東莞市2024屆高三年級上冊期末數(shù)學試題（解析版）

東莞市2023-2024學年度第一學期期末教學質(zhì)量檢查

局二數(shù)學

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑.

l+2i

Z二-----

1.已知復數(shù)2—i，則z=（）

A.iB.-i

C.底D.-75i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法可化簡復數(shù)z.

l+2i_（l+2i）（2+i）_5i

【詳解】z2-i（2-i）（2+i）-J

故選：A.

2.已知集合A={x|x=4左+1,左eZ},B=|x|x=4^-1,^eZj,則&（74°3）=（）

A.{x|x=4左/eZ}B.{x[x=4左+2,左eZ}

C.{x|x=2左,keZ}D.{x[x=2左+1,左eZ}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)并集和補集的定義即可得出答案.

【詳解】因為A={x|x=4左+1,左eZ},3={x|x=4左一1,左eZ},

所以Au3=^x\x=2k+\,keZ},

所以a（ADB）U^x\x=2k,keZ}.

故選：C.

3.已知由小到大排列的4個數(shù)據(jù)1、3、5、。，若這4個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，則這4個數(shù)據(jù)

的第75百分位數(shù)是（

A.9B.7

C.5D.3

第1頁/共25頁

【答案】B

【解析】

【分析】求出這四個數(shù)的極差與中位數(shù)，根據(jù)已知條件求出。的值，然后利用百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由小到大排列的4個數(shù)據(jù)1、3、5、a,則。之5,

這四個數(shù)為極差為a-1,中位數(shù)為2=4,

2

因為這4個數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的2倍，則a-1=2x4,解得a=9,

所以，這四個數(shù)由小到大依次為1、3、5、9,

5+9

因為4x0.75=3,故這4個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是一^二7.

2

故選：B.

4.函數(shù)=tzln國+工的圖象不可能是()

【解析】

【分析】分a=0,a>0和。<0三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點即可得出答案.

【詳解】①當a=0時，/(%)=-,此時A選項符合;

alnx-\--,x>0

x

②當a>0時，7(x)=tzln|.x|+—=

X

(21n(-x)+—,x<0

x

當％v0時，f(%)—aIn(—x)H—,

X

因為函數(shù)丁=aln(-x),y=!在(-。,0)上都是減函數(shù),

所以函數(shù)/'(x)在在(一。,0)上是減函數(shù),

第2頁/共25頁

如圖，作出函數(shù)丁=aln(—x),y=-工在(一。,0)上的圖象,

由圖可知，函數(shù)y=aln(-x),y=-工的圖象在(-8,0)上有一個交點,

即函數(shù)/(九)在在(-8,0)上有一個零點，

當1>0時，/(x)=ezlnx+—,則—(%)二.一二二融21，

X-XXX

由/'(X)〉。，得工〉工，由/'(x)<。，0<x<—,

aa

所以函數(shù)“X)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

當a=l時，f=a\n—+a=l,故B選項符合;

Ia

^lnx+—,x>0

1x

③當Q<0時，/(x)=4zln|x|+—=

x

(21n(-x)+—,%<0

x

當％>0時，/(x)=?lnx+—,

X-

因為函數(shù)丁=alnx,y=,在(0,+e)上都是減函數(shù)，

x

所以函數(shù)/'(X)在(0,+。)上是減函數(shù)，

如圖，作出函數(shù)丁=alnx,y=-工在(0,+e)上的圖象,

X

第3頁/共25頁

由圖可知，函數(shù)y=olnx,y=-工的圖象在(0,+e)上有一個交點,

x

即函數(shù)/(x)在在(0,+“)上有一個零點，

當x<0時，/(x)=tzln(-x)+—,則/⑺，一』二二1,

由/''(x)>0，得x<‘，由/''(x)<0,得工<x<0,

aa

1,o］上單調(diào)遞減，在-8,工］上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)“X)在

a)aJ

當〃二一1時,故C選項符合，D選項不可能.

故選：D.

11111

則——+——+——+——+——=

5.在等比數(shù)列｛a〃｝中，q+%+%+4+%=11，?3=4,)

d?

3131

A.—B.------

3232

1111

C.—D.——

1616

【答案】C

【解析】

【分析】設出公比后整體求值即可.

