北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試卷（含解析）

北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試卷

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

A=lx\x2-3x＜o|B1={x|y=ln（x-2）}n）

1.已知集合1I,，,AB=（

A（0,+oo）B.（2,+s）C.（2,3）D.（0,3）

；）d，則向量，與B的夾角為（）

2.若|a|=L|6|=2,（aT

A30°B.60°C.120°D,150°

3.已知V45c中，角A,I3,C所對的邊分別為a,b,c,若,則V4BC

cosAcosBcosC

是（）

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形

4.已知。＜力＜0＜。，則下列不等式正確的是（）

ba0

A.B.a2＞c2

ab

C.logc（-a）＞logc（-/?）D-g]

5.如圖，在V45c中，BC=6,D,E是BC的三等分點,且五萬?孤=4,則錯誤的是

（）

A

BDEC

—?2―?1—?

A.2D=-ZS+-ZEB.AE=-AB+-AC

2233

C.~AB-AC=-AD.AB+AC=28

6.已知函數(shù)/（X）=f有兩個極值點,則實數(shù)。的取值范圍（）

2

A.0<a<一B.0<a<In2

e

八1e

C.a<eD.0<tz<In—

2

7.已知無窮數(shù)列｛an｝滿足an+i=an+t（t為常數(shù)）,Sn為｛an｝的前n項和，貝『GO”是“｛an｝和｛Sn｝

都有最小項”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知2（西,0）,8（々,0）兩點是函數(shù)/（》）=25皿3+/）+1（0〉0,96（0,萬））與工軸的

兩個交點，且滿足卜-Z1n=:，現(xiàn)將函數(shù)/（x）的圖像向左平移￡個單位，得到的新函數(shù)

圖像關于7軸對稱，則（P的可能取值為（）

n_兀27r5萬

A.—B.一C.---D.——

6336

x+3"x<0

9.若函數(shù)/(%)=<13在其定義域上只有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍為

—x—4x+a,x>0

13

()

16161616

A.a<—B.aW—C.a>—D.a2—

3333

10.設函數(shù)/（x）=cosx+Jcos2x,下列判斷正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的一個周期為兀；

B,函數(shù)/（'）的值域是一奇,2；

C.函數(shù)/（X）的圖象上存在點P（XJ）,使得其到點（1,0）的距離為日；

JTJT

D.當xe時，函數(shù)“X）的圖象與直線歹=2有且僅有一個公共點.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/（》）=毋1的定義域為.

X

12.若i為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足z(l-i)=|3-4i|,則z的虛部為.

13.已知數(shù)列｛6,｝滿足%=2,且ax=50+1("eN*),貝|]牝=，S"=.

2

14.已知雙曲線/一]_=1的左頂點為4，右焦點為石，尸為雙曲線右支上一動點，則雙曲

線的漸近線為,網(wǎng)?電最小值為.

，兀、兀

QXHJC<一,

I2J2

15.已知函數(shù)/(x)=rcos兀x,]Wx〈兀給出下列四個結(jié)論：

e-x+71+4a,x〉7i

①若/(X)有最小值，則。的取值范圍是-Lo；

_兀_

②當a>0時，若/(x)=，無實根，則f的取值范圍是[頌,4a]U[4a+1,+8)；

③當!■時，不等式/(一+2)>/(忖+4)的解集為(―2,2)；

④當a21時，若存在再<%2，滿足一1</(%1)=/(%2)<。，則的+%〉0.

其中，所有正確結(jié)論的序號為.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知等差數(shù)列｛?｝的公差為d,前〃項和為S“，滿足q=1,d>0,且％,a2,邑成

等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項公式；

(2)記a=a,+2%,求數(shù)列也｝的前〃項和北.

17.如圖，VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且

V3sin+"+sin一"=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a=3，S^ABC=I'，.

(i)求sirkd的值；

(ii)求N/5C的角平分線8。的長.

18.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域O4C8,該場地由線段。4、OB、ZC及曲線段圍成.

經(jīng)測量，ZAOB=90°,。4=。5=100米，曲線5c是以08為對稱軸的拋物線的一部分,

點C到OA、OB的距離都是50米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設一個矩形游樂場OEDF,其中點。在

曲線段8C上，點E、尸分別在線段OA、OB上,且該游樂場最短邊長不低于30米.設DF=x

米，游樂場的面積為S平方米.

