北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：各章節(jié)題型練習(xí)題匯編（含答案解析）

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：各章節(jié)題型練習(xí)題匯編

目錄

第一章一元二次方程.............................................................1

【題型1:一元二次方程的求解】..............................................1

【題型2：一元二次方程求參問題】............................................1

【題型3:一元二次方程應(yīng)用題】..............................................2

第二章概率與統(tǒng)計(jì)...............................................................4

【題型1：概率求值】.........................................................4

【題型2：數(shù)據(jù)分析綜合】.....................................................6

第三章圖形的相似...............................................................11

【題型1：成比例線段】......................................................11

【題型2：相似模型】........................................................11

【題型3：圖形的位似】......................................................14

【題型4:相似的實(shí)際應(yīng)用】.................................................15

【題型5：相似的簡(jiǎn)單證明】.................................................18

【題型6：三角形相似的綜合】...............................................19

第四章反比例函數(shù).............................................................22

【題型1：反比例函數(shù)基本性質(zhì)】.............................................22

【題型2:反比例函數(shù)幾何意義】.............................................23

【題型3：反比例函數(shù)求k】..................................................24

【題型4:反比例函數(shù)圖象共存問題】.........................................25

【題型5：反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用】.............................................27

【題型6：反比例函數(shù)綜合】.................................................30

第五章二次函數(shù)................................................................34

【題型1：二次函數(shù)基本性質(zhì)】...............................................34

【題型2:二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系】.......................................35

【題型3：二次函數(shù)新定義問題】.............................................37

【題型4:二次函數(shù)應(yīng)用題】.................................................38

【題型5：二次函數(shù)與方程的關(guān)系】...........................................41

【題型6：二次函數(shù)綜合】...................................................41

第六章三角函數(shù)................................................................46

【題型1：三角函數(shù)基本性質(zhì)】...............................................46

【題型2:解直角三角形】....................................................47

【題型3：網(wǎng)格點(diǎn)求三角函數(shù)】...............................................48

【題型4：三角函數(shù)應(yīng)用】....................................................49

【題型5:三角函數(shù)計(jì)算】....................................................52

第七章圓.......................................................................53

【題型1:圓中的基本定理應(yīng)用】.............................................53

【題型2：圓中的面積計(jì)算】.................................................55

【題型3：緋殳最值問題】....................................................56

【題型4：圓綜合】..........................................................57

第一章一元二次方程

【題型1:一元二次方程的求解】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第2題4分】

方程4^-4x+1=0的根的情況是（）

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.無(wú)實(shí)數(shù)根

2.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第5題4分】

已知關(guān)于x的一元二次方程9+蛆+3=°的一個(gè)根是1,則方程的另一個(gè)根是（）

A.-3B.2C.3D.-4

3.【2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第18題6分】

解方程：f-2x-15=°.

4.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)甸柳一中九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第17題3分】

解方程：/-6x+8=0.

【題型2：一元二次方程求參問題】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第11題4分】

已知關(guān)于尤的一元二次方程Y-4x-a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是.

2.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)甸柳一中九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第7題4分】

已知函數(shù)＞=/-3）尤2+2工+1的圖象與苫軸有交點(diǎn)，則上的取值范圍是（）

A.左<4B.k<4C.左＜4且左。3D.左W4且Zw3

3.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市商河縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第4題4分】

將一元二次方程（無(wú)+°）、°,化成爐-8尤-5=°的形式，則。，%的值分別是（）

A.-4,21B.-4,11C.4,21D.-8,69

【題型3：一元二次方程應(yīng)用題】

1.【2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第4題4分】

10月8日，杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球比賽全部結(jié)束，國(guó)乒攬獲除女雙項(xiàng)目外的6塊金牌，展現(xiàn)了

在乒乓球領(lǐng)域強(qiáng)大的統(tǒng)治力.乒乓球比賽采用雙循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），比賽

總場(chǎng)數(shù)為380場(chǎng)，若設(shè)參賽隊(duì)伍有X支，則可列方程為（）

A.1x（-^-1）=380B.x（x-1）=380C.2x（x-1）=380D.x2=380

2

2.[2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第22題8分】

芯片目前是全球緊缺資源，某市政府通過(guò)招商引進(jìn)“芯屏汽合、集終生智”等優(yōu)勢(shì)產(chǎn)業(yè)，發(fā)展新

興產(chǎn)業(yè)，某芯片公司引進(jìn)了一條內(nèi)存芯片生產(chǎn)線，開工第一季度生產(chǎn)200萬(wàn)個(gè)，第三季度

