第12章 二次根式知識梳理+熱考題型（解析版）- 2023-2024學年蘇科版八年級數(shù)學下冊

第12章?二次根式

本章知識綜合運用

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三個概念

??1、二次根式：式子迎(a20)叫做二次根式，a叫做被開方數(shù).

?判斷二次根式的方法：

(1)形式上：含有二次根號“「'，注意三次根號“廠’等都不可以；

(2)內容上：被開方數(shù)必須是非負數(shù)，注意被開方數(shù)可以是數(shù)、字母或含有字母的式子.

?二次根式有意義的條件：

二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)，即二次根式瓶中a>0.

求使代數(shù)式有意義的字母的取值范圍時，常見類型如下：

(1)二次根式的被開方數(shù)大于或等于0；

(2)分式的分母不為0；

(3)零指數(shù)幕與負整數(shù)指數(shù)募的底數(shù)不等于0.

??2、最簡二次根式：

一般地，化簡二次根式就是使二次根式：

(1)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

(2)被開方數(shù)中不含分母；

(3)分母中不含有根號.

這樣化簡后得到的二次根式叫做最簡二次根式.

?化簡二次根式的方法：

1.將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式進行開方；

2.化去根號下的分母：

(1)若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，應先將帶分數(shù)化成假分數(shù)；

(2)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，應先將小數(shù)化成分數(shù).

3.被開方數(shù)是多項式的要先進行因式分解.

?化簡二次根式的步驟：

1.“一分”：利用因式分解的方法把被開方數(shù)（式）的分子、分母都化成質因數(shù)（式）的募的乘積的形式;

2.“二移”：把能開得盡方的因數(shù)（式）用它的算術平方根代替，移到根號外，其中把根號內的分母中的

因數(shù)（式）移到根號外時，要注意應寫在分母的位置上；

3.“三化”：化去被開方數(shù)（式）中的分母.

??3、同類二次根式：經(jīng)過化簡后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.

?判斷同類二次根式的一般步驟：

（1）“一化”：將不是最簡二次根式的根式化為最簡二次根式；

（2）“二看”：看被開方數(shù)是否相同.若相同則是同類二次根式，否則，不是同類二次根式.

?合并同類二次根式的方法：

與合并同類項類似，合并同類二次根式時，將根號外的因數(shù)（式）相加減，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變，

如ay/m+by/m=（a+b）y/m（加20）.

三個性質

??1、Va^O（a^O）（二次根式雙重非負性）

文字表述：一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù).

?拓展：若幾個非負數(shù)的和等于0,則這幾個非負數(shù)均為0.如若〃+網(wǎng)+。2=0,則a=0,6=0,c=o.

??2、（Va）2—a（a>0）

文字表述：一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于它本身.

??3、—|a|

文字表述：一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值.

?（逅）2（a>0）與小的區(qū)別與聯(lián)系：

表達式(否)2=a(a20)Va^=\a\

表示意義不同表示戊。》。）的算術平方根的平方表示。的平方的算術平方根

取值范圍不同。為非負數(shù)，即心04取一切實數(shù)

區(qū)先求非負實數(shù)。的算術平方根，先求實數(shù)。的平方，再求。的

運算順序不同2

然后再進行平方運算算術平方根

別

'a(a>0)

運算結果不同(V5)2=a(心0)Va^=\a\=-0(a=0)

—a(a<0)

聯(lián)系（機）2（應0）與疹的結果均為非負數(shù)，且當色0時，Va2=（Va）2

四種運算

??1、二次根式的乘法法則：4a^b=4ab(a>0,b>0)

文字表述：算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.

反過來得：Vab=Va-4b(a>0,b>0).

利用這個等式可以化簡一些二次根式.

?二次根式乘法運算的一般步驟：

(1)將根號外的因式相乘；

(2)將根號內的因式相乘；

(3)化簡，即將被開方數(shù)中的平方式分離出來，再逆用公式，將二次根式化為被開方數(shù)中不含能開得盡方的

因數(shù)或因式的形式.

??2、二次根式除法法則：(a>0,b>0)

文字表述：算術平方根的商等于各個被開方數(shù)商的算術平方根.

反過來得：他=噂(心0,6>0).

