北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

絕密★啟用前

北京市通州區(qū)2024?2025學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

1.本試卷共8頁，共三道大題，28個小題，滿分為100分，考試時間為120分

鐘.

考

2.請在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級、姓名.

生

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

須

4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作

知

答.

5.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.

一、選擇題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）每題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)

只有一個.

1.在5c中，NC=90°,如果AC=1,BC=2,那么tanB的值為（）

R非

D.----------

5

2.如圖，A,B,C是。。上的點(diǎn)，如果NB0C=120°,那么NBAC的度數(shù)是（）

3.關(guān)于函數(shù)y=—2必，y=^x2,y=3/,y=—gx?的圖象的共同點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A開口向上B.都有最低點(diǎn)

C.y隨無增大而增大D.對稱軸是y軸

4.如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線。暇交于點(diǎn)A,再以A為圓心，AO長為半徑畫弧,

兩弧交于點(diǎn)8,畫射線08,貝UcosNAOfi=（）

B,

0IA-M

A.@B.-C.BD.V3

222

5.如果二次函數(shù)y=a(x—1)?+左的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2,3),那么該圖象必經(jīng)過點(diǎn)()

A.(-1,3)B.(0,3)C.(1,3)D.(Y,3)

6.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)。在4B的延長線上，。。切于點(diǎn)C,如果NA=3O°,00=4,那

C.273D.3

7.為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進(jìn)行了消防演習(xí).如圖，架在消防車上云梯可伸縮，也

可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動，其底部8離地面的距離3c為2m,當(dāng)云梯頂端A在建筑物所所在直線上時，底部3到

Eb的距離BD為10m,若=則此時云梯頂端A離地面的高度AE的長是()

10c10c

A.lOtanof+2B.+2C.-------+2D.10siniz+2

tanacosa

8.如圖，已知及。。外一定點(diǎn)P,嘉嘉進(jìn)行了如下操作后，得出了四個結(jié)論:

①點(diǎn)A是尸。的中點(diǎn);

②直線PQ,球都是。。的切線；

③點(diǎn)尸到點(diǎn)。、點(diǎn)R的距離相等；

④連接PQ，QA，PR，RO,OQ,則S^PQA=-S四邊形PR。。.

o

對上述結(jié)論描述正確的是（）

A.只有①正確B.只有②正確C.①②③正確D.①②③④都正確

二、填空題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）

9.如圖，D、E是VABC邊AB、AC上的兩點(diǎn)，且QE/75C,DE:BC=1:3,那么=

10.已知一個扇形的半徑長為6，圓心角為120。，則這個扇形的面積為一.

11.已知。。的直徑為8cm,如果在所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P且。P=5cm,那么點(diǎn)P在。。

.（填內(nèi)、外或上）

12.如圖，在VA3C中，AB=AC,中線與高線班相交于點(diǎn)。，寫出一個與△AOE相似的三角

形，這個三角形可以是.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線X=依2-2編;（0>0）和直線%=履（左>。）交于點(diǎn)。和點(diǎn)4若

點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3,則Ax>cue—2ax的解集為

14.圖1為一個裝有液體的圓底燒瓶（厚度忽略不計），側(cè)面示意圖如圖2,其液體水平寬度為16cm,

豎直高度為4cm,則?0的半徑為cm.

圖1圖2

15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表:

X-2-10123

y50-3-4-30

關(guān)于尤的一元二次方程or?+bx+c—5的解是.

16.小明同學(xué)想利用"NA=30°,AB=6cm,3C=5cm"，這三個條件作VA5C.他先作出了

NA=30°和AB=6cm,再作3C=5cm,那么AC的長是cm.

三、解答題（本題共68分，第17—24題每小題5分，第25、26題每小題6分，第27、28

題每小題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：sin2450+cos30°-tan60°+（-2025）°.

18.已知二次函數(shù)y=-f+4x-7.

（1）寫出此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸；

（2）請你判斷點(diǎn)P（3,T）是否在此二次函數(shù)的圖象上;

（3）如果點(diǎn)A（玉,yj,3（兀2，%）（2<%<9）均在該拋物線上，那么%（填：

“>”“=”或“<”）

19.如圖，在VABC中.440=90°,力。是VABC的中線，如果AB=6.4）=5.求cos/ZMC的

值.