11,

【詳解】設首項為見,公比為4,易知q+W+a3+a4+a5=11,a3=4,可得4(二■+-+1+4+/)=11,

q-q

11,211

解得=+―+i+q+q-=—

q-q4

第4頁/共25頁

111111,1112、11

而—?—?—?—+7=：匕+二+i+q+q)=布,

4qq

故選：c

=2,貝Ucosa的值為（)

43

B.

5

43

C.D.

55

【答案】A

【解析】

【分析】由兩角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算即可得.

a7i

tan—+tan—tan—1

lptan

【詳解】242=2,vl

1a7i

1-tan—?tan—1-tan—

242

8

2a.2

cos----sm—1—tan—9一4

,2.2。-

a一

由cosa-cos----sin—2225-

2a.2a，，210

22cos—+sin——1+tan—a91

222

故選：A.

7.以拋物線C的頂點。為圓心的單位圓與C的一個交點記為點A,與C的準線的一個交點記為點8,當點

A,8在拋物線C的對稱軸的同側(cè)時，則拋物線C的焦點到準線的距離為（）

A.拽B.m

35

「8岳8后

*--------------nJLv.--------------

1517

【答案】D

【解析】

P0

故忸閭=|0N|=孑，從而求出3

【分析】作出輔助線，得到三角形全等,8’2),根據(jù)勾股定理列出方

程，求出夕=殳叵，得到答案.

17

【詳解】設拋物線方程為y2=2/（p>0）,

第5頁/共25頁

由題意得|。4|=|。5|=1,|。2=勺

過點B作軸于點股，

因為OAJ_O8,所以NA0N+/BOM=9O°,

又ZAON"OAN=90°,所以NBOM=NOAN,

則,

故忸閭=|ON|=>|,

令丁二■得，^=2px，解得x=g

故選：D

8.如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐.己

知每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1,則該正四棱臺的體積為（）

【答案】C

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【解析】

【分析】設每個直三棱柱高為a,每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長為6,設正四棱

—abh=3

2

臺的高為〃，可得出，求出4丸的值，即可求得該正四棱臺的體積.

—b'h=1

[3

【詳解】設每個直三棱柱高為每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長為6,

設正四棱臺的高為力，因為每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1,

1,,.

—abh=3

2

則[，可得a%%?==a%x3=36,可得a%=12,

—b2h=1

[3

所以，該正四棱臺的體積為V=a2〃+4x3+4xl=12+16=28.

故選：C.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.請把正確選項

在答題卡中的相應位置涂黑.

9.已知函數(shù)/(x)=cos((ux+e),a)>Q,g(x)是/'(x)的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(X)與g(x)對稱軸相同B./(x)與g(x)周期相同

c.y(x)g(x)的最大值是孩D.y(x)g(x)不可能是奇函數(shù)

【答案】BC

【解析】

【分析】求導得出g(x),利用三角函數(shù)性質(zhì)直接判斷AB；結(jié)合二倍角公式判斷C；結(jié)合二倍角公式及正

弦函數(shù)性質(zhì)判斷D

【詳解】由題意知/(尤)=cos(°x+0),所以g(x)=r(x)=—osin((yx+9),

對A：/(%)=<：0$(0%+夕)的對稱軸為+0=左eZ,解得x=>",左eZ；

CD

g(x)=—(ysin((yx+e)的對稱軸為5+夕=4+左兀，左eZ,解得上6Z,

2x-

co

所以與g(x)的對稱軸不相同，故A錯誤；

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27c27r

對B：/(x)=cos(0X+o)的周期為7=一，g(x)=-osin(ox+e)的周期為7=一，

CDCD

所以“X)與g(x)的周期相同，故B正確；

對C：/(x)g(x)=-℃os(0x+0)sin(ox+0)=-￡sin(20x+2e),

因為5析(20尤+29)6[一1,1],所以/(x)g(x)=—￡sin(2s:+2e)e—g%,故C正確；

對D：當2。=2而，左eZ,/(x)g(x)=-￡sin(20x+29)=—￡sin20x,

所以/(-x)^(-x)=-ysin(-2?x)=^sin2(yx=-/(x)g(x),此時f(x)g(x)為奇函數(shù),故D錯誤；

故選：BC.