生產(chǎn)288萬(wàn)個(gè).試回答下列問題：

（1）已知每季度生產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率相等，求前三季度生產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；

（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是600萬(wàn)個(gè)/季度，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)

線的最大產(chǎn)能將減少20萬(wàn)個(gè)/季度，現(xiàn)該公司要保證每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片2600萬(wàn)個(gè)，在增

加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入成本的條件下（生產(chǎn)線越多，投入成本越大），應(yīng)該再增加幾條生

產(chǎn)線？

2

3.[2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第23題10分】

2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，《勞動(dòng)教育》成為一門獨(dú)立的課程，

某學(xué)校率先行動(dòng)，在校園開辟了一塊勞動(dòng)教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為

15米），用長(zhǎng)為30米的籬笆，圍成矩形養(yǎng)殖園如圖1,已知矩形的邊?？吭簤Γ虰C

與院墻垂直，設(shè)AB的長(zhǎng)為xm.

（1）當(dāng)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為100/時(shí)，求的長(zhǎng)；

（2）如圖2,該學(xué)校打算在養(yǎng)殖園飼養(yǎng)雞、鴨、鵝三種家禽，需要在中間多加上兩道籬笆

作為隔離網(wǎng)，并與院墻垂直，請(qǐng)問此時(shí)養(yǎng)殖園的面積能否達(dá)到100?。咳裟?，求出A3的長(zhǎng)；

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.【2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第23題10分】

某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，單價(jià)40元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售定價(jià)為52元時(shí)，可售出

180個(gè).現(xiàn)在采取提高商品定價(jià)減少銷售量的辦法增加利潤(rùn)，定價(jià)每增加1元，銷售量?jī)魷p

少10個(gè)；

（1）商店若將準(zhǔn)備獲利2000元，則定價(jià)應(yīng)增加多少元？

（2）若商店要獲得最大利潤(rùn)，則定價(jià)應(yīng)增加多少元？最大利潤(rùn)是多少？

3

第二章概率與統(tǒng)計(jì)

【題型1:概率求值】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第3題4分】

某林業(yè)局將一種樹苗移植成活的情況繪制成如統(tǒng)計(jì)圖，由此可估計(jì)這種樹苗移植成活的概率

約為（）

2.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第21題8分】

小穎設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”游戲：如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A、B,A轉(zhuǎn)盤被分成了

面積1:2的兩個(gè)扇形，8轉(zhuǎn)盤被分成了面積相等的三個(gè)扇形，游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如

果一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么他就贏了（紅色與藍(lán)色能配成紫色）.

（2）請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法求游戲者獲勝的概率是多少？

4

3.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第12題4分】

在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同.小明通過(guò)多次試

驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中黃球的個(gè)數(shù)可能是一個(gè).

4.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市平陰縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第8題4分】

為落實(shí)教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于《第41批向全國(guó)中小學(xué)生推薦優(yōu)秀影片

片目》的通知精神，某校七、八年級(jí)分別從如圖所示的三部影片中隨機(jī)選擇一部組織本年級(jí)學(xué)生

觀看，則這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的概率為（）

2369

5

【題型2:數(shù)據(jù)分析綜合】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第20題8分】

為提高學(xué)生的法律意識(shí)，某中學(xué)開展了一系列的法律進(jìn)校園活動(dòng)，組織九年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了

《法律知識(shí)知多少》知識(shí)競(jìng)答，學(xué)校隨機(jī)抽取"7名學(xué)生的競(jìng)答成績(jī)，對(duì)成績(jī)(百分制)進(jìn)

行整理、描述和分析，成績(jī)劃分為A(90<x<100)，B(80<x<90),C(70<x<80),

89.根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)填空：m=_□,a=［；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)抽取的機(jī)名學(xué)生中，成績(jī)的中位數(shù)是分，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C等級(jí)扇形圓心角

的度數(shù)是;

(4)這所學(xué)校共有2100名學(xué)生，若全部參加這次競(jìng)答，請(qǐng)你估計(jì)成績(jī)能達(dá)到2等級(jí)及以

上的學(xué)生人數(shù).

