廣東省大灣區(qū)2025屆高三年級上冊12月模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

廣東省大灣區(qū)2025屆高三上學(xué)期12月模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.設(shè)集合4={%|/_%>0},3={%|111（%+1）?0}則403=（）

B.(-l,l)C.(l,+oo)D.[l,+oo)

2.已知復(fù)數(shù)z=5,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

3-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，某雙曲線筆筒的軸截面曲線部分為一條離心率為6且焦距為10cm的雙曲線

的一部分忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為()

A.4cmB.2\/5cmC.6cmD.3?cm

已知cos（a+/?）=；,cosacos/?=；,貝！Jcos（o-/）=（

4.）

A-tB-lclD-4

5.已知向量M=(x+3,4),b=(%,-1),若,+5卜卜-5卜則實數(shù)％的值為()

A.4B.-4或1C.-lD.4或-1

6.已知函數(shù)那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)/(%)零點的是()

A.,；]B.[,[嗚1]D.(l,+8)

7.已知隨機變量占服從正態(tài)分布N(3,2),〃服從二項分布5m,則()

A.D（^）=V2B.D（/7）=2

C.P（77=1）=P（77=5）,D.P（^>2）+P（^>4）=1

8.已知/(x)=2sin(ox+9)10〉O,|0|<、J,其中相鄰的兩條對稱軸的距離為g,且

/(%)經(jīng)過點(0,-1),則關(guān)于x的方程/(x)=siiw在[0,2句上的不同解的個數(shù)為()

A.6B.5C.4D.3

二、多項選擇題

9.為了弘揚奧運會中我國射擊隊頑強拼搏的搏斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)

射擊比賽，得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)為：6,6,7,8,9,9,9,10(位：環(huán))，則這

組樣本數(shù)據(jù)的()

A.極差為4B.平均數(shù)是8

C.75%分位數(shù)是9D.方差為4

10.設(shè)函數(shù)〃力=(%+1)2(%—2),貝!]()

A./(x)有三個零點

B.x=l是“X)的極小值點

C./(%)的圖像關(guān)于點(0,-2)中心對稱

D.當(dāng)0<%<1時，/(%)>/(x2)

11.曲線E上任點P(x,y),滿足點P到定點網(wǎng)0,5)的距離與到定直線y=l的距離之

和為6,則下列說法中正確的有()

A.曲線E經(jīng)過原點

B.曲線E關(guān)于y軸對稱

D.直線y=x+3被曲線E截得的線段長為8(石-0)

三、填空題

12.二項式缶-j_Y的展開式中/的系數(shù)是

13.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為4cm,母線長最短5cm,最長

8cm,則斜截圓柱的體積為cm3

14.若直線y=Ax(左為常數(shù))與曲線/(x)=lnx,曲線g(x)=ae"均相切，則

a=.

四、解答題

15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c已知

cos2A=cosBcosC-sinBsinC.

⑴求角A的大??；

(2)已知a=6,c=26求△ABC的面積

16.如圖，在三棱柱ABC-AgG中，側(cè)面BBCC是邊長為2的菱形，其對角線交于

點。且49,平面

(1)求證：片C,平面ABC1；

(2)若N43C=60。，OA=OB,求平面ABC1與平面ABC夾角的余弦值

17.已知函數(shù)〃%)=彳一1一alnx,aeR

⑴判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(力20恒成立，求a的值

22

18.已知橢圓C：T+斗=l(a〉6〉0)的焦點為耳(-2,0),工(2,0),尸為橢圓上一點且

ab

△P/花的周長為4+4及.

(1)求橢圓C的方程

(2)若直線/過點工交橢圓C于A，3兩點，且線段的垂直平分線與x軸的交點

*0

⑴求直線/的方程；

(ii)已知點Q(T,O),求△ABQ的面積

19.已知數(shù)列｛4｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列若存在常數(shù)左eN*,出-1+%,=履“對任

意的"eN*成立，則稱數(shù)列｛an｝具有性質(zhì)中仕).

