安徽省阜陽市部分學校 2025屆高三1月大聯(lián)考（新課標卷）數(shù)學試題（原卷版+解析版）

絕密★啟用前2025屆高三1月大聯(lián)考（新課標卷）數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，且，則（）A.0 B.1 C. D.32.已知向量，，若，則（）A B.4 C.1 D.3.已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C.2 D.14.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖，圓錐的底面半徑為，高為，且該圓錐內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為1，則（）A. B. C. D.6.已知，則（）A. B. C. D.7.已知拋物線：的焦點為，直線過點且與拋物線交于，兩點，點在第一象限，點為軸上一點（，，三點不共線），滿足的面積是面積的2倍，則直線的斜率為（）A.1 B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域為，且，，，，則（）A.2 B. C.1 D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.的虛部為CD.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限10.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.在上單調(diào)遞減C.若在上有且僅有2個零點，則實數(shù)取值范圍是D.若在上的最大值為，則實數(shù)的最大值為11.如圖①，密閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)裝有一定體積的水，容器的底面半徑，為容器下底面的直徑．如圖②，將該容器繞點傾斜后，當且傾斜過程中水面只與容器側(cè)面接觸，不與容器底面接觸時，水面與容器側(cè)面相交線上的點到容器下底面距離的最大值與最小值分別為，；當時，水的最大深度為，則下列說法正確的是（）A.若水面形狀為橢圓，則該橢圓的短軸長為2B.若水面形狀為橢圓，則該橢圓離心率為C.若容器的高為4，，則D.若容器的高為4，，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將某大型出版公司所有打字員每分鐘的平均打字數(shù)統(tǒng)計如圖所示，則可以估計該公司打字員每分鐘的平均打字數(shù)的中位數(shù)為______．13.將3種不同的蔬菜隨機地種植到4塊不同的實驗田中去，每種蔬菜都要種植且只能種植到一塊實驗田中，每塊實驗田可以種植多種蔬菜．設(shè)每塊實驗田中種植的蔬菜種數(shù)的最大值為，則______．14.已知雙曲線：左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點（點在第一象限），且是腰長為8的等腰三角形，則雙曲線的離心率為______；若直線的斜率大于零，且圓為的內(nèi)切圓，則圓的半徑為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且．（1）求證：；（2）從下面3個條件中選擇一個作為已知，使得存在，并求的周長．①，；②，；③，．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分，如果選擇多個符合要求的條件作答，按第一個解答計分．16.在長方體中，，為的中點，平面，且．（1）求的值；（2）求點到平面的距離．17.已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點（均異于點），且直線與的斜率之和為0．證明：直線的斜率為定值，并求出該定值．18.已知函數(shù)．（1）若為函數(shù)的極值點，求的值；（2）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；（3）若有兩個極值點，，且，求的取值范圍．19.設(shè)和是整數(shù)數(shù)列，如果且，都有，我們就稱數(shù)列和為強相關(guān)的．（1）若數(shù)列和為強相關(guān)的，且，都有，且，求數(shù)列的通項公式．（2）若數(shù)列和為強相關(guān)的，證明：．（3）若數(shù)列和為強相關(guān)的，判斷命題“，使得對于某個，從中任取一個數(shù)，這個數(shù)是的概率大于49%”是否為真．若為真，說明理由；若不為真，請給出反例．

絕密★啟用前2025屆高三1月大聯(lián)考（新課標卷）數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，且，則（）A.0 B.1 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)子集的定義判斷即可.【詳解】因為集合，，且，所以當時，，此時，符合題意；當時，，此時不是的子集，不符合題意；當時，，此時不是的子集，不符合題意，故選：A.2.已知向量，，若，則（）A. B.4 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加法的坐標運算求出，再根據(jù)向量平行的坐標運算求解即可.【詳解】因為向量，，所以，又因為，所以，即，故選：B.3.已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，通過賦值即可求解；【詳解】由，求導(dǎo)可得：，令，可得，所以，故選：A4.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式和特值法，結(jié)合充分條件與必要條件的定義可得答案.【詳解】若，取，則，故充分性不成立，若，則，故必要性成立，∴若，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.如圖，圓錐的底面半徑為，高為，且該圓錐內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為1，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出軸截面，根據(jù)列方程求解即可.【詳解】畫出圓錐的軸截面如圖設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為，則，，所以，又，即，解得，故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進行化簡，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】因為，所以，兩邊平方得，即，即，即，故，故選：D.7.