高中數(shù)學(xué)求異面直線所成的角學(xué)法指導(dǎo)

求異面直線所成的角求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，這是高二數(shù)學(xué)人教版（A）版本倡導(dǎo)的傳統(tǒng)的方法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余弦定理來(lái)求。還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解，這是高二數(shù)學(xué)人教版（B）倡導(dǎo)的方法，下面舉例說(shuō)明兩種方法的應(yīng)用。例：長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。解法1：平移法設(shè)A1C1與B1D1交于O，取B1B中點(diǎn)E，連接OE，因?yàn)镺E//D1B，所以∠C1OE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角△C1OE中所以異面直線所成的角為圖1解法2：補(bǔ)形法在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，，所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖2解法3：利用公式設(shè)OA是平面α的一條斜線，OB是OA在α內(nèi)的射影，OC是平面α內(nèi)過(guò)O的任意一條直線，設(shè)OA與OC、OA與OB、OB與OC所成的角分別是、1、2，則（注：在上述題設(shè)條件中，把平面α內(nèi)的OC換成平面α內(nèi)不經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的任意一條直線，則上述結(jié)論同樣成立）D1B在平面ABCD內(nèi)射影是BD，AC看作是底面ABCD內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的一條直線，BD與AC所成的角為∠AOD，D1B與BD所成角為∠D1BD，設(shè)D1B與AC所成角為，，。所以所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖3解法4：向量幾何法：設(shè)為空間一組基向量所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖4解法5：向量代數(shù)法：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC、DA、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖5解法6：利用公式定理：四面體A—BCD兩相對(duì)棱AC、BD間的夾角必滿足圖6解：連結(jié)BC1、A1B在四面