6

2.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市平陰縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第21題8分】

某校舉辦“我勞動(dòng)，我快樂，我光榮”活動(dòng).為了解該校九年級(jí)學(xué)生周末在家的勞動(dòng)情況，隨機(jī)

調(diào)查了九年級(jí)1班的所有學(xué)生在家勞動(dòng)時(shí)間（單位:小時(shí)），并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)和整理，繪制如

圖所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖表信息回答以下問題:

人

集

6

4

2

0

8

6

4

2

0

類別勞動(dòng)時(shí)間

X

A0<x<l

Bl<x<2

C2<x<3

D3<x<4

E4<x

（1）九年級(jí)1班的學(xué)生共有人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）已知E類學(xué)生中恰好有2名女生3名男生，現(xiàn)從中抽取兩名學(xué)生做勞動(dòng)交流，請(qǐng)用列

表或畫樹狀圖的方法，求所抽的兩名學(xué)生恰好是一男一女的概率.

7

3.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第23題10分】

第31屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，某校開展了“愛成

都，迎大運(yùn)”系列活動(dòng)，增設(shè)籃球，足球，柔道，射擊共四個(gè)課外活動(dòng)項(xiàng)目.為了解全校1500名

同學(xué)對(duì)增設(shè)的四個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了若干名同學(xué)，對(duì)他們喜愛的

項(xiàng)目（每人限選一項(xiàng)）進(jìn)行了問卷調(diào)查，將數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成了如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)

圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)回答下列問題:

A人數(shù)

8

6

4

2

0

8

6

4

2

O

（1）參加問卷調(diào)查的同學(xué)共名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（2）估計(jì)該校1500名同學(xué)中喜愛籃球運(yùn)動(dòng)的人數(shù);

（3）學(xué)校準(zhǔn)備組建一支?；@球隊(duì)，某班甲，乙，丙，丁四名同學(xué)平時(shí)都很喜歡籃球運(yùn)動(dòng),

現(xiàn)決定從這四人中任選兩名同學(xué)加入球隊(duì)，請(qǐng)你用樹狀圖或列表法求恰好選中甲，乙兩名同學(xué)

的概率.

8

4.【2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市天橋區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第20題8分】

隨著科技的進(jìn)步，購(gòu)物支付方式日益增多.為了解某社區(qū)居民支付的常用方式（A微信，8支付

寶，C現(xiàn)金，。其他），某學(xué)習(xí)小組對(duì)紅星社區(qū)部分居民進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)查結(jié)果，

繪制成如圖統(tǒng)計(jì)圖.

D

14%

40%

ABCD支付方式

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息，解答下列問題：

（1）?=□,b^J,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中C種支付方式所對(duì)應(yīng)的圓心角為度；

（2）本次調(diào)查中用現(xiàn)金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，現(xiàn)從該種支付方式

中隨機(jī)選2名居民參加線上支付方式培訓(xùn)，求恰好都是女性的概率.

9

5.[2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第23題10分】

某學(xué)校為了解全校學(xué)生對(duì)電視節(jié)目(新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂、戲曲)的喜愛情況，從全校學(xué)

生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題

(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少名？

(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(3)若該校有3000名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？

(4)該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取

2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.

10

第三章圖形的相似

【題型1:成比例線段】

1.[2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第2題4分】如圖,

練習(xí)本中的橫格線都平行且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,

B,C都在橫格線上.若線段AB=6,則線段AC的長(zhǎng)為（

A.12B.18C.24D.30

2.[2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第15題4分】如圖,

a//b//c,直線m、n與a、b、c分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、B、F.若AB=3,BC

=5,DE=4,則EF的長(zhǎng)為

【題型2：相似模型】

1.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第7題4分】

如圖所示，/XADE^AABC,若AD=1,AB=2,則△ADE與△ABC的相似比是（）

A.1：2B.1：3C.2：1D.3：2

2.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第10題4分】

如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)尸是上的點(diǎn)，AF=2FD,直線B尸交AC于點(diǎn)E,交

CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則理的值為（

EG

C-1D7

3.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第14題4分】

如圖，。為△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，若要使與△AC3相似，可添加一個(gè)條

4.【2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第9題4分】

如圖，已知ZA=70°,/APC=65。，則的度數(shù)為（）

C.55°D.60°

12

5.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第17題4分】如圖，

在△ABC中，點(diǎn)。是邊A8上的一點(diǎn)，ZADC^ZACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長(zhǎng)

6.12022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第23題8分】

如圖，ZXABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高A￡）=80加%要把它加工成矩形

零件PQMN,使一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB,AC上.