⑴若a“=2”,請判斷數(shù)列｛??｝是否具有性質(zhì)T(2)；

(2)若數(shù)列｛4｝滿足%印九=1,2,3,...),求證：“數(shù)列｛叫具有性質(zhì)鞏2)”是“數(shù)列

｛%｝為常數(shù)列”的充要條件；

⑶已知數(shù)列｛%｝中的=1,且an+l>%(〃=1,2,3,...).若數(shù)列｛an｝只有性質(zhì)T(4),求數(shù)列

｛??｝的通項公式

參考答案

1.答案：C

解析：4={#2-%>0}={小(%-1)>。}={小>1或為<0},

B=|x|ln(x+l)>0|=|x|ln(x+l)>lnl|=,

所以4口6=（1,轉(zhuǎn)）.

故選：C.

2.答案：A

1+i_(l+i)(3+i)_2+4i_12.

解析：?

3-i(3-i)(3+i)1055

??.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

???2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

故選：A.

3.答案：B

解析：依題意可得2c=10cm,-=45

a

所以a=&cm,

所以該筆筒中間最窄處的直徑為2a=2&cm.

故選：B.

4.答案：A

解析：,/cos(tz+^)=costzcos/J-sintzsin/7=；

cosacos/3=；

...Ill

sin(zsin/y=------,

236

112

cos(a-/7)=costzcos/?+sincrsin尸=—+—=—.

故選：A.

5.答案：B

解析：將卜+可=|萬-閘兩邊平方，得G,5=0,

由方=(x+3,4),b

得(x+3)x+4x(—1)=0,

即/+3%—4=0,

解得x=T或1.

故選：B.

6.答案：B

解析：注意到函數(shù)/(%)圖像在(0,抬)上連續(xù)不間斷,

因為y=f,y=-在(0,+8)上均單調(diào)遞增，

則/(￡)=，-'［在(0,+8)上單調(diào)遞增

對于A,/(O)-O^-Q^=0—1<0

因函數(shù)y=短在(o,+8)上單調(diào)遞增，

則“可在上無零點，故A錯誤;

對于B,因為yI|在(0,+8)上單調(diào)遞減,

對于CD,由于在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增,

/（1）=1-11=|7>0,可知C、D都是錯誤的

故選：B.

7.答案：D

解析：￡⑷=3,E（7）=6X1=2,

D（^）=2,￡>（〃）=6><（1義§7=（A故AB錯誤;

*〃=1)=或義；義1),P(〃=5)=C：x[]><|,

p(〃=l)wp(〃=5)故C錯誤；

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得尸信>2)+尸信》4),

=PC<4)+P(J")=1,故D正確

故選:D.

8.答案：A

解析：由已知相鄰兩條對稱軸的距離為四，可得￡=(=空

3322|(y|

又G>0,可得G=3,

由函數(shù)/(x)經(jīng)過點(0,-1),則2sin9=-l,即sin°=-g,

又Ml〈巴,可得展上,所以小)=2sin(3V],

因為函數(shù)丁=51!1%的最小正周期為T=2兀,

所以函數(shù)〃x)=2sin]3x由的最小正周期為T=g,

所以在[0,2可函數(shù)/(x)=2sin13x-看)有三個周期的圖象，

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖像，

如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖像有6個交點,

9.答案：ABC

解析：將這組數(shù)據(jù)從小到大排序，

得6,6,7,8,9,9,9,10這組數(shù)據(jù)的極差為10-6=4,故A正確;

6+6+7+8+9+9+9+10

平均數(shù)為=8,故B正確;

8

因為8x0.75=6,

0.0

所以第75%分位數(shù)為亍=9,故C正確;

+小二(6—8廣+(6—8尸+(7—8)2+(8—8尸+(9—8『+(9—8尸+(9—8>+(10—8)2

萬差為-----------------------------8--------------------------------

D錯誤

故選：ABC

10.答案：BC

解析：對于A,令/(尤)=(%+1)2(尤-2)=0,

解得％=-1或x=2,

所以"％)有兩個零點，故A選項錯誤；

對于B,由/'(力=2(工+1)(工一2)+(x+iy=3尤2—3,

令r(x)=3f—3=0,解得x=-1或x=l,

當(dāng)％<-1或》>1時，r(%)>o,

即/(X)在(-00,-1)和(1,+00)上單調(diào)遞增，

當(dāng)—1<%<1時，f(x)<0,即/(%)在(—1,1)單調(diào)遞減，

所以x=l是“X)的極小值點，故B選項正確；

對于C,因為/(—無)+/(%)=(—x+l)2(—x—2)+(x+l)2(x—2)=—4,

則“力的圖像關(guān)于點（0,-2）中心對稱，故C選項正確；

對于D,當(dāng)時,/（%）單調(diào)遞減，

則當(dāng)0<x<l時，/（%）單調(diào)遞減，

又當(dāng)0<%<1時，x>x2,

所以/（x）</（d）,故D選項錯誤；

故選：BC.