10.已知圓G：(x+2『+y2=i,圓02：(x-3)2+y2=4,P,Q分別是G，G上的動點，則下列結(jié)論

正確的是()

A.當GP//C2。時，四邊形GC20P的面積可能為7

B.當GP//C2Q時，四邊形GC2QP的面積可能為8

C.當直線P。與G和G都相切時，|PQ|的長可能為26

D.當直線PQ與C1和G都相切時，|p0的長可能為4

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于AB：設/尸602=。€(0,兀)，可得梯形Ge2。？的面積為?sin6,進而分析判斷；對于

CD：根據(jù)切線性質(zhì)結(jié)合對稱性分析求解.

【詳解】圓G：(x+2『+y2=l的圓心G(—2,0),半徑4=1；

圓。2：(x—3)2+y2=4的圓心。2(3,0)，半徑4=2；

可知|。1。2|=5>3=4+々，可知兩圓外離，

對于選項AB：設ZPQC2=。e(0,兀)，

第8頁/共25頁

因為QP//QQ,可知梯形QPQC2的高為1?sin6>=5sin6",

所以四邊形的面積為gx5sin6?x(l+2)=葭sin6?<￡,

可知四邊形GGQP的面積可能為7,不可能為8,故A正確，B錯誤;

對于選項CD：設直線PQ與無軸的交點為M,根據(jù)對稱性可知：

如圖，因為尸GLPMQG^QM，可知尸6//。。2，

所以|PQ|=|PM=7lMCi|2-IPCI|2=2幾；

如圖，因為PC|，PM,QG，QM，可知

所以|PQ|=3|PC/=4;

故CD正確；

故選：ACD.

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11.己知函數(shù)/■(%),g(x)的定義域均為R,且〃x)+g(2-x)=5,g(x)—"%—4)=7.若X=2是g(x)

的對稱軸，且g(2)=4,則下列結(jié)論正確的是()

A./(X)是奇函數(shù)B.(3,6)是g(x)的對稱中心

22

C.2是/>(X)的周期D.(左)=130

k=\

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到了(^^(-x),判斷A；結(jié)合已知條件變形得到

g(2—x)+g(x+4)=12,判斷B；利用賦值法求得〃2)w/(O),判斷C；根據(jù)條件得到的g(x)周期為

4,對稱中心為(3,6),從而得到函數(shù)值即可求解，判斷D.

【詳解】對于A,因為x=2是g(x)的對稱軸，所以g(2—x)=g(x+2),

又因為〃x)+g(2-x)=5,所以〃f)+g(2+x)=5,故/(x)寸(f),

即/'(x)為偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B,因為g(￡)—/(x—4)=7,所以g(九+4)—/(尤)=7,

又因為/(%)+g(2-x)=5,聯(lián)立得g(2—x)+g(x+4)=12,

所以y=g。)的圖像關(guān)于點(3,6)中心對稱，故B正確；

對于C,因為〃x)+g(2-無)=5,g⑵=4,則〃0)+4=5,即〃0)=1；

因為g(%)一/(%—4)=7,則4—/(—2)=7,即7(—2)=—3,則/(2)=—/(—2)=3；

顯然/(2)//(0),所以2不是/'(X)的周期，故C錯誤；

對于D,因為無=2是g(x)的對稱軸，所以g(6—x)=g(x—2),

又因為g(2-x)+g(x+4)=12,即g(x)+g(6-x)=12,

則g(x)+g(x-2)=12,所以g(x+2)+g(x)=12,

所以g(x+2)=g(x—2),即g(x)=g(x+4),所以g(x)周期為4,

因為g(九)周期為4,對稱中心為(3,6),所以g(3)=6,

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當x=4時，代入g（x）—/（x—4）=7,即g（4）—/（0）=7,所以g（4）=8,

所以g（4）=g⑼=8,又x=2是g（x）的對稱軸，所以g⑴=g0=6,

22

所以Zg（左）=5X（6+4+6+8）+6+4=130,故D正確，

k=l

故選：BD.