20.如圖，菱形A3CD的對角線AC和3D交于點(diǎn)。，分別過點(diǎn)48作人石〃應(yīng)>.BE//AC.AE和

BE交于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形A￡B。是矩形;

（2）連接EC,當(dāng)NASD=60°.AB=2后時，求tanNCEB的值.

21.如圖，在VABC中，AB=AC.

求作：射線AE，使得AE〃3C.

小靖同學(xué)作法如下：

①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓，延長84交OA于點(diǎn)。；

②作/ABC的角平分線交OA于點(diǎn)E；

③作射線AE.

所以射線AE即為所求.

請你依據(jù)小靖同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明

證明：連接。C,A3=AC,???點(diǎn)C在0A上.

???8。是OA的直徑，ZBCD=()(填推理依據(jù))

，；BE平分NABC,ZABE=NCBE...DE=CE，

ZDAE=ZCAE()(填推理依據(jù)).

..AD=AC，AELDC.()(填推理依據(jù)).，

7

22.在矩形ABCD中，AB=8,點(diǎn)G為邊AO上一點(diǎn)，AG=6,CE_LBG于點(diǎn)E,DG=—

3

(1)求證△ABGSZIECB；

(2)求證￡是BG的中點(diǎn).

23.某學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)室有一種演示桌，收起時桌面與一支架的夾角NC4B=20。，打開時桌面與同一支架

的夾角NGDfi=63°(桌面FG〃石C),已知支架84=班＞=40011,求桌面上升的高度約為多少？

(桌面的厚度與前后移動的距離等因素不用考慮)(參考數(shù)據(jù)：sin200-0.34,cos20°?0.94,

tan20°?0.36,sin63°“0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96).

24.如圖，的直徑力B垂直弦CD于點(diǎn)E,尸是圓上一點(diǎn)，。是8b的中點(diǎn)，連結(jié)CF交08于點(diǎn)G,連結(jié)

BC.

c

A\B

E

D

(1)求證：GE=BE.

(2)若AG=6,BG=4,求CD的長.

25.如圖，在VA5C中，AB=AC,。是4B的中點(diǎn)，到點(diǎn)。的距離等于工AB的所有點(diǎn)組成圖形G,圖

2

形G與邊交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作QE/AC于點(diǎn)E.

(1)依題意補(bǔ)全圖形，判斷直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個數(shù)并加以證明；

(2)C4延長線交圖形G于點(diǎn)F,如果AE=3,AF=4,求DE的長.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)丁=依2+公+o(。>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,c).

(1)求此二次函數(shù)圖象的對稱軸；

⑵若二次函數(shù)丁=。2+灰+。(。>0)的圖象上存在兩點(diǎn)4(%1,%),B(x2,y2),其中

m-1<xl<m,m+2<x2<m+4,且%=%,求根的取值范圍.

27.在VA3C中，ZB=ZC=a(O°<a<45°),AMJL3C于點(diǎn)M,。是線段上動點(diǎn)(不與點(diǎn)

B,C,M重合)，將線段DM繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

(1)如圖1,如果點(diǎn)E在線段AC上，求證：MELAC；

(2)如圖2,如果。在線段BM上，在射線MB上存在點(diǎn)廠滿足。歹=DC,連接AE,AF,ER求證:

AELFE.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑是3.對于點(diǎn)尸和給出如下定義：過點(diǎn)C的直線與。。

交于不同的點(diǎn)M,N,如果點(diǎn)尸為線段腦V的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)尸叫做關(guān)于肱V的“弦中點(diǎn)”.

①點(diǎn)《(—2,0),^(-1,1),6(0,2)中是關(guān)于MN的“弦中點(diǎn)”的是

②若一次函數(shù)y=x+b的圖象上只存在一個關(guān)于的“弦中點(diǎn)”，求b的值;

(2)如圖2,若C(-6,0),一次函數(shù)>=-氐+相的圖象上存在關(guān)于MN的“弦中點(diǎn)”，直接寫出機(jī)的

取值范圍.

參考答案

一、選擇題(本題共8個小題，每小題2分，共16分)每題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)

只有一個.

