiàng)c,ARPF2的周長為2a+2c=12,故C錯誤；

對于選項(xiàng)D,當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的短軸的端點(diǎn)時，可得歸用=|尸閶=。=4，由閭=2c=4,此時△4Pg

為等邊三角形，故D正確.

故選:ABD

11.答案：ABD

解析：對于A,若0＜7“＜1，則工＞1，

m

所以C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；

對于B,若加=1,則曲線。：爐十,2=],

所以。是圓，故B正確;

對于c,若根＞1，則

m

所以C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C錯誤；

對于D,若m=0,則％=±1,

所以C是兩條平行于y軸的直線，故D正確.

故選:ABD.

12.答案：2

2

解析：因?yàn)橹本€4:-3=0與直線Z,:x+my+2y/3=0平行，

所以直線4斜率存在，且—工=也，得到加=_1，此時心％-且＞+2君=0,即

m33

j

l2：y[3x—y+6=0滿足/J//2，

-1-3-619

所以1與4之間的距離d==

故答案為：2.

2

13.答案：遠(yuǎn)m

138

解析：法一：因?yàn)槠矫鎍的方程為2x—y+z—4=0,

所以平面a的一個法向量[=(2,—1,1)，

又直線/」2"一，一5=。上有兩個點(diǎn)A12,—1—],B(0,-5,l),

x+3z-3=0I3j

所以直線/的方向向量為玩=麗=(2,4,—g)，

所以直線/與平面?所成角的正弦值為|cos〈沅，滂|=

故答案為：叵.

138

法二：由題知兩平面2%一y+5=0與x+3z—3=0的法向量分別為濟(jì)=(2,—1,0)，卮=(1,0,3)，

設(shè)直線I的一'個方向向量m=(x,y,z)，

--?(

則比2=°即產(chǎn)一尸°,取x=l，則比=1,2,—；

m-m2=0x+3z=0

又平面a的法向量￡,=(2,-1,1)，

V69

所以直線/與平面所成角的正弦值為

a13?

故答案為：叵.

138

14.答案：_2

解析：因?yàn)辄c(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)8(—1,3)關(guān)于直線/:如+y+〃=0對稱，

所以/是線段A3的垂直平分線，由AB，/，可得上----(-m)=-1解得m=l-

—1—0

又A5的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一所以—2+2+〃=0,解得〃=—3?

I22J22

故加+〃=—2.

故答案為：_2-

15.答案：(1)2%不

⑵而

解析：(1)通+反^+亞=正+國5,

：G是的中點(diǎn)，

：.AC+AD=2AG；

B

(2)；M是3c的中點(diǎn),

AB+AC=2AM,

AD-^(AB+AC)=AD-AM=MD.

16.答案：(1)5(—5,6)

(2)見解析

解析：(1)因?yàn)镋(3,0),。和￡關(guān)于原點(diǎn)。對稱，所以￡>(—3,0).

設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為歹(,0)(〃z>0),如圖所示.

即13+3=2(m+3),解得機(jī)=5.

設(shè)6(—5,〃)5>0),因?yàn)閨BE|=|AE|,所以|班T+|EfT=|AE/，

則1+(3+5)2=(13—3)2,解得〃=6.

所以3(—5,6).

(2)證明：因?yàn)?。和E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且A,D,E三點(diǎn)共線，

所以A,D,E,。四點(diǎn)共線，即點(diǎn)A,D,E,。都在無軸上.

因?yàn)樗訠CJL尤軸.

因?yàn)椤鰽BC的外心為E,所以|5E|=|CE|,所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱.

設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為F(-m,0),B(—m,n),C(—m,—ri),D(—s,0),E(s,0)(”,s>0,且加Ws).

由題意可得IAD|=21石/I，即13+s=2(m+s),化簡得s=13—2m.

直線CD的斜率為二?,直線AB的斜率為-——,

—s+m3m—1313+m

所以一-—?|———]=—1,化簡得〃2=(3加—13)(加+13).?

3m-13I13+mJ

Y!

直線AB的方程為y=-------(x-13).

13+m

22

由△ABC有一內(nèi)切橢圓T:j+2r=1（。〉6〉0）,可得尸為BC與橢圓的切點(diǎn)，所以。=機(jī).

ab

y=—7^(13),

l3+m

聯(lián)立\,2整理

%+丁-1

|^Z?2(13+m)2+772,2］尤2—26m2n2x+169m2n2—m2b2(13+ni)2=0.

A=(26//2〃2)-4^Z?2(13+zn)2+zn2zz2^169/n2?2~m2b2(13+zn)2^=0,

即169n2(13+ni)2-b~(13+ni)4-m2n2(13+m)2=0.

因?yàn)?13+mA/0,所以169n2-b2(13+ZM)2—m2n?=0,

HP(13+m)(l3-m)n2-Z?2(13+m)2=0,即(13—根)/-Z?2(13+m)=0.

結(jié)合①可得廿=(13—附(3加—13).

設(shè)橢圓T的焦距為2c,則f=點(diǎn)—￡=病—H=m2—(13—m)(3m—13)=(2//7-13)2=1,

所以。，E為橢圓T的兩個焦點(diǎn).

1一1

17.答案：——a+4b——c

33

一1-105-10-

解析：原式=1——b+2c--a+-b-—c+2a+2b+c

2323

=——a+^b——c

33

18.答案：(1)證明見解析

⑵且

3

解析：(1)由題知ER=Er>=、，RF=DF=昱’

2

設(shè)8。的中點(diǎn)為”,連接EH,FH,因?yàn)镋B=ED，所以EH±BD，

又因?yàn)樽?￡)尸，所以FH_L3￡)，且即,「Hu平面EFH,EHCFH=H,

所以平面EFH，又EFu平面EFH,所以BD±EF

⑵△BCD中,由勾股定理得3￡>=1，所以△AB。為等邊三角形?

連接AG并延長交3。于且AXJ_B￡>?過G作Gx//BD-

以G為原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

在△AB￡)中,AG=2A”=走,G〃=-AH>

3336

AfO,—,olEfo,O,—Inf-,--,0

I3JI26J