導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立九大題型（學(xué)生版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)專題10導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立九大題型匯總

dan

題型1直接求導(dǎo)型................................................................1

題型2端點(diǎn)賦值法................................................................2

題型3隱零點(diǎn)型..................................................................3

題型4分離參數(shù)法................................................................5

題型5分離參數(shù)法-洛必達(dá)法則....................................................5

題型6構(gòu)造輔助函數(shù)求參..........................................................6

題型7絕對(duì)值同構(gòu)求參............................................................7

題型8函數(shù)取“整”型............................................................9

題型9“存在”成立問(wèn)題.........................................................10

u(1,+00)

(1)求函數(shù)f(%)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若g(x)=—標(biāo)且VxeD,/(幻冷⑴恒成立，求a的取值范圍.

【變式1-111.(2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)fQ)=2ln%-1

mx2+l(meR).

⑴當(dāng)m=1時(shí),證明：/(%)<1;

(2)若關(guān)于x的不等式f(久)<(m-2)x恒成立，求整數(shù)6的最小值.

【變式1-1]2.(2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=久2—小久也

x+1,nieR且m40.

(1)當(dāng)小=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程；

9

(2)若關(guān)于久的不等式八支)2丁恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【變式1-1】3.(2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)爪(X)=t?/+In*,n(%)

=1-1哈

(1)若函數(shù)F(x)=m(x)-n(x),討論當(dāng)t=1時(shí)函數(shù)F(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)根Q)>2恒成立，求的勺取值范圍.

【變式1-1】4.(2023秋?云南保山?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(%)=2ax-sinx.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(久)在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)Naxcosx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型2端點(diǎn)賦值法

1.端點(diǎn)賦值法(函數(shù)一般為單增或者單減，此時(shí)端點(diǎn)，特別是左端點(diǎn)起著至關(guān)重要的作用)

2.為了簡(jiǎn)化討論，當(dāng)端點(diǎn)值是閉區(qū)間時(shí)候，代入限制參數(shù)討論范圍.注意，開(kāi)區(qū)間不一定

是充分條件.

有時(shí)候端點(diǎn)值能限制討論范圍，可以去除不必要討論.

【例題2](2022?河南鄭州?統(tǒng)考一模)設(shè)函數(shù)/Xx)=Inx-p(x-l),p6R.

(1)當(dāng)P=1時(shí)，求函婁好(久)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(X)=W(x)+p(2%2一二一1)對(duì)任意1都有g(shù)(￡)v0成立,求p的取值范

圍.

【變式2-1】1.(2022秋?黑龍江雞西?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=1%2-(a+1)

x+alnx+1.

(1)若久=3是/(x)的極值點(diǎn)，求人久)的單調(diào)性；

(2)若f(x)>1恒成立，求a的取值范圍.

【變式2-1]2.(2022秋?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)人久)=

(%+a)ex—1,已知直線y=2久是曲線y=f(久)的一條切線.

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若不等式/(%)>t[x+ln(x+1)]對(duì)任意xG(-1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【變式2-1】3.(2023春?河南鄭州?高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(X)=21nx+bx.(a,b為實(shí)數(shù))

(1)當(dāng)匕=2時(shí)，求過(guò)點(diǎn)(0,-2)的f(x)圖象的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=ei+,若gO)>0恒成立，求b的取值范圍.

【變式2-1]4.(2023?四川成都?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)f(x)=-1+(fo-1)%+a在尤=0

處的切線與y軸垂直.(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)設(shè)g(x)=乎，xe(0,+8),當(dāng)a=i時(shí)，求證：函數(shù)/(久)在Xe(0,+8)上的圖象恒在函

數(shù)g(x)的圖象的上方；

(2)Vx￡[0,+00),不等式2[eXf(x)—cosx]>ln(x+1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型3隱零點(diǎn)型

、I,I

駟包重直

1.導(dǎo)函數(shù)(主要是一階導(dǎo)函數(shù))等零這一步，有根xo但不可解.但得到參數(shù)和xo的等量代

換關(guān)系.備用

2.知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處，可代入虛根xo

3.利用xo與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出xo不等式，求得xo范圍.