1.在RtAABC中，ZC=90°,如果AC=1,BC=2,那么tanB的值為()

A.|B.立C.D,2

255

【答案】A

【解析】

【分析】此題考查了銳角三角函數(shù)，根據(jù)正切的意義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,如果AC=1,BC=2,

,nAC1

??tanB------二—

BC2

故選：A.

2.如圖，A,B,C是。0上的點(diǎn)，如果NB0C=120°,那么NBAC的度數(shù)是()

A

B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【詳解】與/為C是同弧所對的圓心角與圓周角，NBOC=12Q°,

：.ZBAC=^ZBOC=60°.

故選氏

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

3.關(guān)于函數(shù)y=—2必，y=^x2,y=3x2,y=—gx?的圖象的共同點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.開口向上B.都有最低點(diǎn)

C.y隨x增大而增大D.對稱軸是y軸

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查函數(shù)圖象性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)y=奴?①/0）的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)。值得函數(shù)圖象的開口方向，從而判定A；根據(jù)。值得函數(shù)圖象的開口方向，即可得出函數(shù)有最高點(diǎn)或

最低點(diǎn)，從而判定B；根據(jù)函數(shù)的增減性判定C；根據(jù)函數(shù)的對稱軸判定D.

【詳解】解：A.函數(shù)y=—2好與y=-d的開口向下，函數(shù)y=與》=3好開口向上，故此選項(xiàng)不符

合題意；

B.函數(shù)y=—2必與y=-/的開口向下，有最高點(diǎn)；函數(shù)y=；必與y=3/開口向上，有最低點(diǎn)，故此

選項(xiàng)不符合題意；

C.函數(shù)y=—2/與y=--,當(dāng)x<0時，y隨X增大而增大，當(dāng)x>0時，y隨X增大而減??；函數(shù)

y=；工2與y=3x?,當(dāng)尤<0時，y隨x增大而減小，當(dāng)無>0時，y隨x增大而增大；故此選項(xiàng)不符合

題意;

D.函數(shù)y=—2x2,y=gx2,y=3x2,y=—X?的對稱軸都是y軸，故此選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

4.如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線。暇交于點(diǎn)A,再以A為圓心，A0長為半徑畫弧,

兩弧交于點(diǎn)8,畫射線08,貝UcosNAOfi=（

「V3

D.V3

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)作圖可以證明AAOB是等邊三角形，則NAOB=60。，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：連接AB，由圖可知：。4=。8,AO=AB,：.OA=AB=OB,即三角形O4B為等邊三角

形，ZAOB^60°,.?.COS/AO8=COS60°=L

2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，得出△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.如果二次函數(shù)y=a（x—1）?+左的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2,3）,那么該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）

A.(-1,3)B.(0,3)C,(1,3)D.(T3)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用二次函

數(shù)的對稱性解答即可；

【詳解】二次函數(shù)y=a(%—1)2+左的圖象得對稱軸是直線x=1,

V二次函數(shù)y=a(x—Ip+上的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2,3)

...二次函數(shù)y=+左的圖象必經(jīng)過點(diǎn)(0,3),

故選：B

6.如圖，2B是。。的直徑，點(diǎn)。在4B的延長線上，。。切。。于點(diǎn)C,如果NA=3O°,OD=4,那

4C.2gD.3

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，連接OC,由切線的性

質(zhì)得NOCD=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/OC4=/A=30°,通過外角性質(zhì)可得

"OC=NOC4+NA=60°,則"=30°,最后由勾股定理即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：連接OC,

V。。切OO于點(diǎn)C,

...NOCD=90°,

?：OC=OA,

ZOCA=ZA=30°,

ZDOC=ZOCA+ZA=60°,

：.ZD=30。，

/.OC=-OD=2,

2

DC=y/OD2-OC2="2—22=2c，

故選：C.

7.為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進(jìn)行了消防演習(xí).如圖，架在消防車上的云梯可伸縮，也

可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動，其底部8離地面的距離3C為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物所所在直線上時，底部8到

跖的距離為10m,若NABD=i,則此時云梯頂端A離地面的高度AE的長是（）

10C10c

A.10tan（7+2B.+2C.+2D.10sin?+2

tanacosa

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，比較簡單，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)的正切可得AD=BDtane=10tane,而?！?BC=2,進(jìn)而即可求解.

