高中數(shù)學(xué)空間角與距離的向量解法

空間角與距離的向量解法

一、利用空間向量求角

1、求線線角

（如圖1）,設(shè)異面直線AB、CD所成的角為

0,則有cos。=|cos<AB,CD>|

圖1

2、求線面角

（如圖2）,設(shè)直線AB與平面a所成的角為CD

是a的法向量，

則有sin6=|cos<AB,CD>|

3、求二面角

(1)(如圖3),設(shè)二面角a—。一萬為。，4?、

CD分別是a、夕的法向量，則有

cos^=-|cos<AB,CD>|

cosQ=|cos<AB,DC>|

cos6--\cos<BA,DC>|

cos0-|cos<BA,CD>|

(2)(如圖4),設(shè)二面角a—a—月為

(9,AB_La,CD_La,則有。=〈版,CD>

例1、如圖5,在棱長(zhǎng)為a的正方體A8C￡>—AIBIG。中，

E、尸分別是棱BC、C￡）上的點(diǎn)，且BE=CF.求異面直線

Bi尸與dE所成的角;

解：以A為原點(diǎn)，分別以欣、而'、耳為x軸、y軸、Z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6

設(shè)BE=x,則有設(shè)(a,0,a),9(0,a,a),

E(a,xy0),F(a—x,a、0)

:.B、F=(-x,a,-a),D}E=(a,x—a,—d)

B[F?￡),E=-ax+a(x-a)+(-a)(-a)=0

因此，ByFLDyE.即S尸與AE所成的角為90°

說明：

本題也可利用線面垂直來證明B^FVDxE,也可通過平移直接求

異面直線8砂與AE所成的角，如圖7,連接BF、AE、AQ、AD1.

在正方形ABCD中，由BE=CF可證得BFLAE,又BF為BF在底

面ABCD上的射影，.?.BiF_LAE,又???BF在面AiADDi上的射影

為AQ,而AiDlADi,BiFlADi,又ADcAE=A,

面AEDi,而DiEq面AEDi；.B\FLD\Ea

顯然，利用此法比利用向量解要復(fù)雜的多，本題充分體現(xiàn)了利用向量法解決立體

幾何問題的優(yōu)越性。

例2、如圖8,四棱錐P-ABCD中，PDL底面ABCD,

底面ABCD是直角梯形，ZBAD=NADC=90°,

AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中點(diǎn)，以DA、

X

圖8

DC、DP分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系。

(1)若點(diǎn)Fe平面ABCD,且FE上面PBC,,求F點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求直線AB與平面PBC所成的角。

解：依題意,知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2)

???Fe平面ABCD,故可設(shè)F(x,y,0)

又E(1,1,1),.?.醞=(x-1,y-1,-1)

?/FEJ_面PBC,EF±PB,EF1PC

又麗=(2,2,-2),正=(0,4,-2)

工曰f2(x-l)+2(y-l)+(-2)x(-l)=0

于是《

[0x(x-1)+4(y-1)+(-2)x(-1)=0

1

X=211

解得。，故F(7，三,0)

122

(2)由(1)知，EF為平面PBC的法向量,

EF=(——,——,—1),又AB=(0,2,0),

22

EF?AB

cos〈EF,AB)

|EF|*|AB|

+2+(-l)2*702+22+02

77”?---->

設(shè)AB與平面PBC所成的角為氏則有。=--(FE,AB),

/.sin8:cos(FE,AB)=-^~

76

即AB與平面PBC所成的角為arcsin—.

6

說明：

本例中，按常規(guī)方法。求AB與平面PBC所成的角，需找AB在平面PBC內(nèi)的射影，而

過A點(diǎn)作平面PBC的垂線，垂足的位置不易找到，利用向量來解，巧妙地繞過了這一難點(diǎn)，

問題迎刃而解。

例3、如圖9,正三棱錐ABC—AIBIG的所有

棱長(zhǎng)均為2,P是側(cè)棱AAi上一點(diǎn)。

(1)當(dāng)BG_LBF時(shí)，求線段AP的長(zhǎng)；

(2)在(1)的條件下,求二面角C—BF—Ci

的大小。

解(1)以A為原點(diǎn)，以AB為y軸,AAi為z

軸，過A且與平面ABB.Ai垂直的直線為x軸建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AP=m,則有

B(0,2,0),C(-V3,l,0),Ci(一石,1,2),B](0,2,2),P(0,0,m),

BCt=(-V3,-l,2),BtP=(0,-2,m-2)