(1)試建立平面直角坐標系，求曲線段的方程；

(2)求面積S關于x的函數(shù)解析式S=/(x)；

(3)試確定點。的位置，使得游樂場的面積S最大.

19.已知函數(shù)/(x)=asinoxcosox(a>0,。>0).從下列四個條件中選擇兩個作為已知,

使函數(shù)“X)存在且唯一確定.

(1)求/(X)的解析式；

(2)設g(x)=〃x)_2cos20x+l,求函數(shù)g(x)在(0,%)上的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①:

條件②：/（X）為偶函數(shù)；

條件③：/（X）的最大值為1；

條件④：/（X）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

20.已知函數(shù)/（》）=產(chǎn)（》2+辦+1）.

⑴若。=0,求人%）在點（oj（o））處的切線方程；

（2）若f（x）在（-1,1）上恰有一個極小值點，求實數(shù)。的取值范圍；

（3）若對于任意,/（x）〉e[x2cosx+l）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

21.己知S={1,2,…,A^S,T={?!，/,}記4={x|x=a+4，aeZ}（i=l,2）,

用|X|表示有限集合X的元素個數(shù).

（I）若〃=5,^={1,2,5）,4n4=0,求T；

（II）若〃=7,|4=4,則對于任意的A,是否都存在T,使得=0?說明理由；

（III）若Ml=5,對于任意的A,都存在T,使得4n4=0，求〃的最小值.

北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試卷

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1,已知集合“斗，2一3》<。｝,八｛叩=ln（A2）｝,4n3=（）

A.（0,+”）B.（2,+s）C.（2,3）D.（0,3）

【正確答案】C

【分析】解不等式化簡集合A,求出函數(shù)定義域化簡集合B,再利用交集的定義求解即得.

【詳解】由V—3》<0,得0<x<3,則/=（0,3）,

由對數(shù)函數(shù)的定義域得5="Iy=In（x—2）｝=（2,+”），

所以2口8=（2,3）.

故選：C

2.若|a|=l,|b|=2,（a—，則向量訝與否的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

【正確答案】B

【分析】根據(jù)得（。-B）液=0,結(jié)合數(shù)量積的運算律求出￡石，再根據(jù)向量的

夾角公式即可得解.

【詳解】因為3-司，商,所以他-B）液=0,

即力=0,所以7B=7=i，

ra-b1

所以儂。/=麗=5'

又0°〈凡B<180。，

所以向量@與石的夾角為60°.

故選：B.

cibc

3.已知V/8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若---=------=------，則VZBC

cosAcosBcosC

是()

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形

【正確答案】B

【分析】先由正弦定理得tanZ=tan8=tanC,進而得到Z=8=C,即可求解.

qin/qinRsini

【詳解】由正弦定理得—=--=J匕，則tanZ=tanB=tanC,又A,B,C為三角

cosAcosBcosC

形內(nèi)角，

則/=8=C,則V/8C是等邊三角形.

故選：B.

4.己知。<6<0<c,則下列不等式正確的是()

ba,,

A.—>—B.〉c~

ab

C.loge(-?)>logc(-Z?)D.>

【正確答案】D

【分析】A作差法比較大小；B特殊值法，令a=-l,c=2即可判斷正誤；C令0<c<l,

利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；D根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關系.

【詳解】A：2—q="一,又a<b<0,則1―42<0,ab>Q,故9一?<0,即2<@,

abababab

錯誤；

B：當。=—l,c=2時，/>/不成立，錯誤；

C：由a<6<0,即一4〉一6〉0,當0<c<l時有l(wèi)ogc(-a)<logc(-b),錯誤；

D：由a<0<c,則(工］>l>f—1,正確.

故選：D.

5.如圖，在V48C中，BC=6,D,E是8c的三等分點，且彳萬.衣=4,則錯誤的是

B.AE=-AB+-14C

33

D.AB2+AC2=28

【正確答案】B

【分析】由向量的線性運算即可判斷A,B,取DE的中點G,由8C=6,D,E是BC的三等

分點得G是BC的中點，計算可得4￡=ZG--DE,進而得出前2=5,計算可判

斷選項C,由C可知方+就=2割，兩邊平方，化簡計算可判斷選項D.