AD

【詳解】解：在直角三角形ABQ中，tana=——,

BD

AD=BDtana=10tana,

根據(jù)題意可得：DE=BC=2,

AE=AD+DE=10tana+2,

故選：A.

8.如圖，已知。。及。。外一定點(diǎn)P,嘉嘉進(jìn)行了如下操作后，得出了四個結(jié)論:

①點(diǎn)A是尸。的中點(diǎn);

②直線PQ,球都是。。的切線；

③點(diǎn)尸到點(diǎn)。、點(diǎn)R的距離相等；

④連接PQ，QA，PR，RO,OQ,則S^PQA=-S四邊形PR。。.

o

對上述結(jié)論描述正確的是（）

A.只有①正確B.只有②正確C.①②③正確D.①②③④都正確

【答案】C

【解析】

【分析】由第一步作圖痕跡可知直線MN是尸。的垂直平分線，由此可判斷①正確；根據(jù)直徑所對的圓周

角等于90。，可判斷②正確；根據(jù)切線長定理可判斷③正確；先證明△POQZAPOR,由此可得

S-POQ=SyoR，進(jìn)而可得S&p°A=gs/o0=：s四邊形PRO。，因此可判斷④錯誤.

由第一步作圖痕跡可知直線MN是PO的垂直平分線，因此點(diǎn)A是PO的中點(diǎn),

故①正確;

?/PO是0A的直徑,

:.NPQO=NPRO=9。。，

PQ±OQ,PRIOR,

，直線P2,PR都是。。的切線,

故②正確；

直線P。，網(wǎng)都是。。的切線，根據(jù)切線長定理，可知PQ=PR,

故③正確;

PQ=PR,OQ=OR,PO=PO,

:.APOQ冬衣OR,

?q=s

??"xPOQ-°APOR，

,?S&POQ=2S四邊形PR。。?

,點(diǎn)A是PO的中點(diǎn)，

…S/Q1=_S1pOQ=WS四邊形PRO。'

故④錯誤.

故選：c

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖法、圓周角定理、切線的判定以及切線長定理.熟練掌握

以上知識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）

9.如圖，D、E是VABC邊AB、AC上的兩點(diǎn)，且。石〃5C,DE:BC=1:3,那么AD:AB=

【解析】

【分析】通過證明VADEsVABC,可求解.

【詳解】解：石〃BC,

:.AADE^AABC,

ADDE_1

"AB-BC-3'

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

10.已知一個扇形的半徑長為6,圓心角為120。，則這個扇形的面積為一.

【答案】1271

【解析】

【分析】本題考查扇形面積公式，理解扇形面積與相應(yīng)圓面積的比就是扇形圓心角占整個周角360°的比,

列式求解即可得到答案，熟記扇形面積公式并正確理解是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??一個扇形的半徑長為6,圓心角為120。，

,這個扇形的面積為些義兀義62=12兀，

360

故答案為：1271.

11.已知。。的直徑為8cm,如果在。。所在平面內(nèi)有一點(diǎn)尸且OP=5cm,那么點(diǎn)尸在

.（填內(nèi)、外或上）

【答案】外

【解析】

【分析】本題主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直徑求出半徑，

即可判斷出點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

【詳解】解：直徑為8cm,

OO的半徑為4cm,

OP=5cm,

故點(diǎn)尸在。O外.

故答案為：外.

12.如圖，在VA3C中，AB=AC,中線與高線BE相交于點(diǎn)。，寫出一個與△AOE相似的三角

形，這個三角形可以是.

【答案】AADC或△5QD或V6EC或△ABD

【解析】

【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形進(jìn)行

判定即可.

【詳解】解：???AB=AC,AD為中線，

.-.AD±BC

3E為高線，

.?.ZAT)C=ZAEB=90°

ZDAC=AOAE

.'.△ADC^zsAOE；

ZAOE=ZBOD,ZODB=ZAEB=90°

:.ABODSAAOE；

ZOBD+ZBOD=90°

ZAOE+ZOAE=90°

:.ZOBD=ZOAE

ZAEB=ZBEC=90°

:.ABECSAAOE；

VAB=AC,AO為中線，

.?.A。為角平分線，

:.ZBAD=ZDAC

ZADB=ZAEB=9QP

.-.AABD^AAOE；

故答案為：AADC或ABOD或NBEC或AABD.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線X=融2-2at(a＞0)和直線%=履(左＞。)交于點(diǎn)。和點(diǎn)A.若

點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3,則依＞tzx?一2以的解集為.