12.如圖幾何體是由正方形ABCD沿直線A3旋轉(zhuǎn)90。得到的，已知點G是圓弧位的中點，點H是圓弧

。尸上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點H,使得平面8DG

B.不存在點X,使得平面〃平面BAG

C.存在點X,使得直線跳/與平面BDG的所成角的余弦值為立

3

D.不存在點H，使得平面BDG與平面CEH的夾角的余弦值為:

【答案】ACD

【解析】

【分析】將圖形補全為一個正方體ADMF—BCNE,設AO=2,以點A為坐標原點，AD.AF>AB

所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.

【詳解】由題意可將圖形補全為一個正方體ADMR-8OVE,如圖所示：

不妨設4。=2,以點A為坐標原點，AD,AF>A5所在的直線分別為x、，、z軸建立空間直角坐標

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系,

則A（0,0,0）、8（0,0,2）、C（2,0,2）、D（2,0,0）,E（0,2,2）、F（0,2,0）,G（血，血,2b

設點H（2cosa,2sina,0）,其中

對于A選項，假設存在點H,使得CH_1_平面BOG,CH=（2cos（z-2,2sin（z,-2）,

加=（-2,0,2）,5G=（V2,V2,0）,

則<=2應（cosa—1）+20sina=0'可得］cosa=0'

7TTT

因0?a<—,則。=—,即當點”與點E重合時，CH平面BOG,A對；

22

對于B選項，由A選項可知，平面BOG的一個法向量為交=（2,-2,2）,

假設存點、H,使得平面〃平面8DG,則CFLAE,

FCAH=4cos（z-4sincr=0兀兀

則〈一.—.,可得tana=1，又因為0?a<—,解得a=—,

FC-AE=-4+4=024

即當點X為。尸的中點時，面〃平面BAG,B錯;

對于C選項，若存在點H,使得直線EH與平面BAG的所成角的余弦值為

3

則直線EH與平面BDG的所成角的正弦值為

一丁

且￡7/=(2cosa,2sina—2,—2),

\EH-FC\14cosa-4sina|

所以，卜os（由，定”=

|EH|-|FC|J4cos2a+4(sina-l)2+4.2/

\cosa-sma\_V2

整理可得3sin2a-4sin<z+3=0,

6?A/3-2sina~3

■jr

因為函數(shù)/（a）=3sin2a—4sina+3在aw0,-時的圖象是連續(xù)的,

兀

且〃0)=3>0,f=-4+3=-1<0,

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所以，存在,使得了(%)=。,

所以，存在點H,使得直線即與平面9G的所成角的余弦值為也，C對;

3

對于D選項，設平面CEH的法向量為3=(x,y,z),

CE=(-2,2,0),CH=(2coso-2,2sina,-2),

-CE=-2x+2y=

?CH=2x(cosa—l)+2ysina—2z=0

取％=1,可得〃=(l/,sina+coso-l),

假設存在點H，使得平面BDG與平面CEH的夾角的余弦值為

3

2卜ina+cosa-1|1

df+COS6Z-1)2x263

可得(sina+cosa—I)2=1,即sino+coso-l=±l,

可得sina+cosa=0或sina+coso=2,

因為ae0,—,則二《。+工4型，則+,

L2J4442

je[l,可

所以，sina+cosa-42sina+—

I4

故當?！?,—時，方程sina+coso=0和sina+coso=2均無解，

_2_

綜上所述，不存在點H,平面9G與平面CEH的夾角的余弦值為'，D對.

3

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可

確定線面角；

(2)在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度/7,從而不必作出線面角，則線面

h

角。滿足sinG=7(/為斜線段長)，進而可求得線面角；

第13頁/共25頁

（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設％為直線/的方向向量，［為平面的法向量，則線面角。的

正弦值為sin0=|cos<a,H>|.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應位置上.

22

13.雙曲線C：=—2r=1（。>0,6>0）的漸近線方程為丁=土缶，則其離心率e=.

ab

【答案】6

【解析】

【分析】結(jié)合漸近線的定義與離心率定義即可得.

【詳解】由題意可得：=&,則e，=g=產(chǎn)［二］=/+（可="

故答案為：百.

14.已知向量：=（1,2）,5=（—2,1）,則使（花+可?（芯叫<0成立的一個充分不必要條件是

【答案】2=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)向量坐標運算公式將原問題轉(zhuǎn)化為-1<2<1的一個充分不必要條件進而求解.