【詳解】對于A,由題意得D為BE的中點，所以4。=彳/5+彳4￡1,故選項A正確；

22

-1〔〔o

對于B,AE=l4C+CE=ZC+jC5=l4C++故選項B不

正確；

對于C,取DE的中點G,

由8C=6,D,E是BC的三等分點得G是BC的中點，且?！?2,

所以萬.次*瓦］［前+；瓦］=就2瓦2=4,

所以*2=5,AB-AC=^AG-^BC^AG+^BC^=AG2-^BC2=5-9=-4,故

選項C正確；

對于D,由G是BC的中點得方+就=2怒，兩邊平方得際+2甌就+就2=4左，所以

482+l4C2=20+8=28>故選項D正確.

故選：B.

6.已知函數(shù)/(x)=ae、-f有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍()

2

A.0<tz<-B.0<4/<ln2C.a<eD.

e

八,e

0<a<In—

2

【正確答案】A

【分析】先求函數(shù)導數(shù)，再根據(jù)題意將導函數(shù)為零轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)和g(x)=—有兩個

e

2x

交點，然后利用導數(shù)求g(x)=——的單調(diào)性，進而確定g(x)圖象，最后根據(jù)圖象確定實數(shù)a

e

的取值范圍.

【詳解】因為/(x)=ae、*——,f(x)=aex-2x,

由已知函數(shù)f(x)有兩個極值點可得有aex-2x=0兩個解

2x

即V=a和g(x)二丁有兩個交點，

e

e

???當x<l時，g'(x)>0,g(x)在(一”/)上單調(diào)遞增，

當X>1時，g'(x)<0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故gOOmax=8(1)=-，

e

而Xf+8時，g(x)-0,X--00時，g(x)——00；

大致圖象如下：

故選：A.

極值點個數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為方程解的問題，再通過適當?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)值域問

題.

7.已知無窮數(shù)列｛an｝滿足an+l=an+t（t為常數(shù)），Sn為｛an｝的前n項和,則“世0”是“｛an｝和｛Sn｝

都有最小項”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和的公式，以及充分條件和必要條件的定義進行

判斷即可.

【詳解】???an+i=an+t,...數(shù)列｛aQ為等差數(shù)列，且公差為3

①當它0時，若t=0,ai=-2時，數(shù)列｛an｝為常數(shù)列，且加=-2,

...Sn=-2n為減函數(shù)，無最小項，，充分性不成立，

②當｛an｝和｛SQ都有最小項，

Van=ai+（n-l）t=tn+（ai-t）,

n（n-\\t,t

S=naid——-----t=—n2+（ai---）n,

n222

[7=0

則<或t>0,...tNO,...必要性成立，

，亡0是聞｝和｛Sn｝都有最小項的必要不充分條件，

故選：B.

8.已知Z（X1,0）,8（%2，°）兩點是函數(shù)/（》）=25E（5：+9）+1（0〉0,℃（0,萬））與》軸的

兩個交點，且滿足卜-X2L=0,現(xiàn)將函數(shù)/（x）的圖像向左平移7個單位，得到的新函數(shù)

圖像關于J軸對稱，則（P的可能取值為（）

71712萬5萬

A.—B.一C.---D.—

6336

【正確答案】A

【分析】

根據(jù)即可求得。，再根據(jù)平移后函數(shù)為偶函數(shù)，即可求得。.

【詳解】令2sin(3x+e)+l=0,解得sin(a>x+(p)=--

._(、rIIJi?/A“E,77r117r

因為|石一%2|min=H，故令、2>玉，并?、夙?0=*-,G/+0=一—一

則。(々—X])=g,即可求得①=2.

此時/(x)=2sin(2x+^>)+l,

7T

向左平移上個單位得到y(tǒng)=2sin2x+—+cp+1，

6

7T7T

若其為偶函數(shù)，則—+0=—+2左肛左wZ,

32

77

解得9=2左萬+―.

6

77

當左二0時，(p=—.

6

故選：A.