【答案】0<x<3

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定以>以2—2初表示的意思是一次函數(shù)在

拋物線上方，即在點(diǎn)。和點(diǎn)A之間，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：?：拋物線%=ax2-2ax(a>0)和直線%=kx(k>0)交于點(diǎn)。和點(diǎn)4且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3,

...由函數(shù)圖象可得就>依2-2依的解集為0<%<3,

故答案為：0<x<3.

14.圖1為一個裝有液體的圓底燒瓶(厚度忽略不計)，側(cè)面示意圖如圖2,其液體水平寬度AB為16cm,

豎直高度CD為4cm，則OO的半徑為cm.

圖1圖2

【答案】10

【解析】

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理.

由垂徑定理得到AD==8cm,設(shè)。。的半徑為xcm,則。4=OC=xcm,

2一

OD=OC-CD=x-4(cm),在△AOD中，根據(jù)勾股定理有4加R⑩=0A2，代入即可解答.

【詳解】解：連接AO,

OCLAB,

AD=—AB=—xl6=8(cm)

設(shè)。。的半徑為xcm,則。4=OC=xcm,

/.OD=OC-CD=(x-4)(cm),

:在△AOD中，AD2+OD2/2,

即82+(X-4)2=%2,

解得：x=10,

。。的半徑為10cm.

故答案為：10.

【答案】石=一2,々=4

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的對稱性及與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性及與一元二

-1+3

次方程的關(guān)系是本題解題關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解對稱軸為直線x=--------=1,結(jié)合當(dāng)x=-2時,

2

y=5,再進(jìn)一步作答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點(diǎn)(TO),(3,0)均在二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象上，

???二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線X=二9=1,

2

由表格信息可得：當(dāng)x=-2時，y=5,

點(diǎn)(-2,5)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)(4,5),

x2x=

工關(guān)于的方程ax+bx+c—5的解是i~2,X2=4.

故答案為：石=一2七=4.

16.小明同學(xué)想利用"NA=30。，A6=6cm,BC=5cm",這三個條件作VA3C.他先作出了

ZA=30°?AB=6cm,再作3C=5cm,那么AC的長是cm.

【答案】3月-4或3四+4

【解析】

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分/AC5為鈍角和銳角，兩種情況進(jìn)行討

論求解.

【詳解】解：過點(diǎn)8作

VZA=30°,AB=6cm,

：.BD=^-AB=3,

2

AD=VAB2-BD2=373，

在Rt^BCD中，CD=[BC2-Blf=4；

當(dāng)NACfi為鈍角時，則：AC=AD-CD=3A/3-4；

當(dāng)/ACfi為銳角時，貝I：AC=AD+CD=3V3+4；

故答案為：33-4或36+4.

三、解答題（本題共68分，第17—24題每小題5分，第25、26題每小題6分，第27、28

題每小題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：sin2450+cos30°-tan60°+（-2025）°.

【答案】3

【解析】

【分析】本題主要考查特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算以及零指數(shù)累，原式分別代入特殊角三角函數(shù)值，再計

算零指數(shù)幕，最后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

=——I——

22

=3.

18.已知二次函數(shù)y=-f+4x-7.

（1）寫出此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸;

（2）請你判斷點(diǎn)P（3,T）是否在此二次函數(shù)的圖象上；

（3）如果點(diǎn)A（演3（%,%）（2（內(nèi)<%）均在該拋物線上，那么%（填：

“>”“=”或“<”）

【答案】（1）開口方向向下，對稱軸為直線：%=2

（2）點(diǎn)P（3,T）在此二次函數(shù)的圖象上

（3）>

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：

（1）將一般式化為頂點(diǎn)式，求解即可；

（2）將1=3代入函數(shù)解析式，求出丁值，進(jìn)行判斷即可；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，進(jìn)行判斷即可.

