2025人教版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無(wú)效。

3.測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)+選擇性必修第二冊(cè)第4章（空間向量與立體幾何+

直線與圓+圓錐曲線+數(shù)列）。

4.難度系數(shù):0.650

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

I.過點(diǎn)（I,0）和點(diǎn)（0,I）的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.135°D.150°

【答案】C

【解析】過點(diǎn)（1,0）和點(diǎn)（0,1）的直線的斜率％=得=-1,設(shè)傾斜角為則tana=-l,因?yàn)?。<&<180。，

所以a=135。.

故選：C

2.數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，%=14,佝=26,記'是｛叫的前9項(xiàng)和，則（）

A.%=8,Sg=154B.%=5,519=154C.=5fS9=126D.%=8,S9=126

【答案】D

【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,貝-%=41=26-14=12nd=3,

貝a3=a5-2d=14—6=8,S9=9a5=126.

故選：D

3.如圖，在直三棱柱ABC-AAG中，E,F分別為棱AG的中點(diǎn).設(shè)A4=o,BB,=b,8C=c，則所=

A.—a+bT—cB.-ciH—Z?+cC.ClH—bH—cD.b+-c

2222222

【答案】D

【解析】在直三棱柱ABC耳G中，E,尸分別為棱4B,4G的中點(diǎn)，

EF^EA+AA+AF^-BA+BB+-AC=-BA+BB+-(BC-BA)=b+-c.

li2l22l22

故選：D

4.在平面內(nèi)，A,8是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若AC8C=1,則點(diǎn)C的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

【答案】A

【解析】設(shè)AB=2a(a>0),以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則：A(-o,0),B(a,0),設(shè)C(x,y),可得：AC=(x+a,y),BC=(x-a,yy

從而：AC-BC=(x+a)(x-a)+y2>

222

結(jié)合題意可得：(x+a)(x—a)+V=l,整理可得：x+y=a+l,

即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，石幣為半徑的圓.

故選：A.

5.閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系。wz中，過點(diǎn)尸z°)且一個(gè)法向量為m=5,6,c)的平面口的方

程為a(尤—％)+b(y-%)+c(z—Zo)=O,過點(diǎn)2小,%*。)且方向向量為〃=(〃,v,W)(MVW^O)的直線/的方程

2

為口=匕為==.根據(jù)上述材料，解決下面問題:直線/是兩個(gè)平面x-2y+2=0與2x-z+l=0的交線，

UVW

則()是/的一個(gè)方向向量.

A.(2,1,4)B.(1,3,5)C.(1-2,0)D.(2,0,-1)

【答案】A

【解析】同理可得平面尤-2y+2=0與2x—z+l=0的一個(gè)法向量為犯=(1,-2,0)和%=(2,0,-1),設(shè)直線

/的一個(gè)方向向量為%=(尤,y,z),貝葉,不妨取x=2,則%=(2,1,4),

m2-n0=2x-z=0

故選：A.

6.設(shè)廠為拋物線。:丁=4彳的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,0),若|4q=忸與，則|鈿|=()

A.2B.272C.3D.372

【答案】B

【解析】由題意得，尸(1,0),則體司=忸可=2,即點(diǎn)人到準(zhǔn)線尸-1的距離為2,所以點(diǎn)人的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，4(1,2),所以|AB|=J(3-丁+(0-2)2=2?.

故選：B

7.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛?！ǎ凉M足：。1+生+。3+。4=4,。5+0+%+6=8,貝JS[6=()

A.60B.32C.15D.20

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為/由q+%+4+。4=4,%+。6+%+。8=8,

可得%+4+。7+。8=+〃2+。3+%)=4/=8,因?！?gt;0,解得/=2.

貝I§16=(%+%+%+“4)+(“5+〃6+%+〃8)+(“9+%0+%i+弓2)+(%3+%4+45+^16)

=4+4/+4/+4,2=4x(1+2+22+23)=60.

故選：A.

8.如圖，正方體ABCD-A4aA的棱長(zhǎng)為1，中心為0,BF=；BC,=則四面體OEM的

體積為()

A.—B.—C.—D.—

12244896

【答案】D

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4、DC、所在直線為x、八z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

0(3,2,[),5(1,1,0),E(l,0,1),C(1,1,0),

22242

OE=貝I]|OEI=：，|OB|=W,厚卜],

乙乙?乙乙乙一乙~r

11,11、11

OB-OE

cos/BOE=224;;

\OB\\OE\亙39,

24

NBOEe(彳,7),sinZBOE=等.:.S^OEB=^OBOE-sinNBOE=嚕.