本題考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值，屬綜合中檔題.

x+3)x<0

9.若函數(shù)/(x)=<13在其定義域上只有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍為

X-4x+a,x>0

[3

()

16161616

A.a<—B.a<—C.a>—D.a>―

3333

【正確答案】C

【分析】當x<0時，利用單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理可得/(x)在(-8,0］內(nèi)存在唯一零點,

當x〉0時，利用導數(shù)判斷單調(diào)性得/(x)在(0,2］上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，可得

/(2)>0,

【詳解】當x<0時，則/(x)=x+3'在(-叱0］上單調(diào)遞增，且

2

/(0)=1>0,/(-1)=--<0

在(-oo,0］內(nèi)存在唯一零點

則當x〉0時，/(x)=；/-4x+a無零點

/(X)=X2-4,令/'(X)>0,則x>2或x<—2(舍去)

.?./(X)在(0,2]上單調(diào)遞減，在(2,+⑹上單調(diào)遞增

則/門"八2)="q>0,即a〉?

故選：C.

10.設函數(shù)/(x)=cosx+Jcos2x,下列判斷正確的是()

A.函數(shù)/(x)的一個周期為兀；

B.函數(shù)/(x)的值域是—、-,2；

C.函數(shù)/(x)的圖象上存在點P(xj),使得其到點(1,0)的距離為1；

JTJT

D.當xe時，函數(shù)/(x)的圖象與直線歹=2有且僅有一個公共點.

【正確答案】D

【分析】利用函數(shù)的周期性定義結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可判斷A；采用三角代換，利用導數(shù)判

斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域，判斷B；利用cosxe-1,--U—,1,

2[2

結(jié)合兩點間距離公式可判斷C；結(jié)合解/(x)=2,根據(jù)解的情況判斷D,即得答案.

【詳解】對于A,xeR,

/(兀+x)=cos(兀+x)+Jcos(2兀+2x)=-cosx+Jcos2x豐/(x),

故兀不是函數(shù)/(x)的一個周期，A錯誤；

對于B,/(x)=cosx+Jcos2x=cosx+J2cos2x-l,

毋,21「行]「后一

需滿足2cos2x—120，即cosx>—,cosxG—1,——u-^-,1,

令，=COSX,t€—1,--—u-^-,1V,則/2(x)即I為]/=t+N2t2—1,___

B___BB

當時，y=%+，2產(chǎn)-1在，1上單調(diào)遞增，貝！Jj’2

，_14/2t_也產(chǎn)7-府八

當叱-1,

了ZE^T&J

((2/—D—4/=—2『—1<0,故以―1—斤<o)

此時y=t+52產(chǎn)-1在T-上單調(diào)遞減，則y€二,0，

■/y申,2,B錯誤;

綜上，/(、)的值域是——50

2

「，V21「正2V，

對于C,由B知，cosXG—1,----u,1，

22

r1V2,3兀71c75兀71c77r

當COSX￡—1,----時，X€F2^71.卜2kli,keZ、

2444

滿足此條件下的/(x)圖象上的點P(x,y)到(1,0)的距離

7(x-1)2+(/(x)-0)2x-11>—■"―1>>

/、「夜

當cosxe—V2,11時，/(x)e-,2,

滿足此條件下的/(x)圖象上的點P(x,y)到(1,0)的距離

^/(x-l)2+(f(x)-0)2>|/(x)-01>；，

當且僅當/(x)=*且x=l時等號成立,

而/(x)=Y^時，cosx=x=巴+2左兀，左eZ或x=-2+2左兀,左eZ,

')2244

滿足此條件的x與x=l矛盾，即等號取不到，

故函數(shù)/(x)的圖象上不存在點P(x,y),使得其到點(1,0)的距離為等,C錯誤;

對于D,由B的分析可知/(x)=2,則cosx=l,即x=2?,左eZ,

7171

又xe,故當且僅當x=0時，〃x)=2,

_44

即當xe-巳,￡時，函數(shù)/(x)的圖象與直線y=2有且僅有一個公共點，D正確.

故選：D

難點點睛：本題綜合考查了函數(shù)的知識的應用問題，涉及余弦函數(shù)的周期，值域以及最值和

函數(shù)圖象的交點問題，綜合性強，難度較大，解答時要結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)

性，綜合求解.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=的定義域為.

【正確答案】［-1,0)3(0,+8)

【分析】函數(shù)/(刈=衛(wèi)1的定義域滿足＜x+1＞0

上。’解得答案.