已知拋物線：的焦點為，直線過點且與拋物線交于，兩點，點在第一象限，點為軸上一點（，，三點不共線），滿足的面積是面積的2倍，則直線的斜率為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，因為的面積是面積的2倍，得，進而得到答案.【詳解】由題意知，點，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，所以，因為點為軸上一點，的面積是面積的2倍，所以，又因為三點共線，所以，即，即，所以，即，所以，故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為，且，，，，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先求出的周期為和函數(shù)關(guān)于對稱，進而求出的值，即可求出答案.【詳解】由可得：，所以函數(shù)的周期為，由可得函數(shù)關(guān)于對稱，所以，又，，所以，又，，，，所以故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.的虛部為C.D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，以及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項判斷即可.【詳解】由，得，對于A，，故A正確；對于B，的虛部為3，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限，故D正確.故選：AD．10.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.在上單調(diào)遞減C.若在上有且僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是D.若在上的最大值為，則實數(shù)的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】由三角函數(shù)的平移變化求出，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)，故A正確；對于B，，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，令，可得，解得：，當時，當時，當時，故若上有且僅有2個零點，所以，即實數(shù)的取值范圍是，故C正確；對于D，，令，則或，解得：或，故若在上的最大值為，則實數(shù)的最大值為，故D錯誤.故選：ABC.11.如圖①，密閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)裝有一定體積的水，容器的底面半徑，為容器下底面的直徑．如圖②，將該容器繞點傾斜后，當且傾斜過程中水面只與容器側(cè)面接觸，不與容器底面接觸時，水面與容器側(cè)面相交線上的點到容器下底面距離的最大值與最小值分別為，；當時，水的最大深度為，則下列說法正確的是（）A.若水面形狀為橢圓，則該橢圓的短軸長為2B.若水面形狀為橢圓，則該橢圓的離心率為C.若容器的高為4，，則D.若容器的高為4，，則【答案】BD【解析】【分析】當水面形狀為橢圓，根據(jù)圓柱底面半徑和傾斜角的幾何關(guān)系，得出短半軸長，長半軸長，進而可判斷A，B；時，水的體積，當時，根據(jù)水的體積不變列方程，代入容器的高和解方程可判斷C，D.【詳解】對于A，當容器傾斜時，水面形成一個橢圓．橢圓的短軸長等于圓柱底面的直徑，即．因此，該橢圓的短軸長為4，而不是．故A是錯誤的．對于B，當容器傾斜時，短半軸長，長半軸長，所以，故B正確；對于C，當時，水的體積，當時，水的體積保持不變，此時水的體積可以看作是一個底面為弓形的柱體，設(shè)容器高為，根據(jù)水的體積不變可得：，(該式是根據(jù)水的體積的兩種表示方法列出的，左邊是豎直放置時水的體積，右邊是傾斜放置時水的體積，由一個矩形和一個半圓柱組成)，若容器的高為4，，，代入上式可得：，設(shè)，則，此方程無解，故C錯誤.對于D，若容器的高為4，，，代入上式可得：，設(shè)，則，解方程可得：，所以，故D正確；故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題CD選項的關(guān)鍵點在于根據(jù)水的體積的兩種表示方法列出，左邊是豎直放置時水的體積，右邊是傾斜放置時水的體積，由一個矩形和一個半圓柱組成.最后代入數(shù)據(jù)解方程即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將某大型出版公司所有打字員每分鐘的平均打字數(shù)統(tǒng)計如圖所示，則可以估計該公司打字員每分鐘的平均打字數(shù)的中位數(shù)為______．【答案】360【解析】【分析】由中位數(shù)的概念結(jié)合面積即可求解；【詳解】第一個矩形面積為，第二個矩形面積為：，前兩個個面積和為：，第三個矩形面積為：，所以中位數(shù)為：，故答案為：36013.將3種不同的蔬菜隨機地種植到4塊不同的實驗田中去，每種蔬菜都要種植且只能種植到一塊實驗田中，每塊實驗田可以種植多種蔬菜．設(shè)每塊實驗田中種植的蔬菜種數(shù)的最大值為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，的可能取值為1，2，3，分別求出，再由這些概率利用期望計算公式求得.【詳解】由題意可知，3種不同的蔬菜種植在4塊不同的實驗田有三種不同的情況：情況一：1塊種3種蔬菜，其余3塊都種0種蔬菜；情況二：1塊種2種蔬菜，1塊種1種蔬菜，其余2塊都種0種蔬菜；情況三：其中3塊各種1種蔬菜，剩下1塊種0種蔬菜.故的可能取值為1，2，3，,,