4.再代入?yún)?shù)和xo互化式中求得參數(shù)范圍.

【例題3](2023秋?湖北隨州?高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=a

%2+xlnx(aeR)圖象在點(diǎn)(1/(1))處的切線與直線％+3y=0垂直.

(1)求實(shí)數(shù)2的值；

(2)若存在keZ,使得f(x)>k恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.

【變式3-1]1.(2023秋?四川成都高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/'(X)=ex-ax,

aER.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若當(dāng)x>一1時(shí)，/(%)>ax,求a的取值范圍.

(3)若存在實(shí)數(shù)a、b,使得/'⑺+心.-5恒成立，求”6的最小值.

【變式3-1]2.(2022秋?江西撫州?高三臨JI|一中?？计谥?已知函數(shù)/⑺=ex-ax,<p^

=/(%)+sin2%,(aeR),其中e?2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，

(2)若aeN*,當(dāng)％20時(shí)，9(%)N0恒成立時(shí)，求a的最大值.(參考數(shù)據(jù)：e3?20.1)

【變式3-113.(2023?福建泉州??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/㈤=lnx-mx2+(l-2m)

X+1.

⑴若m=1,求/(久)的極值;

(2)若對(duì)任意久>0,/(x)W0恒成立，求整數(shù)m的最小值.

題型4分離參數(shù)法

【例題4](2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)已知函婁好(x)=Inx-+§(e為自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函婁好(久)在％=1處的切線方程；

x

(2)若/'(X)+x-|-l>ae~+Inx恒成立，求證：實(shí)數(shù)a<-1.

【變式4-1】1.(2023秋?廣東江門?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)人久)=?！猯)lnx—小

(%+1).

(1)若％=1是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)，求m的值；

(2)若對(duì)任意的久eg,+8),/(W>。恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【變式4-1]2.(2023秋?遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)市第一二O中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(%)=2x3+3(1+m)x2+6mx(xGR).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(-1)=1,函數(shù)g(x)=a(ln久+1)-等W0在(1,+8)上恒成立，求整數(shù)a的最大

值.

【變式4-1]3.(2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(無(wú))=Inx—x+Q—2)

ex—m,mEZ.

(1)當(dāng)加=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式久久)<。在(0,1]上恒成立，求小的最小值.

【變式4-1】4.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)f(久)=xlnx+1—a久；

⑴若f(久)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，證明：產(chǎn)5?1(條一b，

題型5分離參數(shù)法-洛必達(dá)法則

【變式5-1】1.設(shè)函數(shù)〃x)=^—lnx+ln(x+l).

(1)求八久)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)亂使得關(guān)于x的不等式f(x)2a的解集為(0,+8)?若存在，求a

的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由.

【變式5-1】2.已知函數(shù)/(%)=e"曲線y=/(x)在點(diǎn)(盯,即)處的切線為y=g(x).

⑴證明:對(duì)于v比GR,)吐)>g(x);

(2)當(dāng)％20時(shí)，/(久)21+署恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型6構(gòu)造輔助函數(shù)求參

中一劃f<5

1.含有久1和冷型，大多數(shù)可以考慮變換結(jié)構(gòu)相同，構(gòu)造函數(shù)解決.

2.可以利用第一問(wèn)的某些結(jié)論或者函數(shù)結(jié)構(gòu)尋找構(gòu)造的函數(shù)特征.

s/WWWWWVWWWVWWWWWWWWWWVWWWWWWVWWWWWWX/VWWWWWWWWWWVWWWWWWVWVWVWV'v

【例題6】(2023?四川宜賓?四川省宜賓市第四中學(xué)校?？既?已知函數(shù)f(x)=aln

(久T)+#+Lg(x)=fQ)+A(-T).