X

【詳解】函數(shù)/(%)=名1的定義域滿足：＜x+1>0「…/、

》2彳0，解得xe[—l,O)U(O,+8).

X

故答案為.[一1,o)u(0,+00)

12.若i為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足z(l-i)=|3-4i|,則z的虛部為,

【正確答案】-##2.5

2

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算可得z=*+3i,進而即得.

22

【詳解】因為z(l—i)=|3+4i|=5,

55(1+1)

所以z=U

(I)(l+i)

所以復數(shù)z的虛部為9.

2

故答案為.一

2

13.己知數(shù)列｛4｝滿足q=2,且a,#]=S“+l(〃eN*),貝!]%=，S,，=

【正確答案】①.24②.3-2"-1-1

【分析】先根據(jù)和項與通項關系得項之間遞推關系，再結(jié)合等比數(shù)列定義求對應通項公式,

注意驗證起始項是否滿足，不滿足需用分段函數(shù)表示.

【詳解】因為4+i=S〃+1,所以當2時,an=5?.1+1,所以%=an,即工用=2%,

所以當〃22時，｛冊｝是以2為公比的等比數(shù)列，

當〃=1時，。2=81+1=%+1=3,所以當〃22時，%=3x2〃一之，

2/=1

因此"3""2'所以33'25s一9/4,

2,?=1

2,〃二1

S"=<3(1-2"T)

2+-^------L,n>23X2”T-1,〃22’

1-2

發(fā)現(xiàn)E=2也滿足S“=3x2"T-1,

故24;3x2"T—1

14.已知雙曲線己_=1的左頂點為4,右焦點為石，尸為雙曲線右支上一動點，則雙曲

線的漸近線為,網(wǎng)?理最小值為.

【正確答案】①.y=+4ix②.—2

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程公式可直接得該雙曲線的漸近線方程；設0(x,y)(x21),

利用數(shù)量積公式化簡，結(jié)合雙曲線方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得最小值.

2L

【詳解】根據(jù)題意雙曲線必―2=1,所以雙曲線的漸近線方程為y=±-x=土&;

3a

設P(x,y)(x21),則4(-1,0),g(2,0),

所以尸4,PF2—(-1-X,—y),(2-x,-y)—%2-x+y2—2=4x2—x—5,

由雙曲線性質(zhì)可知，1或X21,

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當x=l時，取得最小值為-2,

故答案為.y二土JJx,-2

7T

15.已知函數(shù)/(x)=jcosx，5VxW兀給出下列四個結(jié)論:

e-x+7C+4a,x>兀

①若/(X)有最小值，則。的取值范圍是-1,0；

\_71_

②當a>0時，若/(x)=，無實根，貝限的取值范圍是[而,4a]U[4a+1,+8)；

③當!■時，不等式/(/+2)>/(忖+4)的解集為(—2,2)；

④當a21時，若存在再<%2，滿足一1</(不)=/(%2)<0，則占+%〉0.

其中，所有正確結(jié)論的序號為.

【正確答案】②③④

【分析】對①，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值的關系結(jié)合函數(shù)圖象求解；對②，利用函數(shù)圖象，

數(shù)形結(jié)合求解；對③，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式；對④，利用函數(shù)的切線與導函數(shù)的關系,

以及圖形的對稱關系，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】當x>兀時，f(x)=QX+K+4aG(4a,4a+1),

當兀時，/(x)=cosxe[-l,0],

jrjr

若a>0,則當x<5時，/(%)<=則此時函數(shù)無最小值；

若a=0,則當x<1■時，/(%)=0，x>兀時，f(x)=e^x+n+4ae(0,1),

則函數(shù)有最小值為-1滿足題意；

若a<0,則當x<|■時，/(x)>f(1-)=an,x>7i時，f(x)=e~x+n+4tze[4a,4tz+1),

na>-11

要使函數(shù)有最小值，貝叫,，，解得——<a<0；

4(z>-14

綜上，。的取值范圍是-!，0,①錯誤；

_4_

當a>0時，函數(shù)/(X)在單調(diào)遞增，|,71單調(diào)遞減，(兀,+8)單調(diào)遞減，

因為/(、)=%無實根，所以兀Q〈/<4?；?，>4。+1,②正確;

