反比例函數(shù)-2025年浙教版九年級中考數(shù)學一輪復習講義

浙教版中考數(shù)學第一輪專題復習講義

第三單元函數(shù)及其圖象

《第12講反比例函數(shù)》

【知識梳理】

1.反比例函數(shù)的概念

⑴定義:形如伏為常數(shù)，物0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中X是自變量，y是X的函數(shù)，

k叫做比例條數(shù).

(2)反比例函數(shù)中，比例系數(shù)厚0,自變量/0,函數(shù)值歸0,且另外兩種表達形式為丁=依

-1或砂=左(后0).

2.反比例函數(shù)的圖象與性質

(1)反比例函數(shù)的圖象:反比例函數(shù)丁=夕以0)的圖象是由兩個分支組成的」且關于直角坐

標系的原點成中心對稱,關于第一、三象限(或第二、四象限)的坐標軸夾角平分線成軸對稱.

(2)反比例函數(shù)產勺厚0)的圖象與性質如下表：

函數(shù)常數(shù)取值圖象所在象限性質

第一、三象限(x,y在每一象限內，y隨

k>0

k同號)X的增大而減小

尸一X

（后0）第二、=象限(x,y在每一象限內，y隨

k<0

異號)X的增大而增大

3.反比例函數(shù)存0)中的比例系數(shù)k的意義

(1)代數(shù)意義:反比例函數(shù)圖象上的點(x,y)具有橫、縱坐標之積為常數(shù)的特點.

(2)幾何意義:①過反比例函數(shù)圖象上的任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩條垂線與坐標軸所圍成

的矩形的面積為常數(shù)」②過反比例函數(shù)圖象上的任意一點，向兩坐標軸作垂線，一條垂線

與坐標軸及該點與原點連線所圍成的三角形的面積為常數(shù)卷因

【考題探究】

類型一反比例函數(shù)的概念及表達式

【例1】若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,-2),則該反比例函數(shù)的表達式為丫=一：.

變式1若函數(shù)是反比例函數(shù)，則常數(shù)a的取值范圍是分企.

類型二反比例函數(shù)的圖象與性質

【例2][2024?浙江]反比例函數(shù)尸：的圖象上有P(f,yi),Q(/+4,刈兩點.下列說法正確的是

(A)

A.當/'<一4時，y2<yi<0

B.當一4</<0時，”<州<0

C.當一4</<0時，0<刀<絲

D.當/>0時,OVyiVyz

【解析】當rv—4時，r+4V0,

4

/.AP,。都在反比例函教第三象F艮的圖象上，且y隨x的增大而減小,

.*.j2<ji<0,A正確；

同理可得，當一4V/V0時，ji<0<j2>B,C均錯誤;

當r>0時，OV/Vyi,D錯誤.

故選A.

變式2T[2023?嘉興、舟山]已知點A(—2,yi),5(-1,")，C(l,”)均在反比例函數(shù)尸3的

圖象上，則戶,",”的大小關系是(B)

A.yi<y2<y?.B.y2<yi<y?>

Cj3<yi<y2Dj3<yi<yi

變式2—2設函數(shù)”=：,/=—他>0>

(1)當2W尤W3時，函數(shù)yi的最大值是a,函數(shù)中的最小值是a—4,求。和左的值.

(2)設機加，且加力-1,當％=機時，yi=p;當％=機+1時，yi=q.圓圓說：“p一定大于q”.你認

為圓圓的說法正確嗎?為什么？

解:⑴?.?*>(),x>0,.二yi隨工的增大而減小，

當x=2時，yi=a,即左=2〃?①

?.?一AVO,x>0,?'?”隨工的增大而增大,

：,當x=2時，)2=。-4,即一k=2u—8.(2)

聯(lián)立①②，斛得a=2,k=4.

(2)圓圓的說法不正確.理由如下：

聯(lián)機=機0,滿足一IVznoVO,

則mo<O,如)+1>0,

k

??當X=UIQ時，H=P=—vo；

m0

k

當x—mo+1時，yi—q————>0,

m0+l

此時pVOVq,J圓圓的說法不正確.

類型三反比例函數(shù)y=：中陽的意義

【例3][2024?齊齊哈爾]如圖，反比例函數(shù)j尸為<0)的圖象經(jīng)過平行四邊形ABC。的頂點A,

0c在冗軸上，若點5(—1,3),S團45co=3,則實數(shù)k的值為一6.