,所以.故答案為：.14.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點（點在第一象限），且是腰長為8的等腰三角形，則雙曲線的離心率為______；若直線的斜率大于零，且圓為的內(nèi)切圓，則圓的半徑為______．【答案】①.2②.##【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及雙曲線的定義求出的值，再結(jié)合雙曲線中的關(guān)系求出，從而可求出雙曲線的離心率；對于求內(nèi)切圓的半徑，先求出直線的斜率，則可求出直線的方程，代入雙曲線方程可求出點的坐標，從而可求出，然后利用三角形面積與周長關(guān)系求解即可.【詳解】由，得，則，因為過的直線與雙曲線的右支交于，兩點（點在第一象限），且是腰長為8的等腰三角形，所以或，所以，得，所以，得，解得，所以離心率為，因為直線的斜率大于零，是腰長為8的等腰三角形，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以直線的斜率為，因為，所以直線為，由，得，解得或，因為直線的斜率大于零，點在第一象限，所以，，所以，所以，因為，所以，設(shè)圓的半徑為，則，所以，解得.故答案為：2，【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線的離心率問題，考查雙曲線的焦點三角形問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義在等腰中求出直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且．（1）求證：；（2）從下面3個條件中選擇一個作為已知，使得存在，并求的周長．①，；②，；③，．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分，如果選擇多個符合要求的條件作答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析（2）選擇條件①不合題意；選擇條件②周長為，選擇條件③，周長為【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，通過已知條件進行三角函數(shù)的恒等變換即可證明.（2）根據(jù)不同條件，選擇條件①結(jié)合正弦定理與余弦定理，以及題干得到不合題意；選擇條件②和條件③，根據(jù)正弦定理通過建立方程求解三角形的三邊，進而得到周長.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理(R為三角形外接圓半徑)，已知，則，因為,所以或,因為，所以，故,若，則，由正弦定理得，又，故，，即若，則,與已知矛盾舍去.結(jié)論得證.【小問2詳解】選擇條件①：，，由，得，但，所以該條件不符合要求,不選條件①.選擇條件②：，，由，得，由余弦定理，將代入得，整理得：，解得：或，當時，，此時不合題意舍去.當時，，此時周長為，選擇條件③：，，由正弦定理(R三角形外接圓半徑)，得，把代入得，由及余弦定理得，整理得，將，代入整理得，令，即，解得或，又，所以或，當時，，，此時,不合題意舍去，當時，，，三角形周長為16.在長方體中，，為的中點，平面，且．（1）求的值；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)得，，可得四邊形為平行四邊形，即可利用向量的線性運算求解，或者建立空間直角坐標系，寫出與的坐標，根據(jù)坐標運算求解，或者利用面面平行的性質(zhì)得為平行四邊形，為平行四邊形，根據(jù)線段長度關(guān)系求解，（2）建系，求解平面的法向量，利用點面距離的公式求解，或者將求點到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離，利用錐體的體積公式，結(jié)合等體積法求解【小問1詳解】連接．由平面平面，且平面平面，平面平面，所以．解法一：連接，．同理可得，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，即．解法二：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)，則，，，由，得，即，則，又，所以．解法三：連接，．由平面平面，且平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，所以．連接，因為，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，又為的中點，所以，所以．【小問2詳解】由（1）中解法二的空間直角坐標系可得，，，所以，，設(shè)為平面的法向量，則即令，得為平面的一個法向量．又，所以點到平面的距離．解法二：由（1）知，，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離即為點到平面的距離．在Rt中，，，所以，在Rt中，，設(shè)點到平面的距離為，由得，所以，所以點到平面距離為．17.已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點（均異于點），且直線與的斜率之和為0．證明：直線的斜率為定值，并求出該定值．【答案】（1）（2）證明過程見解析，定值為.【解析】【分析】（1）建立方程組，求解未知數(shù)；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，化簡即可.【小問1詳解】由題意可知，，解得，則橢圓的方程為.【小問2詳解】當直線斜率不存在時，直線與的斜率之和不會為0．設(shè)點，直線，由消去并整理，得，則，則則，整理，得，因直線不過點，則，所以.故直線的斜率為定值，定值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題為圓錐曲線中直線過定點問題，本題的關(guān)鍵在于此二元二次方程的化簡問題，該題中求解斜率為定值，故其中為常數(shù)必為此二元二次方程的因式，而另一個因式必為題中增根，即.18.已知函數(shù)．（1）若為函數(shù)的極值點，求的值；（2）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；（3）若有兩個極值點，，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由為函數(shù)的極值點，得，從而求出的值；（2）由在定義域上不單調(diào)，可得在上有解，從而求出的取值范圍；（3）由（2）知，當，有兩個極值點，且，將化簡為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出取值范圍.【小問1詳解】由題意得，因為為函數(shù)的極值點，所以，解得，經(jīng)檢驗，當時，為函數(shù)的極值點，所以.【小問2詳解】因為的定義域為，，要使在定義域上不單調(diào)，則在上有解，即在上有解，由得，當且僅當時取等號，當時，，在上單調(diào)，不符合題意，所以的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）知，當，有兩個極值點，由，則，，所以，因為，所以設(shè)則，又當時，，且，則，故，則在上單調(diào)遞減，則，即的取值范圍為.19.