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文檔簡介
2025年河北省唐山市開灤二中高三下學期階段性考試數學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在中,,是上的一點,若,則實數的值為()A. B. C. D.2.設為非零向量,則“”是“與共線”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知集合,,則()A. B.C. D.4.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.6.若各項均為正數的等比數列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.47.已知復數,滿足,則()A.1 B. C. D.58.已知,則“直線與直線垂直”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知全集,則集合的子集個數為()A. B. C. D.10.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.511.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉識別,數據分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究,且每個方向均有研究生學習,其中劉澤同學學習人臉識別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種12.已知函數f(x)=,若關于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數根,則實數k的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一個正四棱錐的側棱與底面所成的角為,側面積為,則該棱錐的體積為__________.14.已知雙曲線(,)的左,右焦點分別為,,過點的直線與雙曲線的左,右兩支分別交于,兩點,若,,則雙曲線的離心率為__________.15.如圖在三棱柱中,,,,點為線段上一動點,則的最小值為________.16.展開式中,含項的系數為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)證明:當時,;(2)若函數只有一個零點,求正實數的值.18.(12分)在直角坐標系中,曲線上的任意一點到直線的距離比點到點的距離小1.(1)求動點的軌跡的方程;(2)若點是圓上一動點,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,求直線斜率的取值范圍.19.(12分)改革開放40年,我國經濟取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識,某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各50人,進行問卷測評,所得分數的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強.安全意識強安全意識不強合計男性女性合計(Ⅰ)求的值,并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯表,并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人,求抽到的女性人數的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82820.(12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大??;(Ⅱ)若,求面積的最大值.21.(12分)已知點P在拋物線上,且點P的橫坐標為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點),與拋物線C的準線交于M,N兩點,且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準線與y軸的交點為H.過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.22.(10分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動,規(guī)定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數越來越多,該商店經理對春節(jié)前天參加抽獎活動的人數進行統(tǒng)計,表示第天參加抽獎活動的人數,得到統(tǒng)計表格如下:123456758810141517(1)經過進一步統(tǒng)計分析,發(fā)現與具有線性相關關系.請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;(2)該商店規(guī)定:若抽中“一等獎”,可領取600元購物券;抽中“二等獎”可領取300元購物券;抽中“謝謝惠顧”,則沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為,獲得“二等獎”的概率為.現有張、王兩位先生參與了本次活動,且他們是否中獎相互獨立,求此二人所獲購物券總金額的分布列及數學期望.參考公式:,,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
變形為,由得,轉化在中,利用三點共線可得.【詳解】解:依題:,又三點共線,,解得.故選:.本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數.思路是(1)先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值.(2)直線的向量式參數方程:三點共線?(為平面內任一點,)2.A【解析】
根據向量共線的性質依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若,則與共線,且方向相同,充分性;當與共線,方向相反時,,故不必要.故選:.本題考查了向量共線,充分不必要條件,意在考查學生的推斷能力.3.C【解析】
求出集合,計算出和,即可得出結論.【詳解】,,,.故選:C.本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎題.4.D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因為x,,當時,不妨取,,故時,不成立,當時,不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.5.C【解析】
可根據題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達,利用向量數量積的性質,化簡為三角函數最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C本題主要考查根據已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.6.C【解析】
由正項等比數列滿足,即,又,即,運算即可得解.【詳解】解:因為,所以,又,所以,又,解得.故選:C.本題考查了等比數列基本量的求法,屬基礎題.7.A【解析】