【詳解】因為萬=0,2）,B=（—2,1）,

所以/Uf+B=（/l—2,22+1）,=（2+2,22-1）,

所以（23+石>（2萬—5）=（3_4）+（422_1）=5/12_5<0,

解得—1<%<1,

所以使（4〃+?日萬一5）<0成立的一個充分不必要條件是2=0.

故答案為：2=0（答案不唯一）

15.用試劑。檢驗并診斷疾病6,A表示被檢驗者患疾病6,8表示判斷被檢驗者患疾病6.用試劑。檢驗

并診斷疾病b的結(jié)論有誤差，己知P（叫A）=0.9,P（B|A）=0.8,且人群中患疾病匕的概率

P（A）=0.01.若有一人被此法診斷為患疾病6,則此人確實患疾病6的概率尸（川3）=.

【答案】—

23

【解析】

第14頁/共25頁

【分析】利用條件概率公式求出P(AB)、p(M)的值，可得出尸(⑷的值，再利用條件概率公式可求得

P(A忸)的值.

【詳解】由條件概率公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.01X0.9=0.009,

P(B|A)=1-P(B|A)=1-0.8=0.2,

由條件概率公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.99X0.2=0.198,

所以，P(B)=P(AB)+P(Afi)=0.009+0.198=0.207,

0.0091

所以，取人⑻=2需=

0.20723

故答案為：—.

23

16.若函數(shù)/(%)=(%2—2，(爐+公+。)的圖象關(guān)于％=_2對稱，則。+匕=,〃x)的最小

值為.

【答案】①.34②.-36

【解析】

【分析】由函數(shù)的對稱性可知，方程/+公+。=o的兩根分別為x=Y、x=—6,利用韋達定理可求得a、

6的值，可得出a+b的值，變形可得出/('=(%2+4城必+4%—12),令公f+鈦之一，利用二次

函數(shù)的基本性質(zhì)求出〃(/)=《/—12)在/2T時的最小值，即可得出函數(shù)/(x)的最小值.

【詳解】因為函數(shù)“x)=(f-2x)(d+G；+b)的圖象關(guān)于％=—2對稱，

令/(x)=0,可得好―2x=0,可得x=0或尤=2,

由對稱性可知，方程％2+雙+人=0的兩根分別為％=-4、x=-6,

—4—6=—a(Q=10

由韋達定理可得/八/八小可得7?，

(—4)x(—6)=/?也=24

所以，/(%)=%(%-2乂12+10%+24)=%(%-2)(X+4)(%+6),

則“T—%)-(-%-4)(-%-6)(-%)(-%+2)=x(x-2)(x+4)(x+6)=/(%),

所以，函數(shù)/(%)=%(%-2)(%+4)(%+6)的圖象關(guān)于直線％=-2對稱,則a+b=34,

因為/(%)=(Y+4%)(爐+4]-12),

第15頁/共25頁

令/=尤2+4%=(%+2)2—42—4,令/z?)=《t—12)=〃-12r=(t—6)2—36,

所以，3L="(6)=-36.

故答案為：34；-36.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是注意到方程^-2x=0有兩個根，利用f(x)的對稱性求得

x?+ax+Z?=0有對應的兩個根，從而求得b,由此得解.

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解

答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域

內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.

17.數(shù)列｛%｝前〃項積為7；,且滿足/=；("+1乂”+2).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)記＞=(-求數(shù)列出｝的前2〃項和打.

〃+2

【答案】(1)%=——

n

(2)S,“=ln-^

2n+\

【解析】

【分析】(1)分〃=1和兩種情況，結(jié)合7；與%之間的關(guān)系分析求解;

〃-2

(2)由(1)可得a=(-l)”ln^—,結(jié)合分組求和法運算求解.

【小問1詳解】

因為(=^-(n+l)(n+2),

若加=1,則%=4=3；

J；_gW+l）（"+2）_/+2

若〃22，

n

Tn+

且q=3符合an=-----，

n

綜上所述：數(shù)列｛4｝的通項公式=2土2

【小問2詳解】

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F7-I-Q

由（1）可知：bn=（-1）"In------,

可得=4+…+&=（乙+4+…+向”-1）+僅2+“+…+處）

[,3.512n+l

——In—FIn—F,??+In-------+1d+1心+…+1小

（132n-l[242n

=—In（2〃+l）+ln（〃+l）=In；+；

所以邑〃=峭"-

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形48C。是邊長為2的正方形，PB=PD.

