無窮級數(shù)總結(jié)

無窮級數(shù)總結(jié)概念與性質(zhì)定義：對數(shù)列，稱為無窮級數(shù)，稱為一般項(xiàng)；若部分和數(shù)列有極限，即，稱級數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散.性質(zhì)①設(shè)常數(shù)，則與有相同的斂散性；②設(shè)有兩個級數(shù)與，若，，則；若收斂，發(fā)散，則發(fā)散；若，均發(fā)散，則斂散性不確定；③添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個級數(shù)的斂散性；④設(shè)級數(shù)收斂，則對其各項(xiàng)任意加括號后所得新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和．注：①一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；②一個級數(shù)加括號后收斂，原級數(shù)斂散性不確定．⑤級數(shù)收斂的必要條件：；注：①級數(shù)收斂的必要條件，常用判別級數(shù)發(fā)散；②若，則未必收斂；③若發(fā)散，則未必成立．常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法定義：若，則稱為正項(xiàng)級數(shù).審斂法：充要條件：正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界.比較審斂法：設(shè)①與②都是正項(xiàng)級數(shù)，且，則若②收斂則①收斂；若①發(fā)散則②發(fā)散.若②收斂，且存在自然數(shù)，使得當(dāng)時有成立，則①收斂；若②發(fā)散，且存在自然數(shù)，使得當(dāng)時有成立，則①發(fā)散；設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，若有使得，則收斂；若，則發(fā)散.極限形式：設(shè)①與②都是正項(xiàng)級數(shù)，若，則與有相同的斂散性.注：常用的比較級數(shù)：①幾何級數(shù)：；②級數(shù)：；調(diào)和級數(shù)：發(fā)散．（iii）比值判別法（達(dá)郎貝爾判別法）設(shè)是正項(xiàng)級數(shù)，若①，則收斂；②，則發(fā)散．注：若，或，推不出級數(shù)的斂散.例與，雖然，，但發(fā)散，而收斂.（iv）根值判別法（柯西判別法）設(shè)是正項(xiàng)級數(shù)，，若，變．5.函數(shù)展開成冪級數(shù)①若在含有點(diǎn)的某個區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)的階泰勒公式為，記，介于之間，則在內(nèi)能展開成為泰勒級數(shù)的充要條件為.②初等函數(shù)的泰勒級數(shù)（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；.6.級數(shù)求和①冪級數(shù)求和函數(shù)解題程序（i）求出給定級數(shù)的收斂域；（ii）通過逐項(xiàng)積分或微分將給定的冪級數(shù)化為常見函數(shù)展開式的形式（或易看出其假設(shè)和函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系），從而得到新級數(shù)的和函數(shù)；注：系數(shù)為若干項(xiàng)代數(shù)和的冪級數(shù)，求和函數(shù)時應(yīng)先將級數(shù)寫成各個冪級數(shù)的代數(shù)和，然后分別求出它們的和函數(shù)，最后對和函數(shù)求代數(shù)和，即得所求級數(shù)的和函數(shù)．②數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和（i）利用級數(shù)和的定義求和，即，則，其中．根據(jù)的求法又可分為：直接法、拆項(xiàng)法、遞推法．A.直接法：適用于為等差或等比數(shù)列或通過簡單變換易化為這兩種數(shù)列；B.拆項(xiàng)法：把通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)差的形式，在求項(xiàng)和時，除首尾兩項(xiàng)外其余各項(xiàng)對消掉．（ii）阿貝爾法（構(gòu)造冪級數(shù)法），其中冪級數(shù)，可通過逐項(xiàng)微分或積分求得和函數(shù)．因此．傅里葉級數(shù)定義①定義1：設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在或上可積，則，，稱為函數(shù)的傅立葉系數(shù)．②定義2：以的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)．稱為函數(shù)的傅立葉級數(shù)，表示為．③定義3：設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上可積，則以，為系數(shù)的三角級數(shù)稱為的傅立葉級數(shù)，表示為．2.收斂定理（狄里赫萊的充分條件）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足條件①除有限個第一類間斷點(diǎn)外都是連續(xù)的；②只有有限個極值點(diǎn)，則的傅立葉級數(shù)在上收斂，且有.3.函數(shù)展開成傅氏級數(shù)①周期函數(shù)（i）以為周期的函數(shù)：，；注：①若為奇函數(shù)，則(正弦級數(shù))，；②若為偶函數(shù)，則(余弦級數(shù))，，.（ii）以為周期的函數(shù)：+，；注：①若為奇函數(shù)，則(正弦級數(shù))，；②若為偶函數(shù)，則，(余弦級數(shù))，.②非周期函數(shù)（i）奇延拓：A.為上的非周期函數(shù)，令，則除外在上為奇函數(shù)，(正弦級數(shù))，；B.為上的非周期函數(shù)，則令，則除外在上為奇函數(shù)，(正弦級數(shù))，.（ii）偶延拓：A.為上的非周期函數(shù)，令，則除外在上為偶函數(shù)，(余弦級數(shù))，.B.為上的非周期