4

0\Cx0]Cx

典例3圖典例3答圖

【解析】如答圖，建長A5,交y軸于點O,則點0(0,3).

■:S?ABCO=3,

：.0C-OD=3OC=3,：.OC=1.

ABCO是平行四邊形，

：.AB=OC=\,

：.AD=2,：.AA(-2,3).

又「皮A在反比例的數(shù)圖象上,

變式3[2023?紹興]如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=?左為大于0的常數(shù)，x>0）圖象

上的兩點AQ1,刀），3（x2,"）滿足X2=2XISABC的邊AC〃無軸，邊3C〃y軸，若△043的面積

為6,則AABC的面積是2.

變式3圖

【解析】如答圖，延長C4支y軸于點E,延長C5交x軸于點尸,

軸，CF，x軸,

/?四邊形OECF為矩形.

VX2=2XI,

：.A為C￡的中A.

由I川的幾何意義，得S〉OAE=SAOBF，

：.B為CF的中點,

=

：?S^OAB^S矩形OECF=6

O

:，S矩形OECF=16,

1

：?S33c=gX16=2.

8

類型四反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

【例4][2023?寧波]如圖，一次函數(shù)yi=%x+僅上>0）的圖象與反比例函數(shù)第=*左2>0）的圖

象相交于43兩點，點A的橫坐標為1,點3的橫坐標為一2.當時,x的取值范圍是（B）

典例4圖

A.x<-2或x>1

B.x<—2或OVx<l

C.-2Vx<0或x>l

D.-2Vx<0或0<x<l

變式4—1[2024?湖北]如圖，一次函數(shù)尸x+根的圖象經(jīng)過點A(—3,0),交反比例函數(shù)y=3后0,

x>0)的圖象于點5(〃，4).

(1)求加，n,左的值.

⑵點C在反比例函數(shù)y=3第一象限的圖象上，若SAAOC<S”O(jiān)B,直接寫出點C的橫坐標。的取

值范圍.

變式4—1圖

解:(1)由題意，得一3+機=0,〃+/n=4,k=4n,

斛得機=3,n=l9k=4.

(2)VSAAOC<SAAOB，

/.點3到工軸的距離大于點。到X軸的距離，

點。住于點B的右側，/.?>1.

變式4—2[2023?杭州]在直角坐標系中，已知上次2加，設函數(shù)yi=?與函數(shù)”=2)+5的

圖象相交于點A,A已知點A的橫坐標是2,點3的縱坐標是一4.

⑴求質,。的值.

⑵過點A作y軸的垂線，過點3作x軸的垂線，在第二象限相交于點C;過點A作x軸的垂線,

過點3作y軸的垂線，在第四象限相交于點D求證:直線CD經(jīng)過原點.

變式4—2圖

解:(1)由題意將，點A的金標是(2,5),.*.*1=2X5=10,

即函數(shù)yi=-.

1n

設點的坐標是(加，一一,

4),.*?—4=m

斛得

.?.點5的生標是(一|,-4),

.—4=(一|—2)42+5,解得42=2.

(2)由題意得，點。的金標是(一|,5),點。的生標是(2,-4).

設圖象經(jīng)過C,。兩點的一次函數(shù)的表達式為7=入+方,

--k+b=5,k=-2

2將得

,2/c+b=—4,b=0,

即y=~2x.

,?當x=0時，y=0,

.?.點(0,0)在函數(shù)y=—2x的圖象上，即直線CD經(jīng)過原點.

類型五反比例函數(shù)在實際生活中的應用

[例5][2023?臺州]科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度.密度計懸浮在不同的液體

中時，浸在液體中的高度以單位:cm)是液體的密度Q(單位:g/cn?)的反比例函數(shù)，當密度計懸浮

在密度為1g/cm3的水中時，h=2。cm.

(1)求h關于p的函數(shù)表達式.

(2)當密度計懸浮在另一種液體中時，/z=25cm,求該液體的密度".

典例5圖

解:⑴設h關于p的函數(shù)表達式為It*

把p=l,/i=20代人表達式，得左=1X20=20,

：.h關于〃的函數(shù)表達式為h=-.

p

(2)把Zi=25代人入=子20，得25=?01,解得〃=0.8.

答:該液體的密度p為0.8g/cnP.

