湖南省永州市永華高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省永州市永華高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，則A∩?UBA.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}2.二項展開式x+1A.3 B.4 C.5 D.63.設(shè)甲：sinα+cosβ=0，乙：sinA.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件4.復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R且a,b≠0.若|1z?1|=2，則(

)的值與aA.z+13 B.z+12 C.5.設(shè)A，B為雙曲線x2?y29=1A.1,1 B.?1,2 C.1,4 D.?1,?36.若函數(shù)f(x)=alnx+bxA.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 7.雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.過A.2 B.2 C.3 8.已知數(shù)列an的各項均為實數(shù)，Sn為其前n項和，若對任意k>2022，都有Sk>A.a1,a3,a5,?,a2n?1為等差數(shù)列，a2,a4,a6,?,a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點C在底面圓周上，且二面角P?AC?O為45°，則(

A.該圓錐的體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為43π

C.AC=2210.在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，給出下列命題，其中正確的命題為(

)．A.若A>B>C，則sinA>sinB>sinC；

B.若a=40，b=20，B=25°，則滿足條件的?ABC有兩個；

C.若0<tanAtanB<1，則?ABC是銳角三角形；11.設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=x+2,x<?a,a2A.f(x)在區(qū)間(a?1,+∞)上單調(diào)遞減；

B.當(dāng)a≥1時，f(x)存在最大值；

C.設(shè)Mx1,fx1x1≤a,Nx2,fx2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA?bsinB=4csinC，cosA=?14，則bc13.在三棱錐P?ABC中，線段PC上的點M滿足PM=13PC，線段PB上的點N滿足PN=23PB，則三棱錐P?AMN和三棱錐14.已知等差數(shù)列an的公差為2π3，集合S=cosann∈N?，若四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2?3n+k(k∈R)．

(1)求實數(shù)k的值和an;

(2)設(shè)16.(本小題15分)2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件B為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求P(B)和P(B|A)，并判斷事件A和事件B是否獨立；(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望．17.(本小題15分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90

(1)求AC的長；(2)已知AA1與BB1的距離為2，求A18.(本小題17分)

已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?12.記M的軌跡為曲線C．

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G．

(i)證明：△PQG是直角三角形；

(ii)求19.(本小題17分)已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在x=2(2)當(dāng)x>0時，證明：fx(3)證明：56<ln參考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.A

7.C

8.C

9.ACD

10.AB

11.BC

12.6

13.2914.?115.解：(1)因為a1=S1=k?1，當(dāng)n≥2時，an=Sn?Sn?1=4n?5，

因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以k?1=?1，即k=016.解：(1)若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個，米色內(nèi)飾2個，則對應(yīng)的概率P(A)=12+2若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12個，藍(lán)色外觀8個，

則對應(yīng)的概率PB取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有12個，即P(AB)=12則P(B|A)=P(AB)∵P(A)P(B)=1425×即事件A和事件B不獨立．

(2)由題意知X=600，300，150，則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率為

P=C外觀和內(nèi)飾都異色的概率P=C僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率P=1?49∵1∴P(X=150)=12，P(X=300)=98則X的分布列為：X150300600P14913則E(X)=150×12+300×

17.(1)如圖，∵A1C⊥底面ABC，BC?

∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC?∴BC⊥平面ACC1A1，又∴平面ACC1過A1作A1O⊥CC1交CC1于O，又平面AC∴A1∵A1到平面BCC1B在Rt?A1CC1設(shè)CO=x，則C1∵?A1OC，△A1CO2+A1∴1+x2+1+2?x2(2)∵AC=A1C1，∴Rt?ACB≌Rt?A1CB∴BA=BA1，過B作BD⊥AA1，交A

由直線AA1與BB1∵A1D=1，BD=2，∴A1延長AC，使AC=CM，連接C1由CM//A1C1，∴C1M//A1C，∴C1則在Rt?AC1M中，AM=2AC，C在Rt?AB1C1中，∴AB1=22所以AB1與平面BCC

18.解：(1)由題意得yx+2·yx?2=?12，

整理得曲線C的方程：x24+y22=1(y≠0)，

∴曲線C是焦點在x軸上不含長軸端點的橢圓；

(2)

(i)設(shè)P(x0,y0)，則Q(?x0,?y0)，

E(x0,0)，G(xG,yG)，

∴直線QE的方程為：y=y02x0(x?x0)，

與x24+y22=1聯(lián)立消去y，

得(2x02+y02)x2?2x0y02x+x02y02?8x02=0，

∴?x0xG=19.解：(1)f(x)=ln(x+1)x所以f′(2)=13?ln3(2)要證x>0時fx=1令g(x)=lnx+1?2xx+2所以g(x)在(0,+∞)上遞增，g(x)>g(0)=0，即lnx+1所以x>0時fx(3)設(shè)?(n)=lnn!?則?(n+1)??(n)=1+(n+1由(2)知：x=1n∈(0,1]所以?(n+1)??(n)<0，故?(n)在n∈N?上遞減，故下證ln(n!)?(n+令φ(x)=lnx?(x+5)(x?1)4x+2且當(dāng)0<x<1時φ′