【小問1詳解】

解：,/y=-x2+4x-7=-（x-2）-3,

；?函數(shù)圖象開口方向向下，對稱軸為直線：x=2；

【小問2詳解】

解：y=-x2+4x-7,

???當(dāng)％=3時，y=-32+4x3-7=-4,

.?.點(diǎn)P（3,-4）在此二次函數(shù)的圖象上；

【小問3詳解】

解：?.?拋物線的開口向下，對稱軸為直線尤=2,

,當(dāng)%>2時，V隨x的增大而減小，

2<%<%，

???%>%，

故答案為：>.

19.如圖，在VABC中.ZBAC=90°,AD是VABC的中線，如果AB=6.AD=5.求cosNZMC的

值.

A

【解析】

【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，求角的余弦值，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握余弦的

定義是解題關(guān)鍵.由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出5C=2AD=10,BD=AD=DC,從而得出

AC4

ADAC=AC,由勾股定理可求出AC=8,即得出cos/DAC=cosC=—=-.

BC5

【詳解】解：：N5AC=90°,AZ）是VA3C的中線，

ABC=2AD=10,BD=AD=DC.

在RtZiABC中，ZBAC=90°,AB=6,

AC=Y/BC2-AB2=8'

,「AC84

??cosC=——=—.

BC105

?/AD=DC,

：.ZDAC=ZC,

4

cosADAC=cosC=—.

5

20.如圖，菱形ABC。的對角線AC和5D交于點(diǎn)。，分別過點(diǎn)A、B作AE〃BD.BE//AC.AE和

BE交于點(diǎn)、E.

（1）求證：四邊形AEB。是矩形;

(2)連接EC,當(dāng)NABD=60°.=時，求tanNCEB的值.

【答案】⑴見解析（2）tanNCE5=3

6

【解析】

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形AEB。是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到NAOS=90。，

根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AEBO是矩形；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC/3。，求得。B===得到AO=Y3AB=3,根據(jù)

222

三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

AE//BD，BE//AC,

，四邊形A￡BO平行四邊形，

1/四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD交于點(diǎn)、0,

：.ZAOB^90°,

四邊形AEBO是矩形；

【小問2詳解】

VZAOB=90°,ZABD=60°,

：.sinZABC>=—,cosZABO=—,

ABAB

AO=--AB—2A/3x=3，BO=-AB=2\/3x—=y/3,

2222

?：BE//AC,

/.ZCEB=ZACE

:四邊形AEBO是矩形，四邊形ABC。是菱形，

AZEAC=9Q°,AO=OC,AE=BO,

AC=2AO=6,AE—百，

21.如圖，在VABC中，AB=AC.

求作：射線AE，使得AE〃3C.

小靖同學(xué)的作法如下：

①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓，延長5A交。A于點(diǎn)。；

②作ZABC的角平分線交。A于點(diǎn)￡；

③作射線AE.

所以射線AE即為所求.

請你依據(jù)小靖同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題：

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明

證明：連接。C,.??點(diǎn)C在。A上.

???8。是OA的直徑，ZBCD=()(填推理依據(jù))

BE平分ZABC,ZABE=ZCBE.DE=CE>

/DAE=/CAE()(填推理依據(jù)).

：AD=AC，-AELDC.()(填推理依據(jù)).

【答案】(1)圖見解析

(2)90°,直徑所對的圓周角是直角，等弧所對的圓心角相等，三線合一

【解析】

【分析】(1)按照所給作法以及角平分線的尺規(guī)作圖法補(bǔ)全圖形即可；

(2)由直徑所對的圓周角是直角可得N3CD=90。，由相等的圓周角所對的弧相等可得OE=CE，由等弧

所對的圓心角相等可得/DAE=NC4￡,由三線合一可得然后由垂直于同一直線的兩直線平

行即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)如下:

【小問2詳解】

證明：連接AE，DC,

：AB=AC,.??點(diǎn)C在。A上.

Q8￡）是OA的直徑，.?.NBCD=90。（直徑所對的圓周角是直角）（填推理依據(jù)）

,:BE平分/ABC,：.ZABE=NCBE.：.DE=CE，

ZDAE=ZCAE（等弧所對的圓心角相等）（填推理依據(jù)）.

VAD=AC，:.AE±DC.（三線合一）（填推理依據(jù)）.