變式5—1[2023?溫州]在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓

后氣體對汽缸壁所產生的壓強p(kPa)與汽缸內氣體的體積V(mL)成反比例，2關于V的函數(shù)圖象

如圖所示.若壓強由75kPa加壓到100kPa,則氣體體積壓縮了20mL.

變式5—1圖

【解析】設這個反比例函數(shù)的表達式為p=o

當V=100時，p=60,

.,.k=pV=6000,；.p=當普.

當p=75時，V=——=80,

當時，

r?=100V=--1-0-0-=60,

.,.80-60=20(mL),

%體體積壓縮了20mL.

變式5—2[2024?吉林]已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/(A)與電阻R(Q)是反比

例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示.

(1)求這個反比例函數(shù)的表達式(不要求寫出自變量R的取值范圍).

(2)當電阻R為3Q時，求此時的電流/.

儼A)

09R(Q)

變式5—2圖

解:(1)設/=匕由題意得U=R[=9X4=36,

R

??這個反比例函數(shù)的表達式為1=—.

R

(2)也阻R為30時，Z=—=12(A).

【課后作業(yè)】

1.[2024?重慶B卷]反比例函數(shù)y=一m的圖象一定經(jīng)過的點是(B)

A.(l,10)B.(-2,5)

C.(2,5)D.(2,8)

2.[2024?濱州]點/⑶，y)和點Ng券)在反比例函數(shù)y=k2~^+\k為常數(shù))的圖象上，若xi

V0VX2,則yi,0的大小關系為(C)

A.yiVy2VoB.yi>p>0

C.yi<0<y2D.yi>0>y2

【解析】在反比例函數(shù)y=』_'+3=(L)+2中,

(fc-l)2+2>0,

反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象F艮.

Vxi<0<X2，

...點M在第三象F艮的圖象上，點N在第一象F艮的圖象上，

/.yi<0<j2.

3.[2023?金華]如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A(2,3),

B(m,~2),則不等式以+6>人的解是(A)

X

A.—3<x<0或x>2

B.x<—3或0<x<2

C.-2Vx<0或x>2

D.-3Vx<0或x>3

【解析】VAA（2,3）在反比例函數(shù)的圖象上，

：.k=6.

又?.?點5（陽，一2）在反比例曲教的圖象上，

'.m=-3,AB（—3,—2）.

Zz

結合圖象，當。％+力>-時，或

X-3VxV0x>2.

4.[2023?麗水]若100N的壓力R作用于物體上，產生的壓強p要大于1000Pa,則下列關于物

體受力面積S的說法正確的是（A）

A.S小于O.ln?B.S大于O.ln?

C.S小于10m2D.S大于10m2

【解析】p=~tF=100N,

???〃=——100?

rs

;產生的壓強p要大于1000Pa,

A—>1000,...SV0.1mZ

s

5.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)丁=依+1與y=—3上為常數(shù)且厚0）的圖象可能是（A）

D

6.[2023?召口陽]如圖，矩形。45C的頂點5和正方形AD跖的頂點石都在反比例函數(shù)尸%存0）

的圖象上，點3的坐標為(2,4),則點E的坐標為(D)

A.(4,4)B.(2,2)

C.(8,1)D.(4,2)

【解析】易求得反比例函數(shù)的表達式為y=-,

X

可設點E(a,￡),

O

：.AD=a-2=ED=~,

a

斛得=4,U2=-2.

又???〃>(),???。=4,???點￡(4,2).

7.[2023?河北]如圖，已知點A(3,3),3(3,1),反比例函數(shù)y=5片0)圖象的一支與線段A3有

交點，寫出一個符合條件的k的整數(shù)值：k=4(3即可).

8.[2024?揚州]如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,0),點3在反比例函數(shù)

0)的圖象上，軸于點C,NA4c=30。，將AABC紙片沿A3翻折，若點C的對應點。落

在該反比例函數(shù)的圖象上，則左的值為，g_.

第8題圖

【解析】設點B的橫坐標為m+1.

VAA(l,0),：.AC=m.

又???NbAC=30。，軸于點C,

/.BC=^m,:.1).

由軸對稱可知，AD=m,ZDAB=ZCAB=3Q0,

：.ZDAC=60°.

如答圖，過點。作DGA-X軸，垂足為G,

；.AG=￡,.,.OG=學，.,.點og+1,等).

???(￡+1).學=日陽(旭+1)，斛得加=2,

:.k*m(m+1)=2回

9.[2024?內江]如圖，一次函數(shù)尸以+。(存0)的圖象與反比例函數(shù)尸3后0)的圖象相交于A,

3兩點，其中點A的坐標為(一2,3),點3的坐標為(3,n).