11.答案：ABD

解析：設(shè)點P（x,y）,

因為點P到定點F（0,5）的距離與到定直線y=1的距離之和為6,

所以J,+（y—5）2+|y—1]=6,

當(dāng)時，得Jd+（y_5）2=7_y,

兩邊同平方，得￡=Ty+24（lWyW6）；

當(dāng)y<l時，得Jd+（y_5）2=5+y,

兩邊同平方，得％2=20y（0WyWl）,

對于A,如圖，曲線E過原點，A正確；

對于B,由圖易知，兩段拋物線弧均關(guān)于y軸對稱,

故曲線E關(guān)于y軸對稱，B正確；

對于C,若點P（九,y）在三=-4y+24（lWyW6）上，

得-=—4y+24<20,所以-2百<x<2氐

若點P（羽y）在x2=20y（0<y<1）上，

同理得—2際<x<2行，C錯誤；

對于D,由卜2=f+24（1?”6）,

y=x+3,

得r=2或y=—6（舍去），

」=51y=_3

由卜2=20y（0"?l）,

[y=x+3

X=10-4A/10_fx=10+4710

得或《_（舍去），

y=13—4^/10'y=13+4A/10

故y=x+3與曲線E交于點F（2,5）,Q（10-4癡,13-4碗）

13-4屈-5

貝Ik

PQ10-4710-2

可得閘=^17^1_&卜0><卜0_4而_2卜8（君_⑹,D正確

故選：ABD.

12.答案：60

1,3

解析:的展開式的通項為（+1=C其缶嚴(yán).=（-1）*（在6yx2.

7xJ

3

令6—2左=3,則左=2,

2

故X3的系數(shù)是（—1）2（0）6-2屋=4x15=60.

故答案為：60

13.答案：26K

解析：將如圖所示的相同的兩個幾何體拼接為圓柱,

則圓柱底面半徑為2cm,高為8+5=13（cm）,

體積為兀x2?xl3=52兀（cm，，

則該幾何體的體積為圓柱體積的一半，

即52兀x~=26兀（cn?）.

解析：因為/(x)=liix,xe(0,+oo)

所以f'(x)=-,

設(shè)直線y="與/(x)=lnx的切點為(％/叫)，

則切線方程為,一1%=-(x-xA,BPy=—x+lnxj-l,

%%

Lk,

又因為y=乙，所以,再

1叫一1二0,

解得玉=e,k=—

e

所以切線方程為丁=’工，

e

因為g(x)=ae，，所以g'(x)=(oe")=aex,

設(shè)直線y=L與g(x)=ae"的切點為(Xo，〃e%),

所以g'(%o)=ae與=-@

e9

又因為切點(%o，ae殉)在直線y=，%上,所以=，/②,

e

由①和②可得冗0=1,所以〃e=',解得。=4.

ee

故答案為：4

e

15.答案：(1)A=：

(2)66

解析：⑴因為cos2A=cosBcosC-sinBsinC,

=cos(B+C)=cos-COSA

即2COS2A-1=-cosA,

解得cosA=」或cosA二一1.

2

因為在△ABC中，0<人<兀，

所以

3

(2)在AABC中，由余弦定理片=〃+，—2ACOSA,

LL1

得6?=/?2+(2A/3)2-4A/3Z?X-,

整理得2回-24=0,

由b>0,解得b—46)

所以△ABC的面積為S“BC=-bcsinA=lx4/義x1=66.

222

16.答案：(1)證明見解析

⑵半

解析：(1)證明：因為四邊形3瓦GC是菱形，所以用c,BC],

又因為49,平面BBCC，且用Cu平面所以AO,51c.

XAOHBCj=(9,AO,BC]U平面ABC一

所以與C,平面ABC1.