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求函數(shù)人嗎的極值;

(2)若任意打應(yīng)e(1,+8)且小牛犯，都有吟管>1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式6-1]1.(2023春?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f⑶=3+

(2—2d)ei—a(%+l)(a6R).

⑴討論/(%)的單調(diào)性;

x

(2)設(shè)g(x)=xe-In(ex)+mx,若a=1,且對(duì)任意小eR,x2e(0,+00),%2/(%1)+9(x2)>0

恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【變式6-1]2.(2023秋?重慶渝北?高三重慶市渝北中學(xué)校校考階段練習(xí))已知函婁好⑴=

1

2

112

-X4+aln(x-1),g(x)=/(x)+—--x+x.

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若任意打、*26(1,+8)且省中到，都有迎要瞥〉1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

12,

--

【變式6-1】3.(2022?陜西西安?西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)八%)-2Xla\

Inx,其中a>0.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(0,e]上的最大值;

(2)若ae(o,3,證明對(duì)任意%i,%2e2(%iw冷)，八的)一/。2)<拒成立.

xl-xl

【變式6-1]4.(2021?甘肅嘉峪關(guān)?嘉峪關(guān)市第一中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(%)=ax2-

(aGR).

(1)若曲線y=f(%)在％=1處的切線與y軸垂直，求y=/'(%)的最大值；

(2)若對(duì)任意04久1W久2,都有f(%2)+冷(2-21n2)</(%1)+的(2-21n2),求a的取值

范圍.

題型7絕對(duì)值同構(gòu)求參

1.含絕對(duì)值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過(guò)討論去掉絕對(duì)值.

2.去掉絕對(duì)值，可以通過(guò)"同構(gòu)"重新構(gòu)造函數(shù).

【例題7】(2023?上海徐匯?位育中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函婁好(%)=/-ax-a,aeR.

(1)判斷函數(shù)/(%)的奇偶性；

(2)若函數(shù)F(x)=x"(x)在x=1處有極值，且關(guān)于x的方程F(x)=爪有3個(gè)不同的實(shí)根，求

實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑶記g(x)=-e"(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若對(duì)任意犯、牝e[0啟]且巧>久2時(shí)，均有

<|gQi)—9(犯)I成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式7-1]1.(2022秋?天津北辰?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/'(X)=|x2-(a++In

x,其中a>0.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/(乃在點(diǎn)(1/(1))處切線的方程；

(2)當(dāng)a力1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若ae(0,1),證明對(duì)任意xi,*2€[Q](刈豐x2),皆二｝)1<姮成立.

【變式7-1】2.(2022秋?天津東麗?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=32-alnx+6

(awR).

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為3久-y-3=0,求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，/(%-()=/(%2),且工產(chǎn)％2，求證X?)+久2>2.

⑶若0<a4l,對(duì)任意巧，工2金(1,2],不等式(久2)佇機(jī)2恒成立，求小的取值

范圍；

【變式7-1]3.(2021?吉林長(zhǎng)春?吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑺=x—1—a\nx.

⑴討論函數(shù)/'⑺的單調(diào)性;

(2)若對(duì)任意X1,%26(。,1]都有1/(*1)一/(久2)1w|g(*i)—g(X2)l成立，其中。(無(wú))=：且口<。,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式7-1]4.(2020秋?海南?？?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)久久)=Inx-1ax2+x

(aER),g(%)=-2%+3.

(1)討論函數(shù)F(x)=f(x)+gag(x)的單調(diào)性；

(2)若一3WaW-l時(shí),對(duì)任意當(dāng)、X2G[1,2],不等式|八打)一汽冷)1W門以5)一9(久2)l恒

成立，求實(shí)數(shù)的勺最小值.

【變式7-1】5.(2021秋?山西長(zhǎng)治?高三山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知函

數(shù)/(x)=a—+21nx.

(1)若f(x)在(0,1]上的最大值為—2,求a的值；

(2)記g(x)=f(x)+(a-l)lnx+1,當(dāng)aW-2時(shí)，若對(duì)任意小如e(0,+oo),總有

|g(%i)—g(X2)l2k\x1—x2\,求k的最大值.