VBCilBiP,/.屬?“=0

-V3x0+(-2)x(-l)+2x(/n-2)=0,

解得m=1,即線段AP的長(zhǎng)為U

(2)\?側(cè)面BCCBi為正方形,/.BCilBiC

又BC」BF,BiPABQBI

BCiJL平面BiPC,

ABG為平面BiPC的法向量，

且屆=(-V3-1.2),

???平面的法向量不唯一,

故不妨設(shè)平面BFG的法向量為。=(x,y,1)

則4±B、P,a_LB￡

又男尸=(0,-2-1),BlCl=(->/3,-1,0)

0xx+(-2)xy+(-1)xl=0

(-V3)xx+(-l)xy+0xl=0

1

解得r-

V3

X=——

6

即平面BiPCi的法向量為(-^，-不。)。

62

cos(a,BQ)=-BG

巧1

x—+(-1)x(-5)+2x1癡

V3+1+4*J—+-+1-

V364

二面角C|一BiP―C有大小為arccos。

2

說明：

①第二問可直接作出二面角的平面角；設(shè)BC與BG的交點(diǎn)為O,則CQL面

BiPC;過Ci作BF的垂線，垂足為E,連OE,則NOEG即為二面角的平面角。

②若"=(x,y,z)是平面。的法向量，如果無其它條件限制，"有無數(shù)個(gè)，而々與a內(nèi)

兩相交直線垂直，故只能列出關(guān)于x、y、z的兩個(gè)方程，因此只能求出其中的兩個(gè)，為方便,

我們這里設(shè)法向量Z=(X,y,1),當(dāng)然也可以設(shè)法向量一

出八H

為。=(x,2,z)、a=(0,y,z)

二、利用空間向量求距離

1、求線線距離

a

aA

圖10

如圖10,設(shè)〃是與異面直線a、b都垂直的

向量，Aea,Beb,異面直線a、b間的距離為d,則d=

l?l

2、求點(diǎn)面距離

如圖11,設(shè)％是平面。的法向量，AB是a的斜線,

Awa,點(diǎn)B到平面a的距離為d,則

\^B?n\

d=-----=-----

3、求線面距離和求面面距離，都可轉(zhuǎn)化為求

點(diǎn)面距離。

例4、如圖12,在正方體ABCD—AIBICIDI

中，棱長(zhǎng)為1,求異面直線ABi與BD之間的距離。

解：建立如圖的直角坐標(biāo)系，連接AC,A.B,

AC由三垂線定理知，

AiClB.A,A,C1BD

又Ai(0,0,1),C(1,1,0),

而AeAB,BeBD,而=(1,0,0),

異面直線AiB與BD間的距離

I(1,0,0)IV3

IACI

例5、如圖13,已知邊長(zhǎng)為4拒的正三角形ABC中，E、尸分

別為8c和AC的中點(diǎn)，PA_L面ABC,且PA=2,設(shè)平面。過PF

且與AE平行，求AE與平面a間的距離.

解：設(shè)Q、AE.成的單位向量分別為［、］、,選?。＃?｝作為空間向量

的一組基底，易知

q6=qG=s%=0,AP=2e^AE=2y/6e2,EC—2\[2e3,

PF=PA+AF=PA+^AC=PA+^(AE+EC)=-2e]+限e?+a6,

設(shè)3=招*+丁1+可是平面。的一個(gè)法向量，則3_L荏,1_L而，

n-AE=0

n-PF=0'

y=0

-叵--

即25/6yp2|=0n?72，;「.n=-^-e+%.

x——}

-2咽2+-y同2+及同2=02

2不亭+.)&

直線AE與平面a間的距離d=辱1

\n\后才+H3

例6、如圖14,已知正四棱柱ABCD—AiBiGDi的底面邊

長(zhǎng)為4,AiA=6,Q為BBi的中點(diǎn),PGDDI,M€AB,NGCD,

A|M=1,D|N=3,若P為DDi的中點(diǎn)，求三棱錐Q—PMN的

體積。

|PM|=V16+1+9=V26

\'PN\=V0+9+9=V18,

|麗=J16+4+0=26

?

COS(麗麗=PMPN3+92

\7M\?\'PN\V26*3A/2V13

=-|PM'|x|P/V|xsinZMP^=-xV26xV18x-^==9

22J13

又PQ=(4,4,0),設(shè)平面PMN的法向量為〃=(x,y,z),

n?PM=04x+y-3z=0

則由一得，，

n?PN-03y-3z=0

y=z=2x,不妨取〃=(1,2,2),

則Q到平面PMN的距離h=—""I=-J*8I=

|n|Vl+4+44

：?VQ-PMN=§*S^PMNx/i=§*9x4=12

解法(2):如圖16,連接BQi,交MN于O,

則。為B1D1的中點(diǎn)，連DBi,由P為DDi的中點(diǎn)知,

DB|//OP

延長(zhǎng)DQ至R,使DR=，DDi,