⑵方法1,由3月=2,四邊形為菱形，ZB,BC=60°,

則八BB&是邊長為2的等邊三角形

所以=O5=BCsin60°=2><￥=^,。耳=。。=1,OA=OB=g

因為49,平面35CC,OB±OB,,則以點。為坐標(biāo)原點,

OB,0B],Q4所在直線分別為x,y,z,軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則網(wǎng)后0,0),Q(-73,0,0),4(0,1,0),A(0,0,@,c(o,-i,o)

則通=(60,-⑹，BC=(-A/3,-1,0)

設(shè)平面ABC的一個法向量為力=(x,y,z),

n-AB=y/3x—y/3z=0

必一r'

n-BC?=-V3x-y=0

取％=1,則＞=一百，z=l,故萬=(1,一6,1),

易知平面ABC1的一個法向量為陽=(0,1,0),

則平面A5G與平面A5c夾角。的余弦值

c°s『°s仇砌=|篇H福|=W，

故平面ABC,與平面ABC夾角的余弦值為g；

方法2,由55]=2,四邊形為菱形，ZB,BC=60°,

則△530是邊長為2的等邊三角形，

所以O(shè)G=05=BCsin60°=2x^=6,

=OC=1,OA=OB=6

所以河:攻加+面=屈.

取AB中點。，連接0。，CD

在等腰直角△493中，OD±AB^.OD=-AB^—

22

由勾股定理得4。=河2+。。2=2.

因為5C=2=AC,則CDLAB,

CD=J"—BD?=卜—U=羋.

注意到ODLAB,CDLAB,平面口平面ABC=AB，

所以平面ABC,與平面ABC的夾角即為ZODC.

在△ODC中，OC=1,OD=直,CD=M

22

則ocam=cz)2,

即OCLOD^cosZODC=—=巫，

CD5

故平面ABC)與平面ABC夾角的余弦值為手.

17.答案：(1)答案見解析

⑵a=l

解析：⑴函數(shù)〃龍)的定義域為(o,+8),r(x)=i--=—

JCX

當(dāng)aWO時，1f(x)>0恒成立,/(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

當(dāng)a>0時，由/'(尤)<0,得xe(O,a),

由/'(x)>0,得xe(a,+co),

則函數(shù)/(%)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增

綜上，當(dāng)aWO時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，/(%)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增

⑵由⑴知，當(dāng)aWO時，〃尤)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

由/(1)=0,知當(dāng)時，/(x)<0,不符合題意；

當(dāng)a>0時，函數(shù)/(X)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

故/(x)min=/(a)=aT—am。，

由/(x)20恒成立，得a—1—alnaNO恒成立，

令g(a)=a-l-alna(a>0),求導(dǎo)得g'(a)=—Ina,

當(dāng)0<a<l時，g'(a)>0,當(dāng)a>l時，g'(a)<0，

于是函數(shù)g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(a)?x二8⑴二。，

故且(〃)=〃-1-〃山〃<。恒成立'

因止匕g(Q)=O=g(l),所以Q=1.

22

18.答案：⑴工+匕=1

84

(2)(i)x-V2y-2=0^x+V2y-2=0

(ii)3#

c=2

解析：(1)根據(jù)題意有<2a+2c=4+4夜,

b2=a2-c2

解得片=8,b2=4

22

所以橢圓。的方程為三+乙=1.

84

(2)①若直線/的斜率不存在，其垂直平分線與x軸重合，不符合題意;

不妨設(shè)直線I的方程為y=k(x-2)

AB的中點為N,

設(shè)B(x2,y2),N(x0,y0)

"v—kx—Dk

/與橢圓方程聯(lián)立有y「1K,

整理得（1+2左2）尤2—8左2%+8左2—8=0,

8左2

直線過橢圓焦點，必有A>0,則

842—8

9=幣記

2k

1+2左2

即」Y?左4k2

6k2—1

%-5

解得』￥，

J?

即y=±《-(%-2),

整理得直線/的方程為x—=0或x+0y_2=O.

(ii)由弦長公式可知

,1

2]-----

=4女*1±工=4行、」=3后,

5分1+2/1+1

由直線的對稱性，知點。到兩條直線/的距離相同,

即d=—=2^/3,

百

所以△ABQ的面積為:d=g義2百義3夜