題型8函數(shù)取“整”型

、I,匐百

即上塾量點(diǎn)

討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題1

【例題8】(2023秋?遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)市第一二。中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/。)=2好

+3(1+m)x2+6mx(x6R).

(1)討論函數(shù)/(支)的單調(diào)性；

⑵若/(—1)=1,函數(shù)90)=。?！?1)-譬=0在(1,+8)上恒成立,求整數(shù)a的最大

值.

【變式8-1】1.(2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí))已知函婁好(x)=2lnx-：

mx2+1(771eR).

(1)當(dāng)6=1時(shí)，證明：/(X)<1；

(2)若關(guān)于x的不等式f(久)<(m-2)x恒成立，求整數(shù)小的最小值.

【變式8-1]2.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=/—3a久2+3所

(1)若a=l,b=0,求曲線y=/O)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程；

(2)若0<a<b,不等式((警)>/9)對(duì)任意xe(l,+8)恒成立，求整數(shù)k的最大值.

【變式8-1]3.(2023?廣西桂林??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú))=備—ln(x+a).

(1)討論函數(shù)g(x)=/(%)-高的單調(diào)性；

(2)若a=l,且存在整數(shù)k使得(Q)>k恒成立，求整數(shù)k的最大值.

(參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69,ln3=1.10)

【變式8-1]4.(2022秋?云南?高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)已知函婁好(久)=In

%+mx(meR).

⑴討論函數(shù)-x)的單調(diào)性；

(2)若m為整數(shù),且關(guān)于x的不等式久久)<決2+(2m_1)x_1恒成立，求整數(shù)小的最小

值.

題型9“存在”成立問(wèn)題

⑴證明:當(dāng)久>0時(shí),f(x)>o恒成立;

(2)若關(guān)于x的方程y+5=asinx在(0次)內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式9-1】1.(2023秋?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=詈，xe

(0,E，是f(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)證明：((%)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若關(guān)于x的不等式尸(久)+J+a<0有解，求a的取值范圍.

【變式9-1】2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=(a—a2)x+ln久—§(aeR).

⑴討論函數(shù)-x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，記以久)=%/(%)+%2+1,是否存在整數(shù)t,使得關(guān)于x的不等式tNg(x)有解？

若存在，請(qǐng)求出t的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式9-1】3.(2022?遼寧?校聯(lián)考一模)已知函數(shù)久久)=%3——$也。+久+i,ae

[-/'

(1)討論函數(shù)/(均的單調(diào)性；

(2)證明：存在ae[—巳4，使得不等式/(%)>/有解(e是自然對(duì)數(shù)的底).

LoZJ

【變式9-1]4.(2022秋?北京?高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函婁好(%)=1(

x2+ax+a).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/0)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若關(guān)于X的不等式外支)We0在口+8)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若曲線y=f(x)存在兩條互相垂直的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(只需直接寫出結(jié)果)

【變式9-1】5.(2022?北京海淀-101中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)fO)=lnx+?

,g(x)=ax—3.

(1)求函數(shù)a(x)=f(久)+g(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，記八(久)=f(x)g(x),是否存在整數(shù)Z使得關(guān)于x的不等式24》伙久)有解?

若存在，請(qǐng)求出屈勺最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1.(2023?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函婁好(切=(x-l)e"廣⑶是f(久)的導(dǎo)

函數(shù).

(1)設(shè)。(切=/")—9,證明：g(“)是增函數(shù)；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，rO)>alnQ+l)NT+an3—討亙成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x

2.(2023?河南開(kāi)封?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(久)=e(%eR).

(1)若乂>0,函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)y=ax\a>0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(2)若m1<n(m,neR)在％G(0,1)恒成立，求九一小的最小值.

3.(2023?福建廈門?廈門一中?？家荒?函數(shù)f(x)=喈