設(shè)平面OEB的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

n-OE=—x——y+—z=0

224

ri-OB——x+—y--z=0

222

又研=(-8，0,()],.?下到平面的距離力=也出=叵，

I2)\n\52

...四面體。￡2尸的體積V='x返乂叵=」-.

3165296

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知雙曲線C:三-y2=i的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則下列關(guān)于雙曲線C的說(shuō)法正確的是()

m

A.實(shí)軸長(zhǎng)為6B.虛軸長(zhǎng)為2C.焦距為20D.離心率為半

【答案】AB

4

【解析】由雙曲線方程——y2=i可知相＞0,且〃=1//=1,由題意，a=3b,代入解得：m=9f故實(shí)軸

m

長(zhǎng)為2〃=2?=6,虛軸長(zhǎng)為2/?=2,故A項(xiàng)，B項(xiàng)都正確；

焦星巨2c=2J9+1=2A/TU，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；真心率為e=2=，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

a3

故選：AB.

10.已矢口數(shù)歹()｛%｝滿足％=3,3〃〃+i=2?！?2,則()

OOf

A.〃3=6B.數(shù)列l(wèi)ogs。-2)是等差數(shù)列

9L2

C.數(shù)列＞的最小項(xiàng)為4D.｛%"｝的前〃項(xiàng)和為《1—+2”

【答案】ABD

a-22

【解析】由34+i=2%+2n34+1-6=24+2-6=＞'=3，

4-23

因此｛%-2｝是以3-2=1為首項(xiàng)，公比為|■的等比數(shù)列，因此有

A：因?yàn)?=[￡[+2=彳，所以A正確;

nn-1

2|-1O§32

B：因?yàn)閘og3(a?+1-2)-log3(a?-2)=log^

222

n-\

22,2

=嗎=log-=-l

233

23

所以數(shù)列jlogg-2)1是等差數(shù)列，因此B正確;

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)“=0時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椤ㄊ钦麛?shù),

所以上述不等式等號(hào)不成立，即所以C錯(cuò)誤，

21⑷

/、2〃-1-XI——廠

D：因?yàn)?,=《]+2,所以｛%“｝的前〃項(xiàng)和為31]：：+2〃，所以D正確;

1-9

故選：ABD

11.在正三棱柱ABC-A4cl中，AB=A4,=1,點(diǎn)P滿足3P=ZBC+〃明，其中九40,1],〃目0,1],則

()

A.當(dāng)4=1時(shí)，△AB/的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐ABC的體積為定值

C.當(dāng)2=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4尸，8尸

D.當(dāng)〃=:時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A3,平面AB/

【答案】BD

【解析】易知，點(diǎn)尸在矩形8CC由內(nèi)部(含邊界).

對(duì)于A,當(dāng)2=1時(shí)，BP=BC+JUBBJBC+KG,即此時(shí)尸e線段CQ,△人與戶周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=4BC+BB[=BBi+AB1C1,故此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為線段與G,而B^CJ/BC,B^//平面ArBC,

則有尸到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)/l=J時(shí)，BP=/c+〃BB「取BC,4G中點(diǎn)分別為Q,H,則8尸=3。+〃。打，所以尸點(diǎn)

軌跡為線段Q",不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，4|母,0』，尸(o,o,〃)，fikpol則

\p=,8尸=。一；,〃1,APBP=〃(〃-I)=O,所以〃=0或〃=1.故“，。均滿足，故C

錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)〃=：時(shí)，BP=4BC+；BB-取陽(yáng)，CG中點(diǎn)為M,N.BP=BM+九MN，所以P點(diǎn)軌跡為線

設(shè)尸(0,加￡|(^[3\(731(731)

段,MN.,因?yàn)锳^-,0,0,所以AP=-y,^-\B=-^-,-,-1,所以

3111

此時(shí)。與N重合，故D正確.

故選：BD.

6

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S"為等差數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差"=.