7b7b

利用這個等式可以化簡一些二次根式.

?二次根式乘除混合運算的一般步驟：

先將根號外的因式相乘除，再將根號內的因式相乘除，最后再化簡.

??3、二次根式的加減運算：

二次根式相加減，先化簡每個二次根式，然后合并同類二次根式.

?二次根式相加減的一般步驟：

“一化、二找、三合并”

7F——>將二次根式化為最簡二次根式

找——>找出同類二次根式

前——>合并同類二次根式

??4、二次根式的混合運算：

(1)確定運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，同級運算按從左向右的順序進行，有括號的先算括

號內的.

(2)進行二次根式的混合運算時，整式運算的法則、公式和運算率仍然適用.

好題型歸納

--------二次根式的識別

題型一

【例題】在下列式子中，一定是二次根式的有()

+3,V77>V-62>V(-9)2>Vzm2-

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】解：當a<0時，正不是二次根式，

22

??-%>0,.-.x+3>0,則\久2+3是二次根式,

???77>o,.?.V77是二次根式，

-62=-36<0,A/C?不是二次根式，

"(-9)2=81>0,〃—9)2是二次根式,

五/不是二次根式，

則一定是二次根式的有：VX2+3,V77,J（-9）2,

故選：B

【變式1】關于二次根式4中的x的值不可能是（）

1

A.0B.C.1D.-2

74

【答案】D

【解析】解：,?,依是二次根式，

x>0,

一2<0,

故選：D.

【變式2】若是二次根式，則a,b應滿足的條件是（

A.a,6均為非負數(shù)B.a,6同號

C.cz>0,b>0D.a>0,6>0或。三0,b<0

【答案】D

【解析】解：:J?是二次根式,

a八

.工NO,

■■.a>0,6>0或。<0,b<0.

故選：D.

一;——二次根式有意義的條件及其應用

題型二

【例題】（2024?山東淄博?一模）若二次根式萬工在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示

正確的是（）

—1——?——?——

A-1012B-1012

*

C.T01D.—1012

【答案】C

【解析】解：???二次根式我不在實數(shù)范圍內有意義,

.-.2—x>0,

解得先<2.

故選：c.

【變式1】（2023?湖南永州）已知X為正整數(shù)，寫出一個使石二i在實數(shù)的范圍內沒有意義的X值是

【解析】解：當％-3<0時，G分沒有意義,

解得力<3,

???X為正整數(shù)，

二萬可取1,2,

故答案為：1.

【變式2】（2023?黑龍江綏化）若式子組有意義，則x的取值范圍是.

X

【解析】???式子里有意義，

X

?,?％+5>0且％H0,

?,?%>—5且%H0,

故答案為：%之一5且工00.

【變式3】（2023?四川綿陽改編）函數(shù)丫=2+遮二致的自變量x取值為整數(shù)有個.

Vx+3

【解析】解：根據(jù)題意可得：

%+3>0,4—3%>0

4

解得-3<xW§,

二使代數(shù)式有意義的整數(shù)有-2,-1,0,1.

共有4個.

故答案為:4.

r二次根式非負性的應用

￥題型三

【例題】關于二次根式近的說法中，正確的是（）

A.a為正整數(shù)B.a為正數(shù)C.垢是整數(shù)D.而是非負數(shù)

【答案】D

【解析】解：對于二次根式則a20,20,

所以。是非負數(shù)，心是非負數(shù).

故選：D.

1

【變式1］（2020?湖北黃岡）若|%-2|+‘/+y=0,貝！J-/y=.

【解析】解：I%—21+y/x+y=0，

???x—2=0,%+y=0,

???x=2,y=—2,

???--%y=--x2x(—2)=2,

故答案為：2.

【變式2】已知久，y均為實數(shù)，y=VF/+V^F+3,則%丫的值為.

【解析】解：vy=Vx-2+V4-2x+3,

[x-2)0

**14-2%>0'

x-2,

???y=3,

3=23=8,

故答案為.8

3氤丁利用笳=1。蜃色縱軟

【例題】(2021?浙江杭州)下列計算正確的是()

A.衣=2B.J(_2)2=_2C.衣=±2D.V(-2)2=±2

【答案】A

【解析】解：瘍=儲=2,故A正確，C錯誤；

,(-2)2=2,故B、D錯誤；

故選：A.