(1)證明：平面QACJ_平面尸80；

(2)若PA=2,PB=BD,點、E,尸分別為尸2,尸。的中點，求點E到平面Ab的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵孚

【解析】

【分析】(1)由AC"D,。為AC和8。的中點，POLBD,得3D/平面H4C,可證得平面PACL

平面PBD；

(2)證明B4LAB,PA±AD,以A為原點，建立空間直角坐標系，向量法求點到平面的距離.

【小問1詳解】

連接AC,5。，AC與此相交于點。，連接P0,

四邊形A8CO是邊長為2的正方形，則AC1BD,。為AC和5。的中點,

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PB=PD,則PO_L5￡),

POC\AC=O,3D1平面R4C,

5。u平面尸80,所以平面上4。，平面尸皿

【小問2詳解】

四邊形ABC。是邊長為2的正方形，PB=PD=BD=2發(fā),

PA=2,B42+AB2=PB->PA2+AD~=PEr,則有PA_LAB,PA±AD,

以A為原點，ARAB,AD分別為無軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,0,0),C(0,2,2),E(l,l,0),F(1,0,1),

AC=(O,2,2),AF=(1,0,1),設平面ACb的一個法向量為7=(x,y,z),

n?AC=2y+2z=0

則有,令x=l,得y=l,z=-1,即/=(1,1,一1).

n?AF=%+z=0

AS22^3

AE=(1,1,0)，點E到平面ACF的距離d==手=一

n733

19.AABC中，角A,5c的對邊分別為a也c,且2a—c=2Z?cosC.

(1)求B；

(2)若b=3,且。為AABC外接圓劣弧AC上一點，求AD+2DC的取值范圍.

TT

【答案】(1)-

3

(2)(3,6)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由余弦定理化簡得/+°2—〃=ac，得到cosBug,即可求解；

(2)設NACD=a,得到得到=26sin/8=26sin(g—。)，得出

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AD+2DC=6cosa,進而求得AD+2DC的取值范圍.

【小問1詳解】

解：因為2a—c=2bcosC,由余弦定理得2a—c=2。?巴士人二二

2ab

_1/11

整理得a1+c2—b1=ac，可得cosB=----------=—,

2ac2

TT

又因為Be(0,7i),可得B=

【小問2詳解】

27rjr

解：由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，可得ND=—,設NACD=a,則NC4D=——a,

33

AC_AD_CD=3/

在△ADC中，由正弦定理得sin/Dsinasin(60°-a)布,

所以AD=2y/3sina,CD=2^/3sin(^--tz),

所以AD+2DC=2^/3sina+46sin(^-a)=6cosa,

兀1

因為0<a<1,可得cosee(]/)，可得6costze(3,6),

所以4。+2。。的取值范圍為(3,6).

20.己知橢圓C：=1(a>b>0),連接。的四個頂點所得四邊形的面積為20，且離心率

/b2

為變.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)經(jīng)過橢圓C的右焦點F且斜率不為零的直線/與橢圓C交于A,B兩點，試問x軸上是否存在定點T,

使得ATAB的內(nèi)心也在x軸上？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

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2

【答案】（1）—+/=1

2

（2）存在;7（2,0）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意中幾何關(guān)系及離心率可以求出“力的值，從而求解.

（2）設出直線/方程％=陽+1,然后與橢圓聯(lián)立，根據(jù)△力43的內(nèi)心在天軸上，可得左AT+凝T=。并結(jié)

合根與系數(shù)的關(guān)系，從而求解.

【小問1詳解】

ab=y/2

c_A/2a2=2

由題意得解得

a-Vb1=1

a2=b-+c2

所以橢圓C的方程為工+y2=l.