故答案為：90°,直徑所對的圓周角是直角，等弧所對的圓心角相等，三線合一.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線（尺規(guī)作圖），畫出直線、射線、線段，直徑所對的圓周角是直角，角

平分線的有關(guān)計算，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，根據(jù)三線合一證明，垂直于同一直線的兩直線平行等

知識點(diǎn)，熟練掌握基本的尺規(guī)作圖方法和技巧是解題的關(guān)鍵.

7

22.在矩形ABCD中，AB=8,點(diǎn)G邊上一點(diǎn)，AG=6,。石，36于點(diǎn)￡,DG=-

3

（1）求證△ABGS/XECB；

（2）求證E是BG的中點(diǎn).

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

（1）由平行線的性質(zhì)得NAGfi=NCBE,進(jìn)而可證明△ABGSA￡C5：

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BE的長是解答本題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

?.?四邊形ABCD是矩形，

/.ZA=90°,BC=AD,AD//BC,

：.ZAGB=ZCBE.

CELBG,

：.ZBEC=9Q°,

：.ZA=ZBEC,

：.AABG2ECB；

【小問2詳解】

7

VAG=6,DG=-,

3

725_________

?1?BC=AD=6+-=—,BG^ylAB2+AG2=10-

,：AABG^AECB,

.BEBC

25

/.BE_3,

BE=5,

:.E是BG中點(diǎn).

23.某學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)室有一種演示桌，收起時桌面與一支架的夾角NC4B=20。，打開時桌面與同一支架

的夾角NGDfi=63°（桌面FG〃石C）,已知支架84=%>=40?11,求桌面上升的高度約為多少？

（桌面的厚度與前后移動的距離等因素不用考慮）（參考數(shù)據(jù)：sin200-0.34,cos20°?0.94,

tan20°“0.36,sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96

FDG

【答案】桌面上升的高度約為22cm

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵.

做輔助線，過點(diǎn)8作于點(diǎn)M，交EC于點(diǎn)N,由三角函數(shù)求出BN、3M的值，即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)8作3〃，用于點(diǎn)M,交EC于點(diǎn)N,

,/FG//EC,

：.BM±EC,在Rt△㈤VB中，ZANB=90°,BA=40,

sinZNAB=—

AB

?,sin2。。=柴

NB=sin20°x40?0.34x40-13.6,

在中，ZDMB=9Q°,BD=40,

：.sinZMDB=^-

BD

MB

sin63°=16-

MB=sin63°x40?0.89x40?35.6,

：.MNMB-NB^35.6-13.6-22,

桌面上升的高度約為22cm.

24.如圖，。。的直徑力B垂直弦CD于點(diǎn)E,廠是圓上一點(diǎn)，。是8歹的中點(diǎn)，連結(jié)CF交03于點(diǎn)G,連結(jié)

BC.

C

—

F

(1)求證：GE=BE.

(2)若AG=6,BG=4,求CD的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)CD=8

【解析】

【分析】(1)利用ASA證明△CEG之△CEfi,即可得到GE=BE；

由（1）知GE=8E=LBG=2,

(2)連結(jié)OC,求出直徑的長，即得半徑OC=OB=5,求出OG,

2

再求出OE,利用勾股定理求出CE,根據(jù)垂徑定理即可求出C￡>.

【小問1詳解】

證明：?.,￡)是3歹的中點(diǎn)，

：.ZFCD=ZBCD,即NGCE=NBCE,

'：CDLAB,

ZCEG=ZCEB=90°,

又；CE=CE,

：.ACEG^ACEB(ASA),

:.GE=BE；

【小問2詳解】

解：如圖，連結(jié)OC,

VAG=6,5G=4,

AB=6+4=10,

OC=OB=-AB=5,

2

：.OG=OB-BG=5-4=1,

由（1）知GE=BE=^BG=2,

2

OE=OG+GE=l+2=3,

CE=y/0C2-OE2=4>

?.?直徑ABLCD,

CD=2CE=2x4=8.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理.熟練掌握圓的基本性

質(zhì)、三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，在VA3C中，AB=AC,。是AB的中點(diǎn)，到點(diǎn)。的距離等于的所有點(diǎn)組成圖形G,圖

2

形G與邊交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作QE/AC于點(diǎn)E.