【變式1】若。，則。與1的關系是()

A.a<1B.a<1C.a>1D.a>1

【答案】B

【解析】解：,「J(a-1)2=1-a,

CL—140,

*'<a<1；

故選：B.

【變式2】（2022?山東聊城）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式u=后進行計算，其中a為子彈的

加速度，s為槍筒的長.如果a=5xi05m/s2,s=0.64m,那么子彈射出槍口時的速度（用科學記數(shù)法表

示）為（）

A.0.4X102m/sB.0.8x102m/sC.4x102m/sD.8x102m/s

【答案】D

【解析】解：。=V2as=V2x5x105x0.64=8X102（m/s）>

故選：D.

【變式3】（2023?湖北黃岡）請寫出一個正整數(shù)機的值使得痂是整數(shù)；m=.

【解析】解：?.?廝是整數(shù)，

1.8ni要是完全平方數(shù)，

二正整數(shù)的值可以為8,即8m=64,即，8m==8,

故答案為：8（答案不唯一）.

【變式4】（2022?四川遂寧）實數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+1|—J西法+伍守.

I??1a.1I，b11A

-4-3-2-101234

【解析】解：由數(shù)軸可得：一lVa<0,l<b<2,

貝!Ja+1>0,b—1>O,ct—bV0

-\a+1|-7（6—l）2+V（a—fo）2

=\ct+11—|Z）—1|+|ti—h|

=a+1—（6-1）—（a—/?）

=ct+1—b+1—a+b

=2.

故答案為：2.

rvX癡刑]（Va）2=a的應用

越型五_____________________________________________________

2

[例題】（2023?江蘇連云港）計算：（而）=.

2

【解析】解：（而）=5

故答案為：5.

【變式1】(2023?天津)計算(V7+V^)(V7—點)的結果為.

【解析】M：(V7+V6)(V7-V6)-(V7)2-(V6)2=7-6=1

故答案為：1

【變式2】(2020?湖南益陽)若計算匠又旭的結果為正整數(shù)，則無理數(shù)爪的值可以是.(寫出一

個符合條件的即可)

【解析】解：,.,(任)=12,

■■m=①時VHx爪的結果為正整數(shù)，

故答案為：V12(答案不唯一).

【變式3】閱讀下面的解題過程，并回答問題.

化簡：(71=0)2-|1一用.

解：由1-3x20,得xWg,

???1—x>0,

*,*原式=(1—3%)—(1—x)=1-3%—1+%=-2%.

按照上面的解法，解決下列問題.

(1)(V2x+5)2—(V2—x)2+|%-3|.

(2)若%滿足|2023-刈+Vx-2024=x,求%—20232的值.

【解析】(1),??2%+520且2一史0,

<x<2.

???(V2x+5)2—(V2—%)2+|x-3|

=|2x+51—12—x|+\x-31

=2,x+5-(2—x)+(3一%)

=2x+6.

(2)vX-2024>0,??啟2024,

.-.2023-x<0,

???原式變形為x-2023+Vx-2024=x,

Vx—2024=2023,

兩邊同時平方得x—2024=20232,

20232=2024.

二次根式乘除法法則成立的條件

題型六

【例題】(2023?湖南)對于二次根式的乘法運算，一般地，有汗5=病該運算法則成立的條件是

()

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.a>0,b>0

【答案】D

(a>0

【解析】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得匕之0,

iab>0

a>0,b>0,

故選：D.

【變式1】等式席二I=V7+T-五二T成立的條件是()

A.%>1B.%>—1C.x>l^x<—1D.%?！?

【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，可得｛:二;引，

解不等式組，得久21,

所以，等式J=V%+1,Vx-1成立的條件是xN1.

故選：A.

【變式2】己知巨=經(jīng)成立.

N2-xy/2^X

(1)填空：》的取值范圍是;

(2)化簡：什2計1.