因為4a+l〈—1,所以函數(shù)/(x)在+s單調(diào)遞減,

又因為/+222,國+424,所以由/優(yōu)+2)>/(忖+4)可得,

%2+2<|x|+4,即X?—國一2<0,解得0?[乂<2,所以XE(—2,2),

所以不等式/(爐+2)>/3+4)的解集為(-2,2),③正確；

函數(shù)y（x）在點1,o處的切線斜率為f\x）=-sm^=-\,

jr兀兀

所以切線方程為J7=—%+萬，則由圖象可知，X€—,71時，COSX>—X+—,

設/（再）=/（%）=加6（—1,0）,

記直線y=加與函數(shù)/（x）,xe[-叫,y=-x+^,/（x）,xe|■，兀的交點的橫坐標為

勺,八0,二，

因為/（》）=。1%+|'；》<_|經(jīng)過點（一|,0），

所以由對稱性可知，當時，X1+Xo>0,又因為%>/，所以玉+工2〉0，④正確；

故答案為:②③④.

關鍵點點睛：本題的②③④小問都用數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想通常與函數(shù)的單調(diào)性、

最值等有關聯(lián)，根據(jù)單調(diào)性、最值，以及一些特殊的點準確作出函數(shù)圖象是用數(shù)形結(jié)合來解

決問題的關鍵.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項和為S",滿足q=1,d>0,且%,電，邑成

等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵記"=an+2%,求數(shù)列也｝的前〃項和7；.

【正確答案】（1）an=2n-l

22?+1

22

（2）Tn=n+

33

【分析】（1）根據(jù)等比中項以及等差數(shù)列基本量的計算可求解公差，進而可求通項.

（2）根據(jù)分組求和以及等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【小問1詳解】

%,a2,邑成等比數(shù)列，故a2?=%S3n（l+d『=3+3d，化簡得：/—d—2=0,因為

d>0,所以d=2,因此

【小問2詳解】

a21

bn=an+2"=2n-l+2"-,因此

zt\(1+2--1)"2x0-4")

1=(%+。2+…+%)+(2+2+…+2"-)=-----------+—j—---

=n'+-------------

33

17.如圖，VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且

V3sin+B]+sin一B]=0.

(1)求角B的大??；

(2)若a=3，S^ABC=",.

(i)求sirkd的值；

(ii)求/Z8C的角平分線5。的長.

【正確答案】(1)B=—

3

15

(2)(i)sin/=---;(ii)BD——.

148

【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡可得出tanB的值，結(jié)合角8的取值范圍可求得

角5的值；

(2)(i)利用三角形的面積公式求出c的值，利用余弦定理求出b的值，然后利用正弦定理

可求得sinA的值；

(ii)由=SA^D+5段8結(jié)合三角形的面積公式可求得AD的長.

【小問1詳解】

解:

jl7T.?|.7171

—cosB+cos—sin3+sin—cosB-cos—sinB

66JI33

二——cos5+—sin5+——cos5sin5=sin5+6cos3=0，

2222

所以，sinB=-V3COSB>0可得tan5=—g，

又因為0<5<兀，故5二”.

3

【小問2詳解】

解：(i)因為=；acsinB=3，。=15f，解得。=5,

由余弦定理可得，之=/+/—2clecosB-9+25—2x3x5x[—49,則6=7,

由正弦定理可得一一一，所以，./6/sin5373；

smAsin5sm/=---=------=------

6714

(ii)因為^^ABC=SAJBQ+S2CD，即

}^-=-c-BDsm~+-a-BDsm-=~(a+c]BD=2r^3BD，

423234v7

因此，BD=—.

8

18.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域。NC8,該場地由線段。4、08、ZC及曲線段圍成.

經(jīng)測量，AAOB=90°,。4=。5=100米，曲線5c是以08為對稱軸的拋物線的一部分,

點C到0A、0B的距離都是50米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設一個矩形游樂場0EDF,其中點。在

曲線段上，點、E、F分別在線段0A、0B上,且該游樂場最短邊長不低于30米.設DF=x

米，游樂場的面積為S平方米.

(1)試建立平面直角坐標系，求曲線段5c的方程；

(2)求面積S關于x的函數(shù)解析式S=/(x)；

(3)試確定點。的位置，使得游樂場的面積S最大.