（1）當(dāng)點(diǎn)P恰好為A8中點(diǎn)時(shí)，PQ=.

（2）當(dāng)尸0=40機(jī)機(jī)，求出PN的長(zhǎng)度.

（3）若這個(gè)矩形的邊PN：PQ=］：2.則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各是多少7.

13

【題型3:圖形的位似】

1.【2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第14題4分】

如圖，AABC與夕。是位似圖形，。為位似中心,若△ABC與的面積之比為1：

2.12022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第5題4分】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中與△C。。是位似圖形，以原點(diǎn)O為位似中心，若AC=

2OA,8點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

14

3.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第20題6分】

如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,1),B(1,2),C(4,3).

(1)以原點(diǎn)。為位似中心，在第一象限內(nèi)將AABC放大為原來(lái)的2倍得到△AiBCi，作出

AAIBICI，寫出Ai,Bi,G的坐標(biāo)；

【題型4:相似的實(shí)際應(yīng)用】

1.[2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第8題4分】

如圖，小明用長(zhǎng)為3優(yōu)的竹竿C。做測(cè)量工具，測(cè)量學(xué)校旗桿A8的高度，移動(dòng)竹竿，使竹

15

2.[2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第24題10分】

某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)，他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余

時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量.他們?cè)谄鞐U底部所在的平地上，放置一個(gè)平面鏡￡來(lái)測(cè)量學(xué)校旗桿的

高度，當(dāng)鏡子中心與旗桿的距離%?=20米，鏡子中心與測(cè)量者的距離EO=2米時(shí)，測(cè)量

者剛好從鏡子中看到旗桿的頂端點(diǎn)4已知測(cè)量者的身高為L(zhǎng)6米，測(cè)量者的眼睛距地面的

高度為1.5米，求學(xué)校旗桿的高度是多少米.

（1）在計(jì)算過(guò)程中C,。之間的距離應(yīng)是米.

（2）根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，請(qǐng)你幫助“綜合與實(shí)踐”小組求出學(xué)校旗桿的高度.

（3）該“綜合與實(shí)踐”小組在定制方案時(shí)，討論過(guò)“利用物體在陽(yáng)光下的影子測(cè)量旗桿的

高度”的方案，但未被采納.你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫出一條即可）

E￡

16

3.[2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第25題10分】

在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA^lOcm,OB=5cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)。開始沿邊向點(diǎn)A以Icm/s

的速度移動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)3開始沿8。邊向點(diǎn)0以icm/s的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā),

用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間(OW/W5),

(1)用含f的代數(shù)式表示：線段PO=cm；00=cm.

(2)當(dāng)f為何值時(shí)△尸。。的面積為6c療？

(3)當(dāng)△尸。。與△AOB相似時(shí)，求出f的值.

17

【題型5:相似的簡(jiǎn)單證明】

1.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第21題6分】

如圖，在平行四邊形ABCD,E為邊上一點(diǎn)，連接CE,F為CE上一點(diǎn)，且/E=

ZA.求證：ADCFsACEB.

2.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第20題6分】如圖，點(diǎn)

D、E分另!］是△ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，S.ZADE^ZB,其中AE=1.5,AC=2,BC=3,

求的長(zhǎng).

18

【題型6:三角形相似的綜合】

1.【2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第26題12分】

如圖，RtZ\ABC和中，ZACB=ZADE=9Q°,ZABC=ZAED=a.

(1)當(dāng)a=30°時(shí)，

①當(dāng)點(diǎn)。，￡分別落在邊AC,AB上，猜想BE和CO的數(shù)量關(guān)系是；

②當(dāng)△人￡)￡繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)(45°<ZCAZ)<90o).分別連接CD,BE,

則①的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立.請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)a=45。時(shí)，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到/。刈=90。，若AC=10,AD=2爬,直接

寫出線段CD的長(zhǎng).

CB

19

2.【2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第26題12分】

如圖1,在AABC中，ZBCA=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)尸為斜邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作射

線分別交AC、BC于點(diǎn)。，E.