（1）依題意補(bǔ)全圖形，判斷直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個數(shù)并加以證明；

（2）C4延長線交圖形G于點(diǎn)F,如果AE=3,A產(chǎn)=4，求DE的長.

【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析，直線。E與圖形G（OO）只有一個公共點(diǎn)，或直線DE與。。相切，證明見

解析

(2)DE=s/21

【解析】

【分析】本題考查了圓的切線證明、垂徑定理、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

(1)由題意得圖形G是以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓；連接0。，可證直線DE與相切;

2

(2)過點(diǎn)。作0GLAF于點(diǎn)G.可得AG=-AF=2,推出四邊形DOGE是矩形；根據(jù)

2

OG2=OA'-AG2=52-22=2B即可求解;

【小問1詳解】

解：補(bǔ)全圖形;

結(jié)論：直線DE與圖形G(。。)只有一個公共點(diǎn)，或直線OE與。。相切

證明：連接0。，

OB=OD,

:./BDO=ZB,

,：AB=AC,

：.NC=ZB,ZBDO=ZC,

：.DO//CA,

DE±AC,

：.DOLDE,

:點(diǎn)。在圖形G(0(9)上，

...直線DE與圖形G(0(9)只有一個公共點(diǎn).

【小問2詳解】

解：過點(diǎn)。作OGLAb于點(diǎn)G.

AG=-AF=2

2

DEIAC,DODE,

四邊形DOGE是矩形，

DO=EG=5,DE=OG,

在RMOGA中，OA=DO=5,

???OG--AG-=52-22=21，

OG=V21（舍負(fù)），

DE=y/2A-

26.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=依2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,c).

(1)求此二次函數(shù)圖象的對稱軸；

(2)若二次函數(shù)丁=依2+法+4。>0)的圖象上存在兩點(diǎn)A(x，x),5(%2，%)，其中

m-l<xl<m,m+2<x2<m+4,且％=%，求機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)此二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l

(2)-l<m<-

2

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，較難的是題(2),正確設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵.

(1)先求出二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(O,c)和(2,c),再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出對稱軸即可得；

(2)先根據(jù)⑴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-lf+k(a>0),再求出％-內(nèi)一%)(%+/—2)，

判斷出西一龍2<0，2機(jī)+1<%+々<2根+4,從而可得當(dāng)+々=2,據(jù)此建立不等式組，解不等式組即

可得.

【小問1詳解】

解：對于二次函數(shù)y=ar2+Zzx+c(a>0),

當(dāng)x=0時，y=。,

???這個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(o,C),

又???這個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2?,

0+2

???此二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=——=1.

2

【小問2詳解】

解：由(1)可設(shè)二次函數(shù)的解析式為丁二々(％—1)2+左(〃>0),

???這個二次函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)B(x2,y2),

22

y1-l)+k,y2=a(x2-l)+左，

—

??.％―%=Q(玉一1)+k—ci1)+k

=〃(為-1)—a(%2-1)

=a(玉-1)2―5-1)2

二"(％一兄2)(%+x2-2)，

'：m-\<xx<m,m+2<x2<m+4,

玉一12<0,2m+1<玉+九2<2m+4,

??』=%，〃>°，

，M-%=a(%-/)(%+4-2)=0,

?,?玉+馬-2=0,即玉+%=2,

2m+l<2<2m+4,

、1

—1<<一.

2

27.在VA3C中，ZB=ZC=a(O°<a<45°),于點(diǎn)M,。是線段上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)

B,C,M重合)，將線段繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

圖1圖2

(1)如圖1,如果點(diǎn)E在線段AC上，求證：Affi±AC；

(2)如圖2,如果。在線段上，在射線MB上存在點(diǎn)尸滿足￡＞尸=。。，連接AE,AF,ER求證：

AELFE.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論即可.

(1)由旋轉(zhuǎn)可知：DM=DE，ZMDE=2a,進(jìn)而得/DEM=/DME；根據(jù)

ZMDE=ZDEC+ZC=2a,ZC=a,可得NDEC=NC；結(jié)合在AMEC中，

ZDME+ZMED+ZDEC+NDCE=180°,即可