2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)試題選擇性必修一（人教B版2019）第2章平面解析幾何2-8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.“拋物線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與拋物線相切”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),它們必有一個(gè)公共點(diǎn),但有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線可能與拋物線相交.故選B.答案:B2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且與拋物線y2=mx(m>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有()A.3條 B.2條 C.1條 D.4條答案:A3.已知直線y=x與橢圓x24+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|等于(A.2 B.455 C.4解析:由y=x,x故x=±255,y=±故|AB|=410答案:C4.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),且一個(gè)焦點(diǎn)為F(7,0),直線y=x1與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),且MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為23,則此雙曲線的方程為(A.x23-y24C.x25-y22解析:由焦點(diǎn)為F(7,0),得c=7,a2+b2=7.設(shè)雙曲線的方程為x2a2M(x1,y1),N(x2,y2).將y=x1代入雙曲線方程,整理得(72a2)x2+2a2xa2(8a2)=0,則x1+x2=2a由已知,得2a27解得a2=2,符合題意,故雙曲線的方程為x22-答案:D5.(多選題)設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的值不可能是()A.2 B.1 C.12解析:由y2=8x,得Q(2,0),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2).因?yàn)橹本€l與拋物線有公共點(diǎn),所以方程組y=k即k2x2+(4k28)x+4k2=0有解,所以Δ=(4k28)216k4≥0,解得1≤k≤1.故選AD.答案:AD6.已知直線y=kx2交拋物線y2=8x于A,B兩點(diǎn),若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k=.

解析:由y2=8x,y=kx-2得k2x2則4(k+2)k2答案:27.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,截直線2xy+1=0所得弦長(zhǎng)為15,則拋物線方程為.

解析:設(shè)所求拋物線方程為y2=ax(a≠0).由2x-y+1=0,y2=ax消去整理得4x2+(4a)x+1=0,Δ>0,x1+x2=a-44,x1x2則由題意,得(1+解得a=12或a=4,均符合Δ>0.故所求拋物線方程為y2=12x或y2=4x.答案:y2=12x或y2=4x8.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=(1)求橢圓C的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0),且斜率為45的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)解:(1)將點(diǎn)(0,4)的坐標(biāo)代入橢圓C的方程,得16b2=1,解得b=又e=ca=35即116a2=925故橢圓C的方程為x225+(2)過(guò)點(diǎn)(3,0),且斜率為45的直線方程為y=45(x設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),將y=45(x3)代入橢圓方程得x2即x23x8=0,則x1+x2=3,故線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1+x22=故所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為329.設(shè)A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:(1)A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積均為定值;(2)直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn);(3)△AOB面積的最小值為4p2.證明:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴y12y22=4p2x1x2=4p2(y又由題意可知,y1y2≠0,∴y1y2=4p2,∴x1x2=4p2.故結(jié)論成立.(2)∵y12-y22=(y1y2)(y1+y2)=2p∴當(dāng)x1≠x2時(shí),y1∴直線AB的方程為yy1=2py1+y2∴y=2py1+y2·x2py又y1y2=4p2,∴y=2py1+y2·x∴直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0).當(dāng)x1=x2時(shí),∵x1x2=4p2,∴x1=x2=2p,此時(shí)直線AB為x=2p,過(guò)點(diǎn)(2p,0).綜上,直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0).(3)設(shè)△OAB的面積為S,△OMA的面積為S1,△OMB的面積為S2,直線AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為M,則S=S1+S2=12|MO|·(|y1|+|y2|)又|y1|+|y2|≥2|y1·y當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|,即AB⊥x軸時(shí),等號(hào)成立.故S≥12·2p·4p=4p2,故△AOB面積的最小值為4p2B組1.直線y=x+1被橢圓x24+y22A.23,C.-23解析:設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x兩式相減得14(x1x2)(x1+x2)+12(y1y2)·(y1+y2)∴y1-y2∴x02y0=1.又y0=x0+1,∴x0=23,∴弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為-2答案:C2.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn).若|FA|=2|FB|,則k=()A.13 B.23 C.2解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2∴x1x2=4.①∵|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+p2=x2且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2.②由①②得,x2=1.∴B(1,22).又B在直線y=k(x+2)上,∴3k=22,∴k=22答案:D3.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作傾斜角為30°的直線,與拋物線交于A,B兩點(diǎn).若|AF||BF|∈(0,1),則A.15 B.14 C.1解析:因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為0,p2,所以直線方程為y=33x+p2,代入拋物線方程,得x2233pxp2=0,解得xA=33p,xB=3答案:C4.(多選題)若無(wú)論k取何值,直線y=k(x2)+b與雙曲線x2y2=1總有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的值可以為()A.32 B.16 C.2解析:由題意,得y=k(x-2)+b,x2-y2=1,得(1k2)x2∵Δ≥0,∴1b23≥0,即∴3≤b≤3.故選ABD.答案:ABD5.已知直線y=m與橢圓x23+y24=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)答案:(2,2)6.已知拋物線y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則y12+解析:當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線方程為y=k(x4),將x=y24得ky24y16k=0.則y1y2=16,y1+y2=4k故y12+y2當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),易求得此時(shí)y12+故y1故y12+答案:327.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(2,0),B(2,0)連線的斜率的積為定值12(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C;(2)設(shè)直線l:y=kx+1與曲線C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=423時(shí),求直線l解:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則依題意有yx+2·yx-2=12,整理得x22+y2=1.因?yàn)閤≠±2,所以曲線C(2)由x22+y2=1,y=kx+1消去y,得(1解得x1=0,x2=-4設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則由|MN|=1+k2|x1x2|=1+k2·故直線l的方程為xy+1=0或x+y1=0.8.已知直線l:y=k(x+1)與拋物線y2=x交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若△OAB的面積為10,求k的值;(2)求證:以弦AB為直徑的圓必過(guò)原點(diǎn).(1)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),原點(diǎn)O到直線AB的距離為d,由y消去y,得k2x2+(2k2+1)x+k2=0.由題意知k≠0,由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=2k2+1k2,x1x2=1.則|AB