首先根據復數代數形式的除法運算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A本題考查了復數求模問題,考查復數的除法運算,屬于基礎題.8.B【解析】
由兩直線垂直求得則或,再根據充要條件的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,“直線與直線垂直”則,解得或,所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件,故選B.本題主要考查了兩直線的位置關系,及必要不充分條件的判定,其中解答中利用兩直線的位置關系求得的值,同時熟記充要條件的判定方法是解答的關鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎題.9.C【解析】
先求B.再求,求得則子集個數可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數為故選C此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數,熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵,是基礎題10.B【解析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉化為a,b,c的關系式.11.B【解析】
將人臉識別方向的人數分成:有人、有人兩種情況進行分類討論,結合捆綁計算出不同的分配方法數.【詳解】當人臉識別方向有2人時,有種,當人臉識別方向有1人時,有種,∴共有360種.故選:B本小題主要考查簡單排列組合問題,考查分類討論的數學思想方法,屬于基礎題.12.D【解析】
由已知可將問題轉化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點,作出圖象,由圖可得:點(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時,k=;結合圖象即可得解.【詳解】若關于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點.作出函數y=f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當直線y=kx-和y=lnx相切時,設切點橫坐標為m,則k==,∴m=.此時,k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個交點,不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..本題主要考查了函數與方程思想及轉化能力,還考查了導數的幾何意義及計算能力、觀察能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,根據正四棱錐的側面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,,,,,,.故答案為:.本題考查棱錐的側面積和體積,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查運算求解能力.14.【解析】
設,由雙曲線的定義得出:,由得為等腰三角形,設,根據,可求出,得出,再結合焦點三角形,利用余弦定理:求出和的關系,即可得出離心率.【詳解】解:設,由雙曲線的定義得出:,,由圖可知:,又,即,則,為等腰三角形,,設,,則,,即,解得:,則,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案為:.本題考查雙曲線的定義的應用,以及余弦定理的應用,求雙曲線離心率.15.【解析】
把繞著進行旋轉,當四點共面時,運用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉至與面在一個平面,展開圖如圖所示,若,,三點共線時最小為,為直角三角形,故答案為:本題考查了空間幾何體的翻折,平面內兩點之間線段最短,解直角三角形進行求解,考查了空間想象能力和計算能力,屬于中檔題.16.2【解析】
變換得到,展開式的通項為,計算得到答案.【詳解】,的展開式的通項為:.含項的系數為:.故答案為:.本題考查了二項式定理的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)把轉化成,令,由題意得,即證明恒成立,通過導數求證即可(2)直接求導可得,,令,得或,故根據0與的大小關系來進行分類討論即可【詳解】證明:(1)令,則.分析知,函數的增區(qū)間為,減區(qū)間為.所以當時,.所以,即,所以.所以當時,.解:(2)因為,所以.討論:①當時,,此時函數在區(qū)間上單調遞減.又,故此時函數僅有一個零點為0;②當時,令,得,故函數的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極大值,所以極小值.當時,有.又,此時,故當時,函數還有一個零點,不符合題意;③當時,令得,故函數的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極小值,所以極大值.若,則,得,所以,所以當且時,,故此時函數還有一個零點,不符合題意.綜上,所求實數的值為.本題考查不等式的恒成立問題和函數的零點問題,本題的難點在于把導數化成因式分解的形式,如,進而分類討論,本題屬于難題18.(1);(2)【解析】
(1)設,根據題意可得點的軌跡方程滿足的等式,化簡即可求得動點的軌跡的方程;(2)設出切線的斜率分別為,切點,,點,則可得過點的拋物線的切線方程為,聯立拋物線方程并化簡,由相切時可得兩條切線斜率關系;由拋物線方程求得導函數,并由導數的幾何意義并代入拋物線方程表示出,可求得,結合點滿足的方程可得的取值范圍,即可求得的范圍.【詳解】(1)設點,∵點到直線的距離等于,∴,化簡得,∴動點的軌跡的方程為.(2)由題意可知,的斜率都存在,分別設為,切點,,設點,過點的拋物線的切線方程為,聯立,化簡可得,∴,即,∴,.由,求得導函數,∴,,,∴,因為點滿足,由圓的性質可得,∴,即直線斜率的取值范圍為.本題考查了動點軌跡方程的求法,直線與拋物線相切的性質及應用,導函數的幾何意義及應用,點和圓位置關系求參數的取值范圍,屬于中檔題.19.(Ⅰ).0.2(Ⅱ)見解析,有的把握認為交通安全意識與性別有關(Ⅲ)見解析,【解析】
(Ⅰ)直接根據頻率和為1計算得到答案.(Ⅱ)完善列聯表,計算,對比臨界值表得到答案.(Ⅲ)的取值為,計算概率得到分布列,計算數學期望得到答案.【詳解】(Ⅰ),解得.所以該城市駕駛員交通安全意識強的概率.(Ⅱ)安全意識強安全意識不強合計男性163450女性44650合計2080100,所以有的把握認為交通安全意識與性別有關(Ⅲ)的取值為所以的分布列為期望.本題考查了獨立性檢驗,分布列,數學期望,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20.(1)(2)【解析】
分析:(1)利用正弦定理以及誘導公式與和角公式,結合特殊角的三角函數值,求得角C;(2)運用向量的平方就是向量模的平方,以及向量數量積的定義,結合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的面積公式計算即可得到所求的值.詳解:(1)∵,,(Ⅱ)取中點,則,在中,,(注:也可將兩邊平方)即,,所以,當且僅當時取等號.此時,其最大值為.點睛:該題考
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