(1)問題產(chǎn)生

若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)尸。_LAC,PE_LBC時(shí)，里=；

PE

(2)問題延伸

在(1)的情況下，將若NOPE繞著點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，型的值是否會(huì)發(fā)生改變？如

PE

果不變，請(qǐng)證明；如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)問題解決

20

3.12021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第26題12分】

(1)如圖1,在△ABC和中，AB^AC,AD^AE,ZBAC^ZDAE^30°,連接BE,

CD交于點(diǎn)F.則些=;NBFC=

CD

(2)如圖2,在矩形ABC。和△￡)￡/中，AD=43CD,NEDF=90。,ZDEF=60°,連接

A尸交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求鯉的值及NAGC的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

CE

(3)在(2)的條件下，將△￡＞跖繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AF,CE所在直線交于點(diǎn)G,若

DE=1,AD^V21-當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，直接寫出AF的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

21

第四章反比例函數(shù)

【題型1:反比例函數(shù)基本性質(zhì)】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第4題4分】

已知反比例函數(shù)y=f的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）,則%的值是（）

X

3

A.-3B.-2C.3D.-

2

2[2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第7題4分】

關(guān)于反比例函數(shù)＞=*,下列結(jié)論正確的是（

)

x

A.圖象位于第二、四象限B.當(dāng)尤＜0時(shí)，y隨x的增大而減小

C.當(dāng)x>2時(shí)，y>1D.圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)

3.【2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市平陰縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第3題4分】

下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減小的是（)

A.y=6xB.y=-6xc.y=9D.y=~—

XX

4.【2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第6題4分】

（丫2），（）在反比例函數(shù)＜）的圖象上，則下列結(jié)

若點(diǎn)(-1,yi),1,2,y3y=K"0

X

論中正確的是（)

A.巾>>2>>3B.>1>>3>>2C.J3>J1>J2D.>3>>2>”

22

【題型2:反比例函數(shù)幾何意義】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市高新區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第13題4分】

如圖，A是反比例函數(shù)y="的圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)B,若AAB。的面積為2,貝Uk

X

的值為.

2.【2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第14題4分】

如圖，點(diǎn)8在反比例函數(shù)丫=性（x>0）的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-旦（x>0）的

xx

圖象上，且8C〃y軸，ABLBC,垂足為點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)A,則△ABC的面積為.

3.【2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第9題4分】

如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、2分別在反比例函數(shù)y.（x>0）與y=-2（x<0）的圖象

XX

上，點(diǎn)C、。在x軸上，AB、BO分別交y軸于點(diǎn)E、F,則陰影部分的面積等于（）

23

4.12022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第14題4分】

如圖是反比例函數(shù)y=3和y=K（左>3）在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩

XX

條雙曲線于A、8兩點(diǎn)，若S4AOB=4,貝!J%=.

【題型3:反比例函數(shù)求k]

1.【2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第16題4分】

如圖，A、8兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=七的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C,交于點(diǎn)。,

若BD=2DO,AAOO的面積為1,則上的值為.

2.【2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第15題4分】

如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=§（x<0）圖象上的一點(diǎn)，過(guò)A作A3,無(wú)軸于點(diǎn)8,點(diǎn)。為x軸

X

正半軸上一點(diǎn)且。0=230,雌交y軸于點(diǎn)C,^BC,若ACOO的面積為8,則左

24

3.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市天橋區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第15題4分】

一3

如圖，在RtAAOB中，ZAOB=90°,tanZBAO=2,頂點(diǎn)A,2分別在反比例函數(shù)y=（x>0）

4.12022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第7題4分】

如圖，點(diǎn)A（2,m）在雙曲線>=區(qū)（上是常數(shù)）位于第一象限的圖象上，軸，B為

X

垂足，tanNAOB=2,則％的值是（）

【題型4:反比例函數(shù)圖象共存問題】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第9題4分】

一次函數(shù)y="+6與反比例函數(shù)>="（。，6為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象

25

2.【2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第7題4分】

如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ox+b（abwO）的圖像與反比例函數(shù)

y=竺（"片0）的圖像大致可以是（）

X

26

【題型5:反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第24題10分】

【背景】在一次物理實(shí)驗(yàn)中，小冉同學(xué)用一固定電壓為12y的蓄電池，通過(guò)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器

來(lái)改變電流大小，完成控制燈泡L（燈絲的阻值&=2。）亮度的實(shí)驗(yàn)（如圖），已知串聯(lián)

電路中，電流與電阻R、殳之間關(guān)系為1=―匕，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出如下數(shù)據(jù)：

R+殳

R/Q1a346

I/A432.42b

(1)a=_□,b=3；

12、，

（2）【探究】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建出函數(shù)y=—。20）,結(jié)合表格信息，探究函數(shù)

x+2

y=J￡u>0）的圖象與性質(zhì).

x+2

12

①在平面直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y=—a20）的圖象；

x+2

②隨著自變量尤的不斷增大，函數(shù)值y的變化趨勢(shì)是.