(1)求這兩個函數(shù)的表達式.

(2)根據(jù)圖象，直接寫出關于JC的不等式Qx+Z?〈X的解.

X

;

2》

第9題圖

解:(1)由題意，得左=-2X3==3X〃，

??6,2,

...反比例困教的表達式為尸d

?.?皮A(—2,3),B(3,—2)在一次的數(shù)y=ax+少的圖象上,

I—2a+b=3,(a=-1,

???斛得

(3a+b=—2,(b=l.

；?一次函數(shù)的表達式為y=-x+1.

Zz

(2)由圖象可知，關于X的不等式or+力的解為一2VxV0或x>3.

10.[2023?連云港]如圖，矩形OABC的頂點A在反比例函數(shù)y=%x<0)的圖象上，頂點B,C

在第一象限，對角線AC〃x軸，交y軸于點D若矩形。43c的面積是6,cosNOAC=g,則左

第10題答圖

【解析】如答圖，過點A作軸于點E.

*/矩形OABC的面積是6,

AlOC的面積是3.

2

VZAOC=90°,cosZOAC=-,

3

?.?OA_一2.

AC3

?；AC〃x軸，:./AOE=/OAC.

又?:ZOEA=ZAOC=90°,

：.^OEA^AAOC,

.?.SAOE4_(04,=3,

S^OEA=~?

S^AOClacJ9'

一1

易知S^oEA=~\k\y左VO,

：.k=--.

3

11.如圖，四邊形。15C為矩形，點A在第二象限，點A關于OB的對稱點為點。，點-。都

在函數(shù)、=乎(1>0)的圖象上，軸于點E.若DC的延長線交x軸于點E當矩形。43c的

面積為9A/2時，的值為W一，點F的坐標為.（一，0）—

第n題圖

第11題答圖

【解析】如答圖，走結BF,過點。作軸于點取。5中點、為M,連結DM,BD,

OD.

?；點、A與點。關于OB對稱，SM）BD=SM）BA.

又易得SMOBA=SAOBC,S^OBD=S^OBC9CD//OB,

：.S^OBF=S^OBC=lS矩形OABC=^.

又易得S^OBE=~^6A/2=3A/2^?

.OF_3，.EF_1

??OE2O?E?2?

設點5（a,嗯,則點磴a,0）.

■:CD//OB,；.ZBOE=ZDFH.

又易知N5EO=NOHF=90°,：./^OBE^AFDH,

6V2

?°E_BEea_a

??FHDH'即和告退'

2XD

1

斛得刈=2?；騱=—5a（不合題意，合去），

/.AD（2a,平）.

為05的中點，J點M（^,手），

：.MD=-a.

2

1

又?.?NOD5=NA=90°,：.MD=-0B,

2

,+（平?「

即|a=^~廣二，斛得（負值舍去），

.-.|a=^,即點F的金標為（誓，0）.

12.[2024?溫州校級模擬]如圖，點A,3在x軸正半軸上（點B在點A的右邊），OA=2AB,分

別以。4,A3為邊作等邊三角形。4C,ABD,反比例函數(shù)y=%左＞0）的圖象經(jīng)過AD的中點E,

與邊OC相交于點E過點F作FM±x軸于點M,過點E作EN±y軸于點N.若陰影部分的面積

為12V3,求k的值.

第12題答圖

解:如答圖，過點E作EH±x軸于點H.

設出8=4。，則OA=2AB=Sa.

???以Ab為邊作等邊三角形AAD,且￡是4。的中點.

*.AE=-AD=-AB=2a,ZEAH=6Q°,AH=-AE=a,EH=4a2—a2=y/3a,

222\

：.0H=0A+AH=9a,

點E的坐標為（9a,V3a）.

,陰影部分的面積等于12V3,

:.NO?0M=12?V3a?0M=12?

12

：

.0M=-a.

,：以OA為邊作等邊三角形OAC,

：24

.ZFOM=60°,0F=20M=—a,

：.FM=JoF2-OM2=^,

.?.皮F的生標為（工，空，.

\aaJ

?.?反比例曲教圖象經(jīng)過點E,F,

.,.-X^=9aXV3a,

aa

解得a=2（負值舍去），

：.k=36^3.

13.[2024?金華模擬]建筑是一