【正確答案】(1)j=--X2+100(0<X<50)

1,

(2)S=——x3+100x,30<x<50.

50

(3)點。在曲線段5C上且到08的距離為迎R米時，游樂場的面積最大.

2

【分析】(1)先以O為坐標原點，OA、OB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,

然后根據(jù)題意求解析式即可；

(2)分別求出D在不同線段的解析式，然后計算面積；

(3)在不同情況計算最大值，然后比較兩個最大值就可以得到面積最大值，然后確定D的位

置.

【小問1詳解】

以。為坐標原點，OA,08所在直線分別為x軸、歹軸建立平面直角坐標系，

如圖所示，則/。00,0),5(0,100),0(50,50),

設曲線8C所在的拋物線方程為歹="2+。，。<0,點3,。在拋物線上,

c=100

解得。=----，c=100,

2500。+c=5050

所以曲線段8C所在的拋物線方程為j=-^x2+100(0<x<50).

【小問2詳解】

因為點。在曲線段BC上，=30<x<50,所以|DE|=—+

111150

S=f(x)=x|---%2+100|=---x3+100x,30<x<50.

【小問3詳解】

3

f'(x\=---%2+100,30<x<50,

「50

3，5076

令——x2+100=0,解得x=+-----

503

,50mx,(50765

當xe30,---時，/(久)>0,當xe---,50時，/(%)<0,

所以xe30,時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，xe-^,50時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減,

因此，“竽時,s"竽)▼是極大值也是最大值,

即當點。在曲線段上且到08的距離為皿5米時，游樂場的面積最大.

3

19.已知函數(shù)/(x)=asinoxcosox(a>0,。>0).從下列四個條件中選擇兩個作為已知,

使函數(shù)/(x)存在且唯一確定.

(1)求/(X)的解析式;

(2)設g(x)="X)-2cos?0X+1,求函數(shù)g(x)在(0,%)上的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：f1;

條件②：/(X)為偶函數(shù)；

條件③：/(X)的最大值為1；

條件④：/(X)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為搭.

【正確答案】(1)/(x)=sin2x；

【分析】(1)先由降塞公式得/口)=1近112。X(。>0,。>0),故/(x)為奇函數(shù)，排除條件

②，若選①③，/(x)不唯一，不合題意；若選①④由/1及周期解出/(x)即可；若

選③④由最大值及周期解出/(x)即可；

(2)先由倍角公式及輔助角公式求出g(x)=J^sin(2x-?),再令

g+2版?〈Zx—?/+2版■水“解出單調(diào)區(qū)間，最后寫出在(0/)上的單調(diào)遞增區(qū)間

即可.

【小問1詳解】

f(x)=asincoxcoscox=^sinIcoxia>0,>0),易知/(x)為奇函數(shù)，故條件②不成立，

舍去.

若選①③，則/(工)=qsin絲=1且巴=1,故a=2,—=-+2^,^eZ,解得

422222

。=1+4左，左eZ,故/(x)不唯一，不合題意；

若選①④，/(°)=2sin絲=1且一=°,故7="=/，解得。=1,a=2,存在且唯

422222。

t,故/(x)=2sinxcosx=sin2x；

aTjr27r

若選③④，則±=1且一=2,故7="=——,解得a=2,co=l,故

2222a)

/(x)=2sinxcosx=sin2x,存在且唯一，故/(x)=sin2x；

【小問2詳解】

g(x)=/(%)-2cos2ox+1=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x=42sin(2x--),令

--+2k7i<2x--<—+2kn.kGZ,

242

解得一二+左〃VxV也+左匹左￡Z,當左=0時，一至當左=1時，—<x<^-^,

888888

故函數(shù)g(x)在(0,〃)上的單調(diào)遞增區(qū)間為1o,*7%

20.已知函數(shù)/(》)=j(》2+辦+1).

⑴若。=0,求/㈤在點(oj(o))處的切線方程；

(2)若“久)在(-1,1)上恰有一個極小值點，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若對于任意xe]o,?,/(x)〉e*(x2cosx+l)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)y=x+]

(2)(-2,0)

(3)[0,+co)

【分析】(1)求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線斜率及方程；

(2)求導，可得函