（3）【拓展】結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，當(dāng)xNO時(shí)，2-乙+6的解集為

x+22

27

2.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市商河縣九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第23題10分】

我校的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10℃,加熱到100℃,停

止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫(°C)與開機(jī)后用時(shí)(加0成反比例關(guān)系直至水溫降至20°C

時(shí)自動(dòng)開機(jī)加熱，重復(fù)上述自動(dòng)程序.若在水溫為20℃時(shí)，接通電源后，水溫y(°C)和時(shí)間

x(min)的關(guān)系如圖所示.

(1)a=口,b=□.

(2)直接寫出圖中y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

(3)飲水機(jī)有多少時(shí)間能使水溫保持在50°C及以上？

(4)若某天上午7:00飲水機(jī)自動(dòng)接通電源，開機(jī)溫度正好是20℃,問學(xué)生上午第一節(jié)下

課時(shí)(8:40)能喝到50℃以上的水嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

28

4.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第24題10分】

在平面直角坐標(biāo)系中，定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn).如圖，已知雙曲線

k

y=_（x〉0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,2）,在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)B（m,幾），滿足mn>4.

x

（1）求人的值；

k

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)2分別作平行于x軸，y軸的直線，交雙曲線y=f（尤>0）于點(diǎn)C、D,

x

記線段BC、BD、雙曲線所圍成的區(qū)域?yàn)閃（含邊界），

①當(dāng)初=”=4時(shí)，區(qū)域W的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為11；

②直線y=5a+4（a>0）過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)B為此定點(diǎn)，這條直線將W分成兩部分，直

線上方（不包含直線）的區(qū)域記為取，直線下方（不包含直線）的區(qū)域記為憶，當(dāng)明與生

的整點(diǎn)個(gè)數(shù)之差不超過(guò)2時(shí)，請(qǐng)求出a的取值范圍.

29

【題型6:反比例函數(shù)綜合】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第24題10分】

（2）將線段AB向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（租＞0）,得到對(duì)應(yīng)線段CD,連接AC,BD.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。恰好落在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF，x軸于點(diǎn)F,交反比例函

數(shù)圖象于點(diǎn)E,我g的值；

EF

②在①的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得以A,D,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

30

2.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第24題10分】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)％=履+6伏/0)的圖象與反比例函數(shù)%=—(祖/°)

X

的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A(3,5),B(a,-3)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出當(dāng)刈時(shí)，x的取值范圍；

(3)在y軸上找一點(diǎn)P使PB-PC最大,求PB-PC的最大值及點(diǎn)尸的坐標(biāo).

31

3.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第24題10分】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線+與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與雙

4

kQ

曲線交于點(diǎn)尸(2“)，直線x=加分別與直線/和雙曲線H交于點(diǎn)E、D.

x2

(1)求左和6的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如果ED=BO,求機(jī)的值；

(3)點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，如果四邊形BCDE是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

32

4.【2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷第24題10分】

如圖1,矩形0ABe的頂點(diǎn)A、C分別落在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B(6,3),反比例

函數(shù)y=&(x〉0)的圖象與AB、BC分別交于￡＞、E兩點(diǎn)，比＞=1,點(diǎn)尸是線段。4一動(dòng)點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)如圖2,連接DE、PE、PD,求△產(chǎn)口￡周長(zhǎng)的最小值;

33

第五章二次函數(shù)

【題型1:二次函數(shù)基本性質(zhì)】

1.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第5題4分】

拋物線y=（x-2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.（2,-1）D.（2,1）

2.12023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市商河縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第18題6分】

二次函數(shù)>=辦2+區(qū)+以。A0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為—（3,0）_；

（2）當(dāng)尤時(shí)，y隨尤的增大而減小；

（3）不等式ax?+6尤+c>0的解集為.

3.【2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第14題4分】

將拋物線y=2（x-1）2+3向右移3單位，上移2單位所得到的新拋物線解析式為

4.【2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷第6題4分】

己知二次函數(shù)y=（x-2）2+2,當(dāng)點(diǎn)（3,”）、（2.5,以）、（4,券）在函數(shù)圖象上時(shí),

則yi、”、”的大小關(guān)系正確的是（）

A.J3<yi<y2B.yi<yi<y3C.j3<j2<jiD.y\<yi<y3