NX2-4X+4

【解析】⑴解：根據(jù)題意得：｛七昌g,

解得：1<x<2；

故答案為：1<%<2

(2)解：「f+i一回Z==曰，

NX2-4X+4Y0—2)2J(%—2)2\X-2\

vl<x<2,

.,.%—1>0,x—2<0,

???原式=w

Q題型七將根號外的非負因數(shù)（式）移到根號內

【例題】若把-4板根號外的因式移到根號內，得（）

A.V12B.-V12C.-V48D.V48

【答案】C

【解析】解：-=-V16xV3=-V48.

故選：C.

【變式1】若機＜0,n＞0,把代數(shù)式小迎中的加移進根號內的結果是（）.

A.Vm*2nB.J—m2nC.—y/m2nD.|Vm2n|

【答案】C

【解析】解：m.y/n——(―m)Vn=

故選C.

【變式2】請觀察式子：9，—21'1=-V2,仿照上面的方法解決下列問題:

（1）化簡:2^J<0).

（2）把（1—a）J六中根號外的因式移至曝號內，化簡的結果是.

【解析】（1）解：①5J|=J^=VTo,

3_芋==-V21,

.J—9--V-?(a<0).

⑵（?a）信—）島二

Q題型八比較二次根式的大小

【例題】（2021?湖南懷化）比較大?。烘赺_______|（填寫“〉”或或

2z

【解析】解：孚一上容＞0,

?,22y

故答案為：>.

【變式1】下列大小關系正確的是()

A.V2>2B.2V3>3V2C.-字<-gD.8<V67

【答案】D

2

【解析】解:??,(&)=2,22=4,

.-.(V2)2<4

.?.V2<2,

故選項A錯誤，不符合題意；

?,■(2V3)2=12,(3魚)2=18,

.?.(2V3)2<(3煙2

???2V3<3VL

故選項B錯誤，不符合題意；

:?凰％)V,

???凰<(1)；

4<1

.V73

??-T>一T

故選項c錯誤，不符合題意；

2

■,-82=64,(V67)=67,

2

.-.82<(V67)

?1?8<V67,

故選項D正確，符合題意；

故選：D.

【變式2](2022?四川瀘州)與2+后最接近的整數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】c

【解析】解：V12.25<15<16,

?1?3.5<V15<4,

.-.5.5<2+V15<6,

??.最接近的整數(shù)是6,

故選：C.

【變式3］（2023?廣西南寧一模）比較大小：-2Vj-2V5（填“>”，“<”，"=

【解析】解：:275=71^，275=V20-

且〈廊，

.?■2V3<2V5，

???—2V3>-2V5

故答案為：>.

【變式4］（2023?山東臨沂）設m=5』一相,則實數(shù)加所在的范圍是.

【解析】解：m-5/45-/45=近一3立=-2運,

??-2V5=V20-V16<V20<V25

,■--5<-2V5<-4,

即一5<m<—4,

故答案為：-5Vnt<-4.

最簡二次根式的判斷

會題型九

【例題】（2021?廣西桂林）下列根式中，是最簡二次根式的是（）

A.JIB.V4C.D.

【答案】D

【解析】/、◎皮開方數(shù)不是整數(shù),不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

B、"=2是有理數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C、而=|。|，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意;

。、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項正確.

故選：D.

【變式1］（2022?廣西桂林）化簡位的結果是（）

A.2V3B.3C.2V2D.2

【答案】A

【詳解】解：=山x3="x3=2百,

故選：A.

【變式2］（2021?湖南益陽）將J號化為最簡二次根式，其結果是（）

A?苧B.粵c9V10D.等

■2

【答案】D

【解析】解：原式=9x5x2

2x2

3V10

2

故選：D.

【變式3】若二次根式陸工^是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)。為.

【解析】解：當a=l時，詆壬=而。=2五，不是最簡二次根式，

當a=2時,7Sa+3=,5x2+3=V13＞是最簡二次根式，

???二次根式百是最簡二次根式，最小的正整數(shù)a為2,

故答案為：2.