【答案】2

【解析】由2s3=3S2+6可得2（%+%+/）=3（%+%）+6,化簡(jiǎn)得2a3=弓+%+6,

即2（卬+24/）=20+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

13.在正三棱柱ABC-A4G中，AB=2,A4,=及，則異面直線入與與所成角的大小為.

【答案】|

【解析】分別取BC,與G的中點(diǎn)O,a，連接AO,OOt,由正三柱性質(zhì)可知A?！繠C,OO\±BC,AO±OOt,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAOSOQ所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

由9=2,例=及可得4（道,0,0）,2（0,1,0）,用僅,1,忘）,0|（0,-1,夜）,

所以破=卜退」,四）,=（0,-2,A/2）,

又網(wǎng)/AT）叫口「:\國(guó)人4際,BC=]必0—需2+2肛且/網(wǎng)咐\”r[皿1

所以（A厚

TT

故答案為：—

22

14.已知橢圓C:J+3=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為人過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，|AF|=2忸同,

ab

2%

NAFB=y,則橢圓C的離心率為.

【答案】3

3

【解析】設(shè)尸2是橢圓C的右焦點(diǎn)，連接AK，BF2,

由對(duì)稱性可知：|。4|=|。同，I。典=|。閭，則四邊形FA85為平行四邊形，

則g閶=忸耳，即1A刊=2|4聞，且/冗4工=三，

因?yàn)閨Ab|+|9|=斗轉(zhuǎn)|=2a,則341=",W耳=。。,

2

在△出叢中，由余弦定理可得閭2=\AF2f+|AF|-2|A7^|-|AF|-COSZT^/；,

BP4c2=-a~+—a—2x—ax—ax-,解得二=■1,所以橢圓c的禺心率為e=￡.

99332a23a3

故答案為：立.

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）/4BC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（5,l）,8（7,-3）,C（2,-8）.

⑴求ZL48。外接圓的方程；

（2）若圓C與直線x+y-2=0交于4,8兩點(diǎn)，求的弦長(zhǎng).

【解析】（1）設(shè)（尤-°）2+（，-。）2=/，a分）

8

（5-a）2+（l-Z＞）2=r2

則有,（7-ay+（-3-。）2=/,……（3分）

（2-a）2+（-8-/?）2=r2

a=2

解得＜b=-3.......（5分）

戶=25

所以AABC外接圓的方程為（x-2）2+（y+3），25……（6分）

（2）圓心（2,-3）到直線x+y-2=0的距離』=里,半徑r=5……（10分）

2

匚匚isAB~~2,41482_八、

所以方=｛戶一力-,……z（12分）

MAB=A/82........(13分)

16.（15分）如圖，在正方體ABCD-ABIGQ中，48=為平面ABB】A的中心.

（1）求證：〃平面BCQ；

⑵求點(diǎn)2到平面3CQ的距離.

【解析】（1）解法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO所在直線為了軸，AB所在直線為V軸，A4所在直線為z軸

建立如圖所示的坐標(biāo)系.

B(0,￡>(1,0,0),0,(1,0,1),

[a+c=0/、

設(shè)面BCD的法向量為n="c),n1BC、,n1BD,,<ic,令4=1,則6=1,，=-1,.，.〃=(1/,-1),

X\a-b=0

D[M-n=(-l)=O,w_LRM且"MU平面8G。,

.?.￡)也//平面860：

解法二：如圖，連接。聲,A%AR,

D,D"B&且DQ=BiB,平行四邊形。。中，//DB,DtBt0平面BCQ，，R4〃平面BG°，

同理，D.AHC.B,則AA//平面BCQ,且￡>4cqA=R,平面RgA//平面2CQ,

又M為A4的中點(diǎn)，，DMu平面RBA；.11平面BCXD.

解法三：連接C0交G。交于點(diǎn)N,連接$B,

加為平面A網(wǎng)4的中心是的中點(diǎn)，44//g,，四邊形4。。2是平行四邊形，

:.AB//DC，A]B=D[C,M是AB的中點(diǎn)，N是C2的中點(diǎn)，

...BM//ND1,3M=ND],.?.四邊形BMDJN是平行四邊形，.?.￡>[M//N3,

DXMU平面BQD,NBu平面BCXD,D｝M//平面BQD.

(2)解法一：設(shè)2到面BCQ的距離為d,〃D=(O,O,-l),，1力.