2

【小問2詳解】

因為直線/過右焦點/（1,0）且斜率不為零，設直線/的方程為無=啊+1,8（X2，%），

x—my+1

得（蘇+2）丁+2陽—1=0,△=（2m）2-4（加+2）（-1）=8療+8>0恒成立,

聯(lián)立《X221

——+V=1

12'

?…2m1

所以=一中

im2+2

設x軸上存在定點7（%,0）使得△力鉆的內(nèi)心在尤軸上,

則直線力4和關(guān)于％軸對稱，所以直線力4和力8的傾斜角互補,

上+上=0,

所以kAT+^BT=。，即^AT+^BT

xx-tx2-t

所以另（々7）+%（玉一。=。,即X（Wi+17）+%的2+1-。=0，

...、—1—2^/1t—2

整理得2nly]%+（1一。（另+%）=0，BP2mx———+（l-?）x———=2mx———=0,

m~+2m~+2m~+2

即2-2）=0對所有meR恒成立，所以。=2,

所以存在定點7（2,0）符合題意.

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【點睛】方法點睛：根據(jù)△力43的內(nèi)心在x軸上得到直線力4和ZB的傾斜角互補，即《T+%BT=O,再由

直線與橢圓聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到相應的等式，從而求解.

21.某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個亞種.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比8

種數(shù)目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個物種C,統(tǒng)計其中A

種數(shù)目，以此作為一次試驗的結(jié)果；②重復進行這個試驗w次（其中“eN*），記第i次試驗中的A種數(shù)目

為隨機變量Xj（z=l,2,???,?）；③記隨機變量X=一利用文的期望E（區(qū)）和方差。（區(qū)）進行估

〃1=1

算.設該區(qū)域中A種數(shù)目為M,8種數(shù)目為M每一次試驗都相互獨立.

（1）已知E（X,+xj=E（X）+E（xj,D（X,+X7.）=D（X,）+D（X7）,證明：E（又）=E（Xj,

。（區(qū)）=:。區(qū)）；

（2）該小組完成所有試驗后，得到X,的實際取值分別為不。=1,2,…,〃），并計算了數(shù)據(jù)不。=1,2,…

的平均值輸和方差然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)

n

（i）請用］和$2分別代替E（又）和。（區(qū)），估算（和白

（ii）在（i）的條件下，求X］的分布列中概率值最大的隨機事件｛%=上｝對應的隨機變量的取值.

【答案】（1）證明見解析

.M3-..

（2）（1）—=—，%=15；（打）15

N7'

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合期望、方差的性質(zhì)分析證明；

（2）（i）根據(jù)（1）中結(jié)論結(jié)合二項分布的期望和方差公式運算求解；（ii）根據(jù)二項分布的概率公式列

式運算求解即可.

【小問1詳解】

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由題可知Xj(Z=l,2,n)均近似服從完全相同的二項分布,

則

E(XJ=E(X2)==E(X〃)，D(X1)=D(X2)=--=D(X),

(1.、(n、1n1

=-E￡x,二牙”J〒同XJ=E(XJ，

n

9)川>[\/=17

。國4X[=』4￡X[=￡D(X,)=4<M(XJ」D(X),

1〃日)ri3=1)nZ=1nn

所以石(又)=E(Xj,D(X)=1z)(X1).

【小問2詳解】

MA

(i)由⑴可知Xi?B\50,

M+N)

貝1JX1的均值E(XJ=黑'X的方差。氏)=5°><而片.八'

~G、50MN10.5M3,M7

所以D(X)=—，解得z—=一或—=—

n(M+NYnN7N3

由題意可知：64M<N,則0<竺<1,

N

加3_/—\jj'fv\50M

所以—=一，x—E\X\=E\X)=--------=15；

N7v7vy7M+N

(ii)由(i)可知：乂=03,則x：5(50,0.3),

M+N')

則P(Xi=切)=C；)?0.3叫(1—0.3)5g”,切=0,1,2,…,50,

Co-0.3仙(1—O.3)50-'>C$1?0.3人1?(1-0.3)49-i

由題意可知:

CM-0.3^(l-0.3)5°d3C^1-0.3，T.(1—0,3)51-"

解得14.3K/K15.3,且左eN*，則左=15,

所以X1的分布列中概率值最大的隨機事件｛X]=左｝對應的隨機變量的取值為15.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是利用二項分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性質(zhì)分析求解.

22.已知函數(shù)〃x)=.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若方程/(x)—L(x—1)=0有為