口...——同類二次根式的概念

A題型十

【例題】（2023?山東煙臺）下列二次根式中，與魚是同類二次根式的是（）

A.V4B.V6C.VsD.V12

【答案】C

【解析】解:A、喜=2,與魚不是同類二次根式，不符合題意；

B、后與我不是同類二次根式，不符合題意；

C、V§=2加，與我是同類二次根式，符合題意；

D、712=273.與經(jīng)不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

【變式1］（2021?江蘇泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.向與百B.加與VH2c.后與D.布與國

【答案】D

【解析】A、向=26，2五與百不是同類二次根式，故此選項錯誤；

B、V12=2V3＞經(jīng)與2名不是同類二次根式，故此選項錯誤；

C、心與疥不是同類二次根式，故此選項錯誤；

D、阮=5百，歷=3百，5百與3百是同類二次根式，故此選項正確.

故選：D.

【變式2］（若二次根式后與最簡二次根式總1T能合并，則機的值為.

【解析】解：V24=2V61

???信即2后與最簡二次根式痂1I能合并，

.,.2m+1=6,

解得m=2.5,

故答案為2.5.

【變式3］（若最簡二次根式"知2工+y-5和，久-3y+11是同類二次根式,求x、y平方和的平方根.

【解析】解：?；最簡二次根式Y/2”+y-5和Jx-3y+11是同類二次根式,

???3%—10=2,2x+y-5=x—3y+11,

即13%-10=2

即12%+y—5=x—3y+11)

解需爭，

???％、y的平方和為%2+y2=16+9=25,

???X、y平方和的平方根為±5.

d題型十一二次根式的運算

【例題1】（2021?甘肅武威）下列運算正確的是（）

A.V3+V3=3B.4V5-V5=4C.V3xV2=V6D.V32=4

【答案】C

【解析】百+百=2百，故N錯;

4V5-V5=3V5，故2錯；

V3xV2=V6-C正確；

V32^+V8—2,故Z）錯.

故選：c.

【變式1］（2023?重慶）估計企（糖+715）的值應在（）

A.7和8之間B.8和9之間

C.9和10之間D.10和11之間

【答案】B

【解析】解：V2（V8+V10）

=V16+V20

=4+2V5

??-2<V5<2.5,

.-.4<2V5<5,

.-.8<4+2V5<9,

故選：B.

【變式2］（2023?山東濰坊）從-五、V3.后中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式（口+。）2+迎里面的“口”

與“。”中，計算該算式的結果是.（只需寫出一種結果）

【解析】解：①選擇一五和百，

貝U（_&+圾+五=（2—2遍+3）+&

=（5-2V6）+V2

=5+V2-2V6+V2

=|A/2-2V3-

②選擇-五和尼，

2

貝1|（一衣+竭-^-72=（2-2V12+6）V2

=（8-2V12）+V2

=8+V2-2V12+V2

=4V2-2V6.

③選擇向和痣，

2

貝省+遙）V2=（3+2V18+6）V2

=(9+6V2)+V2

=9+魚+6V2+V2

=p/2+6.

故答案為：(V2-2V3(或46-2遍或孤+6,寫出一種結果即可).

【變式3】(2023?甘肅武威)計算：V27-^X2V2-6V2.

【解析】解：V274-^x2V2-6V2

2

=3V3X—x2V2-6V2

V3

=12V2-6V2

=6收

【變式4】(2022?山東濟寧)已知口=2+遮，b=2-瓜求代數(shù)式+a/的值.

【解析】a2b+ab2=ab(a+b)

=(2+V5)(2-V5)(2+V5+2-V5)

=—1x4=-4.

故代數(shù)式的值為-4.

E-二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分問題

A題型十二

【例題】(2022?湖北荊州)若3-五的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,則代數(shù)式(2+五砌?匕的值是.

【解析】解：???1<V2<2,

.-.1<3-V2<2,

3-我的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,

.,.a-1,b-3—V2—1—2—V2.

???(2+&a)?b=(2+&)x(2-V2)=4-2=2,

故答案為：2.

【變式1】m,n分別是6-逐的整數(shù)部分和小數(shù)部分，貝。3m-滔的值為()

A.3B.3-V5C,5D.6遙一5

【答案】D

【解析】72<V5<3,

-3<-V5<-2,貝!|3<6一傷<4,

m=3,n=6-V5—3=3—V5,

???3m-n2=3x3-(3-V5)2=9-(14-6V5)=6V5-5.

故選D

【變式2】已知VI