制+1+13

解法二：設(shè)2到面BCQ的距離為乩。8=應(yīng)，^DC[=|x1x1=1,SBCiD=^BD-BQsineO=與，

由％.廣匕一的，得;SBcbd=gsiC,解得d哼

17.(15分)己知數(shù)列｛4｝的前鼠項(xiàng)和為S“，且S"=2%-1.

10

(1)證明：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

1352n-l

(2)求和：一+—+—++----.

a?%4-24

【解析】(1)“22時(shí)，an=S?-=2a?-1-1)=2a?-2an_,,有%=2%一，……(3分)

又〃=1時(shí)，4=S[=2%—1,有4]=1。0,(5分)

所以數(shù)列｛風(fēng)｝是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.....（6分）

（2）由（1）得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式a,=2i（"cN*）,……（7分）

EIT1352〃-32n-l

貝1)￡=布+齊r+尹++—^—+十一①

乙乙乙乙乙

2<+++2^o3+2(2M-1)(2)……(10分)

①一②得：

3

（=4〃+聲一6….…（15分）

18.（17分）如圖，四棱錐尸43c。中，上41.平面48。。,/18_14（7,P。=43=47=0上4.

（1）若AD=￡?C,求證：平面2平面PCD；

（2）若AD=Z）C,PB中點(diǎn)為E,試問在棱CD上是否存在點(diǎn)。，使PQLAE,若存在，指出點(diǎn)。位置，若不

存在說(shuō)明理由；

（3）若PA=2,PD與平面PBC成角大小30°,求。C邊長(zhǎng).

【解析】（1）因?yàn)樯?_L平面ABCAARCOu平面ABCD,所以PA，AD,PA_L8,……（1分）

又PD=?PA,所以尸Q==

AD=CD,PD=ACAC=屈CD=貶AD,

?.AC2=CD2+AD2,/.AD±CD...(3分)

4)_1。,上4_18,又上4門4。=4,24,4。<=平面PAD

所以CD,平面尸4Z）,（4分）

又CDu平面尸C。，所以平面平面PC。....（5分）

（2）因?yàn)镻A,平面ABCD,AB，AC,所以AP,AB,AC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)叢=1,貝UAO=CD=1,4C=AB=忘,

廠廠(啦6'

則5(0,0,0)((0,拒,0),尸(0,0,1),。-半,3,0,E（7分）

I22J

設(shè)￡>Q=XZ>C,Xe[(M],

、3拒0_、

PQ=PD+ADC=,—1+4(2-1),(X+1),-1

2'2'-'2

7\7\7

AE=（8分）

假設(shè)存在「滿足PQ^AE,因?yàn)槭琎，AE等價(jià)于尸。.AE=o,（9分）

解得九=2是[0,1],（1分）所以不存在……（10分）

(3)因?yàn)锽4=2,所以AD=2,AC=A3=20,

尸(0,0,2),3(2后,0,0)C(0,2忘,0),PB=(2&,0,-2),定=(0,2立,-2)

設(shè)。(a,40),其中a<0,6>。，又?.A。=2/+廿=4,PD=(a,b,-2),

m?PB=02>/2x—2z=0

設(shè)平面PBC法向量m=（%y,z）,依題意＜，即

m-PC=02A/2_Y-2Z=0

令2=&則x=y=l,所以機(jī)=(1,1,0),（12分）

12

因?yàn)镻￡）與平面尸BC成角大小30°，所以$指30°=卜0$〈肛附卜PD-m

PD\\m\

a+b-2^2

Q+Z?=0或々+人=4>/2,（13分）

220x2

+Z?—0ci=—v2//—/—\II

即272」.?L???OC=?.?OC=2（15分）

/+6-=4〔6=拒,'11

又卜匕40.此方程組無(wú)解……（16分）

綜上可得DC=2........（17分）

19.（17分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在無(wú)軸上的橢圓G與雙曲線G有共同的焦點(diǎn)片、歹2,閨區(qū)|=66,C,

的長(zhǎng)半軸與G的實(shí)半軸之差為4,離心率之比為3:7.

（1）求這兩條曲線的方程；

（2）求曲線G以點(diǎn)M（4,2）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；

（3）若P為兩條曲線的交點(diǎn)，求/耳「鳥的余弦值.

22